莫雷角三分線定理

在欧几里得幾何中，莫雷角三分線定理（Morley's theorem）說明對所有的三角形，其三個内角作角三分線，靠近公共边三分線的三個交點，是一個等邊三角形。此定理由法蘭克·莫雷在1899年發現。对外角作外角三分線，也會有类似的性质，可以再作出4個等邊三角形。

此定理沒辦法用尺規作圖作出其等邊三角形，因為已經證明出尺規作圖無法作出三等分角。

證明

引理
由三倍角公式及和差公式可得出：

引理證明


定理證明

在中：
是的三等分角
是的三等分角
是的三等分角

作6條角三分線分別為、、、、、，作、、在上，且、

容易得出，由此等式還可以得出以下三式：

由正弦定理可得出：

從這裡可以得出的三個內角，計算出和的正弦值：

我們知道：

從引理我們可以得出：

化簡後得出：

因為和相似，所以可得出：

同理可得出：

綜合以上結果，可得出，因此是等邊三角形

推廣
更一般的莫雷角三分線定理由Taylor和Marr於1914年發表，將6條角三分線順時鐘和逆時鐘旋轉120°，其交點共可得出27個不同的等邊三角形。

參見
三等分角
三角恆等式

參考資料
Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 253-256, 1929.
 Morley's Miracle — Several proofs of Morley's theorem 
 Morleys Theorem  MathWorld
 Morley's Trisection Theorem MathPages

Category:三角形几何
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