區間

區間（）在數學上是指某個範圍的數的集合，或者更一般地是指某个范围的预序集元素的集合，一般以集合形式表示。

 簡說 
在初等代數，傳統上區間指一個集，包含在某兩個特定實數之間的所有實數，亦可能包含該兩個實數（或其中之一）。區間表示法是表示一個變數在某個區間內的方式。通用的區間表示法中，圓括號表示排除，方括號表示包括。例如，開區間表示所有在和之間的實數，但不包括或。另一方面，閉區間表示所有在和之間的實數，以及和。

 定义 
 实区间 
在赋予通常序的实数集里，以为端点的开区间和闭区间分别是：

类似地，以为端点的两个半开区间定义为：

在一些上下文中，两个端点要求满足。这排除了从而区间或是单元素集合或是空集的情形，也排除了从而区间为空集的情形。

只有左端点的开区间和半开区间分别如下。

只有右端点的开区间和半开区间分别如下。

整个实数线等于没有端点的区间：

 偏序集或预序集中的区间 
区间的概念在任何偏序集或者更一般地，在任何预序集中有定义。对于预序集和两个元素，我们可以类似定义

其中意思是。其实，只有一个端点或者没有端点的区间等同于更大的预序集

上具有两个端点的区间，使得它是的子集。当时，可以取为扩展实数线。

 序凸集和序凸分支 
预序集的子集是序凸集，如果对于任意以及任意有。与实区间的情形不同，预序集的序凸集不一定是区间。例如，在有理数的全序集中，

是序凸集，但它不是的区间，这是因为2的平方根在中是不存在的。

设是一个预序集，且。包含在中的的序凸集关于包含关系构成偏序集。这个偏序集的极大元叫做的序凸分支。由佐恩引理，包含在中的的任意序凸集包含于的一个序凸分支，然而这种序凸分支不一定是唯一的。在全序集中，这样的序凸分支确实唯一。也就是说，全序集的子集的序凸分支构成分划。

 區間算術 
區間算術又稱區間數學、區間分析、區間計算，在1950、60年代引進以作數值分析上計算捨去誤差的工具。

屬於的某些，及屬於的某些，使得

區間算術的基本運算是，對於實數線上的子集及：

被一個包含零的區間除，在基礎區間算術上無定義。

加法和乘法符合交換律、結合律和子分配律：集是的子集。

 另一種寫法 
在法国及其他一些欧洲国家，用代替來表示开区间，例如：

國際標準化組織編制的ISO 31-11也允許這種寫法。

另外，在小數點以逗號來表示的情況下，為免產生混淆，分隔兩數的逗號要用分號來代替，例如將寫成。若只把小數點寫成逗號，就會變成，此時不易判斷究竟是與之間，還是與之間的閉區間。

 參考 

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