群作用

数学上，对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的：群的每个元素作为一个双射（或者对称作用）作用在某个集合上。在这个情况下，群称为置换群（特别是在群有限或者不是线性空间时）或者变换群（特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时）。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示（通常该集合有限），并且可以表述为置换矩阵，一般在有限的情形作此考虑－这和作用在有序的线性空间基上是一样的。

 定义 
令  为一个群，  为一个集合，  在  上的一个(左) 群作用  是一个二元函数

該函數满足如下两条公理：
 对所有  以及  ，。
 对每个  ，有  (  為群  的單位元)。

一般稱群  （在左邊）作用於集合  上，或稱  是一个 -集合。

為簡化在群作用  上使用的符號，我們可以將其柯里化：令  為由單個元素  給出的映射  ，這樣可以通過考慮函數集  來研究群作用。上述兩條公理可以寫作


其中  表示兩函數的複合。所以第二條公理說明函數的複合可以與群運算互相對應，它們可以組成一個交換圖表。該公理甚至可以簡寫為  。

 一般簡寫為  或  。

由上述两条公理可知，對固定的元素  ，从映射到 是一个双射（單射和滿射的條件可以分別通過考慮  和  給出）。因此，也可以将  在  上的群作用定义为从  到对称群上 的群同态。

 右群作用 

我們可以類似地定义一个  在  上的右群作用为函数，满足以下公理：


注意左和右作用的区别仅在于像  这样的积在  上作用的次序。左群作用中，  先作用，然后才到  ，而对于右作用  先作用，然后才到  。右作用與群上的逆操作复合可以构造出一個左作用。如果  为一右作用，则

是一左作用，因为

而

所以我们可以不失一般性地考虑左群作用。

群作用的种类 
群G作用在集合X上的作用稱為:

遞移性(Transitive)如果X是一個非空集合，對於每對數對 x,y  X，則存在一個gG，使得，我們就稱此作用為遞移性。
忠實性(Faithful)如果群G嵌入(embbeding)到X的置換群中，我們就稱此作用為忠實的。換言之，就是群G到X的置換群之中為單射。
自由性(Free)如果給定 ，存在，則有著，則稱為此作用為自由性。
正則的(Regular)同時具有自由性以及遞移性的作用稱為正則的，又稱簡單遞移（）。
n-遞移性(n-transitive)如果集合X 至少有 n 個元素, 對所有不同的元素x1, ..., xn 和所有不同的y1, ..., yn, 存在一個 g 在群G 使得  g⋅xk = yk  對所有 1 ≤ k ≤ n ，我們就稱其為n-遞移性。
本原的(Primitive)如果遞移性作用滿足只有trivial區塊(block)，那我們稱此作用為本原的。可以證明n-遞移性皆為本原的。

 軌道與穩定化子 
 軌道 

令群  作用在集合  上，對  中的元素  ，  在  上的軌道是  的子集，定義為



記作  或  。

集合  的兩個軌道要麼相等，要麼完全不相交，因此軌道是集合的一個劃分。如果兩個軌道  和  存在公共元素  ，那麼存在兩個  中的元素  和  ，使得  ，  。因而  ，反之亦可推出  ，所以兩個集合相等。

軌道的一個例子是陪集，假若  是 
 的一個子集，且定義  中元素的慣常運算規則為  在 上的一個作用，那麼  的陪集  ()就是  的軌道。

 不變子集 

令  為  的一個子集，群  作用在  上，對於群  中的所有元素  ，以及所有  中的元素  ，有 ，則我們會說  在  的作用下是封閉的。

若是的一個元素，對於群中的所有元素而言，都有，那麼就稱是-不變的（-invariant）。

 不動點與穩定子群 

令  和  ，如果  ，則  是關於  的一個不動點。

對  的元素  ，所有令  的   中的元素  構成的集合稱為  關於  的穩定子群，記作  或  。

  。

是的一個子群，因為根據定義，因此  的單位元  在  中。如果  ，那麼的逆元也是的元素，因為。

 軌道－穩定點定理 

軌道與穩定子群緊密相關。令群  作用在  上，令  中的  ，考慮映射  ，  。該映射的值域等於軌道  。  中的兩元素  和  的像  和  相同的條件是

  。

換言之，  當且僅當  和  在穩定子群  的同一個陪集中。所以所有在軌道  中的元素  的原像都包含於某個陪集中，每個陪集的像亦為  的一個單元素集合。因此  事實上是  的所有陪集與  的元素的一一對應，  是一個雙射函數。

這個結論稱為軌道-穩定點定理，有



 伯恩賽德引理 

而一個跟軌道-穩定點定理相似的結果就是伯恩賽德引理



其中  是  關於  的穩定子群。  和  都有限時該引理尤其重要，可以被詮釋為「群作用的軌道數等於平均每個群元素的不動點的個數」。

 西羅定理 

 範例

 任意群G在任意集合X上的群作用定义为  对任意g属于G以及任意x属于X；换句话说，每个群元素对应 X上的恒等置换。

 参考资料 

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