雅可比猜想

雅可比猜想（Jacobian conjecture）是多變量多項式的一個著名問題，最初是由數學家凱勒（Ott-Heinrich Keller）於1939年提出，之後Shreeram Abhyankar取現名，並將之廣為傳播，以作為代數幾何的問題中，只需稍多於微積分的知識就能闡述的一個例子。

雅可比猜想直至2017年仍未得到正確證明。

雅可比行列式
令n>1為固定的整數，考慮多項式F1, ... , Fn，變量為X=(X1, ... , Xn)，係數在特徵為零的代數閉域k中。（可假設k為複數域。）也就是說。定義函數F: kn→kn為
F(c1, ... , cn)=(F1(c1, ... , cn), ... , Fn(c1, ... , cn))
函數F的雅可比行列式JF是由F的偏導數組成的n×n矩陣的行列式

JF也是變量為X的多項式函數。

敘述
多變量微積分的反函數定理指出如在某一點有JF ≠ 0，那麼在該點附近F有反函數。由於k是代數閉域，JF是多項式，因此JF必定在某些點上為0，除非JF是非零的常數函數。以下是一項基本結果：

若F有反函數G: kn→kn，則JF是非零的常數函數。

而其反命題則為雅可比猜想：
令為一特徵為零的代數閉域。若
,
JF是非零常數函數，（等價於以下條件：對於所有的，皆是可逆的線性變換）
則有反函數，且此反函數亦屬於。

外部連結
莫宗堅簡論雅可比猜想的網頁 

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