快樂數

快樂數有以下的特性：在給定的進位制下，該數字所有數字平方和（數位的平方和），得到的新數再次求所有數位的平方和，如此重複進行，最終結果必為1。
以十進位為例： 
2 8 → →  → 3 2 → →  → 3 7 → →  →  →  →  →  →  → 5 6 → →  →  →  →  →  →  →  →  → 
因此28和32是快樂數，而在37和56的計算過程中，數字會重複出現，繼續計算的結果只會是上述數字的循環（不快樂數循環），不會出現1，因此37和56不是快樂數。

不是快樂數的數稱為不快樂數（），所有不快樂數的數位平方和計算，最後都會進入 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 的循環中。

在十進位下，100以內的快樂數有：1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100，共20個。

 十进制下的快乐数 
 表格 
以下是小於100的快樂數表格，表示它是快樂數，表示它是不快樂數循環。
 00    02  03    05  06    08  09   11  12    14  15    17  18     21  22    24  25  26  27    29 30      33  34  35  36    38  39 40  41    43    45  46  47  48   50  51  52  53  54  55  56  57    59 60  61  62  63  64  65  66  67    69   71  72  73  74  75  76  77  78   80  81    83  84  85    87  88   90    92  93    95  96    98  99
以下是100到小於200的快樂數表格，表示它是快樂數，表示它是不快樂數循環。
   101  102    104  105  106  107  108   110  111  112  113  114  115  116  117  118  119 120  121  122  123  124  125  126  127  128     131  132    134  135  136  137  138   140  141  142  143  144    146  147  148  149 150  151  152  153  154  155  156  157  158  159 160  161  162  163  164  165  166    168  169 170  171  172  173  174  175    177  178  179 180  181  182  183  184  185  186  187    189   191      194  195  196  197  198  199
以下是200到小於300的快樂數表格，表示它是快樂數。
 200  201  202    204  205  206  207    209 210  211  212  213  214  215  216  217  218   220  221  222  223  224  225    227  228  229   231  232  233  234  235    237  238   240  241  242  243  244  245  246  247  248  249 250  251  252  253  254  255  256  257  258  259 260  261      264  265  266  267  268  269 270  271  272  273  274  275  276  277  278  279    281  282  283  284  285  286  287  288  289 290     292     294  295  296  297  298  299

300以內的快樂數沒有其中一位是5，300以內的數其中有一位是5，它一定不是快樂數。

以下是300到小於400的快樂數表格，表示它是快樂數。
 300      303  304  305  306  307  308  309   311  312    314  315  316  317  318     321  322  323  324  325    327  328   330    332  333  334  335  336  337    339 340  341  342  343  344  345  346  347  348  349 350  351  352  353  354  355    357  358  359 360  361    363  364    366      369 370  371  372  373  374  375    377  378   380   381  382    384  385    387  388  389 390       393   394  395  396    398  399

發現10*10、100*100等表格的快樂數表格有線對稱。

 因數 
以下是300以內的快樂數因數。
 快樂數  因數  因數個數  奇偶數 數字和 1  1  1  奇數  1 7  1、7  2  奇數  7 10  1、2、5、10  4 偶數  1 13  1、13  2  奇數  4 19  1、19  2  奇數  10 23  1、23  2  奇數  5 28  1、2、4、7、14、28  6 偶數  10 31  1、31  2  奇數  4 32  1、2、4、8、16、32  6 偶數  5 44  1、2、4、11、22、44  6 偶數  8 49  1、7、49  3  奇數  13 68  1、2、4、17、34、68  6  偶數  14 70  1、2、5、7、10、14、35、70  8 偶數  7 79  1、79  2  奇數  16 82  1、2、41、82  4 偶數  10 86  1、2、43、86  4 偶數  14 91  1、7、13、91  4  奇數  10 94  1、2、47、94  4 偶數  13 97  1、97  2  奇數  16 100  1、2、4、5、10、20、25、50、100  9 偶數  1 103  1、103  2  奇數  4 109  1、109  2  奇數  10 129  1、3、43、129  4  奇數  12 130  1、2、5、10、13、26、65、130  8 偶數  4 133  1、7、19、133  4  奇數  7 139  1、139  2  奇數  13 167  1、167  2  奇數 14 176  1、2、4、8、11、16、22、44、88、176  10 偶數 14 188  1、2、4、47、94、188  6 偶數 17 190  1、2、5、10、19、38、95、190  8 偶數 10 192  1、2、3、4、6、8、12、16、24、32、48、64、96、192  14 偶數 12 193  1、193  2  奇數 13 203  1、7、29、203  4  奇數 5 208  1、2、4、8、13、16、26、52、104、208  10 偶數 10 219  1、3、73、219  4  奇數 12 226  1、2、113、226  4 偶數 10 230  1、2、5、10、23、46、115、230  8 偶數 5 236  1、2、4、59、118、236  6 偶數 11 239  1、239  2  奇數  14 262  1、2、131、262  4 偶數 10 263  1、263  2  奇數 11 280  1、2、4、5、7、8、10、14、20、28、35、40、56、70、140、280  16  偶數 10 291  1、3、97、291  4  奇數 12 293  1、293  2  奇數 14

