逻辑等价

在逻辑中，陈述p和q是逻辑等价的，如果它们有相同的逻辑内容。

p和q是语法等价的，如果每个都可以证明自另一个。p和q是语义等价的，如果它们在所有模型中有相同的真值。

逻辑等价经常混淆于实质等价。前者是在元语言中的一个陈述，断言关于目标语言中的陈述p和q的某个事情。而p和q的实质等价（常写为"p ↔ q"）自身是在目标语言中另一个陈述。但它们是有联系的，p和q是语法等价的，当且仅当p ↔ q是一个定理，而p和q是语义等价的，当且仅当p ↔ q是重言式。

逻辑等价有时表示为p ≡ q或p ⇔ q。但是，后者记号也用于实质等价。

逻辑等价公式
 等价关系  关系名称 p∧T≡pp∨F≡p  Identity laws恒等律 p∨T≡Tp∧F≡F  Domination laws支配律 p∨p≡pp∧p≡p  Idempotent laws幂等律 ﹁(﹁p)≡p  Double negation laws双非律 p∨q≡q∨pp∧q≡q∧p  Commutative laws交换律 (p∨q)∨r≡p∨(q∨r)(p∧q)∧r≡p∧(q∧r)   Associative laws结合律 p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r)p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r)  Distributive laws分配律 ﹁(p∧q)≡﹁p∨﹁q﹁(p∨q)≡﹁p∧﹁q  De Morgan's laws德摩根律 p∨(p∧q)≡pp∧(p∨q)≡p  Absorption laws吸收律 p∨﹁p≡Tp∧﹁p≡F  Negation laws否定律

包括蕴涵的逻辑等价：
p→q≡﹁p∨q
p→q≡﹁q→﹁p
p∨q≡﹁p→q
p∧q≡﹁(p→﹁q)
﹁(p→q)≡p∧﹁q
(p→q)∧(p→r)≡p→(q∧r)
(p→q)∨(p→r)≡p→(q∨r)
(p→r)∧(q→r)≡(p∨q)→r
(p→r)∨(q→r)≡(p∧q)→r
包含双蕴涵（逻辑双条件）的逻辑等价：
p↔q≡(p→q)∧(q→p)
p↔q≡﹁p↔﹁q
p↔q≡(p∧q)∨(﹁p∧﹁q)
﹁(p↔q)≡p↔﹁q

例子
John高于Fred≡≡（等价于）≡≡Fred矮于John。

参见
逻辑双条件
蕴涵
等价符号

L