晶系

晶体通常可分为七種晶系，即立方晶系、六方晶系、四方晶系、三方晶系、正交晶系、单斜晶系、三斜晶系。其中的立方晶系具有各向同性，属于高级晶族。

 晶系的特徵 

晶系的特徵與細分關係如下表: 
晶族晶系點群的對稱性點群空間群布拉菲晶格特征晶格系統三斜無221 α≠β≠γ≠90°，a≠b≠c三斜單斜1個兩次對稱軸 或 1個對稱面3132 α=γ=90°，β≠90°，a≠b≠c單斜正交/斜方3個兩次對稱軸 或 1個兩次對稱軸+2個對稱面 3594 α=β=γ=90°，a≠b≠c正交/斜方四方/正方1個四次對稱軸7682 α=β=γ=90°，a=b≠c四方/正方六方三方1個三次對稱軸571 α=β=γ≠90°，a=b=c三方181α=β=90°，γ=120°，a=b≠c六方六方1個六次對稱軸727立方/等轴4個三次對稱軸5363 α=β=γ=90°，a=b=c立方/等轴67共计32230147

布拉菲晶格

這14種布拉菲晶格可分成7種晶系，每種晶系又可依中心原子在晶胞中的位置不同再分成6種晶格：

 簡單（P）：晶格點只在晶格的八個頂點處
 體心（I）：除八個頂點處有晶格點外，晶胞中心還有一個晶格點
 面心（F）：除八個頂點處有晶格點外，在六個面的中央還有一個晶格點
 底心（A，B或C）：除八個頂點處有晶格點外，在晶胞的一組平行面（A，B或C）的每個面中央還有一個晶格點

7種不同晶系與每種晶系的6種不同晶格共有7 × 6 = 42種組合，但是有些組合其實是相同的，都能組成14種布拉菲晶格。例如，單斜晶系的體心晶格可以通過單斜晶系的底心（C）晶格選擇不同的晶軸得到，所以這兩種其實是同一種；同樣，所有的底心（A）、底心（B）晶格都相當於底心（C）或簡單（P）晶格。因此，去除相同的組合，可以得到14種不同的布拉菲晶格，列於下表（晶格圖下方是代表該布拉菲晶格的皮尔逊符号，表中空白的格表示於已有的晶格重複）：
晶系点阵常数特征 布拉菲晶格 简单（P）  底心（C）  体心（I）  面心（F） 三斜晶系a≠b≠c，α≠β≠γ≠90°  80px|Triclinic 單斜晶系 a≠b≠c，α=γ=90°≠β 80px|Monoclinic, simple 80px|Monoclinic, centered 斜方晶系（正交晶系）a≠b≠c，α=β=γ=90° 80px|Orthohombic, simple 80px|Orthohombic, base-centered 80px|Orthohombic, body-centered 80px|Orthohombic, face-centered 四方晶系 a=b≠c，α=β=γ=90° 80px|Tetragonal, simple 80px|Tetragonal, body-centered 三方晶系（棱方晶系）a=b=c，α=β=γ≠90° 80px|Rhombohedral 六方晶系 a=b≠c，α=β=90º，γ=120° 80px|Hexagonal 等軸晶系（立方晶系）a=b=c，α=β=γ=90°  80px|Cubic, simple 80px|Cubic, body-centered 80px|Cubic, face-centered

每一個單位晶格的體積可以由計算得知。其中,和是晶格向量。各種布拉菲晶格的體積如下：
晶系 体积 三斜晶系 單斜晶系 斜方晶系  四方晶系  三方晶系  六方晶系 等軸晶系  

