切比雪夫多项式

切比雪夫多项式（）是与棣莫弗定理有关，以递归定义的一系列正交多项式序列。 通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示， 第二类切比雪夫多项式用Un表示。切比雪夫多项式 Tn 或 Un 代表 n 阶多项式。

切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。

在微分方程的研究中，帕夫努季·切比雪夫提出切比雪夫微分方程：

和

相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。 这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形。

 定义 

第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定

也可以用母函数表示

第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出

此时母函数为

 从三角函数定义 
第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定

其中 n = 0, 1, 2, 3, .... .  是关于  的 n次多项式，这个事实可以这么看：  是:的实部（参见棣莫弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成 的幂 。

用显式来表示

尽管能经常碰到上面的表达式，但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有

类似，第二类切比雪夫多项式满足

 以佩尔方程定义 
切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程

在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见 Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:

 递归公式 

两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:

证明的方式是在下列三角关系式中用 代替

 正交性 

Tn 和Un 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系.

第一类切比雪夫多项式带权

即:

可先令x= cos(θ) 利用
Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.

类似地，第二类切比雪夫多项式带权

即:

其正交化后形成的随机变量是 Wigner 半圆分布).

 基本性质 

对每个非负整数，  和  都为 次多项式。 
并且当为偶（奇）数时，它们是关于 的偶（奇）函数， 在写成关于的多项式时只有偶（奇）次项。

时， 的最高次项系数为  ，时系数为 。

 最小零偏差 

对，在所有最高次项系数为1的次多项式中 ，  对零的偏差最小，即它是使得在 上绝对值的最大值最小的多项式。 
其绝对值的最大值为 ， 分别在 、  及  的其他  个极值点上达到 。

 两类切比雪夫多项式间的关系 

两类切比雪夫多项式间还有如下关系：

切比雪夫多项式是超球多项式或盖根堡多项式的特例, 后者是雅可比多项式的特例.

切比雪夫多项式导数形式的递推关系可以由下面的关系式推出：

 例子 


前几个第一类切比雪夫多项式是


前几个第二类切比雪夫多项式是

第一类切比雪夫多项式前几阶导数是

 按切比雪夫多项式的展开式 

一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下：

多项式按切比雪夫多项式的展开可以用 Clenshaw递推公式计算。

 切比雪夫根 

两类的n次切比雪夫多项式在区间[−1,1]上都有n 个不同的根, 称为切比雪夫根, 有时亦称做  ，因为是多项式插值时的 插值点 . 从三角形式中可看出Tn 的n个根分别是：

类似地， Un 的n个根分别是：

 参看 


 切比雪夫滤波器

 参考 

 M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Chapter 22. New York: Dover, 1972.

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