富比尼定理

富比尼定理（）是数学分析中有关重积分的一个定理，由数学家圭多·富比尼在1907年提出。富比尼定理给出了使用逐次积分的方法计算双重积分的条件。在这些条件下，不仅能够用逐次积分计算双重积分，而且交换逐次积分的顺序时，积分结果不变。「托內利定理」由数学家列奧尼達·托內利在1909年提出，与富比尼定理相似，但是是应用于非负函数而不是可积函数。Tonelli, Leonida (1909). "Sull'integrazione per parti". Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. (5). 18 (2): 246–253.

定理
若
，

其中A和B都是σ-有限测度空间，是和的积可测空间，是可测函数，那么
，

前二者是在两个测度空间上的逐次积分，但积分次序不同；第三个是在乘积空间上关于乘积测度的积分。

特别地，如果，则
。

如果条件中绝对值积分值不是有限，那么上述两个逐次积分的值可能不同。

非负函数的Tonelli定理
托內利定理延续了富比尼定理。托內利定理的结论与富比尼定理一样，但是条件从积分有限改为了非负。

应用
富比尼定理一个应用是计算高斯积分。高斯积分是很多概率论结果的基础：

 參考文獻 

Category:测度论
Category:积分学
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