米迪定理

米迪定理說明如果将化为b进制小数（其中p为质数，a是小于p的正整数），且小数的循环节长度是偶数有些质数的循环节长度是奇数，如3、31。，则有以下性质：

 若將這個分數用循環小數寫成，则



這個定理還可再推廣为广义米迪定理：若把长度2n的循环节划分为长度为k的个组，即，则是的倍數。

例
（10进制）
循环节长度是16，是偶数，可应用米迪定理。
 0+9=10-1，5+4=10-1，8+1=10-1……


（10进制）
循环节长度是18，是偶数，可应用米迪定理。
 0+9=10-1，5+4=10-1，2+7=10-1……

 （广义米迪定理，k=6）
 （广义米迪定理，k=3）

定理的证明
米迪定理可以用群论中的结果来证明。然而，也可以用算术和同余来证明米迪定理：

设p为素数，a/p是0与1之间的分数。假设在b进制中，a/p的展开式的周期为l，所以：

其中N是在b进制中的展开式为a1a2...al的整数。

因为且N为整数，所以必为p的倍数。另外，对于任何小于l的n，bn−1都不是p的倍数，否则在b进制中a/p的周期将小于l，这是不可能的。

现在，假设l=hk。那么bl−1是bk − 1的倍数。设bl − 1 = m(bk − 1)，因此：

但bl−1是p的倍数；bk−1不是p的倍数（因为k小于l）；且p是素数；因此m一定是p的倍数，且

是整数。也就是说：

现在，把a1a2...al分成h个长度为k的部分，并设它们在b进制中表示N0...Nh − 1，所以：

为了证明b进制中广义的米迪定理，我们必须证明h个整数Ni的和是bk − 1的倍数。

由于bk被bk−1除余1，任何bk的幂被bk − 1除也余1。因此：

这就证明了b进制中广义的米迪定理。

为了证明原先的米迪定理，取h = 2的特殊情况。注意N0和N1在b进制中都由k个数字表示，所以都满足

N0和N1不能都等于0（否则a/p = 0），也不能都等于bk − 1（否则a/p = 1），因此：

由于N0 + N1是bk − 1的倍数，所以有：

参考资料

外部链接


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