对数正态分布

在概率论与统计学中，任意随机变量的对数服从正态分布,则这个随机变量服从的分布称为对数正态分布。如果  是正态分布的随机变量，则 （指数函数）为对数正态分布；同样，如果  是对数正态分布，则 为正态分布。
如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。
对于 ，对数正态分布的概率密度函数为

其中  与  分别是变量对数的平均值与標準差。它的期望值是

方差为

给定期望值与方差，也可以用这个关系求  与 

 与几何平均值和几何标准差的关系 

对数正态分布、几何平均数与几何標準差是相互关联的。在这种情况下，几何平均值等于 ，几何標準差等于 。

如果采样数据来自于对数正态分布，则几何平均值与几何标准差可以用于估计置信区间，就像用算术平均数与标准差估计正态分布的置信区间一样。

置信区间界对数空间几何3σ 下界2σ 下界1σ 下界1σ 上界2σ 上界3σ 上界

其中几何平均数 ，几何標準差 

 矩 

原始矩为：

或者更为一般的矩

 局部期望 

随机变量  在阈值  上的局部期望定义为

其中  是概率密度。对于对数正态概率密度，这个定义可以表示为

其中  是标准正态部分的累积分布函数。对数正态分布的局部期望在保险业及经济领域都有应用，著名的Black-Scholes期权定价公式便可由此推导出。

 参数的最大似然估计 
为了确定对数正态分布参数  与  的最大似然估计，我们可以采用与正态分布参数最大似然估计同样的方法。我们来看



其中用  表示对数正态分布的概率密度函数，用 — 表示正态分布。因此，用与正态分布同样的指数，我们可以得到对数最大似然函数：



由于第一项相对于  与  来说是常数，两个对数最大似然函数  与  在同样的  与  处有最大值。因此，根据正态分布最大似然参数估计器的公式以及上面的方程，我们可以推导出对数正态分布参数的最大似然估计


 相关分布 

 如果  与 ，则  是正态分布。
 如果  是有同样  参数、而  可能不同的统计独立对数正态分布变量 ，并且 ，则  也是对数正态分布变量：。

 进一步的阅读资料 
 Robert Brooks, Jon Corson 以及 J. Donal Wales 的 "The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion" , in Advances in Futures and Options Research, volume 7, 1994.

 参考文献 

 对数正态分布, Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957)
 Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues , E. Limpert, W. Stahel and M. Abbt,. BioScience, 51 (5), p. 341–352 (2001).
 对数正态分布特性, John Hull, in Options, Futures, and Other Derivatives 6E (2005). 
 Eric W. Weisstein et al. 对数正态分布  at MathWorld. Electronic document, 2006年10月26日造訪.

 参见 
 几何平均数
 几何标准差
 误差函数

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