截角四面體

在幾何學中，截角四面體是一種半正八面體，13種阿基米德立體之一，共有8個面、18個邊和12個頂點，是三角化四面體的對偶多面體，可由四面體經過適當的截角，截去四面體的四個頂點所產生的多面體。

若進行更深的截角，甚至截到了中點，則稱為截半四面體，然而此種多面體與正八面體是等價的。

由於截角四面體具有六邊形與三角形的面，因此也是一種戈德堡多面體，其戈德堡符號計為GIII(1,1)。

此外，由於截角四面體可以由立方體透過斜截變換構成，即先交錯、再截角，因此，截角四面體又稱為斜截立方體或截角交錯立方體，在中計為，頂點數為小斜方截半立方體的一半，因此兩個截角四面體可以構成一個凸包為小斜方截半立方體的截角星形八面體，此種立體也稱為二複合截角四面體。 (Section 3-9)

 性質 
截角四面體是半正多面體之一，由4個等邊三角形和4個正六邊形組成，有12個頂點和18條棱，可以想象為將正四面體的頂點切去。

 座標 
在直角坐標系中，將幾何中心位於原點邊長為的四面體截角產生了12個頂點，以(±3, ±1, ±1),(±1, ±3, ±1),(±1, ±1, ±3) （其中每組坐標的±數目都是奇數個）為頂點，構成了一個截角四面體。12個頂點位置如下：
(+3,+1,+1), (+1,+3,+1), (+1,+1,+3)
(−3,−1,+1), (−1,−3,+1), (−1,−1,+3)
(−3,+1,−1), (−1,+3,−1), (−1,+1,−3)
(+3,−1,−1), (+1,−3,−1), (+1,−1,−3)

200px200px200px正交投影顯示截角四面體可置於一個(±3,±3,±3)的邊框內。截角四面體的六邊形面可分割為6共面的正三角形。其產生了四個新頂點 : (-1,-1,-1), (-1,+1,+1),(+1,-1,+1), (+1,+1,-1).頂點(±1,±1,±3)的全排列產生了兩個互補的截角四面體，可將之結合成一個複合多面體，即截角星形八面體。

 體積與表面積 
邊長為的截角四面體，其表面積為，體積為。

 交角 
三角形與六邊形的交角:，約為109.47122063449069136924599933996°
六邊形與六邊形的交角:，約為70.528779365509308630754000660038°
兩個六邊形的共線與三角形的交角:，約為125.26438968275465431537700033002°

作法
將一個正四面體透過截角變換構造，即將正四面體的四个頂點切去就可以得到一個截角四面體。
 正交投影 
+ 正交投影中心標準邊標準面邊面/頂點圖像100px100px100px100px對偶圖像100px100px100px100px投影對稱群[1][1][3][4]
 球面鑲嵌 
160px160px以三角形為中心160px以六邊形為中心平行投影
 相關多面體及鑲嵌 

 軌形對稱 
+ : 3.6.n.680px*n32雙曲鑲嵌仿緊*332*333*433*533*633...*∞33斜截鑲嵌80px80px80px80px80px80px3.6.2.63.6.3.63.6.4.63.6.5.63.6.6.63.6.∞.6
 變異對稱 
+ : 3.2n.2n對稱性*n32[n,3]緊湊雙曲非緊雙曲*232[2,3]*332[3,3]*432[4,3]*532[5,3]*632[6,3]*732[7,3]*832[8,3]...*∞32[∞,3]截角鑲嵌 50px 50px 50px 50px 50px 50px 50px 50px3.4.43.6.63.8.83.10.103.12.12三角化鑲嵌50px50px50px50px50px50px50px50pxV3.4.4V3.6.6V3.8.8V3.10.10V3.12.12
 其他多面體 
 三角化截角四面體 
三角化截角四面體為截角四面體進行三角化變換的結果，即將截角四面體的三角形面加入三角錐。

三角化變換是一種克利多面體變換，意指在多面體表面疊上錐體，關於截角四面體的另外一種克利多面體變換則是在六邊形面加入六角錐，所構成的立體為六角化截角四面體。

 截角四面體圖 

在圖論的數學領域中，與截角四面體相關的圖為截角四面體圖，其與截角四面體有相同的拓樸結構，是一種，其頂點與邊的數量及結構都與阿基米德立體中的截角四面體相同，具有12個頂點和18個邊An Atlas of Graphs, page=267, truncated tetrahedral graph。屬於連結立體圖（）An Atlas of Graphs, page=130, connected cubic graphs, 12 vertices, C105，也是一種連結立體可遞的圖An Atlas of Graphs, page=161, connected cubic transitive graphs, 12 vertices, Ct11。
圓正交投影160px160px4倍對稱160px3倍對稱

 參見 

四面體

 參考文獻 

 外部連結 



Editable printable net of a truncated tetrahedron with interactive 3D view 
The Uniform Polyhedra 
Virtual Reality Polyhedra  The Encyclopedia of Polyhedra

Category:半正多面體
Category:阿基米德立體
Category:均勻多面體