線圖

在图论中，图所对应的线图是一张能够反映中各边邻接性的图，记作。简单来说，将中的每条边各自抽象成一个顶点；如若原图中两条边相邻，那么就给线图中对应顶点之间连接一条边。因为线图将原图的边化作了顶点，所以也可以将其视作原图的一种对偶。

哈斯勒·惠特尼证明了：假定图是连通的，那么除了一种特殊情况外，我们总能根据线图的结构还原出的结构。以该定理为中介，可以证明线图的许多其它性质。线图总是无爪图，即线图的所有导出子图均不是。

 正式定義 
圖的線圖定義如下：
 的一個頂點對應的一邊

 的頂點相鄰若且唯若它們在對應的邊相鄰（有公共頂點）。 

该定义也可以用图论的语言表述如下：设，那么，且。

例子
下面的例子演示了由原图生成线图的流程。

性質

 由原图转移过来的性质 
根据线图的定义，若性质／概念P仅取决于原图中边的邻接性，那么P便可以转移（或者说对偶）到线图上去变成性质／概念P'，刻画线图顶点的邻接属性。例如，图中的一个匹配指的是图中一组不相交的边，把这一概念平移到线图上去，就等价于线图的一组不相邻的顶点——用术语来说即线图上的一个独立集。

下面就列举了原图和线图之间的若干联系：

 若原圖是連通的，線圖也是。
 若两个图同构，那么它们的线图也同构。
 若的顶点数和边数分别为和，那么的顶点数和边数分别是和。
 ，即原圖的邊色數等於線圖的點色數。
 中的一个匹配对应了中的一个独立集，且其大小相等。于是，中最大匹配的大小等于最大独立集的大小。借助这一关系，可以通过求解后者来求解前者，但反之不总是可行，因为并非所有图都能表示为某个的线图。在计算机科学中，最大匹配问题和最大独立集问题是两个重要的问题。前者已经被高效解决（Edmonds' Blossom Algorithm）；而后者则是NP完全问题，被普遍认为无法高效求解。
 若存在欧拉回路，则存在哈密顿回路，但反之不然。

 惠特尼同构定理 
惠特尼同构定理阐述了以下事实：设有连通图和且它们均不是三角形或爪形。如果，那么。也就是说，除了极特殊的情形，图的结构可以由线图的结构中唯一地恢复出来。

 其它性质 
任何的线图都是无爪的，亦即不包含作为导出子图。因此，任意含有偶数个顶点的连通线图都存在完美匹配。

线图的邻接矩阵的全部特征值都不小于-2。这是因为，其中是原图的关联矩阵（incidence matrix）。又由于矩阵是半正定的，所以的任何特征值均满足。

 等价刻画 
缩略图|九种排除在线图之外的导出子图
Beineke给出了线图的一种等价刻画：是某图的线图当且仅当不包含九种类型的导出子图（见右图）。

如果的最小度至少为5，那么只有左边一列和右边一列是必要的。换言之，此时，是某图的线图当且仅当不包含六种类型的导出子图（见右图的左边一列和右边一列）。

 参考文献 

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