实函数

实函数（Real function），指定义域和值域均为实数集的子集的函数。實函數的特性之一是可以在坐標平面上畫出圖形。

 定義 
一個實函數  是一個把實數（一般以  表示）映射到另一實數（函數的值，一般以  表示）的函數。換句話說，實函數是一個函數 ，當中  是  一個包含至少一個開集的子集（可以等於 ）。

定義於所有非負實數的平方根函數便是一個例子：，當中  是所有非負實數的集合及對所有 ，。

 定義域 
一個實函數的定義域未必總是明確寫出。對任一定義域為  的實函數  和任一  的子集 ，可定義  對  的限制函數 。其定義域為  而對所有  的元素，函數的取值維持不變。若  是  的真子集，這兩個函數理論上並不相同，但往往可將兩者視為等同。

相反，有時函數的定義域可透過解析延拓或利用函數的連續性擴大。由此可見，明確指出實函數的未必有明顯價值。

 像與值域 
函數  的值域是指當  可取定義域內任何值時， 所有可能取值的集合。若  是連續實函數而其定義域是一個區間，那麼它的值域也會是一個區間（除非  是常數函數，此時其值域將是一點）。

對任何實數 ，方程式  所有實數解的集合稱為  的原像。

 代數結構 
實函數之間的運算可如下定義：
 對任意實數  及實函數 ，可定義兩者的積 。若  不等於 0，則此函數的定義域與  相同。
 對任何兩個實函數  和 ，可定義兩者的和  及積 。兩者的定義域均為  和  的定義域的交集。
由此，所有定義於全部實數和所有定義於某一特定區間的實函數分別組成  上的結合代數（也因此組成一個向量空間），其中加法和乘法單位元分別為常數函數  及 。

雖然對任意實函數  可定義 ，但由於此函數的定義域不包含所有使得  的  值，它不一定等於  的定義域，所以上述代數結構不構成一個體。

 參見 
 實分析
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