切丛

数学上，一个微分流形M的切丛(tangent bundle) T(M)是一个由M各點上切空間組成的向量丛，其總空間是各切空间的不交并：

總空間T(M)每个元素都是一个二元组(x,v)，其中v是在点x的切空间Tx(M)內的一枚向量。
切丛有自然的2n维微分流形结构如下：

設：
為自然的投影映射，将(x,v)映射到基点x；
若M是个n维流形，U是x的一个足夠小的邻域，
φ :U→Rn是一个局部坐标卡，
V是U在T(M)的前象V（)），则存有一个映射ψ : V  → Rn × Rn：ψ(x, v) = (φ(x), dφ(v)).
这个映射定义了T(M)的一个坐标图。

背景知识见微分流形条目。

拓扑和光滑结构

切丛带有一个自然的拓扑（不是不交并拓扑（disjoint union topology））以及微分结构，使得它自己成为一个流形。T(M)的维数是M的两倍。

每个n维向量空间的切空间是一个n维向量空间。那么作为一个集合，T(M)和M × Rn同构。但作为一个流形，T(M)并不总是和积流形M × Rn微分同胚。这在切丛是平凡的时候是真的。就象流形局部由欧几里得空间构造一样，切丛局部构造在M × Rn上。

若M是一个n维流形，则它有一个图册（Uα, φα）其中Uα是M中开集而

是一个同胚。U上的这些局部坐标对于每个x ∈ U给出了TxM和Rn之间的一个同构。我们然后可以定义一个映射

这是通过下式完成的

我们用这些映射来定义T(M)上的拓扑和光滑结构。T(M)的子集A是开的当且仅当对于每个α，在R2n中是开的。这样这些映射是T(M)的开子集和R2n的同胚，所以可以作为T(M)的光滑结构的坐标图。坐标图定义域的交集上的变换函数用相关的坐标变换的雅可比矩阵引出，所以是R2n的开子集间的光滑映射。

切丛是称为向量丛（自己是纤维丛的特例）的更一般的构造的特例。直接一点的说，n维流形M的切丛可以定义为一个M上的n阶向量丛，其变换函数由相应的坐标变换的雅可比矩阵给出。

向量场
向量场是切丛的截面。

局部向量场
局部向量场是切丛的局部截面。

向量场的层
所有局部向量场的集合构成一个层（sheaf）。

参见
 余切丛
 测地线
 李导数
 微分形式

外部链接
 MathWorld: Tangent Bundle 
 PlanetMath: Tangent Bundle

参考
 Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin  ISBN 3-540-4267-2
 Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X
 Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0.

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