網 (數學)

在拓撲學和數學的相關領域裡，網（）是序列的廣義化，用來統一極限不同的概念和將其廣義至任意的拓撲空間。網的極限對一般拓撲空間扮演的角色，就好比序列的極限之於第一可數空間（例如度量空間）。

一個序列通常以為全序集合的自然數做為索引。網廣義化了此一概念，以把索引集合上的次序关系削弱成有向集合。

網於西元1922年首次由E. H.摩爾與提出。另一相關的概念－濾子則於西元1937年由昂利·嘉當所發展。

定義

設X是一拓撲空間，X中的網是指一由某一有向集合A到X的函數。

設A是一有向集合，通常會把由A到X的網寫成(xα)，以用來表示A的元素α映射到X的元素xα上。通常用≥來標記由A所給定的二元關係。

例子

當自然數是一有向集合且序列是定義域為自然數的函數時，每一序列都會是一個網。

另一重要例子如下。給定拓撲空間上的一點x，讓Nx標記為所有包含x的鄰域的集合。然後，Nx會是個有向集合，其方向由內含的顛倒給定，即S ≥ T當S包含在T裡時。對在Nx內的S，讓xS標記為S內的一點。然後，xS便會是一個網。當S對≥而言為增加時，網內的點sS會被限制在x的遞減鄰域內，直觀地說，這使得xS在某些意義上時必須趨向x。下面將把這一極限的概念講述的更清楚。

網的極限

若(xα)是一由有向集合A到X的網，且若Y是X的子集，則我們說(xα)是最終於Y，若存在一在A內的α能使得任一在A內會有β ≥ α的β，其點xβ會在Y內。

若(xα)是拓撲空間X內的一網，且x是X的一元素，我們說這一個網收斂至x或稱有極限x，並寫做
lim xα = x
若且唯若
對任一x的鄰域U，(xα)會最終於U。
直觀地說，這表示xα會很靠近x，若α取得夠大。

注意，上述所舉的在一點x的邻域系统上的網根據定義是會確實地收斂至x了。

網的極限的例子

 收斂數列
實變數的函數極限：limx → c f(x)。這裡，我們根據距c的距離在集合R\{c}內取向。
黎曼和的網的極限，用來黎曼積分的定義上。在此例子中，其有向集合為積分區間分割的集合，以內含以其偏序。相似的事情也被用來黎曼-斯蒂爾吉斯積分的定義上。

追加定義

若D和E為有向集合，且h為一由D到E的函數，則h被稱為共尾，若對任一在E內的e，總存在一在D內的d會使得當q為D的元素且q ≥ d時，h(q) ≥ e。換句話，其值域h(D)會共尾於E。

若D和E為有向集合，h為由E到E的共尾函數，且φ是以E為基的集合X的網，則φoh稱做φ的子網。所有的子網都是這種類型，依其定義。

若φ是一以有向集合D為底的集合X的網，且A為X的子集，則φ頻繁地在A，當對於任一在D內的α，存在一在D的β且β ≥ α以使φ(β)在A內。

集合X的網φ稱做普遍的（或超網），若對於任一X的子集A，φ會最終於A或會最終於X-A。

性質
幾乎所有拓撲概念都能以網與極限的語言表述。這可以作為直覺的南鍼，因為網的極限在概念上近於序列的極限，後者在度量空間理論中被廣泛地運用。

 拓撲空間之間的函數在一點連續若且唯若對於每個網，若

則有

若將「網」換為「序列」，則此定理一般非真。當空間非第一可數時，必須考慮比自然數集更廣的有向集。

 一般而言，空間的網可以有多個極限。當為豪斯多夫空間時，極限是唯一的；反之，若非豪斯多夫空間，則存在中的一個網，使得它有兩個不同極限，因此豪斯多夫性質可以用網的極限刻劃。注意到此結果有賴於有向條件，以一般的預序或偏序為指標的集合仍可能有多個極限。
 給定子集合，則屬於的閉包若且為若存在網，使得而且為其極限。因此可以用網與極限刻劃閉包運算，從而刻劃開集與閉集。
 空間是緊緻的，若且唯若每個網都有個有極限的子網。這是波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理與海涅-博雷尔定理的推廣。
 乘積空間中的網的極限由其投影決定：若，則若且唯若
 若是連續函數，是超網，則亦然。

另見

濾子的理論也提供了在一般拓撲空間內有關收斂的定義。

在一致空間（例如度量空間）中，可以將柯西序列的定義推廣為柯西網，由此導出柯西空間的定義。网 (xα)是柯西网，如果对于所有周围V存在γ使得对于所有α, β ≥ γ，(xα, xβ)是V的成员。

參考

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