中心化子和正规化子

群论中，一個群  的子集  的中心化子（） 是  中與所有  的元素滿足交換律的元素組成的集合；  的正规化子（）  是  中使  關於  的共軛類等於  的元素  組成的集合，此條件較上述中心化子的條件弱。

中心化子和正規化子都是  的子群。它们分别給出對  的元素和  整體的限制。對某些子集  ，这些子群能夠給出關於群  结构的信息。

 定義 

中心化子
令  為一個群，  為   的一個子集，我們定義一個由  中與每一個  的元素  可交換的元素組成的集合，記做 ；換言之，

 。

若  為  的子群且  ，則 。

特別的，當  為單元素集合  時，我們會將其中心化子簡寫為 。

群的中心

群  的中心是  ，通常记作  。一个群的中心既是正规子群也是交换群，而且有很多其它重要属性。我们可以将  的中心化子视作  中最大（用包含关系作為比較大小的依據）的子群  ，使得  属于其中心  。

正规化子

 在  中的正规化子记作  或  。正规化子定义为  。同样的是，  是  的子群。

正规化子得名于  是  中包含  且  为  正规子群的最大子群，其中  是由  生成的子群。

包括  且  為其正规子群的最小的  的子群称为共軛閉包。

如果  ，则子群  称为  的自正规化子群。

性质

若  是交换群，则任何  的子集的中心化子和正规化子都包含  所有的元素；特别地，一个群可交换，当且仅当  。

若  和  是  的任意元素，则  在  中当且仅当  在  中，这又亦等價於  和  可交换（  ）。

若  為單元素集合  ，则 。

 总是  的正规子群：若  属于  而  属于  ，我们需要证明  属于  。
为此，取  属于  并令  。则  属于  ，所以  。注意到  ；以及  。我们有

这也就是要证明的命题。

更一般的，我们有 。

若  是  的子群，则  定理表明因子群  同构于 （ 的自同构群）的子群。

因为， 定理也意味着 同构于 （由所有 的内自同构组成的  的子群）。

如果我们通过  定义群同态 
，则我们可以用在上的群作用来表述和：在中的定点子群就是，而中固定的子群就是。

 共軛類方程 

若  为有限群，考慮  共軛到自身的群作用，並應用軌道-穩定點定理，

G的核為

G的軌道為

類方程：

Z