水仙花数

在数论中，水仙花数（Narcissistic number）Perfect and PluPerfect Digital Invariants  by Scott Moore，也被稱為超完全数字不变数（pluperfect digital invariant, PPDI） PPDI (Armstrong) Numbers by Harvey Heinz、自戀數、自幂數或阿姆斯特朗數（Armstrong number）Armstrong Numbersl by Dik T. Winter ，用来描述一个N位非负整数，其各位数字的N次方和等于该数本身。

水仙花数的定义
设有自然数n，d为该自然数各位数字，即 n = dkdk-1...d1 ，则有：

n = dk·10k-1 + dk-1·10k-2 + ... + d2·10 + d1,

如果该自然数n满足条件：

n = dkk + dk-1k + ... + d2k + d1k.

则这个自然数就被称为超完全数字不变数。
例如153、370、371及407就是三位超完全数字不变数，其各个数之立方和等于该数：

153 = 13 + 53 + 33。
370 = 33 + 73 + 03。
371 = 33 + 73 + 13。
407 = 43 + 03 + 73。

若將條件放寬，一個N位数，其各个数之M次方和等于该数，M和N不一定相等，這樣的數稱為完全數字不變數（perfect digital invariant） PDIs by Harvey Heinz，例如數字4150等於各位數字的5次方。

4150 = 45 + 15 + 55 + 05,

水仙花数一定是完全數字不變數，但完全數字不變數不一定是水仙花数。
严格意义来说水仙花数指三位数。

定義

設  為一自然數。定義基數  的 水仙花函數  如下：

其中  為數字在基數  下的位數，  

表示數字的各位數值。若自然數  為  的 不动点，即 ，則稱  為 水仙花數。  
範圍  的自然數為 平凡水仙花數，其他水仙花數則為 非平凡水仙花數。

舉例，數字 153 在基數  下是水仙花數，因為  且 。

若自然數  為  的 周期点，且存在正整數  使 （其中  為  的第  次迭代），則稱  為 社交性水仙花數，其形成的序列週期為 。  
 當  時，社交性水仙花數即為普通水仙花數。  
 當  時，稱為 友好水仙花數。

所有自然數  不論基數大小都是  的前週期點。  
理由如下：  
 對給定位數 ，最小可能值為 ，最大可能值為 。  
 水仙花函數的值為 。  

因此，水仙花數必須滿足不等式：  
。  
兩邊同時乘以  得：  
，  
等價於 。  

由於 ，存在一個最大位數  使 。  
超過此位數時，必然 。  
因此，水仙花數是有限個，自然數一定會收斂到小於  的週期點或不動點，成為前週期點。  
以  為例，最大水仙花數小於 。

數字  經過多少次迭代  才能到達不動點，即為水仙花函數的韧性，若永不達到不動點則未定義。

基數  至少存在一個兩位數水仙花數当且仅当  非質數，且兩位數水仙花數的數量為 ，其中  為正整數 n 的因數個數。

每個基數  且非九的倍數，都至少有一個三位數水仙花數。不存在三位數水仙花數的基數為：  
2, 72, 90, 108, 153, 270, 423, 450, 531, 558, 630, 648, 738, 1044, 1098, 1125, 1224, 1242, 1287, 1440, 1503, 1566, 1611, 1620, 1800, 1935, ... 

10 進位中共有 88 個水仙花數，其中最大者為：  
115,132,219,018,763,992,565,095,597,973,971,522,401  
共 39 位數。

部分水仙花数
十進制下的水仙花数

十进制的水仙花數共有89個，最大的是

115,132,219,018,763,992,565,095,597,973,971,522,401

共有39位數。

完整的十进制水仙花数列表如下：

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
153
370
371
407
1634
8208
9474
54748
92727
93084
548834
1741725
4210818
9800817
9926315
24678050
24678051
88593477
146511208
472335975
534494836
912985153
4679307774
32164049650
32164049651
40028394225
42678290603
44708635679
49388550606
82693916578
94204591914
28116440335967
4338281769391370
4338281769391371
21897142587612075
35641594208964132
35875699062250035
1517841543307505039
3289582984443187032
4498128791164624869
4929273885928088826
63105425988599693916
128468643043731391252
449177399146038697307
21887696841122916288858
27879694893054074471405
27907865009977052567814
28361281321319229463398
35452590104031691935943
174088005938065293023722
188451485447897896036875
239313664430041569350093
1550475334214501539088894
1553242162893771850669378
3706907995955475988644380
3706907995955475988644381
4422095118095899619457938
121204998563613372405438066
121270696006801314328439376
128851796696487777842012787
174650464499531377631639254
177265453171792792366489765
14607640612971980372614873089
19008174136254279995012734740
19008174136254279995012734741
23866716435523975980390369295
1145037275765491025924292050346
1927890457142960697580636236639
2309092682616190307509695338915
17333509997782249308725103962772
186709961001538790100634132976990
186709961001538790100634132976991
1122763285329372541592822900204593
12639369517103790328947807201478392
12679937780272278566303885594196922
1219167219625434121569735803609966019
12815792078366059955099770545296129367
115132219018763992565095597973971522400
115132219018763992565095597973971522401

十二進制下的水仙花數

25:22+52=25
A5:A2+52=A5
577:53+73+73=577
668:63+63+83=668
A83:A3+83+33=A83
14765:15+45+75+65+55=14765
938A4:95+35+85+A5+45=938A4

顯然，任何一位數（從1到B）都是水仙花數，另外，在十二進制中，不存在四位數的水仙花數。

 三进制中的这样的数有：0、1、2、12、122
 四进制中的这样的数有：0、1、2、3、313

参考资料

 Rose, Colin (2005), Radical narcissistic numbers, Journal of Recreational Mathematics,  33(4), 2004-2005, pages 250-254.
 Perfect Digital Invariants by Walter Schneider
 On a curious property of 3435  by Daan van Berkel

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