克莱因瓶

在数学领域中，克莱因瓶（）是指一种无定向性的平面，比如二维平面，就没有“内部”和“外部”之分。克莱因瓶最初的概念提出是由德国数学家费利克斯·克莱因提出的。克莱因瓶和莫比烏斯環非常相像。

要想像克萊因瓶的結構，可先試想一個底部鏤空的紅酒瓶。現在延長其頸部，向外扭曲後伸進瓶子的內部，再與底部的洞相連接。

和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有“边”，它的表面不会终结。它也不类似于气球，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面（所以说它没有内外部之分）。

其名稱可能源自德語中的「」（克萊因平面），後來被誤解為「」（克萊因瓶）。德語最終也沿用了「克萊因瓶」這種稱呼。

 性质 
从拓扑学角度上看，克莱因瓶可以定义为[0,1] × [0,1]的矩阵，边定义为(0,y) ~ (1,y)，其中0 ≤ y ≤ 1；和(x,0) ~ (1-x,1)，其中0 ≤ x ≤ 1。

可以用图表示为
Image:Klein Bottle Folding 1.svg

就像莫比乌斯带一样，克莱因瓶是不可定向的。但是与之不同的是，克莱因瓶是一个闭合的曲面，也就是说它没有边界。莫比乌斯带可以嵌入到三维或更高维的欧几里得空间，克莱因瓶只能嵌入到于四维或更高维空间。

 参数方程模型 
克莱因瓶的参数十分复杂：

还有一个较简单的

 参见 

 莫比乌斯带
 三叶结
 銜尾蛇

 参考资料 

Category:曲面