特徵標理論

在數學裡，尤其是在群表示理論裡，一個群表示的特徵標（）是一個將群的每個元素映射對應矩陣的跡(Trace)的函數。特徵標蘊藏著群的許多重要性質，且因此可以用來做群的研究。

特徵標理論是對有限簡單群分類的一個有重要的工具。在范特-湯普遜定理證明接近一半的地方會有一個用到特徵標的複雜計算。另外還有一些較簡單但一樣重要的結論需用在特徵標理論，如伯恩賽德定理及理查·布勞爾和鈴木通夫所證出之定理，此定理表示有限簡單群不會有一個為廣義四元群的西洛2-子群。

定義

設V為一個域F上的有限維向量空間且設為一個群G於V上的表示。則ρ的特徵標即為如下給定之函數

其中為矩陣的跡數。

一個特徵標χρ若被稱為是不可約的，即表示ρ是一個不可約表示。若被稱為是線性的，則表示ρ的維度等於1。χρ的核為集合

其中是χρ在群單位元上的值。當ρ是G的k維表示且1為G的單位元時，


和特徵標群的情況不同，一個群的特徵標通常不會自己「形成」一個群。

拓撲群的情形
在調和分析中，通常定義局部緊阿貝爾拓撲群  的特徵標為連續群同態 ；在此， 表示單位圓構成的群，等價地說就是 。

部份作者將特徵標的定義放寬為連續群同態 ，而將取值在  者稱作么特徵標。其他人則保留原初定義，而將這類廣義的特徵標稱為擬特徵標。

 的全體特徵標構成一個群 ，群二元運算的定義是 ，稱為對偶群。龐特里雅金對偶性總結了對偶群的一般性質。

性質

 特徵標是一個類函數，即為對一個共軛類內的所有元素來說，χ會是個常數。

 两个同構的表示會有相同的特徵標。若系数域的特征char(F)=0，则两个表示為同構的，若且唯若它们有著完全相同的特徵標。

 若一個表示可以是多個子表示的直和：，則其相對應的特徵標會是其所有子表示的特徵標之和：。

 在有限群的情况下，每個特徵標都是n個m次單位根之和，其中n為表示內域的維度，m則是g的阶。

 若F是代數封閉的且char(F)不可以整除G的阶|，則G的不可約特徵標之數量等於G的共軛類數： 。

算術性質
令和為G的兩個表示，則有下列的等式成立：

其中為兩者的直和、為兩者的張量積、為的共軛轉置、以及Alt称为交替積而Sym則称为對稱方，其值由下式決定
.

特徵標的誘導與限制
設  為有限群， 為其子群，而  為 G 的表示，其特徵標記為 。令  為誘導表示  的特徵標；根據弗羅貝尼烏斯互反定理，對所有  的特徵標 ，恆有下述等式


此等式可用來刻劃類函數 。事實上，若選定陪集分解

還可以明確地寫下  的取值：


特徵標表

一個有限群的不可約特徵標可以形成一個特徵標表，其蘊含著許多有關群G在緊緻形式時的有用資訊。每一行標記著一個不可約特徵標且包含著此一特徵標在每個G的共軛類上的值。

下面是有三個元素之循環群C3的特徵標表：

 (1)(u)(u2)1111χ11uu2χ21u2u

其中的u為一個原三次單位根。

特徵標表總會是正方的，因為不可約表示的數目總會相等於共軛類的數目。特徵標表的第一個行總會是1，其對應至群的當然表示上。

正交關係

有關特徵標表最重要的性質之一為其在行與列上都會有著正交關係。

對特徵標(即對特徵標表中的行)的內積由下給出：
 其中  表示 在g上的值的複數共軛。

對於此一內積而言，不可約特徵標两两正規正交：

對表中的列的正交關係則由下列給出：
對，其和為
其中相加的範圍為所有G的不可約特徵標，而符號則表示為g的共軛類之大小。

此一正交關係可以幫助許多的運算，如：
 將一個未知特徵標分解成不可約特徵標的線性組合。
 當只有一些不可約特徵標為可知時，建構其完整的特徵標表。
 求出群的共軛類的表示的中心化子的階。
 求出群的階。

特徵標表性質

一個群G的某些性質可以由其特徵表中推導出來：

 G的階就是表上所有特徵標之在1上的取值的平方：(χ(1))2的總和（伯恩赛德公式）。
 G是可換的若且唯若對每個在表上的特徵標，χ(1) = 1。
 G有一個非當然正規子群(即G不是一個簡單群)若且唯若對於某些表上的非當然特徵標χ和一些於G內的非單位元素g，會有χ(1) = χ(g)。

特徵標表通常不會將群分至同構：例如，四元群Q和有8個元素的二面體群D4會有同樣的特徵標表。

對有限群之特別例子，詳見有限群表示理論。

一維表示的特徵標會形成一個特徵標群，其和數論中有著很重要的關連。

參考文獻

   見第2章
  1976年原版的修正重印版，由Academic Press所出版 

 http://planetmath.org/encyclopedia/Character.html 
 化學中重要的點群的特徵標表 - 列出了大多數的點群並其在化學中使用之符號的特徵標表。

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