正五边形

正五邊形是指五個邊等長且五個角等角的五边形，其內角為108度，是一種正多邊形，在施萊夫利符號中可以用來表示。

边与角
正五邊形的中心角為72度，其具有五個對稱軸，其旋轉對稱性有5個階（72°、144°、216° 和 288°）。

寬邊長邊長
對角線長

其中為外接圓半徑。

邊長為的正凸五邊形面積可以將之分割成5個等腰三角形計算：

正五邊形不能鑲嵌平面，因為其內角是108°，不能整除360°。2017年5月，里昂高等师范学校Michaël Rao宣称已证明只存在15种凸五边形鑲嵌平面情况，其中不包括正五边形。。

 面積公式推導 
正多邊形的面積公式為：

其中，是周長、是邊心距。正五邊形的和可由三角函數計算：

其中，是正五邊形的邊長。

 內切圓半徑 
正五邊形是一個圓外切多邊形，因此有內切圓。其內切圓半徑與邊心距相同，並且可以尤其邊長來決定。

其中，為內切圓半徑與邊心距相同、t為正五邊形邊長。

 構造 
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里士滿提出了一個構造正五邊形的方法，並且在克倫威爾的《多面體》中被進一步討論。。

右上的圖顯示了里士滿繪製正五邊形的方法。先利用單位圓決定五邊形的半徑。為單位圓圓心，是圓半徑的中點。是位於垂直於的另外一條半徑的圓周上。作的角平分線，令為的角平分線與的交點。作過平行於的直線，令之與圓相交的交點為，則為正五邊形的邊長。

這條邊的長度可以利用圓下方的兩個直角三角形和。利用勾股定理，較大的三角形斜邊為。小三角形其中一股h可由半角公式求得：

其中，角可由大三角形求得，其值為：

由此可得到在下圖正五邊形的邊長的一些相關值。右側三角形的邊長可藉由再帶一次勾股定理得：

欲求出五邊形邊長可透過左側的三角形，由勾股定理得：


五邊形邊長為：

得到了正確的結果This result agrees with 因此此種構造正五邊形的方法是有效的。

約西元前300年，欧几里得在他的《几何原本》中描述了一个用直尺和圆规做出正五边形的过程。

 物理方法 
正五邊形可以藉由嘗試在一張長條紙張上打一個反手結，並將多出來的部分向後折來構造。這種折法被用在摺紙星星上。

参考文献

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