数学形态学

数学形态学（Mathematical morphology） 是一门建立在格论和拓扑学基础之上的图像分析学科，是数学形态学图像处理的基本理论。其基本的运算包括：腐蚀和膨胀、开运算和闭运算、骨架抽取、极限腐蚀、击中击不中变换、形态学梯度、Top-hat变换、颗粒分析、流域变换等。

二值形态学
在二值形态学中，一个图案被看做是  维欧几里得空间  或网格 的子集。

结构元素
在二值结构学中，结构元素为一个二值影像，作为分析影像时使用的「探针」，代表当处理影像上的某点时、要取出周围的哪些点进行运算。Morphological Image Analysis; Principles and Applications by Pierre Soille, ISBN 3-540-65671-5 (1999), 2nd edition (2003)

以下是几个常用的结构元素(将原图写作A、结构元素写作B)：

 待处理影像为二维类比影像 ，使用的结构元素B为一以原点为圆心、半径为r的圆盘。
 待处理影像为二维类比影像 ，使用的结构元素B为一以原点为中心的3x3方形。
 待处理影像为二维类比影像 ，使用的结构元素B为一以原点为中心的十字形，或写作。

基础运算子
二值形态学的基础运算子为具平移对称性的、与闵可夫斯基和直接相关的运算子。基础运算子包含膨胀、腐蚀，以及由前两者组合而成的开运算、闭运算。

膨胀
膨胀(Dilation)的定义为「位於某个点的探针(结构元素)是否有探测到物件？」一个影像A经过结构元素B膨胀後的结果可写为：

.

其中，代表结构元素平移x後的点集合，b是图像B的元素的坐标。

另外也可写为：

.

同上，其中是指二值影像A经过平移-b後新的点集合。

腐蚀
腐蚀(Erosion)的定义为「位於某个点的探针(结构元素)是否全都有探测到物件？」一个影像A经过结构元素B腐蚀後的结果可写为：

.

开运算、闭运算
开运算(Opening)与闭运算(Closing)是使用相同结构函数的腐蚀与膨胀的组合：

开运算为先腐蚀再膨胀，
.

闭运算为先膨胀再腐蚀
.

基础运算子的性质
 所有的运算子具有
 所有的运算子都是递增的，例：如果 ，则  且 
 膨胀具有交换律，例：
 膨胀具有结合律，例：；另外腐蚀则为 
 如果B包含原点(0,0)，则有 
 膨胀与腐蚀间的关系为：，上标代表补集，上标代表对原点的点对称集合。
 开运算与闭运算间的关系为：
 膨胀对联集有分配律，例：；腐蚀对交集有分配律，例：
 膨胀与腐蚀为彼此的广义逆运算： 若且为若 
 开运算与闭运算是冪等的：

历史
数学形态学诞生于1964年，由当时国立巴黎高等矿业学校的马瑟荣（G. Matheron）和赛拉（J. Serra）两人共同奠定了其理论基础。1968年4月法国枫丹白露数学形态学研究中心成立，巴黎矿业学院为中心提供了研究基地。

20世纪数学形态学的发展过程可大致分为：
60年代的孕育和形成期
70年代的充实和发展期
80年代的成熟和对外开放期
90年代至今的扩展期

參考資料

外部链接
数学形态学的发展史（英文）
图像的膨胀与腐蚀、细化 

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