P進賦值

在數論上，一個整數的進賦值指的是能除盡的質數的最高次方，一般記做。一個等價的定義是，是的質因數分解中的次方數。

進賦值是一個賦值，且其賦值可作為常規絕對值的類比。就如常規絕對值是有理數在實數中的完備化一般，進絕對值是有理數在P進數.中的完備化。

定義與性質
以下假定為質數。

整數
整數的進賦值定義如下：

其中是自然數的集合，而代表可被整除。特別地，的定義域及值域如次：.

像例如說，, ，而 since 。

這符號有時用以表示。

若是一個正整數，那麼有

而這可由直接推得。

有理數
進賦值可以下述函數的形式延伸到有理數上：

再延伸的數線上，這帶有一般的序關係，也就是說
,
及算術關係

其定義如下：

像例如說，且，而這是因為之故。

有理數上的賦值其中一些性質如下：


此外，若，那麼

其中是最小值（也就是兩者中較小者）。

進絕對值

有理數集的進絕對值定義如下：

而其定義為

因此對所有的而言，；而一個進絕對值的例子如次： and 

進絕對值滿足下列性質：

{| class="wikitable"
|-
|非負性 || 
|-
|正定性 || 
|-
|積性 || 
|-
|非阿基米德性 || 
|}
由積性可知，對於單位根和而言，，因此這表示說；而次可加性可由非阿基米德三角不等式得出。

對這個冪的基底的選取不會影響其性質；然而有以下的性質：

其中此乘積遍歷所有的質數及常規絕對值，而此處常規絕對值記做。

這項可由質因數分解得出：質因數的冪會成為相對應的進絕對值的倒數；而將之乘以常規絕對值後，這些倒數項會被消去。

一些人可能會將進絕對值給稱為「進範數」；然而因其不滿足齊次性之故，因此並非真正的範數。

一個度量空間可用如下（非阿基米德且的）度量由生成：

其定義為

以此度量對有理數所做的完備化即進數的集合。

參見
進數
阿基米德公理
重複度
奥斯特洛夫斯基定理
勒讓德定理

參考資料

Category:代數數論
Category:p進數