Verma模

Verma模（Verma module）是李代數表示理論中的基本研究對象，其名取自Daya-Nand Verma。Verma模之間的態射相應於旗流形上的不變微分算子。

可用Verma模來證明以下命題：最高權為的最高權表示的維數有限，若且僅若是支配整權（）。

 Verma模的定義 
設：
為一域；
 ，為上一半單李代數；
為其泛包絡代數
 為其一Borel子代數
為其泛包絡代數
 為其一嘉當子代數
 為一固定之權。
 為上的一維向量空間， 賦與-模結構：的作用為「乘以」，正根的作用為零。由於是一左－模，他同時亦是一左－模。
由Poincaré-Birkhoff-Witt定理，有一自然右－模結構。由於亦是一左－模， 所以是-雙模。
定義（最高權為之）Verma模 為

此自然地是一左－模。從Poincaré-Birkhoff-Witt定理可知：，作為一向量空間，同構於

其中為之負根生成之子李代數。

 基本性質 
作為－模，Verma模是一最高權表示，即整個模由一最高權向量生成。此最高權向量是的像（其中前為之單位，後為域之單位元）；其權為。

Verma模是weight modules，即是其權子空間之直和。每一權子空間是有限維的，其維度是權寫成正根之和之方法之數（參見Kostant partition function）。

Verma模有一重要性質：若為任一最高權模，其最高權為，則存在一 滿射：。換言之，任何最高權模都是的商模。

內存在唯一極大子模，而與此子模之商是不可約的。

Verma模本身不可約 若且僅若 當其最高權分解成基本權（）之和時，每一系數都不是。

稱Verma模為regular，若其最高權λ位於一支配權之仿射Weyl軌迹上。換言之，存在Weyl羣的元素w，使
，
其中是Weyl羣的仿射作用。

稱Verma模為singular，若λ的仿射軌迹上無支配權。此時，存在權使落於基本Weyl室之牆上；（其 中δ為各基本權之和）。

 Verma模之間的態射 

設為兩權。若存在態射
，

則的Weyl羣的
仿射作用必然能把帶到。此為Harish-Chandra無限小中心特徵標定理之一推論。

每一Verma模 態射都是單射。態射空間之維度

其中為任何兩權。因此，存在一非零態射若且僅若 同構於的一（唯一）子模。

Verma模態射的完整分類來自I.N.伯恩斯坦、I.M.蓋爾芳特 與S.I.蓋爾芳特 的工作Bernstein I.N., Gelfand I.M., Gelfand S.I., Structure of Representations that are generated by vectors of highest weight, Functional. Anal. Appl. 5 (1971)與N. Verma的工作Verma N., Structure of certain induced representations of complex semisimple Lie algebras}, Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968)。簡言之，

存在非零態射
若且僅若 存在一串權

使得存在正根使（其中是根反映（根系），而是所有基本權之和）且對每一，為一自然數（其中是根之對偶根（））。

若Verma模與俱為regular，則僅存支配權與Weyl羣元w, w′使

P

而且

其中為Weyl羣的仿射作用。設此等權是整權（）。存在非零態射

若且僅若，在Weyl羣W 的Bruhat次序中，

。

 Jordan-Holder序列 

設

為一－模序列，其中B/A為不可約表示，其最高權為μ。則存在非零態射。

推論：
設為二最高權表示。若

則存在非零態射。

 伯恩斯坦-蓋爾芳特-蓋爾芳特 分解 

設為李代數的一有限維不可約表示，其最高權為λ。我们已知：存在非零態射

若且僅若，在其Weyl羣的Bruhat次序中，

。

以下定理描述如何分解成Verma模的正合序列。
（此定理出現於 伯恩斯坦-蓋爾芳特-蓋爾芳特1975年的論文Bernstein I.N., Gelfand I.M., Gelfand S.I., Differential Operators on the Base Affine Space and a Study of g-Modules, Lie Groups and Their Representations, I. M. Gelfand, Ed., Adam Hilger, London, 1975.}）:

存在由－態射組成的正合序列

其中n為Weyl羣最長元之長度。

一般研究員簡稱其為「BGG分解」。
廣義Verma模亦有類似分解。

近來有人研究此等分解之某些特例，以助理解拋物幾何（，嘉當幾何之特例）上之不變微分算子。嘉當幾何的定義依賴於一李羣G與其拋物子羣P。參閲Eastwood M., Variations on the de Rham complex, Notices Amer. Math. Soc, 1999 - ams.org 、Calderbank D.M., Diemer T., Differential invariants and curved Bernstein-Gelfand-Gelfand sequences, Arxiv preprint math.DG/0001158, 2000 - arxiv.org與Cap A., Slovak J., Soucek V., Bernstein-Gelfand-Gelfand sequences, Arxiv preprint math.DG/0001164, 2000 - arxiv.org 。

 參攷 

Knapp, A. W. Lie Groups Beyond an troduction. Second Edition. (2002), page 285.
Dixmier, J., Enveloping Algebras, North-Holland, Amsterdam, New York, Oxford, 1977
Humphreys J., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer Verlag, 1980
Roggenkamp K., Stefanescu M., Algebra - Representation Theory, Springer, 2002

 註解 

 參見 

 李代數表示論
 泛包絡代數
 廣義Verma模
 最高權表示

Category:李代數表示論