四元群

在群論裡，四元群  (Quaternion Group) 是指一個階為8的非交換群，常被簡寫為 ，且用乘法的形式表示。包含下列8個元素：

其中， 代表單位元素，且 。對於每個元素 ，有  的關係。另外，

 的凱萊表如下：
   1  i  j  k  −1  −i  −j  −k 1 1  i  j  k  −1  −i  −j  −k i i  −1  k  −j  −i  1  −k  j j j  −k  −1  i  −j  k  1  −i k k  j  −i  −1  −k  −j  i  1 −1 −1  −i  −j  −k  1  i  j  k  −i −i  1  −k  j  i  −1  k  −j −j −j  k  1  −i  j  −k  −1  i −k −k  −j  i  1  k  j  −i  −1

需要特別留意，這個群不是交換群，例如 。 有著漢彌爾頓群較不常見的性質：每一個  的子群都是其正規子群，但這個群不是交換的。每一個漢彌爾頓群都會含有一個或多個 。

在抽象代數裡，可以造出一個其基底為  的四維實向量空間，並使用上面的乘法表和分配律來形成一個結合代數，稱為一個四元數的除環。需要注意的是，這不是在  上的群代數（其應該是8維的）。相反地，也可以先由四元數開始，再「定義」出由八個元素  所組成之乘法子群作為四元群。

 都是  中階為4的元素，任意選擇其中兩個就可以生成出整個群。 有著下列的展現 (presentation)：

其中可以取 、 及 。

 的中心及交換子群為 。其商群  同構於克萊因四元群 (Klein four-group) 。而 的內自同構群 (Inner Automorphism Group) 同構於  同餘其中心，且因此也會同構於克萊因四元群。 的自同構群會同構於對稱群 。 的外自同構群因此為 。

四元群  亦可視為是作用於在有限體  上之二維向量空間的八個非零元素。關於其圖像，請見圖像化GL(2,p)。

 廣義四元群 

一個群若被稱為廣義四元群，則表示其有一個展現

其中  為整數。這個群的階為 。原本的四元群為  時的特例。廣義四元群可以被理解為單位四元數的子群，其生成元 (generator) 為

廣義四元群是雙循環群此一更大類型的一類。廣義四元群有著每個交換子群都是循環群的性質。可證明一具有此性質（每個交換子群都是循環群）的有限p-群若不是循環群就是廣義四元群。

 另見 
 四元數
 克萊因四元群
 雙循環群
 赫爾維茨四元數
 十六胞

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