伽利略变换

伽利略變換（）是-{zh-cn:经典力学; zh-hk:經典力學; zh-tw:古典力學}-中用以在兩個只以匀速相對移動的參考系之間變換的方法，屬於一種被動態變換。在相對論效應下，伽利略变换在物體以接近光速運動时不成立，在電磁系統中也不会成立。

伽利略·伽利莱在解釋匀速運動時制定了這一套概念。Galileo 1638 Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno á due nuoue scienze 191 - 196, published by Lowys Elzevir (Louis Elsevier), Leiden, or  Two New Sciences, English translation by Henry Crew and Alfonso de Salvio 1914, reprinted on pages 515-520 of On the Shoulders of Giants: The Great Works of Physics and Astronomy. Stephen Hawking, ed. 2002 ISBN 978-0-7624-1348-5他用其解釋球體滾下斜面這一力學問題，並測量出地球表面引力加速度的數值。

在狭义相对论中，伽利略变换被庞加莱变换所取代；相反，庞加莱变换的经典极限c →∞中的群收缩产生了伽利略变换。

平移
伽利略變換建基於人們加減物體速度的直覺。在其核心，伽利略變換假設時間和空間是絕對的。

這項假設在洛伦兹变换中被捨棄，因此就算在相對論性速度下，洛伦兹变换也是成立的；而伽利略變換則是洛伦兹变换的低速近似值。

以下為伽利略變換的數學表達式，其中和分別為同一個事件在兩個坐標系和中的坐標。兩個坐標系以相對匀速運行（速度為），運行方向為和，原點在時間時重合。
, Chapter 2 §2.6, p. 42 
, Chapter 38 §38.2, p. 1046,1047 
, Chapter 9 §9.1, p. 261 
, Chapter 5, p. 83 

最後一條方程式意味著時間是不受觀測者的相對運動影響的。

利用線性代數的術語來說，這種變換是個錯切，是矩陣對向量進行變換的一個過程。當參考系只沿著x軸移動時，伽利略變換只作用於兩個分量：

雖然在伽利略變換中沒有必要用到矩陣表達法，但是用了矩陣就可以和狹義相對論中的變換法進行比較。

三種伽利略變換

伽利略變換可以唯一寫成由時空的旋轉、平移和匀速運動複合而成的函數。設x為三維空間中的一點，t為一維時間中的一點。時空當中的任何一點可以表達為有序對(x,t)。速度為v的匀速運動表達為，其中v在R3內。平移表達為，其中a在R3內，b在R內。旋轉表達為，其中為某正交變換。作為一個李群，伽利略變換的維度為10。

这三种变换可更加数学化地表达为伽利略群H.R.Petry,B.Metsch; Theoretische Mechanik (Oldenburg, München 2005) 第18页 ISBN 3-486-24673-9。首先G为SO(3)中的旋转矩阵，3维内积在G的作用下保持不变，表达为:设在某t时刻有映射将空间上的某一点x映射到另一点上。可证得构成一个群。
结合律：为线性映射，线性映射满足结合律。

单位元：

逆映射：

封闭性：
对应的有：
空间平移：
速度变换：
空间旋转：
为不含时伽利略群，加上时间平移后映射构成一个完整伽利略群，其依旧满足群的性质。完整伽利略群具有10个生成元，分别为3个空间平移(x,y,z)，3个空间转动(对应3个坐标基矢），3个速度，以及一个时间平移。

伽利略群的中心擴張
這裡我們只考慮伽利略群的李代數。結果能夠輕易延伸到李群。L的李代數由H、Pi、Ci和Lij張成（反對稱張量），並能夠受交換子的作用，其中

H為時間平移的生成元（哈密顿算符），Pi為平移的生成元（動量算符），Ci為伽利略變換的生成元，而Lij為旋轉的生成元（角動量算符）。

現在我們可以對H'、P'i、C'i、L'ij（反對稱張量）、M所張成的李群進行中心擴張，使得M與一切都可交換（位於中心，「中心擴張」因此得名）：

參見
洛伦兹群
龐加萊群

備註

Category:理論物理
Category:经典力学