皮克定理

給定頂點座標均是整點（或正方形格子點）的簡單多邊形，皮克定理說明了其面積  和內部格點數目  、邊上格點數目  的關係：。

證明
因為所有簡單多邊形都可切割為一個三角形和另一個簡單多邊形。考慮一個簡單多邊形  ，及跟  有一條共同邊的三角形  。若  符合皮克公式，則只要證明  加上  的  亦符合皮克公式（I），與及三角形符合皮克公式（II），就可根據數學歸納法，對於所有簡單多邊形皮克公式都是成立的。

多邊形
設  和  的共同邊上有  個格點。

  的面積： 
  的面積： 
  的面積：



三角形
證明分三部分：證明以下的圖形符合皮克定理：
 所有平行於軸線的矩形；
 以上述矩形的兩條鄰邊和對角線組成的直角三角形；
 所有三角形（因為它們都可內接於矩形內，將矩形分割成原三角形和至多3個第二點提到的直角三角形）。

矩形
設矩形  長邊短邊各有,個格點：









直角三角形
易見兩條鄰邊和對角線組成的兩個直角三角形全等，且  ,   相等。設其斜邊上有  個格點。









一般三角形
逆运用前面对2个多边形的证明：

既然矩形符合皮克定理，直角三角形符合皮克定理。又前面证明到若P，T符合皮克公式，则  加上  的  亦符合皮克公式。那么由于矩形可以分解成1个任意三角形和至多三个直角三角形。

于是显然有，只有当这个任意三角形也符合皮克定理的时候，才会使得在直角三角形符合的同时，矩形也符合。

推廣
 取格點的組成圖形的面積為一單位。在平行四邊形格點，皮克定理依然成立。套用於任意三角形格點，皮克定理則是。
 對於非簡單的多邊形，皮克定理，其中  表示  的欧拉示性数。
 高維推廣：Ehrhart多項式；一維：植樹問題。
 皮克定理和歐拉公式（）等價。

定理提出者
，1859年生於維也納，1943年死於特萊西恩施塔特集中營。

相關書籍
 《格點和-{面}-積》 閔嗣鶴著
外部連結
 以皮克定理證明歐拉公式 （英）
 談求面積的 Pick 公式，蔡聰明 
 http://www.cut-the-knot.org/ctk/Pick.shtml 

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