有理函數

有理函數（）是可以表示為以下形式的函數：

 ，不全為0。

有理數式是多項式除法的商，有時稱為代數分數。

 漸近線 

 不失一般性可假設分子、分母互質。若存在，使得是分母的因子，則有理函數存在垂直漸近線。
 若，有水平漸近線。
 若，有水平漸近線。
 若，有斜漸近線。

只有一条水平渐近线

 泰勒級數 
有理函數的泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係。反之，若一個泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係，它對應的函數是有理函數。

 部分分式 
部分分式，又稱部分分數、分項分式，是將有理數式分拆成數個有理數式的技巧。

有理數式可分為真分式、假分式和帶分式，這和一般分數中的真分數、假分數和帶分數的概念相近。真分式分子的次數少於分母的。

若有理數式的分母可分解為數個多項式的積，其部分分數便是，其中是的因子，是次數不大於Q(x)/h_n(x)的多項式。
 例子 
 分拆

分子的次數是3，分母的是2，所以先將它轉成真分式和多項式的和（即帶分式）：

因為，所以

其中A和B是常数。两边乘以，得

即

比較係數，得

解得。

故：

也可以把x的特殊值代入等式来解出A和B。例如，当x=4时，我们有

当x=-7时，我们有

 應用 
 裂項和
 複分析
 拉普拉斯變換

 積分 

 部分分數 

在計算有理數式的積分時，部分分數的方法很有用，因為分母的1和2次多項式的有理數式的積分都有固定的方法計算。

 分母為1次多項式：求。

設：



原式變為



 分母次數為2：求。
若多項式可分解為兩個一次多項式的積（即），則可用部分分數的方法解決。若多項式不可分解，則將它配方，再用各種替代法解決。

例如：

因為

考慮

將分子分解，以便應用上面的替換：

左邊：

另一邊：

代入

另一種可行的代入方法是：

 奧斯特羅格拉茨基方法 

奧斯特羅格拉茨基方法（Ostrogradsky Algorithm / Ostrogradsky's Method）是這樣的：

設求積的有理函數為 ，其中是多項式，（的次數少於）。設為Q的導數Q'和Q的最大公因數，。則有：



其中為多項式，。

 應用例子 
 求  。






設 



兩邊取導數：



通分母，右邊的分子為：



比較分子的多項式的係數，得。於是有


後者可用部分分數的方法求得。

 證明 


兩邊乘以

由於 ，而和都是的倍數，所以是多項式。

比較兩邊多項式的次數：




因此有解。

 Hermite方法 

 應用 
 帕德近似
 插值

 參考 

 Ostrogradsky's method 
 http://www.math.uncc.edu/~droyster/courses/fall01/classnotes/Lecture08.pdf 

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