曲率形式

微分几何中，曲率形式（）描述了主丛上的联络的曲率。它可以看作是黎曼几何中的曲率张量的替代或是推广。

定义

令 G 为一个李群，记 G 的李代数为 。设  为一个主 G-丛。令  表示 E 上一个埃雷斯曼联络（它是一个E上的 g-值 1-形式）。

那么曲率形式就是 E 上的 g-值 2-形式，定义为

这里  表示标准外导数， 是李括号，而 D 表示外共变导数。或者说

向量丛上的曲率形式
若  是一个纤维丛，其结构群为 G，我们可以在相伴的主 G-丛上重复同样的定义。

若  是一个向量丛则我们可以把  看作是 1-形式的矩阵，则上面的公式取如下形式：

其中  是楔积。更准确地讲，若  和  分别代表  和  的分量（所以每个  是一个通常的 1-形式而每个  是一个普通的2-形式），则

例如，黎曼流形的切丛，我们有  作为结构群而  是在  中取值的 2-形式（给定标准正交基，可以视为反对称矩阵）。在这种情况， 是曲率张量的一种替换表述，也就是在曲率张量的标准表示中，我们有

上式使用了黎曼曲率张量标准记号。

比安基恒等式
如果  是标架丛上的典范向量值 1-形式，联络形式 ω 的挠率  是由结构方程定义的向量值 2-形式：

这里 D 代表外共变导数。

第一比安基恒等式（对于标架丛的有挠率联络）取以下形式

第二比安基恒等式对于一般有联络的丛成立，并有如下形式

参看
联络 (主丛)
陈-西蒙斯形式（Chern-Simons form）
黎曼流形的曲率
规范场论

参考

S.Kobayashi and K.Nomizu, "Foundations of Differential Geometry", Chapters 2 and 3, Vol.I, Wiley-Interscience.

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