埃尔米特矩阵

埃尔米特矩阵（，又译作厄米特矩阵，厄米矩阵），也稱自伴隨矩陣，是共轭對稱的方陣。埃尔米特矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的复共轭。例如就是一个埃尔米特矩阵。

显然，埃尔米特矩阵主对角线上的元素都是实数，其特征值也是实数。对于实矩阵，如果它是对称矩阵，则它也满足埃尔米特矩阵的定义，即，实对称矩阵是埃尔米特矩阵的特例。
 定义 
对于矩阵，若对A中任意元素和有：

其中为共轭算子，则记作，其中为共轭转置，称  为埃尔米特矩阵。

 性质 
 若  和  是埃尔米特矩阵，那么它们的和  也是埃尔米特矩阵；而只有在  和  满足交换性（即）时，它们的积才是埃尔米特矩阵。
 可逆的埃尔米特矩阵  的逆矩阵  仍然是埃尔米特矩阵。
 如果  是埃尔米特矩阵，对于正整数 ， 是埃尔米特矩阵。
 方阵  与其共轭转置的和是埃尔米特矩阵，
 方阵  与其共轭转置的差是斜埃尔米特矩阵。
 任意方阵  都可以用一个埃尔米特矩阵  与一个斜埃尔米特矩阵  的和表示：
。
 埃尔米特矩阵是正规矩阵，因此埃尔米特矩阵可被酉对角化，而且得到的对角阵的元素都是实数。这意味着埃尔米特矩阵的特征值都是实的，而且不同的特征值所对应的特征向量相互正交，因此可以在这些特征向量中找出一组Cn的正交基。
 n-阶埃尔米特矩阵的元素构成维数为  的实向量空间，因为主对角线上的元素有一个自由度，而主对角线之上的元素有两个自由度。
 如果埃尔米特矩阵的特征值都是正数，那么这个矩阵是正定矩阵，若它们是非负的，则这个矩阵是半正定矩阵。

 埃尔米特序列 

埃尔米特序列（亦或埃尔米特向量）指满足下列条件的序列 （其中 ）： 
。
若  是偶数，则 是实数。

实数序列的离散傅里叶变换是埃尔米特序列。反之，一个埃尔米特序列的逆离散傅里叶变换是实序列。

 参见 
 共轭转置
 正规矩阵
 辛矩阵
 酉群
 酉算子
 矩阵分解

 参考资料 

Category:矩陣