庫拉托夫斯基閉包公理

庫拉托夫斯基閉包公理可來定義一個集上的拓扑結構，它和以開集作定義拓樸結構的公理等價。

定义
拓樸空間  是集合  及作用在  的冪集上的閉包算子

。

閉包算子需符合以下條件：

  (等冪性)



如果不要求第二个公理即幂等公理，则剩下的公理定义了预闭包算子。

 等價的證明 
從由閉包算子定義的拓撲空間開始。A 稱為在 是閉合的，若。亦即，X 的閉集是閉包算子的不動點。

若稱「開集」為其補集為閉集的集合，則所有開集會形成一個拓撲，證明如下：
由公理4.可知為閉集；由公理1.及閉包算子的閉合性可知X 為閉集。因此，X 及（分別為及X 的補集）為開集。
令X 的子集（其中為任意集合）皆為開集，由公理1.及閉集的定義可知為開集。
令X 的子集A 及B 為開集，由公理3.可知為開集。
相反地，由開集定義的拓撲也可推導至由閉包算子定義的拓撲空間。令外，也可得出下列等價的定義：

兩個拓撲空間之間的函數

稱為連續的，若對所有X 的子集A'，

一個點稱之為在內是接近A'' 的，若。

K
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