克罗内克δ函数

在数学中，克罗内克函数（又称克罗内克δ函数、克罗内克δ） 是一个二元函数，得名于德国数学家利奥波德·克罗内克。克罗内克函数的自变量（输入值）一般是两个整数，如果两者相等，则其输出值为1，否则为0。
 。

克罗内克函数的值一般简写为  。

克罗内克函数和狄拉克δ函数都使用δ作为符号，但是克罗内克δ用的时候带两个下标，而狄拉克δ函数则只有一个变量。

其它记法
另一种标记方法是使用艾佛森括号（得名于肯尼斯·艾佛森）：
  。

同时，当一个变量为0时，常常会被略去，记号变为  ：
  。

在线性代数中，克罗内克函数可以被看做一个张量，写作  。

数字信号处理
类似的，在数字信号处理中，与克罗内克函数等价的概念是变量为  (整数)的函数：

 。

这个函数代表着一个冲激或单位冲激。当一个数字处理单元的输入为单位冲激时，输出的函数被称为此单元的冲激响应。

性质
克罗内克函数有筛选性：对任意  ： 
 。
如果将整数看做一个装备了计数测度的测度空间，那么这个性质和狄拉克δ函数的定义是一样的：
 。

实际上，狄拉克δ函数是根据克罗内克函数而得名的。在信号处理中，两者是同一个概念在不同的上下文中的表现。一般设定  为连续的情况（狄拉克函数） ，而使用i, j, k, l, m, and n 等变量一般是在 离散的情况下（克罗内克函数）。

线性代数中的应用
在线性代数中，单位矩阵可以写作  。 

在看做是张量时（克罗内克张量），可以写作  。

这个(1,1)向量表示:
 作为线性映射的单位矩阵。
 迹数。
 内积  。
 映射  ，将数量乘积表示为外积的形式。

廣義克羅內克函數
定義廣義克羅內克函數為  矩陣的行列式，以方程式表達為
  ；

其中， 是個張量函數，定義為  。

以下列出涉及廣義克羅內克函數的一些恆等式：
 。
 。
 。
 ； 

其中， 和  是列維-奇維塔符號。
 。
 。
 ；

其中， 是  階張量。

积分表示
对任意的整数  ，运用标准的留数计算，可以将克罗内克函数表示成积分的形式：
 ；

其中积分的路径是围绕零点逆时针进行。

这个表示方式与下面的另一形式等价：
 。

参见
列維-奇維塔符號

同或门

參考文獻


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