歐拉-馬斯刻若尼常數

歐拉-馬斯刻若尼常數是一个数学常数，定义为调和级数与自然对数的差值：

它的近似值为 oeis.org [2014-7-17]，

歐拉-馬斯刻若尼常數主要应用于数论。

 历史 
该常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1735年发表的文章De Progressionibus harmonicus observationes中定义。欧拉曾经使用作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家洛倫佐·馬斯凱羅尼引入了作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。

目前尚不知道该常数是否为有理数，但是分析表明如果它是一个有理数，那么它的分母位数将超过10242080。Havil 2003 p 97.

 性质 

 与伽玛函数的关系 

。

。

。

 与ζ函数的关系 

。

。

。

 积分 

的证明：

首先根据放缩法（）容易知道，，以及。因此存在并有限。

而

所以             



（单调收敛定理）

。



 级数展开式 

.

的连分数展开式为：

 .

 渐近展开式 

 已知位数 
+的已知位数 日期  位数  计算者 1734年  5  莱昂哈德·欧拉 1736年  15  莱昂哈德·欧拉 1790年  19  洛倫佐·馬斯凱羅尼 1809年  24  Johann G. von Soldner 1812年  40  F.B.G. Nicolai 1861年  41  Oettinger 1869年  59  William Shanks 1871年  110  William Shanks 1878年  263  约翰·柯西·亚当斯 1962年  1,271  高德纳 1962年  3,566  D.W. Sweeney 1977年  20,700  Richard P. Brent 1980年  30,100  Richard P. Brent和埃德温·麦克米伦 1993年  172,000  Jonathan Borwein 1997年  1,000,000  Thomas Papanikolaou 1998年12月  7,286,255  Xavier Gourdon 1999年10月  108,000,000  Xavier Gourdon和Patrick Demichel 2006年7月16日  2,000,000,000  Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo 2006年12月8日  116,580,041  Alexander J. Yee 2007年7月15日  5,000,000,000  Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo 2008年1月1日  1,001,262,777  Richard B. Kreckel 2008年1月3日  131,151,000  Nicholas D. Farrer 2008年6月30日  10,000,000,000  Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo 2009年1月18日  14,922,244,771  Alexander J. Yee和Raymond Chan 2009年3月13日  29,844,489,545  Alexander J. Yee和Raymond Chan 2013年  119,377,958,182  Alexander J. Yee 2016年  160,000,000,000  Peter Trueb 2016年  250,000,000,000  Ron Watkins 2017年  477,511,832,674  Ron Watkins 2020年  600,000,000,100  Seungmin Kim和Ian Cutress

 相关证明 

前面的放缩法主要证明了
 单调递减并下有界限（0），所以极限存在。放缩法的结论需要使用ln(1+x)和ln(1-x)的泰勒级数展开进行证明。

 參考文獻 
 Derives γ as sums over Riemann zeta functions.
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 外部連結 

Krämer, Stefan "Euler's Constant γ=0.577... Its Mathematics and History."
Jonathan Sondow.
Fast Algorithms and the FEE Method , E.A. Karatsuba (2005)
Further formulae which make use of the constant: Gourdon and Sebah (2004). 

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