共轭类

数学上，特别是在群论中，群的元素可以分割成共轭类（）；同一个共轭类的元素有很多共同的属性。非交换群的共轭类有很多关于該群的结构的重要特征。对于交换群，这个概念是平凡的，因为每个类就是一个单元素集合。

在同一个共轭类上取常值的函数称为類函數。

 定义 
對於群  中的元素  和  ，  稱為  關於  的共轭。類似地，對元素  和  ，如果存在元素  使得  ，可以稱  和  共轭。

對由可逆矩陣構成的一般線性群  ，共軛的元素（矩陣）稱為相似矩阵。

共轭是一種等价关系，因此可以  分割为等价类。（这表示群的每个元素属于恰好一个共轭类，而类  和  相等当且仅当  和  共轭，否则不相交。）包含群  中元素  的等价类是

称为  的共轭类。 的类数是不同共轭类的个数。同一個共軛類中的元素的階相同。

 例子 
对称群，由所有3个元素的6个置换组成，拥有三个共轭类：
 恒等 (abc -> abc)表示为(1)
 对换 (abc -> acb，abc -> bac，abc -> cba)表示为(23) (12) (13)
 三阶轮换 (abc -> bca，abc -> cab)表示为(132) (123)

对称群，由4个元素的全部24个置换组成，有5个共轭类：
 恒等
 对换
 三阶轮换
 四阶轮换
 双对换

参看立方体的恰当转动，它可以用体对角线的枚举刻划。

 在矩陣，在同一個共軛類的矩陣稱為相似矩陣。

 属性 

 单位元总是自成一类，也就是说。
 若可交换，则对于所有和属于成立；所以对于属于成立；可见这个概念对于交换群不是很有用。
 若的两个元素和属于同一个共轭类（也即，若它们共轭），则它们有同样的階。更一般地讲，每个关于的命题可以转换成关于的一个命题，因为映射是一个的自同构。
 的一个元素位于的中心当且仅当其共轭类只有一个元素，本身。更一般地讲，若代表中的中心化子，也即，有所有满足的元素组成的子群，则指数等于的共轭类中元素的个数。

 共軛群作用 
令  為群，對任意  ，定義  關於自身的群作用

  。

 在作用  上的軌道是其在群  中的共軛類。元素  的穩定子群等於該元素的中心化子。

類似地，我們可以令  作用在  的所有子集構成的集合，有

  。

又或者是作用在  的子群構成的集合。

 共轭类方程 

若  为有限群，對  的任意元素  ，其共軛類中的元素可以與中心化子  的陪集一一對應。因為同一陪集的任意兩元素  和  （存在  使得  ）對  的共軛相同：

  。

由於  在  上的軌道等於其共軛類，其穩定子群等於其中心化子，上述結論亦可以由軌道-穩定化子定理給出。

 的共轭类的元素个数等於它的中心化子的指數  ，因而整除  的階。

进一步的有，对于任何群  ，从  的每个元素个数大於  的共轭类中取出一个元素来定义一个代表集  。则  是群的中心  以及  中所有元素的共轭类  的不交并集。由此可得群論中重要的类方程：



其中求和取遍对于每个  中的  的  。注意  是  的共軛類的元素个数。该方程经常用于获得关于共轭类或者中心的大小的信息。

 例子 

考虑一个有限的 p-群  （即元素數目为  的群，其中  是一个质数且  ）。我们将证明：每个有限p-群有非平凡的中心。

因为  的任意子群的指數必须整除  的次数，所以每个  等於  的一個幂  ，  。类方程給出



由於  整除  和  ，  必须整除  ，所以 。

 子群和一般子集的共轭 

更一般的来讲，给定任意G的子集S（S不必是子群），我们定义一个G的子集T为S的共轭，当且仅当存在某个g属于G满足T = gSg−1。我们可以定义Cl(S)为所有共轭于S的子集T的集合。

一个常用的定理是，给定任意子集S，N(S)（S的正规化子）的指数等于Cl(S)的次数：

|Cl(S)| = [G : N(S)]

这是因为，如果g和h属于G，则gSg−1 = hSh−1当且仅当gh −1属于N(S)，换句话说，当且仅当g和h属于N(S)的同一个陪集。

注意这个公式推广了前面关于共轭类元素的个数的定理（S = {a}的特殊情况）。

上述定理在讨论G的子群时尤其有用。子群可以由此分为等价类，两个子群属于同一类当且仅当它们共轭。共轭子群是同构的，但是同构子群未必共轭（例如，交换群可以有两个不同的互相同构的子群，但是它们不可能共轭）。

 作为群作用的共轭类 

如果对于任意两个G中的元素g和x定义
g.x = gxg−1
则我们有了一个G在G上的群作用。该作用的轨道就是共轭类，而给定元素的定点子群就是该元素的中心化子。

同样，我们可以定义一个在G的所有子群或者所有子集的集合上的G的群作用如下
g.S = gSg−1。

 参看 
 群
 群作用
 中心化子和正规化子

 参考 
 Herstein, I.N. Abstract Algebra, Wiley, ISBN 0-471-36879-2
 Dummit, David and Richard Foote. Abstract Algebra, Wiley, ISBN 0-471-43334-9
 Lang, Serge. Algebra, Springer, ISBN 0-387-95385-X

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