 晶体学点群 

熊夫利记号

在熊夫利中，点群是用字母符号加上数字下标表示的。下面简述晶体学中使用的这种符号的意义：

Cn（循环群）表示该群有一根n次旋转轴。Cnh是Cn加上一个与旋转轴垂直的镜面（反映）对称元素。Cnv则是Cn加上n个与旋转轴平行的镜面对称元素。
S2n（源自德语Spiegel，意思是镜面）表示一根只含有2n次旋转反映轴（简称映轴）。
Dn（二面体群）表示这个群只有一根n次旋转轴和n根垂直于这根主轴的二重轴。Dnh是加上一个与n次旋转轴垂直的镜面。Dnd则是Dn是加上n个与n次旋转轴平行的镜面。
字母T（四面体）表示这个群有四面体的对称性。Td则包括了旋转反映操作，T群本身则不包含旋转反映操作，Th则是T群加上与旋转轴垂直的镜面。
字母O（八面体）表示该群具有八面体或者立方体的对称性，可能包括（Oh）或不包括（O）旋转反映操作。

根据晶体局限定理，在二维或三维空间中n的取值只有1、2、3、4和6。

 n 1 2 3 4 6 Cn C1 C2 C3 C4 C6 Cnv C1v=C1h C2v C3v C4v C6v Cnh C1h C2h C3h C4h C6h Dn D1=C2 D2 D3 D4 D6 Dnh D1h=C2v D2h D3h D4h D6h Dnd D1d=C2h D2d D3d D4d D6d S2n S2 S4 S6  S8  S12
D4d和D6d实际上是不存在的，因为它们分别包含了n=8和12的旋转反映轴。表格中剩下的27种点群与T、Td、Th、O和Oh共同组成32种晶体学点群。

 赫尔曼–莫甘记号 

赫尔曼–莫甘记号的一种简略形式广泛用于表示空间群，也用于描述晶体学点群。群的名称列在下表中；点群间相互之关系可见右图。

1 2  2⁄m222 m mm2 mmm3   32 3m m4 4⁄m 422 4mm 2m 4⁄mmm6  6⁄m 622 6mm 2m 6⁄mmm23 m 432 3m mm

不同记号关系

晶族  晶系 赫尔曼–莫甘（完整记号） 赫尔曼–莫甘（简写记号） 舒勃尼科夫   熊夫利 轨形记号考克斯特记号  阶 三斜 1  1   C1  11  [ ]+  1      Ci = S2   x  [2+,2+] 2 单斜 2  2   C2  22  [2]+  2 m  m   Cs = C1h  *  [ ]  2   2/m    C2h   2*  [2,2+]  4 正交   222 222  D2 = V  222  [2,2]+  4 mm2  mm2   C2v  *22  [2]  4   mmm   D2h   *222  [2,2]  8 四方  4  4   C4   44  [4]+  4      S4  2x  [2+,4+] 4    4/m   C4h   4*  [2,4+]  8422  422    D4  422  [4,2]+  84mm  4mm   C4v   *44  [4]  8 2m  2m    D2d   2*2  [2+,4]  8   4/mmm    D4h  *422  [4,2]  16 六方 三方  3  3    C3   33  [3]+  3     S6 = C3i   3x  [2+,6+] 6 32  32    D3   322  [3,2]+  6 3m  3m    C3v   *33  [3]  6  m    D3d  2*3  [2+,6]  12 六方6  6    C6   66  [6]+  6       C3h   3*  [2,3+]  6   6/m    C6h   6*  [2,6+]  12 622  622    D6   622  [6,2]+  12 6mm  6mm   C6v   *66  [6]  12 m2  m2    D3h   *322  [3,2]  12   6/mmm    D6h   *622  [6,2]  24 立方 23  23    T   332  [3,3]+  12   m    Th   3*2  [3+,4]  24 432  432     O    432  [4,3]+  24 3m  3m    Td   *332  [3,3]  24   mm    Oh   *432  [4,3]  48

