误差函数

在数学中，误差函数（）是一个特殊函数，符号。误差函数在概率论，统计学以及偏微分方程中都有广泛的应用。它的定义如下：Andrews, Larry C.; Special functions of mathematics for engineers Greene, William H.; Econometric Analysis (fifth edition), Prentice-Hall, 1993, p. 926, fn. 11


分类
互补误差函数，记为 erfc，在误差函数的基础上定义：

虚误差函数，记为 erfi，定义为：

複誤差函數，记为w(z)，也在误差函数的基础上定义：

词源
误差函数来自测度论，后来与测量误差无关的其他领域也用到这一函数，但仍然使用误差函数这一名字。

误差函数与标准正态分布的积分累积分布函数的关系为

性质

误差函数是奇函数：

对于任何 复数 z:

其中  表示 z的 复共轭。

复平面上，函数 ƒ = exp(−z2) 和 ƒ = erf(z) 如图所示。粗绿线表示 Im(ƒ) = 0，粗红线表示 Im(ƒ) < 0， 粗蓝线为 Im(ƒ) > 0。细绿线表示 Im(ƒ) = constant，细红线表示 Re(ƒ) = constant<0，细蓝线表示 Re(ƒ) = constant>0。

在实轴上， z → ∞时，erf(z) 趋于1，z → −∞时，erf(z) 趋于−1 。在虚轴上， erf(z) 趋于 ±i∞。
泰勒级数
误差函数是整函数，没有奇点（无穷远处除外），泰勒展开收敛。

误差函数泰勒级数：

对每个复数 z均成立。
上式可以用迭代形式表示：

误差函数的导数：

误差函数的 不定积分为：

逆函数
逆误差函数 可由 麦克劳林级数表示：

其中， c0 = 1 ，

即：

逆互补误差函数定义为：

渐近展开
互补误差函数的渐近展开，

其中 (2n – 1)!! 为 双阶乘，x为实数，该级数对有限 x发散。对于 ，有

其中余项用以 大O符号表示为
 as .
余项的精确形式为：

对于比较大的 x, 只需渐近展开中开始的几项就可以得到 erfc(x)很好的近似值。

连分式展开
互补误差函数的连分式展开形式：



初等函数近似表达式

     (最大误差： 5·10−4)

其中， a1 = 0.278393, a2 = 0.230389, a3 = 0.000972, a4 = 0.078108

     (最大误差：2.5·10−5)

其中， p = 0.47047, a1 = 0.3480242, a2 = −0.0958798, a3 = 0.7478556

     (最大误差： 3·10−7)

其中， a1 = 0.0705230784, a2 = 0.0422820123, a3 = 0.0092705272, a4 = 0.0001520143, a5 = 0.0002765672, a6 = 0.0000430638

     (最大误差： 1.5·10−7)

其中， p = 0.3275911, a1 = 0.254829592, a2 = −0.284496736, a3 = 1.421413741, a4 = −1.453152027, a5 = 1.061405429

以上所有近似式适用范围是： x ≥ 0.  对于负的 x, 误差函数是奇函数这一性质得到误差函数的值， erf(x) = −erf(−x).

另有近似式：



其中，



该近似式在0或无穷的邻域非常准确，x整个定义域上，近似式最大误差小于0.00035，取 a ≈ 0.147 ，最大误差可减小到0.00012。

逆误差函数近似式:

 数值近似 
下式在整个定义域上，最大误差可低至 ：Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing (ISBN 978-0-521-43064-7), 1992, page 214, Cambridge University Press.

其中，

与其他函数的关系
误差函数本质上与标准正态累积分布函数是等价的，



可整理为如下形式：

的逆函数为正态分位函数，即函数，

误差函数为标准正态分布的尾概率的关系为，

误差函数是米塔-列夫勒函数的特例，可以表示为合流超几何函数，

误差函数用正则Γ函数P和 不完全Γ函数表示为

 为 符号函数.

广义误差函数
灰线: E1(x) = (1 − e −x)/
红线: E2(x) = erf(x)
绿线: E3(x)
蓝线: E4(x)
金线: E5(x).

