指数分布

在機率論和統計學中，指數分布（）是一種連續機率分佈。指數分布可以用来建模平均发生率恒定、连续、独立的事件發生的間隔，比如旅客進入機場的時間間隔、電話打進客服中心的時間間隔、中文維基百科新條目出現的時間間隔、機器的壽命等。

 記號 
指數分布即形狀母數  為1的伽瑪分布。

若隨機變數服从母數為或的指数分布，則記作

或 

兩者意義相同，只是與互為倒數關係。只要將以下式子做的替換即可，即，指數分布之機率密度函數為：

或

累积分布函数為：

或

其中是分布的母數，即每单位时间发生该事件的次数；為比例母數，即該事件在每單位時間內的發生率。兩者常被称为率参数（rate parameter）。指数分布的区间是[0,∞)。

 特性 

 期望值与變異數 
随机变量 （ 的母數為  或 ）的期望值是：

例如：如果你平均每个小时接到2次电话，那么你预期等待每一次电话的时间是半个小时。

 的方差是：

 的偏態系数是：

 无记忆性 
指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又稱遺失記憶性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，它的条件概率遵循：

 与泊松过程的关系
泊松過程是一种重要的随机过程。泊松過程中，第  次随机事件与第  次随机事件出现的时间间隔服从指数分布。而根据泊松過程的定义，长度为  的时间段内没有随机事件出现的概率等于
, 
长度为  的时间段内随机事件发生一次的概率等于
，
所以第  次随机事件之后长度为  的时间段内，第  次（）随机事件出现的概率等于。这是指数分布。这还表明了泊松过程的无记忆性。

 四分位数 
率参数  的四分位数函数（Quartile function）是：

 第一四分位数：
 中位数：
 第三四分位数：

因此，四分位距為。

 参数估计 
 最大概似法 
给定独立同分布样本 ， 的似然函数（Likelihood function）是：

其中：
是样本期望値。

似然函数对数的导数是：

参数  的最大概似估計（Maximum likelihood）值是：

參見
拉普拉斯分布（又稱：雙指數分布）
幾何分布

 参考文獻 
 Donald E. Knuth (1998). The Art of Computer Programming, volume 2: Seminumerical Algorithms, 3rd edn. Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-89684-2. pp. 133
 Luc Devroye (1986). Non-Uniform Random Variate Generation. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96305-7. pp. 392–401

外部連結
 指数分布 

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