勒贝格测度

在测度论中，勒贝格测度（Lebesgue measure）是欧几里得空间上的标准测度。对维数为1，2，3的情况，勒贝格测度就是通常的长度、面积、体积。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予勒贝格测度的集合称为勒贝格可测集；勒贝格可测集  的测度记作  。一般來說，我們允許一个集合的勒贝格测度为  ，但是即使如此，在假设选择公理成立时， 仍有勒贝格不可测的子集。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果。

勒贝格测度以法国数学家昂利·勒贝格命名。勒贝格于1901年首次提出这一测度，次年又给出勒贝格积分的定义，并收录进他的学位论文中。

 问题起源 
人们知道，区间的长度可以定义为端点值之差。若干个不交区间的并的长度应当是它们的长度之和。于是人们希望将长度的概念推广到比区间更复杂的集合。

我们想构造一个映射  ，它能将实数集的子集  映射到非负实数  ，並称这個数为集合  的测度。最理想的情况下， 应该具有以下性质：
  对于实数集的所有子集  都有定义。
 对于一个区间 ， 应当等于其长度 。
  具有可数可加性。如果  是一列不相交的集合，并且  在其上有定义，那么  ，其中  表示聯集。
  具有平移不变性。設集合  及 （即將  的每個元素各加上同一個實數  所得到的集合），則  。

遗憾的是，这样的映射是不存在的。人们只能退而求其次，寻找满足其中部分条件的映射。勒贝格测度是满足后三条性质的例子。另一个例子是若尔当测度，它只满足有限可加性。

 定义 
区间的长度定义为。对，勒贝格外测度定义为

对每一列能覆盖的开区间，作长度和。所有这些组成一个有下界的数集，下确界称为勒贝格外测度，记做。

勒贝格测度定义在勒贝格σ代数上。若集合滿足：

對所有，皆有

則為勒贝格σ代数的元素，稱為勒貝格可測集。对勒贝格可测集，其勒贝格测度就定義為勒贝格外测度。

不在勒贝格σ代数中的集合不是勒贝格可测的，这样的集合确实存在，故勒贝格σ代数严格包含于的幂集。

 例子 

 任何区间都是勒贝格可测的。闭区间、开区间的勒贝格测度都等于区间长度。
 如果 A 是区间 [a, b] 和 [c, d]的笛卡尔积，则它是一个长方形，测度为它的面积 (b−a)(d−c)。
 博雷尔集都是勒贝格可测的。反之不然，存在不是博雷尔集的勒贝格可测集。
 可数集的勒贝格测度为0。特别是，有理数集的勒贝格测度为0，尽管有理数集是稠密的。
 康托尔集是一个勒贝格测度为零的不可数集的例子。
 假设决定性公理成立，则实数集的所有子集都是勒贝格可测的。假设选择公理成立，则可以构造出勒贝格不可测的集合，例如维塔利集。决定性公理与选择公理是不相容的。
 奥斯古德曲线（Osgood curve）是平面简单曲线，但具有大于0的勒贝格测度。龙形曲线是另一个例子。

 性质 
設集合  与  是在  上的集合。勒贝格测度有如下的性质：

 如果  是一列区间  的笛卡爾積  ，則  是勒贝格可测的，并且   ，其中  表示区间  的长度。
 如果  是有限个或可数个两两互不相交的勒贝格可测集  的并集，则  也是勒贝格可测的，并且  。
 如果  是勒贝格可测的，那么它相对于的补集也是可测的。
 对于每个勒贝格可测集  ，  。
 如果  與  是勒贝格可测的，且  ，則  。
 可数多个勒贝格可测集的交集或者并集，仍然是勒贝格可测的。
上的博雷爾集（即由開集經可數多次交、並、差運算得到的集合）都是勒贝格可测的。
 勒贝格可测集“几乎”是开集，也“几乎”是闭集。具体来说，是勒贝格可测集当且仅当对任意的存在开集与闭集使得且。此性质曾用来定义勒贝格可测性。（见勒贝格测度的正则性定理）
勒贝格测度既是局部有限的，又是内正则的，所以是拉东测度。
非空开集的勒贝格测度严格大于0，所以勒贝格测度的支集是全空间。
如果  是勒贝格零测集，即  ，则  的任何一个子集也是勒贝格零测集。
 如果  是勒贝格可测的，且 （即將  平移  個單位），則  也是勒贝格可测的，并且  。
 如果  是勒贝格可测的，且 （即將  縮放  倍，），則  也是勒贝格可测的，并且  。
 更一般地，设  是一个线性变换， 為其行列式。如果  是勒贝格可测的，则  也是勒贝格可测的，并且  。
 設  是一个從  到上的连续单射函数。如果  是勒贝格可测的，则  也是勒贝格可测的。

简要地说，的勒贝格可测子集组成一个包含所有区间的笛卡尔积的σ-代数，且  是其上唯一的完备的、平移不变的、满足 的测度。

勒贝格测度是σ-有限测度。

 零测集 

的子集 A 是零测集，如果对于任意，A 都可以用可数多个盒（即 n 個区间的乘积）来覆盖，且其总体积最多为。所有可数集都是零测集。

如果的子集的豪斯多夫维数小于，那么它是关于维勒贝格测度的零测集。在这里，豪斯多夫维数是相对于上的欧几里得度量（或任何与其利普希茨等价的度量）而言。另一方面，一个集合可能拓扑维数小于，但具有正的维勒贝格测度。一个这样的例子是史密斯-沃尔泰拉-康托尔集，它的拓扑维数为0，但1维勒贝格测度为正数。

为了证明某个集合A是勒贝格可测的，我们通常尝试寻找一个“较好”的集合B，与A 的对称差是零测集，然后证明B可以用开集或闭集的可数交集和并集生成。

 勒贝格测度的构造 
勒贝格测度的现代構造基于外测度，并应用卡拉西奥多里扩张定理。

固定中的盒子是形如的集合，其中，连乘号代表笛卡尔积。盒子的体积定义为

对于的任何子集A，可以定义它的外测度

是可数个盒子的集合，它们的并集覆盖了

然后定义集合A为勒贝格可测的，如果对于所有集合，都有：

这些勒贝格可测的集合形成了一个σ代数。对于任何勒贝格可测的集合A, 其勒贝格测度定义为

勒贝格不可测集合的存在性是选择公理的结果。根据维塔利定理，存在实数R的一个勒贝格不可测的子集。如果A是的子集，且其测度为正，那么A便有勒贝格不可测的子集。

1970年，证明了，在不带选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论中，勒贝格不可测集的存在性是不可证的（见梭羅維模型）。

 与其他测度的关系 
若 A 博雷尔可測，則其博雷爾測度与勒贝格测度一致；然而，更多的勒贝格可测集是博雷尔不可测的。博雷尔测度是平移不变的，但不是完备的。

哈尔测度可以定义在任何局部紧群上，是勒贝格测度的一个推广（带有加法的是一个局部紧群）。

豪斯多夫测度（参见豪斯多夫维数）是勒贝格测度的一个推广，对于测量的维数比n低的子集是很有用的，例如R³上的曲线、曲面，以及分形集合。注意不能把豪斯多夫测度与豪斯多夫维数混淆。

可以证明，無法在无穷维空间上定義类似的勒贝格测度。

参看
 勒贝格密度定理
刘维尔数集的勒贝格测度

參考文獻

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