单位根

数学上，次單位根是次冪為1的複數。它們位於复平面的单位圆上，構成正多边形的頂點，但最多只可有兩個頂點同時標在實數線上。

定义

这方程的複數根 為次單位根。

單位的 次根有 個：

。

本原根

單位的 次根以乘法構成階循環群。它的生成元是 次本原單位根。次本原單位根是，其中和互質。次本原單位根數目為歐拉函數。
全体i次单位根对普通乘法作成群，即i次单位根群。所有全体i次单位根群在普通乘法下也可作成群，且这是一个无限交换群，这个无限交换群里的每个元素的阶都有限。

例子

一次單位根有一個: 。

二次單位根有兩個: 和，只有是本原根。

三次单位根是

其中是虚數單位；除外都是本原根。

四次單位根是

其中和是本原根。

和式

當不小於时，次單位根總和為。這一結果可以用不同的方法證明。一個基本方法是等比級數：

。

第二個證法是它們在複平面上構成正多邊形的頂點，而從對稱性知這多邊形的重心在原點。

還有一個證法利用關於方程根與係數的韋達定理，由分圓方程的項係數為零得出。

Category:1

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Category:分圓域
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