由表格可知：
128以內快樂數沒有因數3、6、9等數，如果128以內的數是3的倍數等，它一定不是快樂數。
1000以內快樂數沒有因數9、15、18、21等數，如果1000以內的數是9的倍數等，它一定不是快樂數。
1000以內快樂數同樣也沒有能被25整除但不能被100整除，即尾數是（25、50或75的數），如果1000以內的數是25的倍數但不是100的倍數，它一定不是快樂數。
1000以內的快樂數有143個，只有7個是3的倍數，129、192、219、291、888、912、921，機率:5%。
1000以內的快樂數有143個，有其中一位是5的只有12個，356、365、536、556、563、565、566、635、653、655、656、665，機率:8%。
1000以內的快樂數有143個，只有3個是25的倍數，100、700、1000，機率:2%。

 快樂質數 
300以內的快樂質數有：7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293，共15個。

 快樂完全數 
已知的51個完全數，只有3個是快樂數：28、496、8128。

其他進制的快樂數
三進制：1, 3, 9, 13, 17, 23, 25, 27, 31, 35, 37, 39, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 85, 89, 91, 93 
五進制：1, 5, 7, 11, 19, 23, 25, 27, 33, 35, 41, 43, 49, 51, 55, 79, 81, 83, 91, 93, 95, 99 
任何進制（最小快樂數且大於1）：2, 3, 2, 5, 6, 7, 8, 3, 7, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 17, 2, 5, 2, 21, 22, 23, 24, 5, 26, 27, 28, 3, 2, 31, 32, 33, 3, 35, 6, 31, 38, 39, 40, 13, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 7, 50, 51, 52, 31, 54, 53, 56, 57, 58, 59, 54, 61, 62, 63, 8, 65, 66, 67, 12, 69, 70, 71, 72

其他进制的不快樂數循環
2进制
每個數都是快樂數
3进制
2 → 11 → 2 
在十进制中為2 → 4 → 2
4进制
每個數都是快樂數
5进制
4  → 31  →20  → 4
在十进制中為4  → 16  → 10  → 4
23 → 23 
在十进制中為13 → 13
6进制
5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5 
在十进制中為5 → 25 → 17 → 29 → 41 → 26 → 20 → 13 → 5
7进制
2 → 4 → 22 → 11 → 2 
在十进制中為2 → 4 → 16 → 8 → 2
34 → 34 
在十进制中為25 → 25
8进制
4 → 20 → 4 
在十进制中為4 → 16 → 4
5 → 31 → 12 → 5 
在十进制中為5 → 25 → 10 → 5
32 → 15 → 32 
在十进制中為26 → 13 → 26
9进制
58 → 108 → 72 → 58 
在十进制中為53 → 89 → 65 → 53
55 → 55 
在十进制中為50 → 50
10进制
4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4
11进制
75 → 68 → 91 → 75 
在十进制中為82 → 74 → 100 → 82
23 → 12 → 5 → 23 
在十进制中為25 → 13 → 5 → 25
12进制
22 → 8 → 54 → 35 → 2A → 88 → A8 → 118 → 56 → 51 → 22
在十进制中為26 → 8 → 64 → 41 → 34 → 104 → 128 → 164 → 66 → 61 → 26
21 → 5 → 21
在十进制中為25 → 5 → 25
13进制
79 → A0 → 79
在十进制中為100 → 130 → 100
36 → 36
在十进制中為45 → 45
B2 → 98 → B2
在十进制中為145 → 125 → 145
67 → 67
在十进制中為85 → 85
14 → 14
在十进制中為17 → 17
16进制
D → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → D
在十进制中為13 → 169 → 181 → 146 → 85 → 50 → 13

其他性質
快樂數加入數字0或交換的數也是快樂數，不快樂數的情況也是。例如：49是快樂數，94、4900也是快樂數；123不是快樂數，321、10203、123000也不是快樂數
通过检查十进制中前一百万个快乐数，它们的自然密度似乎约为0.15。十进制快乐数也许没有渐近密度。快乐数的自然密度上限大于0.18577，下限小于0.1138。
十進位不快樂數的循環只有一個，是 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 。

 Python程式碼 
#ishappy number

def ishappy(n):
    a = []
    while n not in a:
        a.append(n)
        n = sum([int(x) **2 for x in str(n)])

    return 'happy' if n == 1 else 'unhappy'

相關條目
Fortunate數
哈沙德數
幸運數

參考資料

外部連結

Happy number calculator - 可以線上判斷數字是否為快樂數〔英文〕

Happy