符号函数

符號函數（Sign function，簡稱sgn）是一個邏輯函數，用以判斷實數的正負號。為避免和英文讀音相似的正弦函數（sine）混淆，它亦稱為Signum function。其定義為：

性质
用艾佛森括號定義：

任何實數都可以表示為其絕對值和符號函數的積：


若x不為零，可以由上式得出符號函數的另一個定義：


符號函數是絕對值函數的導數：

除了在0，符號函數可微分，其導數為0。透過一般化微分概念，可以說符號函數的導數是狄拉克δ函數的兩倍：

它和單位步階函數的關係：


推广到复数
符號函數可以推廣到複數：對於任意，

对于任何z ∈ ，除了z = 0以外。复数z的符号函数，是复平面上中心为原点的单位圆上距离z最近的点。那么，对于z ≠ 0，有：

其中arg表示辐角。
出于对称的原因，并且为了实现对实数的符号函数的适当推广，对于z = 0，也常常在复数域中定义：  

符号函数在复数范围的另外一个推广是csgn函数，定义为：

即是在一四象限及 xy 轴正半轴為1，二三象限及 xy 轴负半轴为-1，原点為0。

对于 csgn，我们有（除了z = 0以外）：

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