ARIMA模型

在统计学与计量经济学所使用的时间序列分析中，自回归单整移动平均模型（ARIMA）和季节性ARIMA模型（SARIMA）分别是自回归移动平均模型（ARMA）向非平稳序列和周期性变化情形的推广。所有这些模型都是为了更好地理解时间序列并预测未来值而拟合的。这种推广的目的是使模型尽可能贴合数据。具体而言，ARMA模型假设序列具有平稳性，即其期望值不随时间变化。若序列存在趋势（但方差/自协方差保持恒定），可通过“差分”操作消除趋势，For further information on Stationarity and Differencing see https://www.otexts.org/fpp/8/1 得到平稳序列。这种操作实现了对ARMA模型的推广，对应着ARIMA中的“单整”（）部分。类似地，周期性变化可通过“季节性差分”操作消除。

 组成部分 
与ARMA模型类似，ARIMA中的“自回归”（）部分表示感兴趣的演进变量对其前期值进行回归；“移动平均”（）部分表示回归误差是同时期及过去不同时期误差项的线性组合；而“单整”（）部分表示数据值已被替换为当前值与前一值的差值（即通过差分操作消除趋势）。

根据，ARMA模型足以描述规则（亦称纯非确定性）的广义平稳时间序列。这促使我们在应用ARMA模型前，需先通过差分等操作将非平稳序列转化为平稳形式。 

若时间序列包含可预测子过程（亦称纯正弦或复值指数过程），则该可预测成分在ARIMA框架下被视为具有非零均值但周期性（即季节性）的成分，可通过季节性差分操作予以消除。

数学形式

非季节性ARIMA模型通常记作 ARIMA(p, d, q)，其中参数 p, d, q 为非负整数：p 表示自回归部分的阶数（时间滞后项的数量），d 表示单整的阶数（即数据经过差分操作的次数，即当前值与过去值相减的次数），q 表示移动平均部分的阶数。季节性ARIMA模型通常记作 ARIMA(p, d, q)(P, D, Q)m，其中大写字母 P, D, Q 分别对应季节性部分的自回归、单整（差分）、移动平均项，m 表示每个季节包含的周期数。 当三个参数中有两个为0时，模型名称可根据非零参数简化，省略缩写中的“”、“”或“”。例如，可简称为，称为，称为 。

给定时间序列数据 Xt，其中 t 为整数索引且 Xt 为实数，则  模型可表示为：

或等价形式：

其中为滞后算子，为模型自回归部分的参数，为移动平均部分的参数，为误差项。通常假设误差项为独立同分布的随机变量，服从均值为0的正态分布。

若多项式存在一个重数为 d 的单位根（即因子出现d次），则可将其重写为：

此时，ARIMA(p, d, q) 过程通过 p = p'−d 体现此多项式分解特性，其数学形式为：

该过程本质上是自回归多项式包含 d 个单位根的 ARMA(p+d, q) 过程。（这也是为何当 d > 0 时，严格符合ARIMA模型的过程不具有广义平稳性的原因。）

进一步推广后，模型形式为：

此时定义了一个具有漂移项的 ARIMA(p, d, q) 过程。

参见
 自相关函数
 ARMA模型
 有限冲激响应
 无限冲激响应


参考文献

延伸阅读



 Shumway R.H. and Stoffer, D.S. (2017). Time Series Analysis and Its Applications: With R Examples. Springer. DOI: 10.1007/978-3-319-52452-8
 ARIMA Models in R. Become an expert in fitting ARIMA (autoregressive integrated moving average) models to time series data using R.

外部链接
Lecture notes on ARIMA models by Robert Nau at Duke University

Category:時間序列模型