模糊数学

模糊数学，亦称弗晰数学或模糊性数学。1965年以后，在模糊集合、模糊逻辑的基础上发展起来的模糊拓扑、模糊测度论等数学领域的统称。是研究现实世界中许多界限不分明甚至是很模糊的问题的数学工具。在模式识别、人工智能等方面有广泛的应用。

 模糊集 
 定义和表示 
给定一个论域 U ，那么从 U 到单位区间 [0,1] 的一个映射

称为 U 上的一个模糊集 或 U 的一个模糊子集
，
记为 A 。
映射（函数） μA(·) 或简记为 A(·) 叫做模糊集 A 的隶属函数。
对于每个 x ∈ U ， μA(x) 叫做元素 x 对模糊集 A 的隶属度。

模糊集的常用表示法有下述几种：
 解析法，也即给出隶属函数的具体表达式。
 Zadeh 记法，例如。分母是论域中的元素，分子是该元素对应的隶属度。有时候，若隶属度为0，该项可以忽略不写。 
 序偶法，例如，序偶对的前者是论域中的元素，后者是该元素对应的隶属度。
 向量法，在有限论域的场合，给论域中元素规定一个表达的顺序，那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式，如 A = (1,0.5,0.72,0) 。

 一些相关概念 
 模糊集 A 的承集或支集记为 。
 模糊集 A 的核记为 。
 模糊集 A 的高度记为 。
 模糊集 A 的深度记为 。

 模糊度 
一个模糊集 A 的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度，一个直观的定义是这样的：

设映射 D : F(U) → [0,1] 满足下述5条性质：
 清晰性：D(A) = 0 当且仅当 A ∈ P(U)。（经典集的模糊度恒为0。）
 模糊性：D(A) = 1 当且仅当 ∀ u ∈ U 有 A(u) = 0.5。（隶属度都为0.5的模糊集最模糊。）
 单调性：∀ u ∈ U，若 A(u) ≤ B(u) ≤ 0.5，或者 A(u) ≥ B(u) ≥ 0.5，则 D(A) ≤ D(B)。
 对称性：∀ A ∈ F(U)，有 D(Ac) = D(A)。（补集的模糊度相等。）
 可加性：D(A∪B) + D(A∩B)=D(A) + D(B)。
则称 D 是定义在 F(U) 上的模糊度函数，而 D(A) 为模糊集 A 的模糊度。

可以证明符合上述定义的模糊度是存在的陈水利等，模糊集理论及其应用，科学出版社，2005年，第20页。，一个常用的公式（分别针对有限和无限论域）就是

其中 p > 0 是参数，称为 Minkowski 模糊度。特别地，当 p = 1 的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标，当 p = 2 的时候称为 Euclid 模糊度。

 模糊集的运算 
 各种算子 
 Zadeh 算子，max 即为并，min 即为交

 代数算子（概率和、代数积）

 有界算子

 Einstein 算子

 Hamacher 算子，其中ν ∈ [0,+∞) 是参数，等于1时转化为代数算子，等于2时转化为 Einstein 算子

 Yager 算子，其中 p 是参数，等于1时转化为有界算子，趋于无穷时转化为 Zadeh 算子

 λ-γ 算子，其中 λ,γ ∈ [0,1] 是参数

 Dobois-Prade 算子，其中 λ ∈ [0,1] 是参数

 算子的性质 

参见集合代数和布尔代数。

主要算子的性质对比表如下（.表示不满足，-表示未验证）：

算子结合律交换律分配律互补律同一律幂等律支配律吸收律双重否定律德·摩根律Zedah√  √  √       .    √    √    √     √    √      √ 代数√  √   .       .     √   .    √     .     -     √    有界√   √   .      √     √   .    √     √     -     √ 

线性补偿是指：
Etienne E. Kerre 等，模糊集理论与近似推理，武汉大学出版社，2004年，第103页。

算子的并运算幂等律排中律分配律结合律线性补偿Zadeh                  √.     √    √    .     代数.                   .     .     √    .     有界.                   √    .     .     √Hamacher r = 0                   ..     .     √    .Yager                   ..     .     √    .Hamacher                   ..     .     √    .Dobois-Prade                   ..     .     √    .

 模糊集与经典集的关系 
 截集与截积 
设 ，任取 ，则
 ，
称 Aλ 为 A 的 λ 截集，而 λ 称为阈值或置信水平。将上式中的 ≥ 替换为 >，记为 ASλ，称为强截集。

截集和强截集都是经典集合。此外，显然 A1 为 A 的核，即 kerA；如果 kerA ≠ ø，则称 A 为正规模糊集，否则称为非正规模糊集。

截积是数与模糊集的积：
设 λ ∈ [0,1]，A ∈ F(U)，则 ∀ u∈U，λ 与 A 的截积（或称为 λ 截集的数乘，记为 λA）定义为：

根据定义，截积仍是 U 上的模糊集合。

 分解定理与表现定理 

分解定理：
设 A∈F(U)，则

即任一模糊集 A 都可以表达为一族简单模糊集 {λAλ} 的并。也即，一个模糊集可以由其自身分解出的集合套而“拼成”。

表现定理：
设 H 为 U 上的任何一个集合套，则

是 U 上的一个模糊集，且 ∀ λ ∈ [0,1]，有
（1） ASλ = ∪α>λ H(α)
（2） Aλ = ∩α<λ H(α)
即任一集合套都能拼成一个模糊集。

