条件熵

在信息论中，条件熵描述了在已知第二个随机变量  的值的前提下，随机变量  的信息熵还有多少。同其它的信息熵一样，条件熵也用Sh、nat、Hart等信息单位表示。基于  條件的  的信息熵，用  表示。

 定义 
如果  爲變數  在變數  取特定值  條件下的熵，那麼  就是  在  取遍所有可能的  後取平均的結果。

给定随机变量  与 ，定義域分別爲  與 ，在給定  條件下  的條件熵定義爲：

注意： 可以理解，對於確定的 c>0，表達式 0 log 0 和 0 log (c/0) 應被認作等於零。

當且僅當  的值完全由  確定時，。相反，當且僅當  和  爲獨立隨機變數時。

 链式法则 

假設兩個隨機變數 X 和 Y 確定的組合系統的聯合熵爲 ，即我們需要  bit的信息來描述它的確切狀態。
現在，若我們先學習  的值，我們得到了  bits的信息。
一旦知道了 ，我們只需  bits來描述整個系統的狀態。
這個量正是 ，它給出了條件熵的链式法则：

链式法则接著上面條件熵的定義：

 貝葉斯規則 
條件熵的表述爲

證明.  and 。對稱性意味著 。將兩式相減即爲貝葉斯規則。

 推广到量子理论 
在量子信息论中，条件熵都概括为量子条件熵。

 參考文獻 

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