自然對數

自然对数（）為以数学常数為底數的对数函数，標記作或，其反函数為指數函數。

自然对数积分定義為對任何正實數，由到所圍成，曲線下的面積。如果小於1，則計算面積為負數。

則定義為唯一的實數使得。

自然对数一般表示為，數學中亦有以表示自然對數。例如哈代和賴特所著的《數論入門》"Introduction to the theory of numbers" (1.7, Sixth edition, Oxford 2008)的注解 "log x is, of course the 'Napierian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest."（log x 當然是以e為基，x的「納皮爾」對數。「常用」對數在數學上毫無重要。）

歷史
十七世纪
約翰·納皮爾在1614年以及约斯特·比尔吉在6年後，分別發表了獨立編制的對數表，當時通過對接近1的底數的大量乘冪運算，來找到指定範圍和精度的對數和所對應的真數。當時還沒出現有理數冪的概念，按後世的觀點，約翰·納皮爾的底數0.999999910000000相當接近選取接近e的底數b，對數表涉及的bx為單調增函數，定義域為0到1而值域為1到b；選取接近1/e的底數b，對數表涉及的bx為單調減函數，定義域為0到∞而值域為1到0。，而约斯特·比尔吉的底數1.000110000相當接近自然對數的底數。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，約翰·納皮爾用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法以這個接近1的數為基礎。於1624年部份完成了常用對數表的編制。

形如的曲線都有一個代數反導數，除了特殊情況對應於雙曲線的，即雙曲線扇形；其他情況都由1635年發表的給出博納文圖拉·卡瓦列里在1635年的《Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota》中給出定積分：

其不定積分形式為：

獨立發現者還有：皮埃爾·德·費馬、和埃萬傑利斯塔·托里拆利。，其中拋物線的弓形面積由公元前3世紀的阿基米德完成（拋物線的弓形面積），雙曲線的弓形面積需要發明一個新函數。1647年將對數聯繫於雙曲線的弓形面積，他發現x軸上兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形同對應的扇形，在時面積相同，這指出了雙曲線從到的積分滿足設a=1，x軸上[a,b]兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形面積為f(b)，[c,d]對應的扇形面積為f(d)-f(c)，d=bc，即為f(bc)-f(c)，當且僅當f(bc)=f(b)+f(c)時，兩雙曲線扇形面積相等。：

1649年，將雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年，伊薩克·牛頓推廣了二項式定理，他將展開並逐項積分，得到了自然對數的無窮級數。“自然對數”最早描述見於尼古拉斯·麥卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中，他也獨立發現了同樣的級數，即自然對數的麥卡托級數。

十八世纪
大約1730年，歐拉定義互為逆函數的指數函數和自然對數為卡瓦列里弓形面積公式，對於負數值的n(x的負數冪)，由於在x = 0處有個奇點，因此定積分的下限為1，而不是0，即為：

歐拉的自然對數定義：,sections 1, 1., section 9-3, p. 484, 489：

1742年威廉·琼斯發表了現在的冪指數概念在最初的概念下，底數是接近1的數，而對數是整數；經過簡單變換後，底數變大了，成為接近數學常量e的數，而對數變小了，成為 x/n。。

形式定義
歐拉定義自然對數為序列的極限：

正式定義為積分，

這個函數為對數是因滿足對數的基本性質:

這可以通過將定義了的積分拆分為兩部份，並在第二部份中進行換元來證實:

冪公式可如下推出:

第二個等式使用了換元。

自然對數還有在某些情況下更有用的另一個積分表示：

性質


(參見複數對數)






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!證明
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 導數 
300px|thumb|right|的泰勒多項式只在範圍內有逐步精確的近似。

自然對數的導數為

證明一（微積分第一基本定理）:

證明二：按此影片

设

设

用自然對數定義的更一般的對數函數，，根據其逆函數即一般指數函數的性質，它的導數為：

根據鏈式法則，以為參數的自然對數的導數為

右手端的商叫做的，通過的導數的方法計算叫做對數微分, p. 386。

冪級數
自然對數的導數性質導致了在0處的泰勒級數，也叫做麥卡托級數：

對於所有但不包括
把代入中，可得到自身的級數。通過在麥卡托級數上使用歐拉變換，可以得到對絕對值大於1的任何有效的如下級數:

這個級數類似於贝利-波尔温-普劳夫公式。

還要注意到是自身的逆函數，所以要生成特定數的自然對數，簡單把代入中。

對於

自然數的倒數的總和

叫做調和級數。它與自然對數有密切聯繫：當趨於無窮的時候，差

收斂於欧拉-马歇罗尼常数。這個關係有助於分析算法比如快速排序的性能。, sections 11.5 and 13.8

積分
自然對數通過分部積分法積分:

假設:

所以:



自然對數可以簡化形如的函數的積分：的一個原函數給出為。這是基於鏈式法則和如下事實:

換句話說，

且

例子
下面是的例子：

設且：

與雙曲函數的關係
在18世紀，約翰·海因里希·蘭伯特介入雙曲函數，並計算雙曲幾何中雙曲三角形的面積。對數函數是在直角雙曲線下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數指數函數，即要形成指定雙曲角，在漸近線即x或y軸上需要有的或的值。顯見這裡的底邊是，垂線是。

通過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：

單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線下雙曲角的。

連分數
儘管自然對數沒有簡單的連分數，但有一些廣義連分數如:

這些連分數特別是最後一個對接近1的值快速收斂。但是，更大的數的自然對數，可以輕易的用這些更小的數的自然對數的加法來計算，帶有類似的快速收斂。

例如，因為，2的自然對數可以計算為:

進而，因為，10的自然對數可以計算為:

複數對數

指數函數可以擴展為對任何複數得出複數值為的函數，只需要簡單使用為複數的無窮級數；這個指數函數的逆函數形成複數對數，並帶有正常的對數的多數性質。但是它涉及到了兩個困難：不存在使得；並且有著。因為乘法性質仍適用於複數指數函數，，對於所有複數和整數。

所以對數不能定義在整個複平面上，並且它是多值函數，就是說任何複數對數都可以增加的任何整數倍而成為等價的對數。複數對數只能在切割平面上是單值函數。例如，或或等等；儘管，不能定義為或或，以此類推。

主值定義
對於每個非0複數，主值是虛部位於區間內的對數。表達式不做定義，因為沒有複數滿足。

要對給出一個公式，可以先將表達為極坐標形式，。給定，極坐標形式不是確切唯一的，因為有可能向增加的整數倍，所以為了保證唯一性而要求位於區間內；這個叫做幅角的主值，有時寫為或。則對數的主值可以定義為Sarason, Section IV.9.：

例如，。

 科学應用 
自然指数有应用於表达放射性衰變的过程，如放射性原子数目的微分方程随时间变化率，常数为原子衰变概率，积分得。

註釋

参考资料

延伸阅读
John B. Conway, Functions of one complex variable, 2nd edition, Springer, 1978.
Serge Lang, Complex analysis, 3rd edition, Springer-Verlag, 1993.
Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964.
Donald Sarason, Complex function theory , 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.
 and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.

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