不可數集

不可數集（）是無窮集合中的一種。一個無窮集合和自然數集之間要是不存在一個双射，那麼它就是一個不可數集。集合的不可数性与它的基数密切相关：如果一个集合的基数大于自然数的基数，那么它就是不可数的。

 定義 
不可数集有许多等价的定義。一个集合是不可数集，当且仅当以下任何一个条件成立：
 不存在从到自然数集合的单射函数。
 的基数既不是有限的，又不等于（阿列夫-0，自然数集合的基数）。
 的基数严格大于。

 性质 
 如果不可数集是集合的子集，则是不可数集。

 例子 

不可数集的最广为人知的例子，是所有实数的集合；对角论证法证明了这个集合是不可数的。对角论证法也可以用来证明一些其它的集合是不可数的，例如所有自然数的无穷序列的集合（甚至是所有-{只}-由0和1所组成的无穷序列的集合），以及自然数集合的所有子集所组成的集合。的基数通常记为、，或。

康托尔集是的一个不可数子集。它是一个分形，其豪斯多夫维大于零，但小于一（的维数是一）。这是以下事实的一个例子：如果的某個子集有严格大于零的豪斯多夫维，那麼它一定是不可数的。

另外一个不可数集的例子，是所有从到的函数的集合。这个集合比更“不可数”，因为它的基数是，它比还要大。

一个更加抽象的例子，是所有可数序数的集合，记为或。的基数记为。利用选择公理，可以证明是最小的不可数基数。于是，实数的基数，要么等于，要么严格比它大。康托尔是第一个提出是否等于的问题的人。在1900年，希尔伯特把这个问题作为他的23个问题之一。的陈述现在称为连续统假设，現已知道它獨立于集合论的ZF公理（包括选择公理）。

 参见 
可数集
阿列夫数
自然数
单射函数

 参考文献 
Halmos, Paul，Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.

 外部链接 
证明R是不可数集 

Category:无穷集合论基本概念
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