因式分解

因式分解，在这里是指多項式因式分解（），在數學中一般理解為把一個多項式分解為兩個或多個的因式的過程。在這個過後會得出一堆較原式簡單的多項式的積。例如单元多項式可被因式分解為。又如二元多項式因式分解為。如果我们允许多項式系数从整数扩大到複整數，那么可被因式分解為。通常分解获得的每个因式要是不可约多项式（）。也就是不能再分解了。

 定义 
数域上每个高于一次的多项式都可以分解为该数域P上的多个不可约多项式的乘积，为因式分解。

在复数域上，每个不可约多项式都是一次的，因此高于一次的复系数多项式，都可以唯一地分解为多个一次式之积。

在实数域上，不可约的多项式都是一次或二次的，因此高于一次的实系数多项式，都可以唯一地分解为一次、二次多项式之积。

在有理数域上，不可约多项式可以有任何次。例如，在有理数范围内，当为正整数时，关于的多项式无法再分解。

 因式分解定理 
数域F上每个次数的多项式都可以分解成数域F上一些不可约多项式的乘积，并是唯一的，即如果有两个分解式

其中和都是数域F上的不可约多项式，那么必有，而且可以适当排列因式的次序，使得

,其中是一些非零常数

 分解方法 
公因式分解(抽)
原则：

 分解必須要彻底（即分解後之因式均不能再做分解）
 結果最後只留下小括號
 結果的多項式首項為正。
在一個公式內把其公因子抽出，例子：

其中，是公因子。因此，因式分解後得到的答案是：

其中，是公因子。因此，因式分解後得到的答案是：

 公式法 
兩個立方數之和

兩個立方數之差

兩個n次方數之差

兩個奇數次方數之和

分组分解法
透過公式重組，然後再抽出公因數，例子：

 拆添项法
透過添項然後減掉，然後再抽出公因數，例子：

或者透過分裂某項，然後再抽出公因數，例子：

其中，可以被拆成和。所以，可以被寫成。因此，

其中，可以被拆成和。所以，可以被寫成。因此，

 十字交乘法 

十字交乘法（cross method），也叫做十字相乘法。它实際上是拆添項法的一個變形，只不過用十字形矩陣來表示。

 一次因式檢驗法 
一個整係數的一元多項式，假如它有整係數因式，且p,q互質，則以下兩條必成立：（逆敘述並不真）

不過反過來說，即使當和都成立時，整係數多項式也不一定是整係數多項式的因式

另外一個看法是：

一個整係數的ｎ次多項式，若是f(x)之因式，且p,q互質，則：（逆敘述並不真）

 参见 
 因数分解
 高斯整數分解
 多項式
 根
 十字相乘
 乘法公式

注释

 延伸閱讀 
Burnside, William Snow; Panton, Arthur William (1960) [1912], The Theory of Equations with an introduction to the theory of binary algebraic forms (Volume one), Dover
Dickson, Leonard Eugene (1922), First Course in the Theory of Equations, New York: John Wiley & Sons
Fite, William Benjamin (1921), College Algebra (Revised), Boston: D. C. Heath & Co.
Klein, Felix (1925), Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint; Arithmetic, Algebra, Analysis, Dover
Selby, Samuel M., CRC Standard Mathematical Tables (18th ed.), The Chemical Rubber Co

Category:多項式
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