协变经典场论

近年来，协变经典场论又引起了研究者的兴趣。动力学在这里用有限维空间的在时空中的给定时间点上的场来表述。射流丛现在被认为是这种表述的正确定义域。
本文给出一阶经典场论的协变表述的一些几何结构。

记法

本条目记法和射流丛条目所引入的一致。并令表示有紧支撑的的截面。

作用量积分

一个经典场论数学上可以如下表述
一个纤维丛 ，其中表示一个维时空。
一个拉格朗日量形式 
令代表上的体积形式，则，其中是拉格朗日量函数。
我们在 上选择纤维化坐标，使得

作用量积分定义为

其中，并定义于开集，而代表其第一射流延长(jet prolongation)。

作用量积分的变分

截面的变分由曲线给出，其中是一个上的-竖直向量场的流，它在上有紧支撑。
截面称为变分的驻点，如果

这等价于

其中代表的第一延长，按李导数的定义。
使用嘉当公式，， 斯托克斯定理以及的紧支撑，可以证明这等价于

欧拉－拉格朗日方程

考虑一个的-竖直向量场

其中。采用切触形式  on ，我们可以计算的第一延长。然后得到

其中。
据此，可以证明

因而

分部积分并考虑的紧支撑，临界条件变为

因为为任意函数，我们得到

这些就是欧拉－拉格朗日方程组。

参看
经典场论
外代数
纤维丛
射流
量子场论

参考

Saunders, D.J., "The Geometry of Jet Bundles", Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
Bocharov, A.V. [et al.] "Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics", Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958
De Leon, M., Rodrigues, P.R., "Generalized Classical Mechanics and Field Theory", Elsevier Science Publishing, 1985, ISBN 0-444-87753-3
Griffiths, P.A., "Exterior Differential Systems and the Calculus of Variations", Boston: Birkhauser, 1983, ISBN 3-764-33103-8
Gotay, M.J., Isenberg, J., Marsden, J.E., Montgomery R., Momentum Maps and Classical Fields Part I: Covariant Field Theory, November 2003
Echeverria-Enriquez, A., Munoz-Lecanda, M.C., Roman-Roy,M., Geometry of Lagrangian First-order Classical Field Theories, May 1995

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