 其它維度 
 二維 
二維空間具有相同數量的晶系、晶族和晶格。在二維空間有四種晶系：斜晶系、矩晶系、方晶系、六方晶系。

 四維  

‌四維晶胞由四個邊長（a、b、c、d）和六個軸間角（α、β、γ、δ、ε、ζ）定義。以下晶格參數條件定義了23種晶系。

+ 四維晶系 No. 晶系（1985年Whittaker命名） 邊長 軸間角 1 Hexaclinic a ≠ b ≠ c ≠ d α ≠ β ≠ γ ≠ δ ≠ ε ≠ ζ ≠ 90° 2 Triclinic a ≠ b ≠ c ≠ d α ≠ β ≠ γ ≠ 90°δ = ε = ζ = 90° 3 Diclinic a ≠ b ≠ c ≠ d α ≠ 90°β = γ = δ = ε = 90°ζ ≠ 90° 4 Monoclinic a ≠ b ≠ c ≠ d α ≠ 90°β = γ = δ = ε = ζ = 90° 5 Orthogonal a ≠ b ≠ c ≠ d α = β = γ = δ = ε = ζ = 90° 6 Tetragonal monoclinic a ≠ b = c ≠ d α ≠ 90°β = γ = δ = ε = ζ = 90° 7 Hexagonal monoclinic a ≠ b = c ≠ d α ≠ 90°β = γ = δ = ε = 90°ζ = 120° 8 Ditetragonal diclinic a = d ≠ b = c α = ζ = 90°β = ε ≠ 90°γ ≠ 90°δ = 180° − γ 9 Ditrigonal (dihexagonal) diclinic a = d ≠ b = c α = ζ = 120°β = ε ≠ 90°γ ≠ δ ≠ 90°cos δ = cos β − cos γ 10 Tetragonal orthogonal a ≠ b = c ≠ d α = β = γ = δ = ε = ζ = 90° 11 Hexagonal orthogonal a ≠ b = c ≠ d α = β = γ = δ = ε = 90°, ζ = 120° 12 Ditetragonal monoclinic a = d ≠ b = c α = γ = δ = ζ = 90°β = ε ≠ 90° 13 Ditrigonal (dihexagonal) monoclinic a = d ≠ b = c α = ζ = 120°β = ε ≠ 90°γ = δ ≠ 90°cos γ = −cos β 14 Ditetragonal orthogonal a = d ≠ b = c α = β = γ = δ = ε = ζ = 90° 15 Hexagonal tetragonal a = d ≠ b = c α = β = γ = δ = ε = 90°ζ = 120° 16 Dihexagonal orthogonal a = d ≠ b = c α = ζ = 120°β = γ = δ = ε = 90° 17 Cubic orthogonal a = b = c ≠ d α = β = γ = δ = ε = ζ = 90° 18 Octagonal a = b = c = d α = γ = ζ ≠ 90°β = ε = 90°δ = 180° − α 19 Decagonal a = b = c = d α = γ = ζ ≠ β = δ = εcos β = − − cos α 20 Dodecagonal a = b = c = d α = ζ = 90°β = ε = 120°γ = δ ≠ 90° 21 Diisohexagonal orthogonal a = b = c = d α = ζ = 120°β = γ = δ = ε = 90° 22 Icosagonal (icosahedral) a = b = c = d α = β = γ = δ = ε = ζcos α = − 23 Hypercubic a = b = c = d α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
由1985年Whittaker命名。

名字幾乎與Brown等人的命名相同，只有9、13、22名稱不同。括號是他們命的名。 

四維晶族、晶系、晶格系之間的關係如下表所示。 Enantiomorphic systems are marked with an asterisk. The number of enantiomorphic pairs is given in parentheses. Here the term "enantiomorphic" has a different meaning than in the table for three-dimensional crystal classes. The latter means, that enantiomorphic point groups describe chiral (enantiomorphic) structures. In the current table, "enantiomorphic" means that a group  itself (considered as a geometric object) is enantiomorphic, like enantiomorphic pairs of three-dimensional space groups P31 and P32, P4122 and P4322. Starting from four-dimensional space, point groups also can be enantiomorphic in this sense.

