卡茨-穆迪代数

卡茨-穆迪代数是一個李代數，通常無限維，其定義自（Victor Kac所謂的）廣義根系。卡茨-穆迪代数的應用遍及數學和理論物理學。

定義

假定以下材料：
  ——一個r階廣義嘉當矩陣(generalised Cartan matrix)  r.
  ———— 一個 2n − r維複向量空間 .
 ———— 的對偶空間
  ———— 中 n 枚相互獨立的元，稱為對偶根(co-root)
  ————  中n 枚線性相互獨立的元 ,稱為根(root)
上述各元滿足  .  

卡茨-穆迪代数
由符號  ,  (i=1,..,n) 及空間 生成：

以上各元滿足以下關係：

  ；其中 
 ,  其中
 , 其中 
  ；其中 
   ;其中出現  次;
   ;其中出現  次;

(其中 .)

一個 實(維數可以無限)李代數亦可稱為 Kac–Moody代數，若其 複化 是個 Kac–Moody代數.

 釋義 
 是此卡茨-穆迪代数的一嘉當子代數。
若 g 是 Kac–Moody 代數的一元，使得

其中 ω 是 的一元， 

則稱g 為 權(weight) ω的. 我们可分解一Kac–Moody 代數成其冪空間，則嘉當子代數 的冪为零，ei的冪为α*i，而fi的冪为−α*i。若二冪特徵向量的李括號非零，則其冪是二冪之和。（若  ) 則   一條件即指 α*i 都是簡單根。

 分類 

我们可分解廣義嘉當矩陣 C 成矩陣積 DS, 其中 D 是 正對角矩陣,  S 是 對稱矩陣。
然則有三種可能:
 有限維 單李代數 (S  正定)
  是 仿射李代數 (S  正半定)
 雙曲 (S 不定)

S 不可能 負定 或 負半定 因其對角元皆正.

參見
外爾-卡茨特徵標公式
广义卡茨-穆迪代数

參考
<<Infinite-Dimensional Lie Algebras>>,  Victor Kac, Cambridge University Press
Encyclopaedia of Mathematics, Springer On-line References 

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