整數分拆

一個正整數可以寫成一些正整數的和。在數論上，跟這些和式有關的問題稱為整數拆分、整數剖分、整數分割、分割數或切割數（）。其中最常見的問題就是給定正整數，求不同數組的數目，符合下面的條件：

  （的大小不定）

 其他附加條件（例如限定「k是偶數」，或「不是1就是2」等）

分割函數p(n)是求符合以上第一、二個條件的數組數目。

 拆分數量數列 
4可以用5種方法寫成和式：4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1。因此 。

定義 ，若n為負數則 。

此函數應用於對稱多項式及對稱群的表示理論等。

分割函數p(n)，n從0開始：
1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77......(OEIS:A000041)

程式實現
#include <iostream>
#define MAXLENTH 20000
using namespace std;

int main() {
	const int len = MAXLENTH;
	long num[len + 1] = { 1 }; // 即使使用long也会快速溢出

	for (int i = 1; i <= len; ++i)
		for (int j = i; j <= len; ++j)
			num[j] += num[j - i];

	for (int i = 0; i <= len; i++)
		cout << i << " " << num[i] << endl;
	return 0;
}

 Ferrers圖示與恆等式 
每種分割方法都可用Ferrers圖示表示。

Ferrers圖示是將第1行放個方格，第2行放個方格......第行放個方格，來表示整數分割的其中一個方法。

借助Ferrers圖示，可以推導出許多恆等式：

 給定正整數k和n，n表達成不多於k個正整數之和的方法數目，等於將n分割成任意個不大於k的正整數之和的方法數目。

證明：將表示前者其中一個數組的Ferrers圖示沿對角線反射，便得到後者的一個數組。即兩者一一對應，因此其數目相同。

例如 k=3，n=6：

 16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*  ↔ 
16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*  6  = 1+1+4  = 1+1+1+3 

 16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*  ↔ 
16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*  6  = 1+2+3  = 1+2+3 

 16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*  ↔ 
16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*  6  = 2+2+2  = 3+3 

此外，

 上述恆等式的值亦等於將表達成剛好個正整數之和的方法的數目。
 給定正整數。將表達成兩兩相異正整數之和的方法的數目，等於將表達成奇數之和的方法的數目。

例如：
 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
 7 + 1
 3 + 3 + 1 + 1
 5 + 3
 5 + 1 + 1 + 1
 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

 8
 7 + 1
 6 + 2
 5 + 3
 5 + 2 + 1
 4 + 3 + 1

 將表達成個1和個2之和，這些方法的數目是第個斐波那契數。
 將表達成多於1的正整數之和的方法數目是p(n) - p(n-1)。

 生成函數 
的生成函數是

當|x|<1，右邊可寫成：


生成函數的倒數為歐拉函數，利用五邊形數定理可得到以下的展開式：

將生成函數配合五邊形數定理，可以得到以下的遞歸關係式



其中是第個廣義五邊形數。

与杨图的关系
一个杨图唯一地对应于一个整数分拆，也就是说整数分拆的个数等于相应的杨图的个数。如图所示的杨图表示一个10=5+4+1的分拆。利用杨图来表示的分拆更直观性且易操作。
分拆的共轭
将整数分拆（10=5+4+1）对应的杨图进行行列反转得到新的杨图（共轭杨图）。它对应的分拆为10=3+2+2+2+1。

 Rademacher級數 
漸近式：

這式子是1918年哈代和拉馬努金，以及1920年J. V. Uspensky獨立發現的。

1937年，Hans Rademacher得出一個更佳的結果：

其中

。

表示互質時才計算那項。表示戴德金和。這條公式的證明用上了和戴德金η函數、、法里數列、。

 Elder定理 
在將表示成正整數之和的所有和式之中，任意正整數作為和項出現在這些式子內的次數，跟每條和式中出現次或以上的正整數數目，相同。

當時，此定理又稱為Stanley定理。

以為例：

 5
 4+1
 3+2
 3+1+1
 2+2+1
 2+1+1+1
 1+1+1+1+1

 1的總出現次數：0+1+0+2+1+3+5=12；在每條和式出現1次或以上的數的數目：1+2+2+2+2+2+1=12
 2的總出現次數：0+0+1+0+2+1+0=4；在每條和式出現2次或以上的數的數目：0+0+0+1+1+1+1=4。

 附加要求的分拆 
以下敘述带有附加条件的分拆。

 差分拆 
考虑满足-{zh-hans:下面条件; zh-hant:下面條件}-分拆
 （的大小不定）
 即分拆的每个数都不相等。

生成函數是

 奇分拆 
考虑满足-{zh-hans:下面条件; zh-hant:下面條件}-分拆
 （的大小不定）

 要求 为奇数
生成函數是
.

引理
差分拆的个数与奇分拆的个数是一样多的。

可以通过杨表证明。

 部分個數上限的分拆 
當限定將表示成剛好個正整數之和時，可以表示為。顯然，。

 對於，
  (OEIS:A004526)
  = 最接近的正整數。(OEIS:A069905)



 其他常見的問題 
不少數學家亦有研究按以下方式分拆的方法數目：
 將正整數寫成模p同餘r的正整數之和
 將模p同餘r正整數寫成的正整數之和

 參考資料 

 外部連結 
 Lectures on Integer Partitions  by Herbert S. Wilf

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