良序定理

在數學中，良序定理（），或稱 Zermelo 定理，表示「所有集合都可以被良排序」。一集合  被一個嚴格全序所良排序，如若對任意  之非空子集，在該序關係下均蘊含一個最大元。所有與選擇公理等價之命題，良序定理同 Zorn 引理 乃最重要的兩個陳述。該定理相當重要，超限歸納法藉由該定理方可作用于任意集合。

 歷史 
Cantor 认为良序定理是“思维的基本原理”。但是多数数学家发现，找到如实数集合  这样的良序集合並非那麽容易。在1904年， 声称已经证明了这种良序不能存在。几周之后，Felix Hausdorff 在他的证明中发现了一个错误。在此之後，Ernst Zermelo 引入了 “無可非議” 的选择公理，以证明良序定理。事實上在一階邏輯下，良序定理等价于选择公理，其中一个和 Zermelo-Frankel 集合論一起即可证明另一个；在二階邏輯下良序定理略強於選擇公理。

良序定理可給出似乎是悖论的推论，比如 Banach-Tarski 悖论。

關於選擇公理、Zorn 引理、良序定理，下面這句玩笑話在某種程度上説明了其直覺上之聯係：

 從選擇公理證明良序定理 
證明如下。

 從良序定理證明選擇公理 
證明如下。

證明中，一個必不可少的點在於，證明僅涉及唯一一個任意選擇，即 ；分別于  的每個元  應用良序定理并不一定可行，因爲良序定理僅聲明了良序之存在性，而為每個  賦予良序將要求簡單地對每個  選擇出一個元那麽多的選擇。特別地，如果  擁有不可數那麽多的集合，不借由選擇公理，進行不可數次的選擇在 ZF 集合論下不被允許。

参见
良序關係
选择公理
佐恩引理

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he:עקרון הסדר הטוב