无量纲量

在量綱分析中，無量綱量（dimensionless quantity）又称-{zh-hans:无因次量; zh-hant:無量綱量}-、量纲为一的量https://www.termonline.cn/word/6875/1#（quantity of dimension one）指的是沒有量綱的量。它是個單純的數字，量綱為1。

無量綱量在數學、物理學、工程學、經濟學以及日常生活中（如數數）被廣泛使用。一些廣為人知的無量綱量包括圓周率（π）、歐拉常數（e）和黃金分割率（φ）等。與之相對的是有量綱量，擁有諸如長度、面積、時間等單位。

無量綱量常寫作兩個有量綱量之積或比，但其最終的綱量互相消除後會得出無量綱量。比如，應變是量度形變的量，定義為長度差與原先長度之比。但由於兩者的量綱均為L（長度），因此相除後得出的量是沒有量綱的。

屬性
 雖然無量綱量本身沒有量綱，但是它也有時被加以無量綱的單位。在分子和分母使用同樣的單位（kg/kg或mol/mol），有時可以幫助表達所測量的數值（如質量百分濃度或摩爾分數等）。某些量還可以表示為不同的單位之比，但這兩個單位的量綱相同（如光年除以米）。這種做法可以用於計算圖表中的斜率，或者進行單位轉換。這樣的寫法並不意味著存在量綱，而只不過是符號表達上的慣例。其他常用的無量綱量有：%=0.01，百分比；‰=0.001，千分比；ppm=10−6，百萬分比；ppb=10−9，十億分比；ppt=10−12，兆分比（萬億分比）以及角單位（度、弧度、百分度）等等。

 兩個具有相同量綱之比是沒有量綱的，而且無論用甚麼單位計算，該量還是不變的。例如，如果物體A對物體B施大小為F的作用力，那B也會向A施大小為f的力。兩個力的比率F/f永遠等於1（見牛頓第三定律），而不取決於測量F和f所用的單位。這是因為物理中一個重要的假設：物理定律是獨立於人們選用的單位制的。如果以上的F/f不經常等於1，而在我們從國際單位制轉用厘米-克-秒制時改變了的話，這就意味著牛頓第三定律的真偽要看我們選取哪一種單位制，而這就與假設矛盾了。這一假設是白金漢π定理的基礎，其表述為：所有物理定律均能以數個無量綱量的數學組合（加、減、乘、除等等）寫成恆等式。如果無量綱量組合後的值在替換所用單位制後改變了的話，那麼白金漢π定理就不成立了。

 白金漢π定理 
白金漢π定理的另一項推論為，如果n個變數之間有某種函數關係，而這些變數中有k個獨立的量綱，則可以產生p = n − k個獨立的無量綱量。

 例子 
某磁力攪拌器的電功率是被攪拌液體的密度和黏度、攪拌器的直徑及攪拌速度的函數。因此這裡共有n = 5個變量

這n = 5個變量共由以下k = 3個量綱組成：
 長度：L (m)
 時間：T (s)
 質量：M (kg)

根據該定理，通過組合這n = 5個變量，可以得出p = n − k = 5 − 3 = 2個獨立的無量綱量。此例中的這兩個無量綱量分別為：

 雷諾數（描述流體流動的無量綱量）
 功率數（描述攪拌器，同時包含流體密度的無量綱量）

例子
 在10個蘋果中，有1個是壞了的。總蘋果數中壞蘋果的比例為1個蘋果/10個蘋果= 0.1 = 10%，這是個無量綱量。
 角：角的定義為，以圓心為頂點劃出的弧的長度除以某另一長度。這個比率由長度除以長度所得，因此是個無量綱量。當所用的（無量綱）單位為弧度時，那個「另一長度」就是圓的半徑。當單位為角度時，「另一長度」就是圓周長的360分之1。
 圓周率是個無量綱量，定義為圓周長與直徑之比。該數值無論在用甚麼單位量度這些長度時（厘米、英里、光年等等）都會是相同的，只要周長和直徑以同樣的單位量度。

