高斯整數

高斯整數是實數和虛數部分都是整數的複數。所有高斯整數組成了一個整域，寫作，是個不可以轉成有序環的欧几里得整环。

高斯整數的范数都是非負整數，定義為

單位元的範數均為。

 高斯整環 
高斯整数形成了一个唯一分解整环，其可逆元为。
 質元素 
的素元素又称为高斯質數。

高斯整数是素数当且仅当：
 中有一个是零，另一个是形为或其相反数的素数

或
 均不为零，而为素数。


以下给出这些条件的证明。

必要条件的证明为：仅当高斯整数的范数是素数，或素数的平方时，它才是高斯素数。这是因为对于任何高斯整数，。现在，是整数，因此根据算术基本定理，它可以分解为素数的乘积。根据素数的定义，如果是素数，则它可以整除，对于某个。另外，可以整除，因此。于是现在只有两种选择：要么的范数是素数，要么是素数的平方。

如果实际上对于某个素数，有，那么和都能整除。它们都不能是可逆元，因此，以及，其中是可逆元。这就是说，要么，要么，其中。

然而，不是每一个素数都是高斯素数。就不是高斯素数，因为。高斯素数不能是的形式，因为根据费马平方和定理，它们可以写成的形式，其中和是整数，且。剩下的就只有形为的素数了。

形为的素数也是高斯素数。假设，其中是素数，且可以分解为。那么。如果这个分解是非平凡的，那么。但是，任何两个平方数的和都不能写成的形式。因此分解一定是平凡的，所以是高斯素数。

类似地，乘以一个形为的素数也是高斯素数，但乘以形为的素数则不是。

如果是范数为素数的高斯整数，那么是高斯素数。这是因为如果，那么。由于是素数，因此或一定是1，所以或一定是可逆元。

 作为整闭包 
高斯整数环是在高斯有理数域中的整闭包，由实数部分和虚数部分都是有理数的复数组成。

 作为欧几里德环 
在图中很容易看到，每一个复数与最近的高斯整数的距离最多为个单位。因此，是一个欧几里德环，其中。所以，該環尤其是主理想整環，其理想皆形如。若，則對應的商是：

 未解决的问题 
高斯圆问题是中心为原点、半径为给定值的圆内有多少格点的问题。它本身并不是关于高斯整数的，但等价于确定范数小于某个给定值的高斯整数的数目。

关于高斯整数，还有一些猜想和未解决的问题，例如：

实数轴和虚数轴含有无穷多个高斯素数。在复平面上，还存在任何其它的直线上有无穷多个高斯素数吗？特别地，实数部分为的直线上存在无穷多个高斯素数吗？

在高斯素数上行走，步伐小于某个给定的值，可以走到无穷远吗？

 參見 
 艾森斯坦整數
 费马平方和定理
 二次互反律

 参考文献 

 C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda., Comm. Soc. Reg. Sci. Gottingen 7 (1832) 1-­34; reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93-­148.
 从数到环：环论的早期历史，由Israel Kleiner所作 (Elem. Math. 53 (1998) 18 – 35)


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