海森伯群

在數學裡，海森堡群是以维尔纳·海森堡來命名的，為如下之三階上三角矩陣所組成的群：

元素a、b、c可以取成某種交換環，一般會取成實數環或整數環。

例子
 連續海森堡群 
若a、b、c為實數，則可得到一個連續海森堡群 H3(R)。其為一個幂零李群。
 離散海森堡群 
若a、b、c為整數，則可得到一個離散海森堡群 H3(Z)。其為一個非阿貝爾冪零群，有兩個生成元

并满足关系
。
其中，

為 H3 中心之生成元。（x-1，y-1和z-1即分别将x，y和z主对角线上的1改为-1）

依貝斯定理所述，其有一個4目的多項式增長率。
 模p海森堡群 
若取a、b、c在Z/pZ內，則可得到一個模 p 海森堡群。其為p3目的群，其中有兩個生成元x和y，满足关系
。

一般海森堡群

更一般性地，海森堡群可以由任何一個辛向量空間來建造。例如，令(V,ω)為一個有限維實辛向量空間(故ω為於V上之非退化反對稱雙線性形)。在(V,ω)(或簡稱V)上的海森堡群H(V)是一個附有群定律

的集合。

海森堡群是加法群V的中心擴張。因此，會有一個正合序列

每一個辛向量空間都會允許有一個滿足ω(ej,fk) = δjk的達布基{ej,fk}1 ≤ j,k ≤ n。以此一基來敘述，每個向量都可以分解成

其中的qa和pa為正則坐標。

若{ej,fk}1 ≤ j,k ≤ n是V的一個達布基，然後令{E為R的一個基，則{ej,fk, E}1 ≤ j,k ≤ n會是V×R的一個對應的基。一個在H(V)內的向量

可以等同於下列矩陣

因此便給出了一個H(V)的真實矩陣表示。

和外爾代數的關連

量子力學的外爾觀點
視為一子黎曼流形

另見

參考 
 Richard Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91), (2002) American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9.

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