切比雪夫滤波器

切比雪夫滤波器（又译柴比雪夫滤波器，），也被稱為等漣波濾波器（equal ripple filter），是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹波动的滤波器。在通带波动的为“I型切比雪夫滤波器”，在阻带波动的为“II型切比雪夫滤波器”。切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快，但频率响应的幅频特性不如后者平坦。切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最小，但是在通频带内存在幅度波动。

这种滤波器来自切比雪夫多项式，因此得名，用以纪念俄罗斯数学家巴夫尼提·列波维奇·切比雪夫（Пафнутий Львович Чебышёв）。

特性

I型切比雪夫滤波器

I型切比雪夫滤波器最为常见。

n阶第一类切比雪夫滤波器的幅度与频率的关系可用下列公式表示Rolf Schaumann et al, p295：

其中：

而 是滤波器在截止频率的放大率
  是 阶切比雪夫多项式Rolf Schaumann  p295-298：

切比雪夫多项式

其中 

或:

 n  切比雪夫多项式 0  1 1   2   3   4   5   6   7   8   9  10 

切比雪夫滤波器的阶数等于此滤波器的电子线路内独立的电抗元件（或元件组）数。

切比雪夫滤波器的幅度波动 = 分贝

当 ,切比雪夫滤波器的幅度波动= 3分贝。

如果需要幅度在阻频带边上衰减得更陡峭，可允许在复平面的 轴上存在零点。但结果会使通频带内振幅波动较大，而在阻频带内对信号抑制较弱。 这种滤波器叫椭圆函数滤波器或考尔滤波器。

II型切比雪夫滤波器

也称倒数切比雪夫滤波器，较不常用，因为频率截止速度不如I型快，也需要用更多的电子元件。II型切比雪夫滤波器在通频带内没有幅度波动，只在阻频带内有幅度波动。

II型切比雪夫滤波器的转移函数为：

参数 ε 与 阻频带的 衰减度 γ 有如下关系：

 分贝。

5分贝衰减度相当于ε = 0.6801; 10分贝衰减度相当于 ε = 0.3333。

截止频率 fC = ωC/2 π。

-3分贝频率fH 和截止频率 fC 有如下关系：

 使用范围 

 如果需要快速衰减而允许通频带存在少许幅度波动，可用第一类切比雪夫滤波器；如果需要快速衰减而不允许通频带存在幅度波动，可用第二类切比雪夫滤波器。

与其他滤波器的比较

下图比较四种同阶低通滤波器：（左上）巴特沃斯滤波器、（右上）I型切比雪夫滤波器、（左下）II型切比雪夫滤波器（右下）椭圆函数滤波器。

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两类切比雪夫滤波器比巴特沃斯滤波器陡峭； 但不如椭圆函数滤波器，然而后者幅度波动较大。

参考
 贝塞耳滤波器
 巴特沃斯滤波器
 梳状滤波器
 椭圆函数滤波器

参考文献

Rolf Schaumann,Haiqiao Xiao, Mac E.van  Valkenburg,  Analog Filter Design, 2nd Indian Edition, Oxford  University Press, 2013
Adel S. Sedra, Peter O. Brackett, Filter Theory and Design:Active and Passive, Matri Publishers Inc,1978

Category:電子學
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