回文数

-{迴}-文数或-{回}-文數是指像14641这样“对称”的数，即：将这数的位数反轉排列得到的「倒序數」或「反序數」和原数一样。这裡，“回文”是指像“妈妈爱我，我爱妈妈”这样，正读反读都相同的单词或句子。

回文数在休闲数学领域备受关注，典型的问题就是寻找那些有某种特性且符合回文特征的数，如
 回文素数：2、3、5、7、11、101、131、151、…
 回文完全平方数：0、1、4、9、121、484、676、10201、12321、…

巴克敏斯特·福乐的著作《协同学》（）把回文数也叫做沙拉扎数（Scheherazade Numbers），沙拉扎是《一千零一夜》中那位讲故事的王妃、即宰相女儿之名。

任何進位制都有无限个回文数；101、1001、10001、…（一个1后接n个0再后接一个1）等各项在任何進制都是回文数，可组成有无限项的序列，这進制的回文数有无限（其中包括但不限于该序列中的无限项）。

正式定义
虽然通常考虑十进制回文数，但回文性质可延伸到任何记数系统的自然数。以b（b≥2）为底的数n（n＞0）可按标准方式表示为k＋1个数，即

其中，如惯例，对所有i 都要求，且。则n称为回文数，当且仅当对所有i 都有。零在任何基均写作0并由定义认为它也是回文数。

另一种等价定义如下：在任何基b，当且仅当：
 n是一位数，或
 n为两位相同数字，或
 n由三位或更多数字组成，其首位和末位数字相同，且从n中去掉该首位和末尾数字后的数也是回文
的数n称为回文。

十进制
10基数中所有单位数｛0、1、2、3、4、5、6、7、8、9｝都是回文数。

两位回文数有9个：
｛11、22、33、44、55、66、77、88、99｝
三位回文数有90个：
｛101、111、121、131、141、151、161、171、181、191、…、909、919、929、939、949、959、969、979、989、999｝
四位回文数也有90个：
｛1001、1111、1221、1331、1441、1551、1661、1771、1881、1991、…、9009、9119、9229、9339、9449、9559、9669、9779、9889、9999｝
小于104的回文数共199个，小于105的回文数有1099个，对其它的10的整数幂10n来说，分别有：1999、10999、19999、109999、199999、1099999、…个回文数。下表列出了一些常见类型的回文数在这些10的幂为界限下的个数（其中包括将0也作为回文数）：

  101 102 103  104 105 106  107 108 109  1010 n为自然数  10 19  109  199  1099  1999  10999  19999 109999  199999 n为偶数  5 9  49  89  489  889  4889  8889 48889  88889 n为奇数  5 10  60  110  610  1110  6110  11110 61110  111110 n为完全平方数 3  6  13 14  19  ＋  ＋ n为素数  4 5 20  113 781  5953 n为因数中不含平方数的数 6  12  67  120  675  ＋  ＋  ＋ ＋  ＋ n为可被某平方数整除的数（即μ(n)＝0） 3  6  41  78  423  ＋  ＋  ＋ ＋  ＋ n为素数的平方数  2 3  5 n有偶数个相异的素因子（即μ(n)＝1） 2  6  35  56  324  ＋  ＋  ＋ ＋  ＋ n有奇数个相异的素因子（即μ(n)＝－1） 5  7  33  65  352  ＋  ＋  ＋ ＋  ＋ n本身为偶数并有奇数个素因子         n本身为偶数并有奇数个相异的素因子 1  2  9  21  100  ＋  ＋  ＋ ＋  ＋ n本身为奇数并有奇数个素因子 0  1  12  37  204  ＋  ＋  ＋ ＋  ＋ n本身为奇数并有奇数个相异的素因子 0  0  4  24  139  ＋  ＋  ＋ ＋  ＋ n本身为偶数且因子中无平方数、有偶数个相异素因子 1  2  11  15  98  ＋  ＋  ＋ ＋  ＋ n本身为奇数且因子中无平方数、有偶数个相异素因子 1  4  24  41  226  ＋  ＋  ＋ ＋  ＋ n为奇数并有正好两个素因子 1  4  25  39  205  ＋  ＋  ＋ ＋  ＋ n为偶数并有正好两个素因子 2  3  11  64  ＋ ＋  ＋  ＋  ＋ n为偶数并有正好三个素因子 1  3  14  24  122  ＋  ＋  ＋ ＋  ＋ n为偶数并有正好三个相异的素因子         n为奇数并有正好三个素因子 0  1  12  34  173  ＋  ＋  ＋ ＋  ＋ n为卡迈克尔数 0  0  0  0  0  1＋  ＋  ＋ ＋  ＋ n为满足σ(n)是回文数的数 6  10  47  114  688  ＋  ＋  ＋ ＋  ＋

其它基数
十进制以外的数系也有回文数，如二进制回文数有：
0、1、11、101、111、1001、1111、10001、10101、11011、11111、100001、…
以上这些数在十进制即0、1、3、5、7、9、15、17、21、27、31、33、…。梅森素数是二进制回文素数的子集。

某基数的回文数在另一基数通常不是回文数，像1646110＝404D16（下标数字表示基数，n16表示以十六进制写出的n）。然而，有些数字在几套進制都是回文数（称为“协回文”，copalindromic），如10510在五套不同進制都是回文数：12214＝1518＝7714＝5520＝3334；十进制数1991在十六进制为7C7，也是回文。

7的一些幂在18進制是回文：

 73＝    111
 74＝    777
 76＝  12321
 79＝1367631

任何数n在所有b≥n＋1的基数b都是回文（这时n是单位数）；在基为n－1时同样也是回文数（这时n就成了11n－1）。如果對於2≤b≤n－2，某数在基b都是非回文数，则称其是严格非回文数（Strictly non-palindromic number）。如6在二進制是110，三進制是20，四進制是12，都不是回文數，是嚴格非回文數。這樣的數其中一種特質是6以上的數都是質數，首幾項：1、2、3、4、6、11、19、47、53、79、103、… 。

参见
 利克瑞尔数（）
 回文
 回文素数

 參考文獻 

外部链接
Jason Doucette－196回文数探索 / 最终产生回文数中迭代次数最多的
196及其它利克瑞尔数
10萬以下的回文数来自Ask Dr. Math

Category:数字相关的数列

pl:Palindrom#Palindromy liczbowe