格拉姆-施密特正交化

在线性代数中，如果内积空间上的一组向量能够组成一个子空间，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得-{出}-子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。

这种正交化方法以和埃哈德·施密特命名，然而比他们更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为岩泽分解（Iwasawa decomposition）。

在数值计算中，Gram－Schmidt正交化是数值不稳定的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化。可以用于矩阵计算。

 记法 
 ：维数为n 的内积空间
 ：中的元素，可以是向量、函数，等等
 ：与的内积
 ：、……张成的子空间
 ：在上的投影

 基本思想 

Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。

设。是上的维子空间，其标准正交基为，且不在上。由投影原理知，与其在上的投影之差

是正交于子空间的，亦即正交于的正交基。因此只要将单位化，即

那么就是在上扩展的子空间的标准正交基。

根据上述分析，对于向量组张成的空间 ()，只要从其中一个向量（不妨设为）所张成的一维子空间开始（注意到就是的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到 的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。

 算法 

首先需要确定已有基底向量的顺序，不妨设为。Gram-Schmidt正交化的过程如下：



这样就得到上的一组正交基，以及相应的标准正交基。

例
考察如下欧几里得空间Rn中向量的集合，欧氏空间上内积的定义为<a, b> = bTa'''：

下面作Gram－Schmidt正交化，以得到一组正交向量：

下面验证向量与的正交性：

将这些向量单位化：

于是就是  的一组标准正交基底。

 不同的形式 

随着内积空间上内积的定义以及构成内积空间的元素的不同，Gram-Schmidt正交化也表现出不同的形式。

例如，在实向量空间上，内积定义为：

在复向量空间上，内积定义为：

函数之间的内积则定义为：

与之对应，相应的Gram－Schmidt正交化就具有不同的形式。

 参见 

 内积空间
 内积
 正交
 QR分解

 外部链接 

 Harvey Mudd College Math Tutorial on the Gram-Schmidt algorithm
 Earliest known uses of some of the words of mathematics: G 
 Demos: Gram Schmidt process in plane and Gram Schmidt process in space
 Gram-Schmidt orthogonalization applet 
 NAG Gram–Schmidt orthogonalization of n vectors of order m routine 
 Proof: Raymond Puzio, Keenan Kidwell. "proof of Gram-Schmidt orthogonalization algorithm" (version 8). PlanetMath.org. 

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