範疇 (數學)

在范畴论中，范畴这一概念代表一些数学对象及这些对象间的一些关系，以及这些关系之间的关系。利用范畴可以公式化抽象结构并保留结构上的关系，如运算。范畴几乎可以出现于现代数学的任意分支，同时也统合了这些分支的底层理念。对范畴本身的研究就称作范畴论。

定義

 范畴 
一个范畴  意指资料 ，其中：
 一個由对象（Object）所構成的類 ；
 物件間的态射（Morphism）所構成的類 。每一個態射  均蕴含确定的「始对象（Domain）」 和「终对象（Codomain）」，且 。此时记 ，称  为从  到  的一个态射。所有由  至  的态射构成类，记作 ，不致混淆时，也记作 ；
 对任意态射对  有态射复合  如下：

其中， 在不致混淆时也记作 。

此態射複合滿足下列公理：
 （結合律）对态射 ， 和 ，有 ；
 （幺元）对任意对象 ，存在一态射 ，使得对任意态射 ，均满足 。态射  称作「 的单位态射」。

根据上述公理可以证明，对每个特定对象而言，单位态射具唯一性。
显然， 和  间自然地存在三个映射：，，，如图 1 所示。

 小范畴和局部小范畴 
一个范畴  称作小范畴（Small Category），当且仅当其态射类  比真类小，即仅有集合那么大。

一个范畴  称作局部小范畴（Locally Small Category），当且仅当对任意对象对 ，其对应的的态射类  均为非真类的集合。

数学研究中，许多重要的范畴（例如集合的范畴），通常即使非小，也是局部小的。

范畴举例
每一範疇都可由其物件、態射和態射複合來表示。
 所有集合的范畴 ，其態射為集合間的函數，而態射複合則為一般的函數複合。
 所有預序關係的范畴 ，其態射為單調函數。
 所有原群的范畴 ，其態射為原群間的同態。
 所有群的范畴 ，其態射為群同態。
 所有阿貝爾群的範疇 ，其態射為群同態。
 所有環的范畴 ，其態射為環同態。
 所有於體 （維持固定）上的向量空間的范畴 ，其態射為線性映射。
 所有拓樸空間的范畴 ，其態射為連續函數。
 所有度量空間的范畴 ，其態射為度量映射。
 所有一致空間的范畴 ，其態射為一致連續函數。
 所有光滑流形的范畴 ，其態射為  次連續可微映射。
 所有小範疇的范畴 ，其態射為函子。
 所有局部小范畴的范畴 。
 所有集合的关系范畴 ，其態射為關係。
 任一預序集  均蕴含一個小範疇，其对象為  的元，态射为有序对  使得 。
 任一幺半群  均蕴含一个携唯一一个对象  的小范畴 。 以  中的元作为态射，每个态射各自表示  上一个不同的自同态，而态射复合由  的乘法给出。 的幺元  也作为  这唯一一个对象的单位态射存在。可以将范畴这一概念视作幺半群之延伸概念。
 任意有向图蕴含一个自然的小范畴，以图的顶点为对象，有向路径为态射，路径串联为态射复合。这被称作由有向图产生的「自由范畴」。
 若I是一個集合，「在I上的具體範疇」會是個小範疇，其物件為I的元素，而態射則只有單位態射。當然，其態射複合的公理是必然滿足的。

态射类型
一个态射  被称为：

 同构（Isomorphism），当且仅当存在态射 ，满足 ，换言之，存在逆；
 自态射（Endomorphism），当且仅当 ，即  是从  到  自身的态射；
 自同构（Automorphism），当且仅当  同时为同构与自态射；
 单态射（Monomorphism），当且仅当对任意态射 ， 均蕴含 ；
 满态射（Epimorphism），当且仅当对任意态射 ， 均蕴含 ；
  的截面（Section），当且仅当 ，也称作  的右逆（Right Reverse）或分裂单态射（Split Monomorphism）；
  的收缩（Retraction），当且仅当 ，也称作  的左逆（Left Reverse）或分裂满态射（Split Epimorphism）；

也记  上的所有自态射构成类 ，所有自同构构成类 。

下述三个命题是等价的：
  是单态射且是收缩。
  是满态射且是截面。
  是同构。

态射之间的关系（例如 ）可以非常方便地表示为交换图表，其中物件表示为点，态射表示为箭头。

特别的范畴

 子范畴 
给定一个范畴 ，称范畴  为  之子范畴（Subcategory），当且仅当：

 ，
 ，
 同时，态射复合仍然保持。

 群胚 
称  为一群胚（Groupoid），当且仅当其中所有态射为同构。

 群可被定义作具唯一一个对象的群胚；

任意范畴  均内含一个最大群胚（Maximal Groupoid），为包含全部  的对象，而包含且仅包含全部自态射作为态射的子范畴。

对偶范畴
令  为一范畴，规定其对偶范畴  如下：
 以  为 ；
 由如下从  到  的一一对应函子完全生成后者：   



其中满足：。

利用对偶范畴可证明如下的对偶定理：

定理：下列三条定理等价：

  为范畴  中的一个同构（双态射）；
 对所有对象 ， 上的后复合定义了双射 ；
 对所有对象 ， 上的前复合定义了双射 ；

 积范畴 
对任意范畴  和 ，定义其积范畴  如下：

 以形如  的有序对为对象，其中 ，
 以形如  的有序对为态射，同时
 结合律与单位态射也如此被逐分量定义。


 逗号范畴 
给定函子 ，定义其逗号范畴  如下：

 以有序三元组  为对象，

 以有序对  为态射，使得对于每个 ，图 2 在  中交换， 即：使得 。

範疇類型
 在许多范畴中，例如阿贝尔群范畴或向量空间范畴，态射集合  不仅是集合，而且还是阿贝尔群，并且态射的复合与这些阿贝尔群之间的群结构兼容，即复合映射是双线性的。这种范畴称为预可加范畴。如果在此基础上这个范畴还带有所有有限积和上积，那么我们称之为可加范畴。如果更进一步地，所有态射都有核和上核，并且每个满态射都是上核而每个单态射都是核，那么我们称之为阿贝尔范畴。阿贝尔范畴的典型例子是阿贝尔群的范畴。
 范畴是完备的当其拥有所有极限。集合、阿贝尔群、拓扑空间的范畴都是完备的。
 范畴是笛卡尔闭的当其拥有所有有限直积、且有限积上的态射总是可由任一因子上的态射确定。笛卡尔闭范畴包括 Set 和 CPO，即完全偏序和斯科特连续函数组成的范畴。
 拓扑斯是一种特定的笛卡尔闭范畴；所有数学内容都可以用拓扑斯的语言形式化（正如所有经典数学都可以用集合范畴的语言形式化一般）。拓扑斯也可用于表示逻辑理论。

注释

參考文獻

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 Borceux, Francis (1994). Handbook of Categorical Algebra.. Vols. 50-52 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press.
 Lawvere, William, & Schanuel, Steve.（1997）. Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories. Cambridge: Cambridge University Press.
 Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician（2nd ed.）. Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
 Jean-Pierre Marquis, "Category Theory"  in Stanford Encyclopedia of Philosophy , 2006

外部連結
 Homepage of the Categories mailing list, with extensive list of resources
 Category Theory section of Alexandre Stefanov's list of free online mathematics resources

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