罗尔定理

以法国数学家米歇尔·罗尔命名的罗尔中值定理（）是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，叙述如下：如果函数满足

 在闭区间上连续；
 在开区间内可微分；
 在区间端点处的函数值相等，即，

那么在内至少有一点，使得。

 证明 
首先，因为在闭区间上连续，根据极值定理，在上有最大值和最小值。如果最大值和最小值都在端点或处取得，由于，显然是一个常数函数。那么对于任一点，我们都有。

现在假设在处取得最大值。我们只需证明在该点导数为零。

取，由最大值定义，那么。令，则。因为在处可导，所以我们有。

取，那么。这时令，则有，所以。

于是，結合兩者，。

在处取得最小值的情况同理。

 例子 

 第一个例子 

考虑函数
。

（其中r > 0。）它的图像是中心位于原点的半圆。这个函数在闭区间[−r,r]内连续，在开区间(−r,r)内可导（但在终点−r和r处不可导）。由于f(−r) = f(r)，因此根据罗尔定理，存在一个导数为零的点。

 第二个例子 


如果函数在区间内的某个点不可导，则罗尔定理的结论不一定成立。对于某个a > 0，考虑绝对值函数：

。

那么f(−a) = f(a)，但−a和a之间不存在导数为零的点。这是因为，函数虽然是连续的，但它在点x = 0不可导。注意f的导数在x = 0从-1变为1，但不取得值0。

 推广形式 
第二个例子表明罗尔定理下面的一般形式：

考虑一个实数，f(x)是在闭区间[a,b]上的连续函数，并满足f(a) = f(b).如果对开区间(a,b)内的任意x，右极限

而左极限

在扩展的实数轴[−∞,∞]上存在，那么开区间(a,b)内就存在c使得这两个极限

和

中其中一个≥ 0，另一个≤ 0（在扩展的实数轴上）。如果对任何x左极限和右极限都相同，那么它们对c也相等，于是在c处f的导函数存在且等于零。

 在 𝑓 的两个相邻实根之间，𝑓′ 的零点个数是奇数 

设 ，并先把重根去掉（若有重根， 在该点已为零，结论更易）。设

是  的相邻实根，即  内没有其它  的根。把  分解为

其中  在  上不为零，因而符号恒定。两端求导得

由于  同号，而 ，可见

即  在端点异号。于是  在开区间  内的零点个数必为奇数（连续函数两端异号 ⇒ 过零次数为奇数）。这就给出了 Rolle 结论，并且加强为“奇数个”。

 参见 
 中值定理

参考文献

外部链接



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