同调

数学上（特别是代数拓扑和抽象代数），同调 （homology，在希腊语中homos = 同）是一类将一个可换群或者模的序列和特定数学对象（例如拓扑空间或者群）联系起来的过程。背景知识请参看同调论。

对于一个特定的拓扑空间，同调群通常比同伦群要容易计算得多，因此通常来讲用同调来辅助空间分类要容易处理一些。

同调群的构造

其过程如下：给定对象，首先定义链复形，它包含了的信息。一个链复形是一个由群同态联系起来的可换群或者模的序列，群同态满足任何两个相连的同态的复合为0: 对于所有成立。这意味着第个映射的像包含在第个映射的核中，我们定义的阶同调群为商群（商模）

链复形称为正合的，如果（）阶映射的像总是等于阶映射的核。因此的同调群是衡量所关联的链复形离正合有“多远”的障碍。

非正式的例子

非正式地，拓扑空间X的同调是X的拓扑不变量的集合，用其同调群来表示

其中第个同调群描绘了中的维圈 (cycle)，实现为维圆盘边界 (boundary) 的障碍。0维同调群刻画了两个零维圈，也即点，实现成一维圆盘，也即线段的边界的障碍，因此刻画了中的道路连通分支。


一维球面 是一个圆。它有一个连通分支和一个一维圈，但没有更高维圈。其对应的同调群由下式给出

其中表示整数加群，表示平凡群。表示的一阶同调群为由一个元素生成的有限生成阿贝尔群，其唯一的生成元表示圆中包含的一维圈。


二维球面有一个连通分支，零个一维圈，一个二维圈（即球面），无更高维的圈，其对应的同调群为

一般地，对维球面，其同调群为

二维实心球有一个道路连通分支，但与圆不同的是，没有一维或更高维的圈，其对应的同调群除了零阶同调群以外，其余阶的同调群均为平凡群。


环面被定义为两个圆的笛卡尔积。环面有一个道路连通分支，两个独立的一维圈（在图中以红圈和蓝圈分别标出），以及一个二维圈（环面的内部）。其对应的同调群为

两个独立的一维圈组成了一组有限生成阿贝尔群的独立生成元，表示为笛卡尔积群.

 例子 

引入同调的概念可以用单纯复形的单纯同调：设为中的维可定向单纯形生成的自由交换群或者模，映射映射称为边缘映射 (boundary map)，它将维单纯形

映射为如下交错和



，其中表示限制在对应的面 (face)上。如果我们将模取在一个域上，则的阶同调的维数就是中维圈的个数。

仿照单纯同调群，可以定义任何拓扑空间的奇异同调群。我们定义的上同调的链复形中的空间为为自由交换群（或者自由模），其生成元为所有从为单纯形到的连续函数。同态从单纯形的边缘映射得到。

同调代数中，同调用于定义导出函子，例如，Tor函子。这里，我们可以从某个可加协变函子和某个模开始。的链复形定义如下：首先找到一个自由模和一个满同态。然后找到一个自由模和一个满同态。以该方式继续，得到一个自由模和同态的序列。将函子应用于这个序列，得到一个链复形；这个复形的同调仅依赖于和，并且按定义就是作用于的n阶导出函子。

 同调函子 

链复形构成一个范畴：从链复形到链复形的态射是一个同态的序列，满足对于所有成立。阶同调 可以视为一个从链复形的范畴到可换群（或者模）的范畴的协变函子。 

若链复形以协变的方式依赖于对象（也就是任何态射诱导出一个从的链复形到的链复形的态射），则是从所属的范畴到可换群（或模）的范畴的函子。

同调和上同调的唯一区别是上同调中的链复形以逆变方式依赖于，因此其同调群（在这个情况下称为上同调群并记为）构成从所属的范畴到可换群或者模的范畴的逆变函子。

 性质 

若是链复形，满足出有限个外所有项都是零，而非零的都是有限生成可换群（或者有限维向量空间），则可以定义欧拉示性数

（可换群采用阶而向量空间的情况采用哈默尔维数）。事实上在同调水平上也可以计算欧拉示性数:

特别地，在代数拓扑中，欧拉示性数是拓扑空间的重要不变量。

此外，每个链复形的短正合序列

诱导一个同调群的长正合序列

这个长正合序列中的所有映射由链复形间的映射导出，除了映射之外。后者称为连接同态，由蛇引理给出。

 参看 

奇异同调
上同调
同调论
同调代数

 參考文獻 

 有仔細討論單複形、流形的同調論、奇異同調等。

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