洛必达法则

洛必達法則（又稱罗比塔法则）（，）是一种利用導數來計算具有不定型極限的方法。該法則以法國數學家纪尧姆·德·洛必达的名字命名，但實际上是由瑞士數學家約翰·伯努利所發現。

敘述
洛必達法則可以求出特定函數趨近於某數的極限值。令（擴展實數），兩函數在以為端點的開區間可微，，並且。

如果  或  其中一者成立，則稱欲求的極限為未定式。

此時洛必达法则表明：

。

對於不符合上述分數形式的未定式，可以通過運算轉為分數形式，再以本法則求其值。以下列出數例：
欲求的極限條件轉換為分數形式的方法（1）  或  （2）（3） 或（4）
注意：不能在数列形式下直接用洛必達法則，因為對於離散變量是无法求导数的。但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理（Stolz－Cesàro theorem）作为替代。

 證明 
下面仅给出  的证明。

设两函數及在a 點附近连续可导，及都在 a 點連續，且其值皆為 0 ，

为了叙述方便，假设两函数在 a 点附近都不为0。另一方面，两函数的导数比值在 a 点存在，记为

由極限的定义，对任何一个（試想像y軸），都存在（試想像x軸），使得对任意的，都有：

而根据柯西中值定理（逆定理），对任意的，都存在一个介于和之间的数，使得： 
{| 
|  
|  
|- 
| 于是，
|  
|}

因此，
极限

例子
{|
|
|
|-
|
|    
| 
|}

{|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|}

{|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|}

{|
|
|
|-
|
|
|}

{|
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|}

参阅
极限

参考文献
来源

 洛必达法则-百度百科 [2025-10-07]
参考

Category:包含证明的条目
Category:微積分定理
Category:实分析定理
Category:极限