戴尔指数

戴尔指数（）又稱為泰爾指數，是一个衡量经济不平等的统计量。它也曾經用來衡量其他社會不平等現象，如種族隔離。

戴尔指数主要是利用資訊理論中的資訊熵的概念導出的。戴尔指数等於資訊冗餘，也就是資料最大可能資訊熵減去觀測到的資訊熵，它是的特例，可以被視為冗餘度、單樣性、不平等、非隨機性和可壓縮性的度量。

戴尔指数最早由荷兰鹿特丹伊拉斯姆斯大學的计量经济学家（）所提出。

数学公式
假設一個人口為N的群體，其收入分別為xi (i = 1,...,N)，則它的戴爾指數T定義為：


而戴爾指數L則定義為


其中为第个人的收入，为平均收入，为人口数量。加总符号中的第一项可以理解为个人在总收入中所占的比例，第二项为该个人相对于均值的收入。

如果收入分布是個離散分布函數 fk (k = 0,...,W)，其中fk是收入為k的人口比例，而W = Nμ 代表總收入，可以得知  。
它的戴爾指數T定義為：

這裡的一樣是收入平均


其中應注意到收入k是一個整數，k=1代表最小收入增量（比如新台幣1元）。

如果收入分布是個連續分布函數f(k)，k取值0到無窮，其中f(k) dk 是收入為k 到 k + dk的人口數量，那戴爾指數T定義為：

其中平均為：



一些常見連續概率分佈的戴尔指數如下表所示：

{| class="wikitable" style="float: left; margin-left: 1em;"
|-
! 收入分布函數 !! PDF(x) (x ≥ 0) !! 戴尔指数（納特）
|-
| 狄拉克δ函數 ||  || 0
|-
| 連續型均勻分布
||
|| 
|-
| 指數分布
||
|| 
|-
| 對數常態分布
||
||
|-
| 帕累托分布
||
||    (α>1)
|-
| 卡方分布
||
|| 
|-
| 伽瑪分布
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|| 
|-
| 韋伯分布
||
|| 
|}

如果每一个人都有相同的收入，即等于均值，则指数为零。如果某个个人拥有所有的收入，则指数为。TT 除以 可以將方程歸一化到0到1的範圍，但這樣違反: 並不符合衡量不平等的標準。

信息論推導
戴尔指数导自克勞德·夏農的信息熵，他的一般數學形式為：

其中 是從人群裡找到的機率。是玻爾茲曼常數。在信息論中，當信息以二進制數字給出時，並且對數基底為2。在物理學和戴爾指數的計算中，選擇自然對數作為對數基底。當替換成人均收入時，需要除以總收入達到歸一化。那可以導出，觀察到的信息熵為：



设为戴尔指数，为夏農熵，则有

其中，ln(N)是理論最大熵。香濃根据事件发生概率导出的其熵测度。它可以用戴尔系数解释为自某个特定个人处随机取得一块钱的概率。并与其第一项，即总收入中个人所占份额相同。
 符號  信息論 戴爾指數 TT   字符數  人口數   某個特定字符  某個特定人   第i個字符 character  第i個人的收入   總字符數  總收入   未被使用的資訊空間  未使用潛在價格機制

可分解性
戴尔指数的一个优点是它是某个子群体中不平等的加权和。例如，美国国内的不平等就是每个州的不平等的加权和，由该州收入相对于国家总收入的比值来加权。

如果人口被划分为个子群体， 为群体 的收入比例，为该子群体的戴尔指数，而  为子群体 的平均收入，则戴尔指数为



因此，我们可以说某个特定群体给总体“贡献了”一定数量的不平等。

另外一个被广泛使用的不平等度量为基尼系数，该系数对于很多人来说由于基于劳伦茨曲线而非常直观。但是它却没有戴尔指数容易分解。

參考文獻

外部連結
德克萨斯大学戴尔指数简介 （英文）
試算表: 收入不平等指标#电子表格计算
 免費在線計算器 計算基尼係數，繪製洛倫茲曲線，並為任何數據集計算許多其他濃度測量值
 Free Calculator: Online  and downloadable scripts (Python and Lua) for Atkinson, Gini, and Hoover inequalities
 Users of the R  data analysis software can install the "ineq" package which allows for computation of a variety of inequality indices including Gini, Atkinson, Theil.
 MATLAB 不平等包 。MATLAB不平等包，其中包括用於計算基尼，阿特金森，泰爾指數和標繪洛倫茨曲線的代碼

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