勒让德符号

勒让德符号，或二次特征，是一个由阿德里安-马里·勒让德在1798年尝试证明二次互反律时引入的函数A. M. Legendre Essai sur la theorie des nombres Paris 1798, p 186在欧拉（1783年）和勒让德（1786年）的作品中有所讲述。首先由高斯在1796年证明，在DA（1801年）出版；arts. 107-144（第一个证明），253-262（第二个证明）。这个符号是许多高次剩余符号的原型Lemmermeyer, p.xiv “即使在像双二次互反律的简单情况下，我们仍然需要区分四个不同的符号，即Z[i]中的二次和双二次剩余符号，Z中的勒让德符号，以及Z中的有理二次剩余符号……”；其它延伸和推广包括雅可比符号、克罗内克符号、希尔伯特符号，以及阿廷符号。

 定义 

勒让德符号（有时为了印刷上的方便，写成(a|p))有下列定义：

{| border="0"
|rowspan=3|
|rowspan=3|
| 如果
|-
| 如果，且对于某个整数
|-
| 如果不存在整数，使得。 
|}

如果(a|p) = 1，a 便称为二次剩余(mod p)；如果(a|p) = −1，则 a 称为二次非剩余(mod p)。通常把零视为一种特殊的情况。

a 等于0、1、2、……时的周期数列(a|p)，又称为勒让德数列，有时把{0,1,-1}的数值用{1,0,1}或{0,1,0}代替。Jeong-Heon Kim and Hong-Yeop Song, "Trace Representation of Legendre Sequences," Designs, Codes, and Cryptography 24, p. 343–348 (2001).

 勒让德符号的公式 

勒让德原先把他的符号定义为：Lemmermeyer p. 8

欧拉在之前证明了如果a是二次剩余(mod p)，(a|p) = 1；如果a是二次非剩余，(a|p) = -1；这个结论现在称为欧拉准则。

除了这个基本定义式以外，还有其它(a|p)的表达式，它们当中有许多都在二次互反律的证明中有所使用。

高斯证明了Gauss, "Summierung gewisser Reihen von besonderer Art" (1811), reprinted in Untersuchungen ... pp. 463-495. Crandall & Pomerance p. 92如果，那么：

这是他对二次互反律的第四个Gauss, "Summierung gewisser Reihen von besonderer Art" (1811), reprinted in Untersuchungen ... pp. 463-495、第六个Gauss, "Neue Beweise und Erweiterungen des Fundamentalsatzes in der Lehre von den quadritischen Resten" (1818) reprinted in Untersuchungen ... pp. 501-505，以及许多在Lemmermeyer的最初四章有所讲述后续的证明的基础。参见高斯和。

克罗内克的证明Lemmermeyer, ex. p. 31, 1.34是建立了

然后把p和q互换。

艾森斯坦的一个证明Lemmermeyer, pp. 236 ff.是从以下等式开始：

把正弦函数用椭圆函数来代替，他也证明了三次和四次互反律。

 其它含有勒让德符号的公式 

斐波那契数1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ……由递推公式F1 = F2 = 1，Fn+1 = Fn + Fn-1定义。

如果p是素数，则：



例如： 







这个结果来自卢卡斯数列的理论，在素性测试中有所应用。Ribenboim, p. 64; Lemmermeyer, ex 2.25-2.28, pp. 73-74.参见沃尔-孙-孙素数。

 性质 

勒让德符号有许多有用的性质，可以用来加速计算。它们包括：

（它是一个完全积性函数。这个性质可以理解为：两个剩余或非剩余的乘积是剩余，一个剩余与一个非剩余的乘积是非剩余。）

如果a ≡ b (mod p)，则

这个性质称为二次互反律的第一补充。

这个性质称为二次互反律的第二补充。一般的二次互反律为：

如果p和q是奇素数，则

参见二次互反律和二次互反律的证明。

以下是一些较小的p的值的公式：

对于奇素数p，

对于奇素数p，

但一般直接把剩余和非剩余列出更简便：

对于奇素数p，

勒让德符号(a|p)是一个狄利克雷特征(mod p)。

 计算例子 

以上的性质，包括二次互反律，可以用来计算任何勒让德符号。例如：

 相关函数 

雅可比符号是勒让德符号的一个推广，允许底数为合数，但底数仍然必须是奇数和正数。这个推广提供了计算所有勒让德符号的一个有效的方法。
一个进一步的推广是克罗内克符号，把底数的范围延伸到一切整数。

 注释 

 参考文献 

 外部链接 
雅可比符号计算器

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