Σ-代数

在數學中，某個集合 X 上的 σ-代数（）又叫 σ-域（），是 X 的某群子集合所構成的特殊子集族。这个子集族对于補集运算和可數個聯集运算具有封闭性（因此对于可數個交集运算也是封闭的）。σ-代数在測度論裡可以用来定义所谓的“可测集合”，是测度论的基础概念之一。

σ-代数的概念大约起始于1900~1930年，它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的 σ-代数是关于实数轴测度的波莱尔σ-代数（得名于法国数学家埃米·波莱尔），以及1901年亨利·勒贝格建立的勒贝格σ-代数。而现代的测度理论的公理化体系就建立在勒贝格的相关理论之上。在这个领域中，σ-代数不仅仅是用于建立公理体系，也是一个强有力的工具，在定义许多重要的概念如条件期望和鞅的时候，都需要用到。

 动机 
σ-代数的提出有至少三个作用：定义测度，操作集合的极限，以及管理集合所表示的部分信息。

测度
测度是给的子集赋予非负实数值的函数；可以把测度想成给集合的一个精确的“大小”或“体积”的定义。直觉上来讲，若干个互不相交集合的并集的大小应当等于它们各自的大小之和，即使有无穷多个这样的不交集。

 定义 

注意到定義第3條的，意思是  和自然数系  等势，直觀的意思就是  裡的元素跟自然數一樣多。

以上定義的直觀意義為：一群  的子集合所組成的集合  ，为  上的一个 σ-代数意思是滿足：

  本身就是  的元素；
 如果集合  在  中，那么它的补集  也在中；
 如果有可數个集合  都在  中，那么它们的聯集也在 中。

在測度論裡有序对  會被称为一个可测空间。而任何在  中的子集 ，則称为可测集合（measurable set）；而在概率论中，  被稱為事件族（family of events），  中的子集  則称为事件。

 例子 
 上最小的σ-代数是。
 上最大的σ-代数是的冪集（也就是所有  的子集合所組成的集合）

 最小σ-代数 

證明根據  的定義（嚴謹來說，依據分類公理所新增的公理），對所有集合  有：
  (a)

以下將逐條檢驗σ代数的定義，來驗證  的確是  的σ代数：

(1) 

對所有的集合族  來說，只要  是σ代数，按照定義理當有  ，所以由式(a)的右方的確可以得出  。

(2)若  ，則  也在  中

若  ，那根據式(a)，對所有的集合族  來說，只要  是σ代数 且，理當有 ，所以對所有  只要滿足這兩個條件，理當有 ，所以由式(a)的右方的確有：


(3)可數個并集也在  中

若  ，由式(a)，只要  滿足(a)左方的兩個條件，就有  ，所以：


所以再從(a)右方，就可以得到：


綜上所述，  的確是  的σ代数。

根據以上的定理，可以做以下的定義：

 例子 
 设集合，那么 是集合上含有  的σ-代数中最「小」的一个。

 性质 

σ-代数是一个代数也是一个λ系，它对集合的交集、聯集、差集、可數交集、可數聯集运算都是封闭的。

 参考来源 

Category:测度论
Category:集合族
Category:布尔代数
Category:試驗 (機率論)