 模糊集之间的距离 
 使用度量理论 
可以使用一般的度量理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上，我们需要在模糊幂集 F(U) 上建立一个度量，此外，我们还可能需要将此度量标准化，也即映射到 [0,1] 区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离：


 贴近度 

另一种是使用贴近度概念。在某种意义上，贴近度就是 1 - 距离（这里的距离是上述标准化意义上的距离）。而之所以应用这个变换，是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近，贴近的程度显然越“高”，因此它恰为距离的反数。

除了距离外，还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。

 最大最小贴近度


 算术平均最小贴近度


 几何平均最小贴近度


 指数贴近度


 模糊关系 

模糊关系是建立在模糊集上的关系，此外，它也有一些特别的性质和应用。

 定义 
设 U 和 V 是论域，U × V = {(x , y) | x ∈ U, y ∈ V } 是 U 和 V 的笛卡尔直积，则每个模糊子集 R ∈ U × V 都称为从 U 到 V 的一个模糊关系。若 U = V，则称 R 是 U 中的模糊关系。如果 R(x,y) = α，则称 x 与 y 具有关系 R 的程度为 α。特别地：
 若 ∀ (x,y) ∈ U × U，当 x = y 时 R = 1，当 x ≠ y 时 R = 0，则称 R 为 U 上的恒等关系，记为 I
 若 ∀ (x,y) ∈ U × V，有 R(x,y) = 0，则称 R 为从 U 到 V 的零关系，记为 0
 若 ∀ (x,y) ∈ U × V，有 R(x,y) = 1，则称 R 为从 U 到 V 的全称关系，记为 E

模糊关系的并、交、补、包含、相等、λ 截和截积运算，实质上就是模糊集的相应运算（采用 Zadeh 算子）。但模糊关系还有一个特殊的运算转置，定义为
 RT(x,y) = R(y,x)
易知转置运算满足复原律、交换律和单调性等。陈水利等，模糊集理论及其应用，科学出版社，2005年，第62页。

 关系以及关系的合成的矩阵表达 
关系的合成：
对于从 U x-m 到 V y-p 的关系 R，以及从 V y-p 到 W z-n 的关系 S，那么从 U 到 W 的模糊复合关系 R · S 为

其中 ∧ 是取小 ∨ 是取大（即 Zedah 算子）。由此可知，模糊复合关系的运算，就是两个模糊关系的矩阵的乘法运算，只是要将矩阵乘法中的乘法改为 ∧，而加法改为 ∨ 即可。

例子：设 U = {1,2,3,4}, V = {a,b,c}, W = {α,β}：
从 U 到 V 的模糊关系 R 
(1,a)=0.7, (1,b)=0.5, (1,c)=0
(2,a)=1,   (2,b)=0,   (2,c)=0
(3,a)=0,   (3,b)=1,   (3,c)=0
(4,a)=0,   (4,b)=0.4, (4,c)=0.3从 V 到 W 的模糊关系 S 
(a,α)=0,6 (a,β)=0.8
(b,α)=0   (b,β)=1
(c,α)=0   (c,β)=0.9

那么这些模糊关系可以写成如下矩阵表达（注意行列位置）：
Rabc10.70.5021003010400.40.3Sαβa0.60.8b01c00.9R · Sαβ10.60.720.60.8301400.4

 模糊关系与分类 

模糊等价关系定义：
设 U 中的模糊关系 R 满足
 1. 自反性  ∀ x ∈ U, R(x , x) = 1
 2. 对称性  ∀ x, y ∈ U, R(x , y) = R(y , x)
 3. 传递性  ∀ x, y, z ∈ U, ∀ λ ∈ [0,1], 当 R(x , y) ≥ λ 且 R(y , z) ≥ λ 时，R(x , z) ≥ λ
则称 R 为 U 中的一个模糊等价关系。易知，对于一个固定的 λ ∈ [0,1] 来说，传递性条件刻画了模糊关系 R 具有 λ 水平上的传递性。

下述定理指出了模糊等价关系与普通等价关系的关系：U 中的模糊关系 R 是模糊等价关系的充要条件是，对于每个 λ ∈ [0,1]，R 的 λ 截关系 Rλ 是 U 中的普通等价关系。

只满足自反性和对称性，不满足传递性的模糊关系称为模糊相似关系。而将等价关系与相似关系联系在一起的是下述定理：U 中的模糊关系 R 是模糊传递关系的充要条件是 R2 ⊆ R。

分类：
 如果模糊关系是等价关系，取某一水平的 λ 截集，即可得到这个水平上的分类。
 如果模糊关系是相似关系，计算 R* ≡ R2^k = R2^(k+1)，则 R* 可被证明是等价关系。

 模糊推理 

 注释 

 參考文獻 

M
Category:数学分支