范数

范数（），是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，是一个函数，其为向量空间内的所有向量赋予非零的正长度或大小。另一方面，半范数（）可以为非零的向量赋予零长度。

举一个简单的例子，一个二维度的欧几里得空间  就有欧氏范数。在这个向量空间的元素（譬如：）常常在笛卡尔坐标系统被画成一个从原点出发的箭号。每一个向量的欧氏范数就是箭号的长度。

拥有范数的向量空间就是赋范向量空间。同样，拥有半范数的向量空间就是赋半范向量空间。

定义
假设  是域  上的向量空间； 的半范数是一个函数 ，满足：

,
 （具有半正定性）
 （具有绝对一次齐次性）
 （满足三角不等式，或称次可加性）

范数是一个半范数加上额外性质：
4. ，当且仅当  是零向量（正定性）

如果拓扑向量空间的拓扑可以被范数导出，这个拓扑向量空间被称为赋范向量空间。

例子
 所有范数都是半范数。
 平凡半范数，即 。
 绝对值是实数集上的一个范数。
 对向量空间上的次线性型  可定义一个半范数：。

绝对值范数
绝对值范数为

是在由实数或虚数构成的一维向量空间中的范数。

绝对值范数是曼哈顿范数的特殊形式。

欧几里得范数

在  维欧几里得空间  上，向量  的最符合直觉的长度由以下公式给出

根据勾股定理，它给出了从原点到点  之间的（通常意义下的）距离。欧几里得范数是  上最常用的范数，但正如下面举出的， 上也可以定义其他的范数。然而，以下定义的范数都定义了同一个拓扑结构，因此它们在某种意义上都是等价的。

在一个  维复数空间  中，最常见的范数是：

以上两者又可以以向量与其自身的内积的平方根表示：

其中  是一个列向量（），而  表示其共轭转置。

以上公式适用于任何内积空间，包括欧式空间和复空间。在欧几里得空间里，内积等价于点积，因此公式可以写成以下形式：

特别地， 中所有的欧几里得范数为同一个给定正实数的向量的集合是一个 n 维球面。

复数的欧几里得范数

如果将复平面看作欧几里得平面 ，那么复数的欧几里得范数是其绝对值（又称为模）。这样，我们可把  视为欧几里得平面上的一个向量(稱等距同構)，由此，这个向量的欧几里得范数即为 （最初由欧拉提出）。

参见
 内积
 赋范向量空间
 矩阵范数
 曼哈顿距离
 Lp 范数

 参考文献 






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