哈尔测度

数学分析中，哈尔测度是赋予之子集一个“不变体积”并从而定义那些群上的函数的一个积分的一种方法。

这个测度由匈牙利数学家哈爾·阿爾弗雷德于1933年发明 。哈尔测度用于数学分析，数论，群论，表示论，估计理论和遍历理论的很多方面。

预备知识

对于一个局域紧豪斯多夫拓扑群（G,・） ，其所有的紧子集生成的σ-代数被称为博雷尔代数，博雷尔代数的元素即为博雷尔集。对于群G的元素g和子集S，可以定义S的左陪集和右陪集：
 左陪集:

 右陪集:

博雷尔集的左/右陪集是博雷尔集。

对于一个作用于G的博雷尔子集上的测度μ，如果其对所有的博雷尔子集S和所有的g都满足

则称这个测度μ是左不变的。相应可以定义右不变性。

哈尔定理

考虑G的博雷尔子集上的满足如下性质的可数可加测度μ：

 对任意的g和博雷尔子集E，μ是左变换不变的: 

 对所有的紧集K，μ是有限的:  

 在博雷尔集E上μ是外正则(outer regular)的:

 在开集E上μ是内正则(inner regular)的:

那么如果要求这个测度是非平凡的，那么它是唯一的——至多相差一个正因子。这个测度μ便被称为左哈尔测度。 特别的，如果G是紧的，那么μ(G)将是有限正值，进而总可以通过设定一归一条件μ(G) = 1来唯一确定一个G上的左哈尔测度。

左哈尔测度对于所有的σ-有限博雷尔集都满足内正则条件，但此条件却未必对所有博雷尔集成立。

左哈尔测度的存在性和唯一性（相差一个因子的意义下）的首个完整证明是由André Weil<ref></ref>给出。Weil的证明采用了选择公理，之后Henri Cartan在避免使用此公理的情况下同样完成了证明。1963年Alfsen对Cartan的论证给出了简化而全面的表述。对于第二可数空间局部紧群的不变测度也于1933年被Haar证明。

右哈尔测度

同样可以证明存在一个唯一（相差一个正因子的意义下）的右变换不变的博雷尔测度ν满足上面的正则条件且在紧致集合上有限，但并不要求它与左变换不变的哈尔测度μ相同。仅对于幺模群(unimodular groups)左哈尔测度与右哈尔测度才相同。ν和μ之间也有些简单的关系。

对一博雷尔集 S, 记其中每一个元素的逆的集合为，如果定义

那么这个便构成一个右哈尔测度。其右变换不变性表现如下：

又因为右测度是唯一的，因此对于所有博雷尔集合S，μ-1和ν相差一个正因子k，满足：

哈尔积分

用通常的勒贝格积分理论，便可定义所有在G上博雷尔可测的函数f的积分。这个积分便是哈尔积分。 

设μ是一个左哈尔测度，那么对任一哈尔可积函数f与G中元素s，都有

参考文献

 Paul Halmos, Measure Theory, D. van Nostrand and Co., 1950.
 Lynn Loomis, An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, D. van Nostrand and Co., 1953.
 André Weil, Basic Number Theory'', Academic Press, 1971

 参看 
 哈尔
 哈尔小波

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