广义误差函数为：

其中，E0(x)为通过原点的直线，  。E2(x) 即为误差函数 erf(x)。

x > 0时，广义误差函数可以用Γ函数和 不完全Γ函数表示，

因此，误差函数可以用不完全Γ函数表示为：

互补误差函数的迭代积分
互补误差函数的迭代积分定义为：

可以展开成幂级数：

满足如下对称性质：

和

函数表

{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
!x
!erf(x)
!erfc(x)
| rowspan="24" style="width:2px; background:#000; padding:0;"|
!x
!erf(x)
!erfc(x)
|-
|0.00
|0.0000000
|1.0000000
|1.30
|0.9340079
|0.0659921
|-
|0.05
|0.0563720
|0.9436280
|1.40
|0.9522851
|0.0477149
|-
|0.10
|0.1124629
|0.8875371
|1.50
|0.9661051
|0.0338949
|-
|0.15
|0.1679960
|0.8320040
|1.60
|0.9763484
|0.0236516
|-
|0.20
|0.2227026
|0.7772974
|1.70
|0.9837905
|0.0162095
|-
|0.25
|0.2763264
|0.7236736
|1.80
|0.9890905
|0.0109095
|-
|0.30
|0.3286268
|0.6713732
|1.90
|0.9927904
|0.0072096
|-
|0.35
|0.3793821
|0.6206179
|2.00
|0.9953223
|0.0046777
|-
|0.40
|0.4283924
|0.5716076
|2.10
|0.9970205
|0.0029795
|-
|0.45
|0.4754817
|0.5245183
|2.20
|0.9981372
|0.0018628
|-
|0.50
|0.5204999
|0.4795001
|2.30
|0.9988568
|0.0011432
|-
|0.55
|0.5633234
|0.4366766
|2.40
|0.9993115
|0.0006885
|-
|0.60
|0.6038561
|0.3961439
|2.50
|0.9995930
|0.0004070
|-
|0.65
|0.6420293
|0.3579707
|2.60
|0.9997640
|0.0002360
|-
|0.70
|0.6778012
|0.3221988
|2.70
|0.9998657
|0.0001343
|-
|0.75
|0.7111556
|0.2888444
|2.80
|0.9999250
|0.0000750
|-
|0.80
|0.7421010
|0.2578990
|2.90
|0.9999589
|0.0000411
|-
|0.85
|0.7706681
|0.2293319
|3.00
|0.9999779
|0.0000221
|-
|0.90
|0.7969082
|0.2030918
|3.10
|0.9999884
|0.0000116
|-
|0.95
|0.8208908
|0.1791092
|3.20
|0.9999940
|0.0000060
|-
|1.00
|0.8427008
|0.1572992
|3.30
|0.9999969
|0.0000031
|-
|1.10
|0.8802051
|0.1197949
|3.40
|0.9999985
|0.0000015
|-
|1.20
|0.9103140
|0.0896860
|3.50
|0.9999993
|0.0000007
|}

{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
!x
!erfc(x)/2
|-
|1
|7.86496e−2
|-
|2
|2.33887e−3
|-
|3
|1.10452e−5
|-
|4
|7.70863e−9
|-
|5
|7.6873e−13
|-
|6
|1.07599e−17
|-
|7
|2.09191e−23
|-
|8
|5.61215e−30
|-
|9
|2.06852e−37
|-
|10
|1.04424e−45
|-
|11
|7.20433e−55
|-
|12
|6.78131e−65
|-
|13
|8.69779e−76
|-
|14
|1.51861e−87
|-
|15
|3.6065e−100
|-
|16
|1.16424e−113
|-
|17
|5.10614e−128
|-
|18
|3.04118e−143
|-
|19
|2.45886e−159
|-
|20
|2.69793e−176
|-
|21
|4.01623e−194
|-
|22
|8.10953e−213
|-
|23
|2.22063e−232
|-
|24
|8.24491e−253
|-
|25
|4.15009e−274
|-
|26
|2.8316e−296
|-
|27
|2.61855e−319
|}

注释

参见
古德温 - 斯塔顿积分

参考文献

外部链接
 MathWorld – Erf

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