夾擠定理

夾擠定理（），又稱夹逼定理、夹极限定理、三明治定理、逼近定理、迫敛定理，是有關函數的極限的数学定理。指出若有兩個函數在某點的極限相同，且有第三個函數的值在這兩個函數之間，则第三個函數在該點的極限也相同。

 定义 
設為包含某點的區間，為定義在上，可能不包含a点的函數。若對於所有屬於而不等於的，有：



則。

和分別稱為的下界和上界。

若在的端點，上面的極限是左極限或右極限。
對於，這個定理還是可用的。

 例子 

 有关正弦函数的极限 
对于 ，

在任何包含0的區間上，除了，均有定義。

對於實數值，正弦函數的絕對值不大於1，因此的絕對值也不大於。設, ：





，根據夾擠定理

 。
对于 ，

首先用幾何方法證明：若，。


稱(1,0)為D。A是單位圓圓周右上部分的一點。在上，使得垂直。過作單位圓的切線，與的延長線交於。

由定義可得，。








因為，根據夾擠定理

。

另一邊的極限可用這個結果求出。

 高斯函數 
高斯函數的積分的應用包括連續傅立葉變換和正交化。
一般高斯函數的積分是，現在要求的是。

被積函數對於y軸是對稱的，因此是被積函數對於所有實數的積分的一半。

這個二重積分在一個的正方形內。它比其內切圓大，比外接圓小。這些可用極坐標表示：







 證明 
 極限為0的情況 
若，，而且。

設，根據函數的極限的定義，存在使得：若，則。

由於
，故。

若 ，則。於是，。

 一般情況 

當：

 根據上面已證的特殊情況，可知。
 。 
参考

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