+ 四維晶體系統 晶族序 晶族（英文） 晶系（英文） 晶系序 點群 空間群 布拉菲晶格 晶格 I Hexaclinic 1 2 2 1 Hexaclinic P II Triclinic 2 3 13 2 Triclinic P, S III Diclinic 3 2 12 3 Diclinic P, S, D IV Monoclinic 4 4 207 6 Monoclinic P, S, S, I, D, F V Orthogonal Non-axial orthogonal 5 2 2 1 Orthogonal KU 112 8 Orthogonal P, S, I, Z, D, F, G, U Axial orthogonal 6 3 887 VI Tetragonal monoclinic 7 7 88 2 Tetragonal monoclinic P, I VII Hexagonal monoclinic Trigonal monoclinic 8 5 9 1 Hexagonal monoclinic R 15 1 Hexagonal monoclinic P Hexagonal monoclinic 9 7 25 VIII Ditetragonal diclinic* 10 1 (+1) 1 (+1) 1 (+1) Ditetragonal diclinic P* IX Ditrigonal diclinic* 11 2 (+2) 2 (+2) 1 (+1) Ditrigonal diclinic P* X Tetragonal orthogonal Inverse tetragonal orthogonal 12 5 7 1 Tetragonal orthogonal KG 351 5 Tetragonal orthogonal P, S, I, Z, G Proper tetragonal orthogonal 13 10 1312 XI Hexagonal orthogonal Trigonal orthogonal 14 10 81 2 Hexagonal orthogonal R, RS 150 2 Hexagonal orthogonal P, SHexagonal orthogonal 15 12 240 XII Ditetragonal monoclinic* 16 1 (+1) 6 (+6) 3 (+3) Ditetragonal monoclinic P*, S*, D* XIII Ditrigonal monoclinic* 17 2 (+2) 5 (+5) 2 (+2) Ditrigonal monoclinic P*, RR* XIV Ditetragonal orthogonal Crypto-ditetragonal orthogonal 18 5 10 1 Ditetragonal orthogonal D 165 (+2) 2 Ditetragonal orthogonal P, Z Ditetragonal orthogonal 19 6 127 XV Hexagonal tetragonal 20 22 108 1 Hexagonal tetragonal P XVI Dihexagonal orthogonal Crypto-ditrigonal orthogonal* 21 4 (+4) 5 (+5) 1 (+1) Dihexagonal orthogonal G* 5 (+5) 1 Dihexagonal orthogonal P Dihexagonal orthogonal 23 11 20 Ditrigonal orthogonal 22 11 41 16 1 Dihexagonal orthogonal RR XVII Cubic orthogonal Simple cubic orthogonal 24 5 9 1 Cubic orthogonal KU 96 5 Cubic orthogonal P, I, Z, F, U Complex cubic orthogonal 25 11 366 XVIII Octagonal* 26 2 (+2) 3 (+3) 1 (+1) Octagonal P* XIX Decagonal 27 4 5 1 Decagonal P XX Dodecagonal* 28 2 (+2) 2 (+2) 1 (+1) Dodecagonal P* XXI Diisohexagonal orthogonal Simple diisohexagonal orthogonal 29 9 (+2) 19 (+5) 1 Diisohexagonal orthogonal RR 19 (+3) 1 Diisohexagonal orthogonal P Complex diisohexagonal orthogonal 30 13 (+8) 15 (+9) XXII Icosagonal 31 7 20 2 Icosagonal P, SN XXIII Hypercubic Octagonal hypercubic 32 21 (+8) 73 (+15) 1 Hypercubic P 107 (+28) 1 Hypercubic Z Dodecagonal hypercubic 33 16 (+12) 25 (+20) 共計 23 (+6) 33 (+7) 227 (+44) 4783 (+111) 64 (+10) 33 (+7)

 參見 
 空间群列表
 布拉菲晶格
 分子对称性
 拉波特规则
 点群
 空间群
 三维点群
 理论化学
 矿物学
 矿物列表
 岩石列表
 准矿物

 假想化合物

參考資料
 Cornelis Klein, Barbara Dutrow, 2007. Manual of Mineral Science, 23rd Edition

外部連結

Overview of the 32 groups
Mineral galleries – Symmetry
all cubic crystal classes, forms, and stereographic projections (interactive java applet)
Crystal system  at the Online Dictionary of Crystallography 
Crystal family  at the Online Dictionary of Crystallography 
Lattice system  at the Online Dictionary of Crystallography 
Conversion Primitive to Standard Conventional for VASP input files 
Learning Crystallography 

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