星形正多面體

星形正多面體（克卜勒-龐索特多面體）是一類非凸多面體，共有四個。它們的表面均為正多邊形或星形正多邊形，且每個頂點都有相同數目的邊連接。

透视图立体图名稱施氏符號點邊面X對偶多面體外接立體內接立體點群 100px 100px 小星形十二面體 {5/2,5} 12 30 五角星×12 -6 大十二面體 正十二面體 正二十面體 群 100px 100px 大十二面體 {5,5/2} 12 30 正五邊形×12 -6 小星形十二面體 正二十面體 正十二面體 群 100px 100px 大星形十二面體 {5/2,3} 20 30 五角星×12 2 大二十面體 正十二面體 正十二面體 群 100px 100px 大二十面體 {3,5/2} 12 30 等邊三角形×20 2 大星形十二面體 正二十面體 正二十面體 群

 性質 
皮特里多邊形是指兩個連續邊都屬於多面體的一個面，但三邊不屬多面體的面的不共面多邊形。哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特證明了若正多面體的皮特里多邊形有邊，則有

 。

除了均為正整數時，有5組解，對應5個正多面體。當為正有理數時，有多4組解，分別對應4個克卜勒-龐索特多面體。

 歷史 
 14世紀Paolo Uccello的畫作出現了小星形十二面體。
 15世紀Wenzel Jamnitzer發現小星形十二面體和大星形十二面體。
 1619年開普勒重新發現了小星形十二面體和大星形十二面體，並將它們和正多面體連繫起來。
 1809年路易斯·龐索發現了大十二面體和大二十面體。因此這些多面體以開普勒和龐索命名。
 1859年阿瑟·凱萊敲定了這些形狀的名字。

 參見 

 正多面體
 星形多面體

 參考文獻 

 J. Bertrand, Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 46 (1858), pp. 79–82, 117.
 Augustin-Louis Cauchy, Recherches sur les polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, 68-86, 1813.
 Arthur Cayley, On Poinsot's Four New Regular Solids. Phil. Mag. 17, pp. 123–127 and 209, 1859.
 John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetry of Things 2008,  (Chapter 24, Regular Star-polytopes, pp. 404–408)
 Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995,   
 (Paper 1) H.S.M. Coxeter, The Nine Regular Solids [Proc. Can. Math. Congress 1 (1947), 252–264, MR 8, 482]
 (Paper 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
 P. Cromwell, Polyhedra, Cabridgre University Press, Hbk. 1997, Ppk. 1999.
 Theoni Pappas, (The Kepler–Poinsot Solids) The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p. 113, 1989.
 Louis Poinsot, Memoire sur les polygones et polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, pp. 16–48, 1810.
 Lakatos, Imre; Proofs and Refutations, Cambridge University Press (1976) - discussion of proof of Euler characteristic
 , pp. 39–41.
 John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008,  (Chapter 26. pp. 404: Regular star-polytopes Dimension 3)
  Chapter 8: Kepler Poisot polyhedra

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