估计理论

估计理论是统计学和信号处理中的一个分支，主要是通过测量或经验数据来估计概率分布参数的数值。这些参数描述了实质情况或实际对象，它们能够回答估计函数提出的问题。

例如，估计投票人总体中，给特定候选人投票的人的比例。这个比例是一个不可观测的参数，因为投票人总体很大；估计值建立在投票者的一个小的随机采样上。

又如，雷达的目的是物体（飞机、船等）的定位。这种定位是通过分析收到的回声（回波）来实现的，定位提出的问题是“飞机在哪里？”为了回答这个问题，必须估计飞机到雷达之间的距离。如果雷达的绝对位置是已知的，那么飞机的绝对位置也是可以确定的。

在估计理论中，通常假定信息隐藏在包含雜訊的信号中。噪声增加了不确定性，如果没有不确定性，那么也就没有必要估计了。

 使用估计理论的领域
有非常多的领域使用参数估计理论。这些领域包括（当然不局限于以下列出的领域）:

 信号处理
 X射線斷層成像
 脑电图
 心电图
 核磁共振
 医学超声波扫描术
 雷达、声纳、地震學——物件的定位
 噪声方差
 参数化（例如周期图和相关图谱）分析
 非参数化（例如MUSIC、Root-MUSIC和ESPRIT）谱分析 
 维纳滤波
 粒子滤波器
 临床试验
 民意调查
 质量控制
 通讯
 信道参数
 DC增益（请看下边的例子）
 控制理论
 卡尔曼滤波
 随时间改变的执行器（英文：）
 网络入侵侦查系统

测量参数包含噪声或者其他不确定性。通过统计概率，可以求得最优化的解，用来从数据中提取尽可能多的信息。

 估计过程 

估计理论的全部目的都是获取一个估计函数，最好是一个可以实现的估计函数。估计函数输入测量数据，输出相应参数的估计。

我们通常希望估计函数能最优，一个最优的估计意味着所有的信息都被提取出来了；如果还有信息没有提取出来，那就意味着它不是最优的。

一般来说，求估计函数需要三步：

 为了实现一个预测单个或者多个参数的所期望的估计器，首先需要确定系统的模型。这个模型需要将需要建模的过程以及不确定性和和噪声融合到一起，这个模型将描述参数应用领域的物理场景。
 在确定模型之后，需要确定估计器的限制条件。这些限制条件可以通过如Cramér-Rao不等式这样的方法找到。
 下一步，需要开发一个估计器或者应用一个已知的对于模型有效的估计器。这个估计器需要根据限制条件进行测试以确定它是否是最优估计器，如果是的话，它就是最好的估计器。
 最后，在估计器上运行试验或者仿真以测试性能。

当实现一个估计器之后，实际的数据有可能证明推导出估计器的模型是不正确的，这样的话就需要重复上面的过程重新寻找估计器。不能实现的估计器需要抛弃，然后开始一个新的过程。总的来说，估计器根据实际测量的数据预测物理模型的参数。

 基础 

对于给定模型，估计器需要若干统计 "成分"才能实现。第一，统计样本从长度为 N 的（Random Variable，RV）中采样获得，观测值构成向量：



第二，有 M 个参数：



它们的值需要被估计。第三，用于生成连续数据的概率密度函数（Probability density function，PDF）或离散数据的概率质量函数（Probability mass function，PMF）以参数值为条件（这些概率函数潜在存在），即条件概率为：



参数自身可能也存在概率分布（如贝叶斯统计），此时就需要定义贝叶斯概率：



模型形成后，目标是估计参数，估计的参数通常表示为 ，其中  表示估计值。

常用的估计器包括最小均方误差（Minimum mean squared error，MMSE）估计器，它利用了估计参数和参数实际值之间的误差：



作为优化的基础。该误差项平方的期望对MMSE估计器来说是最小的。

估计函数（估计子）
以下是一些相关的估计函数以及相关的主题
最大似然估計（Maximum likelihood estimation，簡稱MLE）
（Bayes estimator）
矩估計（Method of moments estimators，簡稱MME）

最小二乘法（Least squares）
最小均方差（Minimum mean squared error，简称MMSE）
最大后验概率（Maximum a posteriori probability，簡稱MAP）
最小方差无偏估计（Minimum variance unbiased estimator，简称MVUE）
（Nonlinear system identification）
最佳线性非偏估计（BLUE）
非偏估计，见偏差 (统计学)。
粒子滤波器（Particle filter）
马尔可夫链蒙特卡洛（Markov chain Monte Carlo，简称MCMC）
卡尔曼滤波
维纳滤波

例子：高斯白噪声中的直流增益

考虑由个独立采样点构成的离散信号，它由常数和零均值、方差为的加性高斯白噪声（即）构成。方差已知，未知参数为。

信号的模型为：


参数的两个可能的估计器是：

 ，即采样平均（Sample mean）

通过计算两个估计器的期望可以发现，它们的均值均为：

和

两个估计器的均值没有差异，然而它们的方差不同：

和

当时，，所以似乎采样平均是一个更好的估计器。

最大似然估计

使用最大似然估计继续上面的例子，噪声在采样点上的概率密度函数（pdf）为：

此时的概率为（服从分布）：

由于相互独立，的概率为：

对上式取自然对数：

于是最大似然估计器为：

计算对数-最大似然函数的一阶导数：

令其为0：

得到最大似然估计器：

它是一个简单的采样平均。从这个例子中可以发现，被独立同分布的加性高斯白噪声污染的、由未知常数构成的点信号的最大似然估计其就是采样平均。

Cramér-Rao下限

为了找到采样平均估计器的Cramér-Rao下限（CRLB），需要找到Fisher information数

从上面得到

取二阶导数

发现负的期望值是无关紧要的（），因为它现在是一个确定的常数

最后，将Fisher information代入 

得到

将这个值与前面确定的采样平均的变化比较显示对于所有的和来说采样平均都是等于Cramér-Rao下限。

采样平均除了是最大似然估计器之外还是最小变化无偏估计器（MVUE）。

这个直流增益 + WGN的例子是Kay的统计信号处理基础中一个例子的再现。

相关书籍
 Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory by Steven M. Kay (ISBN 0-13-345711-7)
 An Introduction to Signal Detection and Estimation by H. Vincent Poor (ISBN 0-38-794173-8)
 Detection, Estimation, and Modulation Theory, Part 1 by Harry L. Van Trees (ISBN 0-47-109517-6; website)

参见
 偏差
 检测理论
 信息论
 最大似然估计
 矩方法
 最小均方差（MMSE）
 最大后验概率（MAP）
 卡尔曼滤波
 维纳滤波
 最小平方頻譜分析法（LSSA）

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Category:信号处理
Category:统计学