递归

递归（），又译为-{zh-cn:递回; zh-tw:遞歸; zh-hk:遞迴;}-，在数学与计算机科学中，是指在函数的定义中使用函数自身的方法。递归一词还较常用于描述以自相似方法重复事物的过程。例如，当两面镜子相互之间近似平行时，镜中嵌套的图像是以无限递归的形式出现的。也可以理解为自我复制的过程。

 正式定义 
在数学和计算机科学中，递归指由一种（或多种）简单的基本情况定义的一类对象或方法，并规定其他所有情况都能被还原为其基本情况。

例如，下列为某人祖先的递归定义：
 某人的双亲是他的祖先（基本情况）。
 某人祖先的双亲同样是某人的祖先（递归步骤）。
斐波那契数列是典型的递归案例：

 （初始值）
 （初始值）
 对所有大於1的整数n：（递归定义）

尽管有许多数学函数均可以递归表示，但在实际应用中，递归定义的高开销往往会让人望而却步。例如：

 （初始值）
 对所有大於0的整数n：（递归定义）

一种便于理解的心理模型，是认为递归定义对对象的定义是按照“先前定义的”同类对象来定义的。例如：你怎样才能移动100个箱子？答案：你首先移动一个箱子，并记下它移动到的位置，然后再去解决较小的问题：你怎样才能移动99个箱子？最终，你的问题将变为怎样移动一个箱子，而这时你已经知道该怎么做的。

如此的定义在数学中十分常见。例如，集合论对自然数的正式定义是：1是一个自然数，每个自然数都有一个后继，这一个后继也是自然数。

以下是另一个可能更有利于理解递归过程的解释：

 我们已经完成了吗？如果完成了，返回结果。如果没有这样的终止条件，递归将会永远地继续下去。
 如果没有，则简化问题，解决较容易的问题，并将结果组装成原始问题的解决办法。然后返回该解决办法。 

这样就有一种更有趣的描述：“为了理解递归，则必须首先理解递归。”或者更准确地，按照的解释：“如果你已经知道了什么是递归，只需记住答案。否则，找一个比你更接近侯世达的人；然后让他／她来告诉你什么是递归。”原文：“If you already know what recursion is, just remember the answer. Otherwise, find someone who is standing closer to Douglas Hofstadter than you are; then ask him or her what recursion is.”

数学中常见的以递归形式定义的案例参见函数、集合以及分形等。

举例：编写一个程序使用递归求n的阶乘：

Haskell:

fac 0 = 1
fac n = n * fac (n-1)

main = print( fac 10 )

 语言中的例子 
从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，正在给小和尚讲故事呢！故事是什么呢？「从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，正在给小和尚讲故事呢！故事是什么呢？『从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，正在给小和尚讲故事呢！故事是什么呢？……』」
一只狗来到厨房，偷走一小块面包。厨子举起杓子，把那只狗打死了。于是所有的狗都跑来了，给那只狗掘了一个坟墓，还在墓碑上刻了墓誌銘，让未来的狗可以看到：「一只狗来到厨房，偷走一小块面包。厨子举起杓子，把那只狗打死了。于是所有的狗都跑来了，给那只狗掘了一个坟墓，还在墓碑上刻了墓誌銘，让未来的狗可以看到：『一只狗来到厨房，偷走一小块面包。厨子举起杓子，把那只狗打死了。于是所有的狗都跑来了，给那只狗掘了一个坟墓，还在墓碑上刻了墓誌銘，让未来的狗可以看到……』」
大雄在房裏，用時光電視看着从前的情況。電視畫面中的那個時候，他正在房裏，用時光電視，看着从前的情況。電視畫面中的電視畫面的那個時候，他正在房裏，用時光電視，看着从前的情況……

 數學之應用 

遞歸定義集

實例：自然數
關於遞歸定義集的經典範例，可透過自然數來說明：

 若， 則
 滿足上述兩個條件之最小集合，即為自然數集合

實例：可導出的命題集合

另一個有趣範例為，公理系統中，所有可導出命題之集合
 若一個命題為公理，則其為可導出之命題
 透過推理規則方式，若一個命題可以從可導出之命題所推論，則其為可導出之命題
 滿足上述條件之最小集合，為可導出之命題之集合
此集合稱為，可導出之命題之集合，因為在數學基礎方法中，依非建立性法構建的命題之集合，可能大於由公理系統及推理規則所遞歸構建出之集合，詳細請參見 哥德爾不完備定理

有限次分割法

有限次分割法為幾何形式之遞歸，可用以創建類碎形之圖案。次分割原則的運作如後所述，從多個已被有限個標籤標註的多邊形開始，接著每個多邊形僅根據其標籤，繼續細切到更小的多邊形，此一細切的過程可不斷重複。

递归定理
在集合论中，递归定理保证递归定义的函数存在。给定一个集合、的一个元素和一个函数，这个定理声称存在一个唯一的函数，这里的指称包含零的自然数集，它使得对于任何自然数有着：

戴德金首次提出了通过递归在上定义集合论函数的唯一性问题，并在1888年文章《数是什么且有何用？》中进行了梗概论述A. Kanamori, "In Praise of Replacement", pp.50--52. Bulletin of Symbolic Logic, vol. 18, no. 1 (2012). Accessed 21 August 2023.。

唯一性证明
选取两个函数和使得：

这里的是的一个元素。

可以通过数学归纳法证明对于所有自然数有着：

基础情况：，所以等式对于成立。

归纳步骤：假定对于某个有着，那么。
因此蕴涵了。

通过归纳，对于所有有着。

 参见 
 分形
 差分
 遞迴關係式
 塔珀自指公式
 无限反射镜
 遞迴 (電腦科學)
 迴圈

 参考文献 

 脚注 

 书目 





   - offers a treatment of corecursion.





 外部链接 
 Recursion - tutorial by Alan Gauld
 A Primer on Recursion - contains pointers to recursion in Formal Languages, Linguistics, Math and Computer Science
 Google easter for recursion 

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