 無量綱量列表 
下表中所有的量均為無量綱量：
 名稱  標準符號  定義  應用範疇 阿贝数  V  光學（光的色散） 活度系數 γ  化學（活躍分子或原子佔總數之比） 反照率    氣候學、天文學 勞侖茲因子   相對論 阿基米德數 Ar  密度差造成的流體運動 阿倫尼烏斯數    活化能與熱能之比 相對原子質量 M  化學 伯格诺德数  Ba  固體塊的流動（如米粒或沙子）Bagnold number  比贊數（熱力學） Be  熱傳導不可逆性與由於熱傳導和流體阻力的總不可逆性之比 比贊數（流體力學） Be  沿著通道的壓力差 賓漢數  Bm  屈服應力與黏滯應力之比 毕奥数  Bi  固體的表面傳導率與體積傳導率之比   Bl或B   流體穿過多孔介質時慣性相對黏滯力的重要性 博登斯坦数  Bo    停留時間的分佈 邦德數 Bo  由浮力推動的毛細作用Bond number  布林克曼數  Br  從容器壁到黏性流體的熱傳導 Brownell-Katz數   毛細管數和邦德數的組合 毛細管數  Ca  受表面張力影響的流體流動      磁對流，用以表達洛伦兹力與黏度之比 靜摩擦係數   物體間的靜摩擦 動摩擦係數   物體互相滑動時的摩擦 柯尔伯恩j因数   熱傳導的無量綱係數 庫朗數
    雙曲型偏微分方程之解Courant–Friedrich–Levy number  达姆科勒数  Da  反應時間與共振時間之比 阻尼比  系統中阻尼的程度 達西阻力係數 或  流體流動 狄恩数 D  彎曲管道中的流體渦 底波拉数  De  粘彈性流體的流動學 分貝  dB  兩個強度之比，通常用於聲音 阻力系數   流動阻力 Dukhin數  Du  異質系統中表面電導率與體積電導率之比 歐拉常數 e  數學 埃克特数  Ec  熱對流傳導 埃克曼数  Ek  地球物理學（黏質阻力） 彈性  E  經濟學，常用於量度供給和需求如何受價格變化的影響 厄特沃什数  Eo  判斷汽泡或液滴形狀 埃里克森数  Er  液晶流動特性 歐拉數 (物理學) Eu  流體動力學（壓力與慣性力之比） 過量溫度係數  Θr  熱力學與流體動力學   f  管道中的流體流動 费根鲍姆常数   混沌理論（週期倍增） 精細結構常數    量子電動力學 焦比    光學、攝影 Foppl-von Karman數   薄壳失稳 傅里叶数 Fo  熱傳導 菲涅耳数 F  狹縫衍射Fresnel number  福禄数  Fr  波和表面行為 增益   電子學（信號輸出與信號輸入之比） 速比   單車傳動 伽利莱数  Ga  引力造成的黏質流動 黃金分割比    數學、美學 格雷茨数  Gz  熱流 格拉斯霍夫数  Gr  自由對流 重力耦合常數    重力 八田數  Ha  化學反應造成的吸附增強 哈根數 Hg  強制對流 水力梯度  i  地下水流動 雅各布数  Ja 液汽相变時所吸收的顯能與潛能之比 Karlovitz數   湍流燃烧 Kc數    震盪流場中物體的阻力與慣性之比 克努森数  Kn  分子平均自由程長度與某代表性長度之比 尿素清除指數  Kt/V  醫學 Kutateladze數  K  兩相逆流 拉普拉斯数  La  混溶流體中的自由對流 路易斯数  Le  質量擴散率與熱擴散率之比 升力係數    在某攻角下翼型的升力 Lockhart-Martinelli參數
    濕氣的流動 Lockhart–Martinelli parameter  乐甫数   地球的硬性 伦德奎斯特数    ratio of a resistive time to an Alfvén wave crossing time in a plasma 马赫数  M  氣體動力學 磁雷诺数    磁流体力学 曼宁糙率系数
