最大似然估计

在统计学中，最大似然估计（，簡作MLE），也称极大似然估计，是用来估計一个概率模型的参数的一种方法。

 预备知识 

下方的讨论要求读者熟悉概率论中的基本定义，如概率分布、概率密度函数、随机变量、数学期望等。读者還須先熟悉连续实函数的基本性质，比如使用微分来求一个函数的极值（即极大值或极小值）。
同時，讀者須先擁有似然函數的背景知識，以了解最大似然估計的出發點及應用目的。

 最大似然估计的原理 

给定一个概率分布，已知其概率密度函数（连续分布）或概率质量函数（离散分佈）为，以及一个分佈参数，我们可以从这个分布中抽出一个具有个值的采样，利用计算出其似然函数：

若是离散分布，即是在参数为时观测到这一采样的概率；若其是连续分布，则为联合分布的概率密度函数在观测值处的取值。一旦我们获得，我们就能求得一个关于的估计。最大似然估计会寻找关于的最可能的值（即，在所有可能的取值中，寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化）。从数学上来说，我们可以在的所有可能取值中寻找一个值使得似然函数取到最大值。这个使可能性最大的值即称为的最大似然估计。由定义，最大似然估计是样本的函数。

 注意 
 这裡的似然函数是指不变时，关于的一个函数。
 最大似然估计不一定存在，也不一定唯一。

 推导 
最大似然估计可以从相对熵推导而来。相对熵衡量了使用一个给定分布来近似另一个分布时的信息损失，对于离散型随机变量，可以用以下公式：

其中，是真实分布，是近似分布。在最大似然估计的情景下，假设分布拥有一系列参数，我们希望通过样本得到参数的估计值。我们可以利用相对熵来评判估计的好坏：

根据期望的定义，我们可以将上式改写为：

KL值越大，参数估计越坏，因此，需要通过改变估计参数的值来获得最小的值，所对应的参数极为最佳估计参数。即：

假设有个样本，根据大数定理，可以进行替换：

即，可以通过下式评估：

对于一个已知的分布，其参数是确定的。因此，为常数。因此，我们可以通过最小化KL值获得最佳估计参数：

因此，要得到最佳参数估计值，只需要最大化，这就是最大似然函数。对于连续型随机变量，有相同的结论。

 例子 

 离散分布，离散有限参数空间 

考虑一个抛硬币的例子。假设这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次（即，我们获取一个采样并把正面的次数记下来，正面记为H，反面记为T）。并把抛出一个正面的概率记为，抛出一个反面的概率记为（因此，这裡的即相当于上方的）。假设我们抛出了49个正面，31个反面，即49次H，31次T。假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的概率分别为, , ，这些硬币没有标记，所以我们无法知道哪个是哪个。使用最大似然估计，基于二项分布中的概率质量函数公式，通过这些试验数据（即采样数据），我们可以计算出哪个硬币的可能性最大。这个似然函数取以下三个值中的一个：

我们可以看到当时，似然函数取得最大值。
顯然地，這硬幣的公平性和那種拋出後正面的機率是2/3的硬幣是最接近的。这就是的最大似然估计。

 离散分布，连续参数空间 

现在假设例子1中的盒子中有无数个硬币，对于中的任何一个， 都有一个抛出正面概率为的硬币对应，我们来求其似然函数的最大值：

其中.
我们可以使用微分法来求極值。方程两边同时对取微分，并使其为零。

其解为, ，以及.使可能性最大的解显然是（因为和这两个解会使可能性为零）。因此我们说最大似然估计值为.

这个结果很容易一般化。只需要用一个字母代替49用以表达伯努利试验中的被观察数据（即样本）的“成功”次数，用另一个字母代表伯努利试验的次数即可。使用完全同样的方法即可以得到最大似然估计值:

对于任何成功次数为，试验总数为的伯努利试验。

 连续分布，连续参数空间 
最常见的连续概率分布是正态分布，其概率密度函数如下：

现在有个正态随机变量的采样点，要求的是一个这样的正态分布，这些采样点分布到这个正态分布可能性最大（也就是概率密度积最大，每个点更靠近中心点），其个正态随机变量的采样的对应密度函数（假设其独立并服从同一分布）为：

也可以写为：

,

这个分布有两个参数：.有人可能会担心两个参数与上方的讨论的例子不同，上方的例子都只是在一个参数上对可能性进行最大化。实际上，在两个参数上的求最大值的方法也差不多：只需要分别把可能性在两个参数上最大化即可。当然这比一个参数麻烦一些，但是一点也不复杂。使用上方例子同样的符号，我们有.

最大化一个似然函数同最大化它的自然对数是等价的。因为自然对数log是一个连续且在似然函数的值域内严格递增的上凹函数。[注意：可能性函数（似然函数）的自然对数跟信息熵以及費雪訊息联系紧密。]求对数通常能够一定程度上简化运算，比如在这个例子中可以看到：

这个方程的解是.这的确是这个函数的最大值，因为它是里头惟一的一阶导数等于零的点并且二阶导数严格小于零。

同理，我们对求导，并使其为零。

这个方程的解是.

因此，其关于的最大似然估计为：

.

 性质 

 泛函不变性（Functional invariance） 
如果是的一个最大似然估计，那么的最大似然估计是。函数g无需是一个双射。请参见George Casella与Roger L. Berger所著的Statistical Inference定理Theorem 7.2.10的证明。（中国大陆出版的大部分教材上也可以找到这个证明。）

 渐近线行为 
最大似然估计函数在采样样本总数趋于无穷的时候达到最小方差，其证明可见于。当最大似然估计非偏时，等价的，在极限的情况下我们可以称其有最小的均方差。
对于独立的观察来说，最大似然估计函数经常趋于正态分布。

 偏差 
最大似然估计的偏差是非常重要的。考虑这样一个例子，标有到的张票放在一个盒子中。从盒子中随机抽取票。如果是未知的话，那么的最大似然估计值就是抽出的票上标有的，尽管其期望值的只有.为了估计出最高的值，我们能确定的只能是值不小于抽出来的票上的值。

 历史 
最大似然估计最早是由羅納德·費雪在1912年至1922年间推荐、分析并大范围推广的。（虽然以前高斯、拉普拉斯、托瓦爾·尼古拉·蒂勒和F. Y. 埃奇沃思也使用过）。 and 许多作者都提供了最大似然估计发展的回顾。, , , , and 

大部分的最大似然估计理论都在贝叶斯统计中第一次得到发展，并被后来的作者简化。

 参见 
 均方差是衡量一个估计函数的好坏的一个量。
 关于拉奧-布萊克韋爾定理（Rao-Blackwell theorem）的文章中讨论到如何利用Rao-Blackwellisation过程寻找最佳不偏估计（即使均方差最小）的方法。而最大似然估计通常是一个好的起点。
 读者可能会对最大似然估计（如果存在）总是一个关于参数的充分统计量（sufficient statistic）的函数感兴趣。
 最大似然估计跟廣義動差估計（generalized method of moments）有关。

 参考文献 

 外部链接 
 关于最大似然估计的历史的一篇论文，作者John Aldrich

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