反函數

在數學裡，反函數，也稱為逆函数（），為對一個定函數做逆運算的函數。

 定義與存在性 
設為一函數，其定義域為，陪域為。如果存在一函數，其定義域和陪域分別為，並對任意有
、對任意有，則稱為的反函數，記之為。

若一函數有反函數，便稱此函數可逆。一函數可逆的充分必要条件是该函数为双射，即同时为單射和滿射。

若為一实函数，还可通過水平線測試判断其是否为单射、满射与双射。

 與限制的关系 

一部分函数尽管本身不可逆，但它到其定义域的某个子集上的限制是可逆的。例如

并不是单射，因和均为。但若取其到上的限制，则这一限制为双射，并拥有反函数

反三角函数是限制定义域的另一个例子。正弦、余弦等三角函数具有週期性，如

这意味着其并非单射。若要定义三角函数的反函数，则需要限定其定义域，如反正弦函数通常定义为正弦函数到上的限制的反函数。这一经过限制的定义域亦是反正弦函数的值域，称作其主值。

 性質 
原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。
原函数与其反函数的函数图像关于函数的图像对称。
严格单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。
拥有反函数的函数不一定是严格单调函数，例如

注释

 参考资料 

 另見 
 值域
 逆關係
 反函数定理

Category:集合論基本概念

Category:一元运算
Category:-1