基 (拓撲學)

在拓扑学的相关领域中，拓撲基() 是某種特殊集合族，它們的任意并集構成了一個拓扑空間的開集。基在拓扑学的作用是簡化證明，許多拓撲的性質可轉換成基的性質，像是拓撲意義下的连续就可以直接對基來做定義。

 動機 
拓撲基的動機是想定義一群特殊的子集，它們的任意并集都是「开」的；嚴謹來說，令  為集合   的一個子集族，希望  內任意一群子集之并集所組成的  ：



為  上的拓扑。

證明以下逐條檢驗拓扑的定義：

(1) 等價於「 」的條件

若  ，則：

 (a)

考慮到  ，所以根據有无限并集性質的定理(1)與(2)有



但根據无限并集性質的定理(1)，(a)又等價於：



所以有：



所以從  有：

  (a1)

反之若有 (a1)，因為  ，所以有  。故在本定理的前提下，(a1)等價於  。

(2) 

首先考慮到 ，然後從无限并集性質的定理(0)有 ，故 。

(3)  對任意  有 

首先， 可等價地展開為

 (b)

上式可直觀地解釋成「  都是  內某些集合的并集」，既然如此，取一個蒐集各種不同  的子集的集族  ：



這樣根據有限交集的性質， 等價於



考慮到一阶逻辑的定理(Ce)，將 移至最前，再將移入括弧內 ，上式就依據(Equv)而等價於


也就等價於



根據无限并集性質的定理(4)，從(b)有



這樣根據无限并集性質的定理(1)又會有



考慮到  ，從无限并集性質的定理(1)與定理(2)有



所以最後從(b)有



所以  最後等價於



換句話說



這樣考慮到  就有



所以在本定理的前提下， 對所有  都有  。

(4)等價於「  則 」的條件

若

 「對所有的  有 」(P)

因取任意  都有：




故  ，換句話說從假設(P)可以推出：

 「對所有  ，」(P')

另一方面，  可等價地展開為：



因為  可等價地展開為：




所以在  的前提下   又可更進一步等價地展開為：



此時考慮到一阶逻辑的定理(Ce)，連續使用兩次會有：



這樣的話，若取一個包含所有  的集族：



這樣就有：



而且考慮到  和  ，所以在(P')的前提下，所有的  都在  裡，換句話說， ，故從上小結的結果有：



所以，(P')跟(P)等價。

綜合上面的(a1)、(a2)、和(P')，本定理得證。

一般會根據无限并集性質的定理(4)，將第二個條件等價的寫為：
 「對所有  ， 」
也就等價於：
 「所有的  ，對任意  都存在  使得 」
 定義 

由上面動機一節的定理，可以作如下的定義：

 範例 
以所有實數線中的開區間為元素所構成的集合是拓撲基，因為：

 任意實數  都包含在某個開區間裡，如  。故開區間全體「覆蓋」了整條實數線。
 任何兩個開區間的交集要么也是開區間要么為空。
 對任意開區間  內的實數  ，都有一個比  更小的開區間也包含  ，如  。

這些性質正好滿足拓撲基的定義。

更一般的來說，以度量空间的開球為元素所構成的集合是拓撲基，因為：

 度量空間的任意點都可作為開球的球心，故開球全體「覆蓋」了整個度量空間。
 取任二開球和，若，且 ，則。

 重要性質 

證明設  所生成的拓撲是  ；另一方面包含  的最粗拓撲為  。
根據最粗拓撲的定義有：
(a)

那以量词公理(A4) 將  去掉會有：

那再使用量词公理(A4)，配合(D1)會有：

因為  是  所生成的拓撲，配合(D2)有：（ 為 「 是  的拓撲基」的正式敘述）

另一方面，根據拓撲基的定義有：

而根據拓扑的定義(關於聯集的部分)與演繹定理會有：

這樣根據(GEN)與演繹定理就有：

換句話說，從演繹定理與(D1)有：

那從普遍化元定理就有：

這樣從(a)，配合(AND)與(D1)就有：

這樣從(AND)和演繹定理就有：

套用(GEN)將  重新加入就會有：

故本定理得証。

證明
 如果 B1,B2,...,Bn 是拓撲 T1,T2,...,Tn 的基，則集合積 B1 × B2 × ... × Bn 是乘積拓撲 T1 × T2 × ... × Tn 的基。在無限乘積的情況下這仍適用，除了出現有限多個基元素之外全部都必須是整個空間之外。
 設 B 是 X 的基并設 Y 是 X 的子空間。那么如果我們交 B 的每個元素於 Y，結果的集合的搜集是子空間 Y 的基。

證明若，根據基的定義，存在使得：

這樣的話，若取：

則有：

這樣根據拓撲空間的定義就有：

故是-连续。

 X 的子集的搜集是 X 上的拓撲當且僅當它生成自身。
 B 是拓撲空間 X 的基，當且僅當 B 的包含 x 的元素的子搜集形成在 x 上的局部基，對于 X 的任何點 x。
 給定拓撲的一個基，要證明網或序列的收斂，在包含假定極限的所有基中的集合中最終證明它就是充分的。

 依據基定義的對象 

 序拓撲通常定義為類似開區間的集合的搜集所生成的拓撲。
 度量拓撲通常定義為開球的搜集生成的拓撲。
 第二可數空間是有可數基的拓撲。
 離散拓撲有由所有單元素集合組成的基。

 閉集基 

閉集同樣擅長描述空間的拓撲。因為有對於拓撲空間的閉集的對偶的基的概念。給定一個拓撲空間 X， X 的閉集基是閉集的集合族 F 使得任何閉集 A 是 F 的元素的交集。

等價的說，閉集族形成了閉集基，如果對於每個閉集 A 和每個不在 A 中的點 x，存在一個 F 的元素包含 A 但不包含 x。

容易檢查 F 是 X 的閉集基，當且僅當 F 的成員的補集的集合族是 X 的開集基。

設 F 是 X 的閉集基。則
 ∩F = ∅
 對於每個 F1 和 F2 在 F 中，并集 F1 ∪ F2 是 F 的某個子族的交集(就是說，對于任何不在 F1 或 F2 的 x，存在一個 F3 在 F 包含 F1 ∪ F2 并不包含 x)。
滿足這些條件的集合 X 的任何子集搜集形成 X 上的拓撲的閉集基。這個拓撲的閉集完全就是 F 的成員的交集。

在某些情況下，更習慣使用閉集基而非開集基。例如，一個空間是完全正規空間，當且僅當它的零集形成了閉集基。給定任何拓撲空間 X，零集形成在 X 上某個拓撲的閉集基。這個拓撲將是 X上比最初的要粗的最細的完全正規拓撲。在類似的脈絡下，在 An 上的 Zariski拓撲被定義為選取多項式函數的零集作為閉集基。

 準基 
若拓扑空間是最小的拓扑使得的子集的集都是的開集，則稱為的一個準基（subbasis/subbase）。另一等價的定義為，若及其所有有限交集構成了拓扑空間之基，則為準基。

例子：
 在實數線上，所有長度為1的開區間便是一個準基。

J.W. 亞歷山大證明了：若每個準基覆盖都有一個有限個元素的子覆蓋，則此空間是緊緻的。

注釋

參考文獻

 James Munkres (1975) Topology: a First Course. Prentice-Hall.
 Willard, Stephen (1970) General Topology. Addison-Wesley. Reprinted 2004, Dover Publications.

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