差分

差分，又名差分函數或差分運算，一般是指有限差分（），是数学中的一个概念，将原函数  映射到 。差分運算，相應於微分運算，是微积分中重要的一个概念。

定义
差分分为前向差分和逆向差分。

前向差分

函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数，如果在等距节点：

则称，函数在每个小区间上的增量为一阶差分。科学出版社 《数值分析及科学计算》 薛毅（编） 第六章 第2节 Newton插值. P204.

在微积分学中的有限差分（finite differences），前向差分通常是微分在离散的函数中的等效运算。差分方程的解法也与微分方程的解法相似。当是多项式时，前向差分为Delta算子（称为差分算子科学出版社 《数值分析及科学计算》 薛毅（编） 第六章 第2节 Newton插值. P205.），一种线性算子。前向差分会将多项式阶数降低 1。

逆向差分

对于函数，如果：

则称为的一阶逆向差分。

差分的阶
一阶差分的差分为二阶差分，二阶差分的差分为三阶差分，其余类推。记：

为的阶差分。

如果
{|
|
|
|-
|
|
|}
根据数学归纳法，有

其中，为二项式系数。

特别的，有

前向差分有时候也称作数列的二项式变换

差分的性质
对比解析函数中的微分的属性，差分的性质有：

如果C为常数，则有

线性：如果  和  为常数，则有

乘法定则(此处步长)：

除法定则：

或

级数：

牛頓級數

牛頓插值公式也叫做牛頓級數，由“牛頓前向差分方程”的項組成，得名於伊薩克·牛頓爵士，最早发表为他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編“宇宙體系”的引理五Newton, Isaac, (1687). Principia, Book III, Lemma V, Case 1，此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續泰勒展開的離散對應。

單位步長情況
當值間隔為單位步長時，有：

這成立於任何多項式函數和大多數但非全部解析函數。這裡的表達式

是二項式係數，其中的是“下降階乘冪”(另一種常見的標記法為)，空積被定義為。這裡的是“前向差分”的特定情況，即間距。

實例
為了展示牛頓的這個公式是如何使用的，舉例數列 1, 4, 9,16...的前幾項，可以找到一個多項式重新生成這些值，首先計算一個差分表，接著將對應於x0（標示了下劃線）的這些差分代換入公式，

一般情況
對於x值間隔為非一致步長的情況，牛頓計算均差，在間隔一致但非單位量時，即上述前向差分的一般情況，插值公式為：

在最終公式中hk被消去掉了，對於非一致步長的情況則不會出現階乘。

参考

参见
 递归
 招差术
 遞迴關係式
 拉格朗日多项式
 吉尔布雷斯猜想
 牛顿多项式
 牛顿级数表
 泰勒级数
 时标微积分
 分部求和法

参考文献
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