积 (范畴论)

范畴论中，积（或直积）的概念提取了集合的笛卡儿积、群的积、环的积、拓扑空间的积等概念的共性。本质上讲，一组对象的积是到这些对象都有态射的对象中最具代表性的。

定义

给定范畴C。C中一对象集{Xi | i ∈ I}的积为满足下面泛性质的偶(X, (πi))，其中X为一对象，πi : X → Xi（i ∈ I）为一组态射：对任意对象Y及其到Xi的一组态射fi，存在唯一的态射f : Y → X满足，对任意i ∈ I，fi = πi f。即，对任意i，下图可交换。


若该组对象仅有两个，积通常用X1×X2来表示。上图变为：


此时，此唯一态射f也常表示为<f1,f2>。

讨论

积为范畴论中的一种极限。积也即C中离散子范畴的极限。积不一定存在。但若存在，则由其定义易知其在同构的意義下唯一。

空积（I为空时所得的积）即终对象。

若C中对任意基于I的对象集均存在积，则该积也可以看做一个从CI到C的函子。

集合{Xi}的积通常记为∏i Xi。态射πi也称为自然投影。如下自然同构成立：

（HomC(U,V)表示C中从U到V的态射集；左侧的积为范畴意义上的积、右侧的为集合的笛卡儿积）。

若I为有限集，例如I = {1,...,n}，则X1,...,Xn的积通常记为X1×...×Xn。

设C存在有限积，采用上述积函子的定义，并用1表示C的终对象（空积），则下列自然同构成立：

上述为构成一个交换幺半群的条件。

举例

 Set的积为集合的笛卡儿积。
 由偏序构成的范畴：一组元素的积为该组元素的最大下界。

参见
 泛性质
 上积 – 积的对偶概念
 极限与上极限
 Equalizer
 反极限
 笛卡儿闭范畴

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