哈瑟原則

在數學裡，赫爾姆特·哈瑟的局部-全域原則，或稱為哈瑟原則，是一個表示「一個方程可以在有理數上被解若且唯若它可以在實數上『及』在每個質數p之p進數上被解」的原則。

表示0的型

二次型
哈瑟-閔可夫斯基定理描述著局部-全域原則會由在有理數上之二次型來表示0的問題中成立(由閔可夫斯基證出)；且更一般性地，會在任何一個數域上成立(由哈瑟證出)，其中使用了所有合適的局部域的必要條件。循環擴張上的哈瑟定理描述著局部-全域原則可以應用在數域循環擴張之一個相對賦範的條件下。

三次型
恩斯特·賽爾瑪提出的反例表示哈瑟-閔可夫斯基定理不可以擴伸至三次型，如三次型可以在p進數上表示0，但不能在Q上表示。Ernst S. Selmer, The Diophantine equation ax3+by3+cz3=0, Acta Mathematica, 85, pages 203-362, (1957)

羅傑·希思布朗證明每個在整數上至少有14個變數的三次型可以表示0，改進了由哈羅德·達芬波特所證明出的早期成果H. Davenport, Cubic forms in sixteen variables, Proceedings of the Royal Society London Series A, 272, pages 285-303, (1963)。因此局部-全域原則當然地會在有理數上至少有14個變數的三次型上成立。

若將其限定在無奇點的類型上，即可以得到更好的結果：希思布朗證明每個在有理數上至少有10個變數之無奇點的三次型都可表示0D. R. Heath-Brown, Cubic forms in ten variables, Proceedings of the London Mathematical Society, 47(3), pages 225-257, (1983)，因此可以當然地建立起在此一類型上的哈瑟原則。可知在最有可能的義意下，可知會存在一個不會表示零的9個變數之於有理數上的無奇點三次型。L. J. Mordell, A remark on indeterminate equations in several variables, Journal of the London Mathematical Society, 12, pages 127-129, (1937)無論如何，荷利證明出了哈瑟原則會在由在有理數上至少9個變數之無奇點三次型來表示0的條件下成立。C. Hooley, On nonary cubic forms, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 386, pages 32-98, (1988)達芬波特、希思布朗和荷利在他們的證明中都是使用哈代-勒特伍德圓法。根據馬寧的想法，哈瑟原則在三次型中成立的障礙是被挷在布勞爾群的理論之中；而現在只表現出此一設定還不是個完整的故事(Alexei Skorobogatov, 1999)。

更高次型
藤原正彦和Masaki Sudo提出的反例表示哈瑟-閔可夫斯基定理不可以延伸至次型，其中的是一個非負整數。M. Fujiwara, M. Sudo, Some forms of odd degree for which the Hasse principle fails, Pacific Journal of Mathematics, 67 (1976), No. 1, pages 161-169

在另一方面，柏區定理證明出若d是一個奇數，則存在一個 N(d)，使任何有多於 N(d) 個變數的 d 次型皆能表示 0：哈瑟原則在此當然地成立。

另見
 局部分析
 哈瑟條件

參考文獻

外部連結
 PlanetMath article
 Swinnerton-Dyer, Diophantine Equations: Progress and Problems, online notes

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