利萨茹曲线

数学上，利萨茹（）曲线（又称利萨茹图形、李萨如图形或鲍迪奇（）曲线）是两个沿着互相垂直方向的正弦振动的合成的轨迹。

纳撒尼尔·鲍迪奇在1815年首先研究这一族曲线，朱尔·利萨茹在1857年作更详细研究。

 数学定义 

利萨茹曲线由以下参数方程定义：

其中，。

称为曲线的参数，是两个正弦振动的频率比。若比例为有理数，则，参数方程可以写作：
 ，

其中。

 性质 
若为无理数，曲线在长方形中稠密。
若为有理数， 
曲线是次代数曲线若对奇数，或对偶数。
曲线是次代数曲线的一部份若对奇数，或对偶数。

若为偶数而，或若为奇数而，则曲线是第个切比雪夫多项式的曲线的一部份。

 特别情况 
若，，则曲线是椭圆。
若，则这椭圆其实是圆。
若，则这椭圆其实是线段。
若，（所以），则曲线是besace。
若，则这besace是拋物线一部份。
若，则这besace是一个热罗诺双纽线。

以下是利萨茹曲线的例子，其中，, 是奇数，是偶数，。

 频率比1:n和n:1的情况 
 Δφ 1:1 1:2 1:3 2:10file:Lissajous 1 1 0.svgfile:Lissajous 1 2 0.svgfile:Lissajous 1 3 0.svgfile:Lissajous 2 1 0.svg¹/₄·πfile:Lissajous 1 1 0.25.svgfile:Lissajous 1 2 0.25.svgfile:Lissajous 1 3 0.25.svgfile:Lissajous 2 1 0.25.svg¹/₂·πfile:Lissajous 1 1 0.5.svgfile:Lissajous 1 2 0.5.svgfile:Lissajous 1 3 0.5.svgfile:Lissajous 2 1 0.5.svg³/₄·πfile:Lissajous 1 1 0.75.svgfile:Lissajous 1 2 0.75.svgfile:Lissajous 1 3 0.75.svgfile:Lissajous 2 1 0.75.svg1·πfile:Lissajous 1 1 1.svgfile:Lissajous 1 2 1.svgfile:Lissajous 1 3 1.svgfile:Lissajous 2 1 1.svg1¹/₄·πfile:Lissajous 1 1 1.25.svgfile:Lissajous 1 2 1.25.svgfile:Lissajous 1 3 1.25.svgfile:Lissajous 2 1 1.25.svg1¹/₂·πfile:Lissajous 1 1 1.5.svgfile:Lissajous 1 2 1.5.svgfile:Lissajous 1 3 1.5.svgfile:Lissajous 2 1 1.5.svg1³/₄·πfile:Lissajous 1 1 1.75.svgfile:Lissajous 1 2 1.75.svgfile:Lissajous 1 3 1.75.svgfile:Lissajous 2 1 1.75.svg2·πfile:Lissajous 1 1 2.svgfile:Lissajous 1 2 2.svgfile:Lissajous 1 3 2.svgfile:Lissajous 2 1 2.svg

 频率比n1:n2的情况 
 Δφ 2:3 Δφ 3:40file:Lissajous 2 3 0.svg0file:Lissajous 3 4 0.svg¹/₂·¹/₄·πfile:Lissajous 2 3 0.125.svg¹/₃·¹/₄·πfile:Lissajous 3 4 0.083.svg¹/₂·¹/₂·πfile:Lissajous 2 3 0.25.svg¹/₃·¹/₂·πfile:Lissajous 3 4 0.167.svg¹/₂·³/₄·πfile:Lissajous 2 3 0.375.svg¹/₃·³/₄·πfile:Lissajous 3 4 0.25.svg¹/₂·πfile:Lissajous 2 3 0.5.svg¹/₃·πfile:Lissajous 3 4 0.33.svg5/8·πfile:Lissajous 2 3 0.625.svg5/12·πfile:Lissajous 3 4 0.417.svg³/₄·πfile:Lissajous 2 3 0.75.svg¹/₂·πfile:Lissajous 3 4 0.5.svg7/8·πfile:Lissajous 2 3 0.875.svg7/12·πfile:Lissajous 3 4 0.583.svg1·πfile:Lissajous 2 3 1.svg²/₃·πfile:Lissajous 3 4 0.67.svg

 演示 
鼠标悬浮在两个数字上时，通过滚轮可以调节数字大小。

 在電子學上的應用 
藉由使用利萨茹圖形可以測量出兩個信號的頻率比與相位差。

 外部連結 
利萨茹曲线的Java 3D示範 

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