伯特蘭-切比雪夫定理

伯特蘭-切比雪夫定理說明：若整數，則至少存在一個質數，符合。另一個稍弱說法是：對於所有大於1的整數，存在一個質數，符合。

1845年約瑟·伯特蘭提出這個猜想。伯特蘭檢查了2至3×106之間的所有數。1850年切比雪夫證明了這個猜想。拉馬努金給出較簡單的證明，而艾狄胥則借二項式係數給出了另一個簡單的證明。

相關定理
西爾維斯特定理
詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特證明：個大於的連續整數之積，是一個大於的質數的倍數。
艾狄胥定理
艾狄胥證明：對於任意正整數，存在正整數使得對於所有，和之間有個質數。

他又證明、時，而且有，其中两個質數分别是4的倍數加1，4的倍數減1。

根據質數定理，和之間的質數數目大約是。

證明
證明的方法是运用反證法，反設定理不成立，然后用两种方法估计的上下界，得出矛盾的不等式

註：下面的證明中，都假設屬於質數集。

不等式1
這條不等式是關於的下界的。

 對於正整數，

證明 ：
 對於  ， 
若，
 因此

引理1


证明：
注意到所有大于 k+1 而小于 2k+1 的质数都在(2k+1)! 中而不在(k+1)! 或 k！ 中，于是 是的因子。

 同时又有   

于是就有 

定理1
這個定理和的上界有關。

 對於所有正整數， 

數學歸納法：

當，2 < 16，成立。

假設對於所有少於的整數，敘述都成立。

顯然，若n>2且n是偶數，。对于奇数的n，设n=2k+1。

從引理1和歸納假設可得：

系理1
首先的定理：

 若是質數，是整數。設是最大的整數使得 ，則

下面這些系理和的上界有關。

若為質數，設是最大的整數使得  整除 ，則：

對於所有，  ，所以

于是得到三个上界：


 若  ， 
 若 ，（因为 2n!  中只有两个 p，在 n! 中恰有一个 p）

核心部分
假設存在大於1的正整數，使得沒有質數符合。根據系理1.2和1.3：

再根據系理1.1和定理1：
 上式最右方 

結合之前關於的下界的不等式1：





兩邊取2的對數，并设：

 。

顯然，即時，此式不成立，得出矛盾。
因此時，伯特蘭—切比雪夫定理成立。

再在時驗證這個假設即可。

參考
 A simple proof of Bertrand's Postulate, Neil Lyall
 Number Theory. Tutorial 5: Bertrand's Postulate

外部連結
  Some Problems of Combinatorial Number Theory Related to Bertrand's Postulate, Lawrence E. Greenfield

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