西姆松定理

西姆松定理（或譯西摩松定理、西姆森定理）是幾何學中的一個定理，此定理描述：在平面中，給定一個三角形 ，以及  外接圓上的一點。則  分別對直線 、、 作的三個垂足（右圖中的 、、）會共線。

上述中的直線  稱為  關於  點的西姆松線（），或譯西摩松線、西姆森線。

逆定理
西姆松定理的逆敘述也是正確的，其描述：給定平面中的  及一點 。若  對  三邊延長線的三個垂足共線，則  在  的外接圓上。

相關性質
 令  的垂心為H。則  關於  的西姆松線和  的交點為  的中點，且此中點在九點圓上。
 兩點的西姆松線的交角等於該兩點的圓周角。
 若兩個三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點P對應兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無關。

西姆松定理與西姆松的關係
西姆松定理命名自蘇格蘭數學家 Robert Simson，然而西姆松是被誤認為定理的貢獻者，此定理實則由另一位蘇格蘭數學家威廉·華萊士所發表。

证明
如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆，有

角PBN = 角PLN = 角PLM = 角PCM

故A、B、P、C四点共圆。

若A、B、P、C四点共圆，则角PBN = 角PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，有

角PLN = 角PBN = 角PCM = 角PLM

故L、M、N三点共线。

参见
外接圓
九点圆
垂足三角形

外部連結
 cut-the-knot網站上的證明 
 證明（flash） 

參考資料

Category:三角形几何
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