积空间

在拓扑学的相关领域中，积空间是指一族拓扑空间的笛卡儿积與其配备的自然拓扑结构，這個自然拓扑结构被稱為积拓扑（）。

 無窮積空間 

直觀動機上，一族拓扑空间笛卡儿积，最「自然」的拓撲，應該是使投影映射都是連續函數的最粗拓撲；換句話說，設有集合族  ，具有指標集  與指標函數  ：



且有相應的一族拓扑  與指標函數  ：




若  就是无穷乘积  上滿足需求的那個拓撲，那對於任意指標  ，以下的第  投影映射：




必須對所有開集  須滿足：



也就是說， 必須 - 连续。

首先從  的定義，對任意  有：



那如果取個一對一函數  滿足：




那以上的要求就可以寫為：



也就是除了  取小開集，其他都選全集的無窮乘積，應該也要是  的開集。所以目標所求的最「自然」的拓撲  ，應該是包含：



的最粗拓撲，總結如下：

 有限積空間 
如果指标集为有限，则积拓扑有更简单的表述；這是因為可以免除用函数定義无穷乘积的迂迴途徑，而且還可以應用開集的有限交集為開集的特性。以下仿造上面無窮積空間一節來炮製更簡明的有限积拓扑：

設  都是拓扑空间，若對任意自然数指標  來說，以下的投影映射 ：




對於  上的「自然拓扑 」 ，取任意開集  應滿足：



也就是說， 都應 - 连续。那從  的定義，對任意  有：



換句話說，這個「自然拓撲」必須滿足：

  （）


那稍微推廣一下，對任意滿足以下條件的一對一有限開集序列：




要求：



那因為  （母集合當然是開集合），這樣要求的確可以推得稍早要求的「自然拓撲」條件；反過來，因為：



所以根據開集的有限交集也是開集的性質，「自然拓撲」條件也可以得到剛剛的推廣要求。綜上所述，可以作如下的定義：

 例子 

从实直线R上的标准拓扑开始，定义n份R的乘积，就得到普通的Rn上的欧几里得拓扑。

康托尔集同胚于可数个离散空间{0,1}的乘积而无理数的空间同胚于可数个自然数集的乘积，每个集合也是采用离散拓扑。

 性質 
如果 B1,B2,...,Bn 是拓撲 T1,T2,...,Tn 的基，則集合積 B1 × B2 × ... × Bn 是乘積拓撲 T1 × T2 × ... × Tn 的基。在無限乘積的情況下這仍適用，除了出現有限多個基元素之外全部都必須是整個空間之外。

乘积空间X加上标准投影，可以用如下的泛性质来刻划：若Y是拓扑空间，并且对于每个I中的i，fi : Y → Xi是一个连续映射，则存在恰好一个连续映射f : Y → X满足对于每个I中的i如下交换图成立：
这表明乘积空间是拓扑空间范畴中的积。从上述泛性质可以得出映射f : Y → X连续当且仅当fi = pi o f对于所有I中的i连续。在很多情况下，检查分量函数fi的连续性更为方便。检验映射f : Y→ X是否连续通常更难；可以试着用某种方式利用pi连续这一点。

除了连续，标准投影pi : X → Xi也是开映射。这表示每个积空间的开子集投影到Xi上还是开集。反过来不真：若W是到所有Xi的投影都是开集的积空间的子空间，则W不一定是X中的开集。（例如，W = R2 \ (0,1)2.）标准投影通常不是闭映射。

积拓扑有时称为点式收敛拓扑，因为：X上的一个序列 （或者网）收敛当且仅当它所有到Xi的投影收敛。特别是，如果考虑所有在空间X = RI 对于所有I上的实值函数，在积拓扑上的收敛就是函数的点式收敛。

积拓扑的一个重要定理就是吉洪诺夫定理：任何紧致空间的乘积是紧致的。对于有限乘积很容易證明，而其一般情况等价于选择公理。

 和其它拓扑概念的联系 
 可分离性
 每个T0空间的积是T0的。
 每个T1空间的积是T1的。
 每个豪斯多夫空间的积是豪斯多夫的。
 每个正则空间的积是正则的。
 每个吉洪诺夫空间的积是吉洪诺夫空间。
 正规空间的积不一定是正规的。
 紧致性
 每个紧致空间的积是紧致的（吉洪诺夫定理）
 局部紧致空间的积不一定是局部紧致的。
 连通性
 每个连通（路径－连通）空间是连通的（路径－连通的）。
 每个遗传性不连通空间的积是遗传性不连通的。

每个"局部看起来"一个标准投影F × U → U的空间称为纤维丛。

 参看 
 盒拓扑
 不交并 (拓扑学)
 商空间
 子空间拓扑

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