费马引理

费马引理是实分析中的一个定理，以皮埃尔·德·费马命名。通过证明函数的每一个极值都是驻点（函数的导数在该点为零），该定理给出了一个求出可微函数的最大值和最小值的方法。因此，利用费马引理，求函数的极值的问题便化为解方程的问题。

需要注意的是，费马引理仅仅给出了函数在某个点为极值的必要条件。也就是说，有些驻点不是极值，它们是拐点。要想知道一个驻点是不是极值，并进一步区分最大值和最小值，我们需要分析二阶导数（如果它存在）。

 定理 
设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的，有
或
那么。

费马引理的一个推论是，函数f在定义域A内的最大值和最小值只能在边界上，不可导的点，或驻点取得。

 证明 
假设是一个极大值（如果是极小值，证明亦类似）。那么存在一个，使得对于所有的，都有。因此对于任何，有：

由于当从上方趋于0时，这个比值的極限存在且为，我们便有。另一方面，当时，我们注意到：

当从下方趋于0时，这个极限存在，且等于，我们又有。

因此。

 参见 
 罗尔定理
 微分中值定理

 外部链接 



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