外尔特征标公式

外尔特徵標公式（Weyl's character formula) 描述緊李羣不可約表示的特徵標。其名來自證明者赫尔曼·外尔。

定義：羣G的表示r的特徵標為一函數 ，，其中Tr 為線性算子之迹。 （由彼得-外尔定理 可知緊李羣的任何不可約表示都是有限維的；故迹之定義為線性代數中之定義。）

特徵標 χ 記住了表示 r 本身的重要訊息。 外尔特徵標公式用羣G的其他資料來表達 χ 。 本文考慮複表示，不失一般亦設其為酉表示，因而「不可約」亦等價於「不可分解」（即非二子表示之直和）。

公式 

緊李羣G 之不可約表示之特徵標符合下式：

其中

ρ 為羣G 之外尔向量，即各正根之和之半；
W 為 外尔羣；
λ 為不可約表示之 最高權；
α 遍歴G之每一正根。
外尔分母公式

在 1 維表示的特例中，特徵標為 1, 而外尔特徵標公式簡化成 外尔分母公式：

若G為特殊么正羣，則簡化成范德蒙行列式的等式：
。

外尔維度公式
若只考慮單位元1之迹，則外尔特徵標公式 特殊化成 外尔維數公式 
,

其中
 VΛ為有限維表示，其最高權為Λ；
ρ為外尔向量，
α 遍歴所有正根。
由於式中分子與分母俱為高階零，故必須取G中之元素漸近單位元1時之極限。

Freudenthal 公式
Hans Freudenthal發現了符合之一遞歸公式。此公式等價於外尔特徵標公式，而在某些情況下更簡便。式曰：
；
其中
Λ 為一最高權，
λ 為另一權，
 dim Vλ 為權λ 之重數，
ρ 為外尔向量，
外和中之 α 歴遍所有正根。

外尔-Kac 特徵標公式
外尔特徵標公式 亦適用於卡茨-穆迪代数之可積最高權表示 ——外尔-Kac 特特徵標公式。同樣地，分母恆等式亦可推廣至卡茨-穆迪代数，其在仿射李代數之特例成為Macdonald 恆等式。其在 A1 仿射李代數之例成為經典的 雅可比三重乘積恆等式：

此特徵公式可推廣至广义卡茨-穆迪代数之可積最高權表示：

其中 S 為一修正項：


其中 I歴遍虚簡單根集內 所有與最高權 正交、且互相正交之有限子集；|I| 集 I 之基數，而 ΣI為集 I 內元素之和。

而Monster 李代數之 分母公式 則為j之積公式： 

。

Peterson 發現了（廣義）卡茨-穆迪代数之根重數 mult(β) 遞歸公式。此公式等價於外尔-卡茨分母公式，但更便於計算：
,
其中γ 與 δ 遍歴所有正根，而 
。

 參攷 

Infinite dimensional Lie algebras, V. G. Kac, ISBN 0-521-37215-1

 註 

U
U
U
Category:数学公式