調和數

調和數可以指跟約數和有關的整數歐爾調和數。在數學上，第n個調和數是首n個正整數的倒數和，即

它也等于这些自然数的调和平均值的倒数的倍。它可以推廣到正整數的倒數的冪之和，即。

 調和級數的性質 
根據定義，調和數滿足遞推關係

它也滿足恆等式

 計算 
對於第n項調和數，有以下公式

設:，由此得到

對於調和數，當n不是太大時，可以直接計算。

當n特別大時，可以進行估算。

因為，

其中称为欧拉-马斯刻若尼常数，

由此得到

當n越大時，估算越精確。

更精確的估算是

其中是第k項伯努利數。

 廣義調和數 
廣義調和數滿足

由此，我們得到










對於任意兩個正整數p和q，並且p＜q，我們有



 微積分 

對於每一個大於0的x，有

由此，得

對於每一個n，有

 其他數列 
根據定義，其他類似于調和數的數列有以下計算方法：

Category:数论