  n  開放管道流體流動（由引力推動） 马兰戈尼数  Mg  由熱表面張力偏差引起的马兰戈尼流 莫顿数  Mo  判斷汽泡或液滴形狀 彭巴數    溶液冷凍時的熱傳導與擴散   Mpemba number 努塞尔特数  Nu  強制對流下的熱傳導 奥内佐格数  Oh  液體霧化，马兰戈尼流 佩克莱特数  Pe  平流-擴散問題，總動量傳遞和分子熱傳遞之間的關係 剥离数   微觀結構與底物的黏附作用 導流係數 K  在帶電離子束中空間電荷的強度 圓周率    數學（圓周長與直徑之比） 泊松比    彈性（橫向與縱向負荷） 多孔性    地質學 功率因數  電子學（有功功率与视在功率之比） 功率數    攪拌器的功率消耗 普兰特数   黏性擴散率與熱擴散率之比 壓力係數    翼型上某個點的壓力 品質因子    描述振子的阻尼 弧度      量度平面角， 瑞利数    自由對流中的浮力和黏滯力 折射率  n  電磁學、光學 雷诺数    流體的慣性力與黏滯力之比 比重  RD  比重計，物質間的比較 理查逊数  Ri  浮力對流動穩定性的影響Richardson number  洛氏硬度  硬度 滚动阻力系数  Crr  車輛動力學 罗斯贝数   地球物理學中的慣性力，描述科里奧利力的影響程度 劳斯数 Z或P  沈積物流移 施密特数 Sc  流體動力學（質量轉移與擴散）Schmidt number  形狀因數  H  边界层流動中排移厚度與動量厚度之比 舍伍德数  Sh  強制對流中的質量轉移 希尔兹參數  τ∗或θ  流體運動造成的沈積物流移的臨界 索默菲德数   邊層潤滑 斯坦顿数  St  強制對流中的熱傳遞 斯蒂芬数  Ste  相變時的熱傳遞 斯托克斯数  或  流體流中的粒子動力學 應變
    材料科学、彈性 斯特劳哈尔数  St或Sr  持續並脈動的流體流動Strouhal number  泰勒数  Ta  旋轉的流體流動 Ursell數  U  在淺流體層上表面引力波的非線性度 Vadasz數  Va  在多孔介質中流體流動時，該數影響多孔性、普兰特数以及達西阻力係數 范特霍夫因子  i  化學定量分析（Kf及Kb） Wallis參數  J*  多相流體流動時的表現速 韦伯数  We  表面極為彎曲的多相流體流動 魏森贝格数  Wi  粘彈性流體流動Weissenberg number  沃默斯利数   持續並脈動的流體流動Womersley number 

 無量綱的物理常數 
一些基本物理常數，如真空中的光速、萬有引力常數、普朗克常數和波兹曼常数等等，在適當挑選時間、長度、質量、電荷及溫度等單位後，可以歸一（數值為1）。這種單位制被稱為自然單位制。不過不可能在每一個單位制中都把所有的物理常數歸一，剩餘的量必須以實驗判定。這些剩餘的量包括：
 α：精細結構常數，電磁交互作用的耦合常数，α ≈ 1/137；
 μ或β：質子與電子的不變質量之比，可更廣義地指所有基本粒子相對電子的不變質量之比，μ ≈ 1836；
 αs：強相互作用的耦合常數；
 αG：重力的耦合常數，αG ≈ 1.75×10−45。

注释

 參見 
 量綱分析
 標準化
 白金漢π定理

 参考文献 

 外部連結 
 John Baez, "How Many Fundamental Constants Are There? "
 Huba, J. D., 2007, NRL Plasma Formulary: Dimensionless Numbers of Fluid Mechanics.  Naval Research Laboratory. p. 23 , 24 , 25 
 Sheppard, Mike, 2007, "Systematic Search for Expressions of Dimensionless Constants using the NIST database of Physical Constants."

Category:物理常數