加法單位元

在數學裡，一個具有加法運算的集合中的加法單位元，是指不論它加上任何一個在此集合內的元素x都會等於x的元素。

基本例子

 初等數學中所熟悉的加法單位元為0。
如：

 5 + 0 = 5 = 0 + 5。

 在自然數和其所有的父集(整數、有理數、實數、複數)內，其加法單位元皆為0。所以對於任何一個數，

 。

形式定義

令是一個在加法運算下封閉的集合。的加法單位元即為任一個能使所有在內的元素有下列公式的元素：

 。

更多例子

 在一個群裡，加法單位元即是這個群的單位元，通常標記做0，並且是唯一的(見下面證明)。

 一個環或一個體也會是一個在加法運算下的群，因此它們也會有一個唯一的加法單位元0。它被定義必須和乘法單位元1不同，若環（或體）有兩個以上的元素時。如果加法單位元和乘法單位元是同一個的話，這個環則會是當然的(見下面證明)。

 在一個於群上的乘階矩陣所組成的群裡，其加法單位元標記為0，且會是個其元素都是在內的單位元0的乘矩陣。例如，在一個於整數上的2階方陣裡，其加法單位元為

.

證明
加法單位元在一個群裡是唯一的

令是一個群，且設0和0'是在內的兩個加法單位元，則對於所有在內的而言，

  且。

由上可得

 (0') = (0') + 0 = 0' + (0) = (0)

故可證明 0 = 0'。

加法和乘法單位元在一個非平凡環裡是不同的

令是一個環，且假設加法單位元0和乘法單位元1會相等，即0=1。設為於內的任一元素，則



其表示必須是平凡的，亦即。再依照換質位法，即可得出若不是平凡的，則0不會等於1的結論。

另見

 加法逆元
 單位元
 乘法單位元

外部連結




參考文獻

David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, Wiley (3d ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9.

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