概形

概形（）是代數幾何學中的一個基本概念。概形是由亞歷山大在他1960年的论文《代數幾何基礎》中提出的，其中一個目的是為了解決代数几何中的一些問題，例如Introduction of the first edition of "Éléments de géométrie algébrique".。建立在交換代數的基礎之上，概形理論允許使用拓扑学、同調代數中有系統的方法。概形理論也將許多代數幾何和數論的問題統一，這也使得懷爾斯得以證明费马最后定理。

 定義 
給定一個局部賦環空間，如果對的一個開集，是仿射概形，稱爲仿射開集。

一個局部賦環空間稱爲概形，如果的每一點都有仿射開邻域，即包含的仿射開集。

直觀上說，概形是由仿射概形粘起來得到的，正如流形是由歐幾里得空間粘起來得到的。

兩個概形之間的態射就是它們作爲局部賦環空間的態射。

 概形範疇 
全體概形構成範疇，其態射取為局部賦環空間之間的態射（另見）。給定概形，所謂之上的概形（又稱-概形）即是概形間的態射。交換環上的概形即是態射。

域上的代數簇可定義為上的滿足特定條件的概形，但對於具體何種概形可稱為簇，有不同約定，其中一種定義為之上的整、分離概形。.

態射確定了正則函數環上的拉回同態。對於仿射概形，此構造給出概形態射與環同態之間的一一對應。此意義下，概形論包含了交換環論的全部內容。

由於是的始对象，概形範疇對應以為終對象。對於交換環上的概形，所謂的值點即是態射的，全體值點的集合記作，其對應的古典概念是定義的方程組在中的解集。若實為域，則亦稱為的-集。

推而廣之，設有交換環，其上有概形和交換代數，則的值點定義為之上的態射（該態射需要與射向的態射組成交換圖表），值點的集合記作。（類比到方程組的情況，相當於將某個域擴張成，再考慮中的解集。）固定及其上的概形時，映射為自交換代數範疇至集合範疇的函子。上的概形可從此確定。

總存在：對任意兩態射，皆可在概形範疇內找到纖維積（即範疇學拉回）。若為域上的概形，則兩者在上的纖維積可以視為-概形範疇中的積，例如仿射空間與在上之積正是。

由於概形範疇既有纖維積，又有終對象，其有齊全部有限极限。

 歷史 
概形的概念是由亞歷山大·格羅滕迪克在20世紀50年代引入的。一開始稱為“預概形”（法語：，英語：），1967年左右改稱現名。

概形的中文名稱源自日文“概型”。

 例 
仿射概形的開子集不一定仿射，因此需要考慮（非仿射的）一般概形。例如，設（基域取複域為例），則當時，不為仿射。（但對於的情況，仿射直線挖去原點，同構於仿射概形。）欲證非仿射，可以證出當時，上的每個正則映射，皆可延拓至上。（對正則映射較易證明；對解析函數，則是複分析的）。換言之，嵌入導出自至的環同構。假若仿射，將由此得出本身亦為同構，但不為滿射，矛盾。因此，概形不為仿射。
 設為域，則可數積的譜為仿射概形，底下的拓撲空間為正整數集（離散）的斯通-切赫緊化，因為質理想與正整數集上的超滤子一一對應：超濾子對應質理想

特別地，正整數對應的主超濾子，對應的質理想是。本例仿射概形為零維空間，故而每點自成一個。由於仿射概形皆擬緊，本例是擬緊但具有無窮多個既約分支的概形。（則與之相對，衹有有限多個既約分支。）

 參考文獻 

參見
 《代數幾何基礎》

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