布豐投針問題

布豐投針問題（，又译“蒲丰投針問題”），是法國學者布丰於18世紀提出的一個数学問題：Histoire de l'Acad. Roy. des. Sciences (1733), 43–45; Histoire naturelle, générale et particulière Supplément 4 (1777), p. 46.

使用積分幾何能找到此題的解。用該方法可設計一個求π的蒙地卡羅方法，不過這並非布豐的本意。

 解法 
設針的長度是，平行線之間的距離為，為針的中心和最近的平行線的距離，為針和線之間的銳角。

且均匀分布，其機率密度函數為。 

且均匀分布，其機率密度函數為。

兩個隨機變數互相獨立，因此兩者結合的機率密度函數只是兩者的積：

當，針和線相交，然後對積分得出所求機率。

要求上式的積分需要分為兩種情況：“短針”以及“長針”；以下考慮“短針”情況，計算上式積分得針與線相交的機率：

作簡單變換可得,

當拋支針，其中有支針與線相交，利用多次重複試驗所觀察事件發生的頻率越來越接近機率的理論值。

近似可得

 拉扎里尼的估計 
1901年，意大利數學家马里奥·拉扎里尼（Mario Lazzarini）嘗試進行此實驗。他拋了3408次針，得到π的近似值為355/113。

拉扎里尼選取了一支長度是紋的距離的5/6的針。在這個情況，針和紋相交的機會是5/(3π)。如果想拋n次針而得到x次相交，π約等於。分母、分子少於五位數字，沒有比355/113更好的π的近似值了。因此，可以列式，得。

為求x的值接近這個數，可以重覆拋213次針，若有113次是成功的，便可終止實驗，宣布這個方法求π值準確度不低；否則，就再拋213次針，希望共有226次成功……這次反覆進行實驗。拉扎里尼做了次。

 參見 
伯特蘭悖論
蒙地卡羅方法

 參考文獻 

 外部連結 

 Buffon's Needle Problem  at cut-the-knot
 Math Surprises: Buffon's Noodle  at cut-the-knot
 MSTE: Buffon's Needle 
 Buffon's Needle Java Applet 
 Estimating PI Visualization (Flash) 
 Buffon's needle: fun and fundamentals (presentation)  at slideshare
 Animations for the Simulation of Buffon's Needle  by Yihui Xie using the R package animation
 3D Physical Animation  by Jeffrey Ventrella


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