卢津定理

卢津（）定理是实分析的定理。約略來說，這定理指可測函數差不多是連續函數。

定理敘述
一維形式
設是可測函數，對任何，都存在緊緻集，使得，而且f限制到E上是連續函數。此處是勒貝格測度。

證明
因為f可測，所以在一個測度任意小的開集以外，f是有界函數。在開集上重定義f為0，那麼f在[a,b]上有界，因而是可積函數。因為連續函數在可積函數的空間中稠密，存在連續函數序列依L1範數收斂至f，即。故此有子序列幾乎處處收斂至f。從葉戈羅夫定理可知，除了一個測度任意小的開集外，一致收斂至f。因為連續函數的一致收斂極限仍是連續的，故此f在此開集外連續。取E為以上兩個開集的並集在[a,b]中的補集，那麼原本的f在E上連續。

多維形式
設是上的正則博雷爾測度，是可測函數。X是中的可測集，而且，那麼對任意，X中存在緊緻集K，使得，而且f限制到K上是連續函數。

首先，對每個正整數i，構造緊緻集和在其上的連續函數，使得

且在上有

構造方法如下：

將分成兩兩不交的博雷爾集，使得每個集的直徑都小於1/i。函數f可測，所以每個集的原像是可測集。令，則將X分成兩兩不交的可測集。

由於是博雷爾正則測度，且，於是限制到X上是拉東測度。由拉東測度的內正則性，在中存在緊緻子集，使得

所以全部子集的不交並集的測度

因為，可以取足夠大的N使得

令。有限個緊緻集的並集是緊緻集，所以緊緻。因此滿足要求。

對j=1,..., N，在中任取一點，並在上定義。

因為在上，f的值包含在中，故此f和相差小於1/i。而是兩兩不交的緊緻集，故兩兩間的距離都是正數，所以在上是連續函數。因此滿足要求。

取，K是緊緻集，並有

函數列在K上一致收斂到f。一致收斂保持函數的連續性，所以f在K上連續。

參考
Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure theory and fine properties of functions. CRC Press. 

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