矩陣乘法

数学中，矩阵乘法（）是一种根据两个矩阵得到第三个矩阵的二元运算，第三个矩阵即前两者的乘积，称为矩阵积（）。设是的矩阵，是的矩阵，则它们的矩阵积是的矩阵。中每一行的个元素都与中对应列的个元素对应相乘，这些乘积的和就是中的一个元素。

矩阵可以用来表示线性映射，矩阵积则可以用来表示线性映射的复合。因此，矩阵乘法是线性代数的基础工具，不仅在数学中有大量应用，在应用数学、物理学、工程学等领域也有广泛使用。

一般矩陣乘積

矩陣相乘最重要的方法是一般矩陣乘積。它只有在第一個矩陣的和第二個矩陣的相同時才有定義。一般單指矩陣乘積時，指的便是一般矩陣乘積。若為矩陣，為矩陣，則他們的乘積(有時記做）會是一個矩陣。其乘積矩陣的元素如下面式子得出：

以上是用矩陣單元的代數系統來說明這類乘法的抽象性質。本節以下各種運算法都是這個公式的不同角度理解，運算結果相等：

由定義直接計算

left

左邊的圖表示出要如何計算的和元素，當是個矩陣和B是個矩陣時。分別來自兩個矩陣的元素都依箭頭方向而兩兩配對，把每一對中的兩個元素相乘，再把這些乘積加總起來，最後得到的值即為箭頭相交位置的值。

向量方法

這種矩陣乘積亦可由稍微不同的觀點來思考：把向量和各係數相乘後相加起來。設和是兩個給定如下的矩陣：



其中
是由所有元素所组成的向量(column)，是由所有元素所组成的向量，以此类推。
是由所有元素所组成的向量(row)，是由所有元素所组成的向量，以此类推。

則

舉個例子來說：

左面矩陣的列為為係數表，右邊矩陣為向量表。例如，第一行是[1 0 2]，因此將1乘上第一個向量，0乘上第二個向量，2則乘上第三個向量。

向量表方法

一般矩陣乘積也可以想為是行向量和列向量的內積。若和為給定如下的矩陣：

且

其中，这里
是由所有元素所組成的向量，是由所有元素所組成的向量，以此類推。
是由所有元素所組成的向量，是由所有元素所組成的向量，以此類推。

则

即

性質
矩陣乘法是不可交換的（即），除了一些較特別的情況。很清楚可以知道，不可能預期說在改變向量的部份後還能得到相同的結果，而且第一個矩陣的列數必須要和第二個矩陣的行數相同，也可以看出為什麼矩陣相乘的順序會影響其結果。

雖然矩陣乘法是不可交換的，但和的行列式總會是一樣的（當、是同樣大小的方陣時）。

當、可以被解釋為線性算子，其矩陣乘積會對應為兩個線性算子的複合函數，其中B先作用。

在試算表中做矩陣乘法

以 Google Sheet 為例，選取儲存格範圍或者使用陣列，在儲存格輸入=MMULT({1,0,2;-1,3,1},{3,1;2,1;1,0})在某些試算表軟體中必須必須按 將儲存格內的變數轉換為陣列

純量乘積

矩陣和純量的純量乘積的矩陣大小和一樣，的各元素定義如下：



若我們考慮於一個環的矩陣時，上述的乘積有時會稱做左乘積，而右乘積的則定義為


當環是可交換時，例如實數體或複數體，這兩個乘積是相同的。但無論如何，若環是不可交換的話，如四元數，他們可能會是不同的。例如，

阿達馬乘積

給定兩個相同維度的矩陣可計算有阿達馬乘積（），或稱做逐項乘積、分素乘積（element-wise product, entrywise product）。兩個矩陣、的阿達馬乘積標記為，定義為
的矩陣。例如，

需注意的是，阿達馬乘積是克羅內克乘積的子矩陣。

克羅內克乘積

給定任兩個矩陣和，可以得到兩個矩陣的直積，或稱為克羅內克乘積，其定義如下

當是一矩陣和是一矩陣時，會是一矩陣，而且此一乘積也是不可交換的。

舉個例子，


若和分別表示兩個線性算子和，便為其映射的張量乘積，

 共同性質 
上述三種乘積都符合結合律：

以及分配律：


而且和純量乘積相容：



注意上述三個分開的表示式只有在純量體的乘法及加法是可交換（即純量體為一可交換環）時會相同。

另見
 Strassen演算法（1969）
 Winograd演算法（1980）
 Coppersmith–Winograd演算法（1990）
 邏輯矩陣
 矩陣鏈乘積
 逆矩陣
 關係複合
 BLAS
 矩陣加法
 矩阵微积分

外部連結

 WIMS Online Matrix Multiplier 
 Animated Matrix Multiplication Examples (purplemath) 
 Matrix Multipication in Javascript （works in Firefox）

參考

其它参考文献包括：

 Strassen, Volker, Gaussian Elimination is not Optimal, Numer. Math. 13, p. 354-356, 1969.
 Coppersmith, D., Winograd S., Matrix multiplication via arithmetic progressions, J. Symbolic Comput. 9, p. 251-280, 1990.
 Horn, Roger; Johnson, Charles: "Topics in Matrix Analysis", Cambridge, 1994.
 Robinson, Sara, Toward an Optimal Algorithm for Matrix Multiplication, SIAM News 38(9), November 2005.

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Category:乘法
Category:双线性算子

de:Matrix (Mathematik)#Matrizenmultiplikation