循环小数

循环小数，也稱為無限循環小數，是從小數部分的某一位起，一個數字或幾個數字，依次不斷地重複出現的小數。

 定義 
循環小數都為有理數的小數表示形式，例：

性质
一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。若该数为素数，循环节位数一定是N-1的因数（参见：费马伪素数）。為了证明这点，可用反证法。假设的循环节为m，令m>n。将1/n乘以10，循环往复操作，会得到不同的余数。根据余数定义，余数的个数等于分母本身。又因为当余数为0的时候是整数而非循环小数，所以只有n-1种循环节。若长度为m位，则必有(m-n+1)种循环节无法轮替，所以一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。
根據分數的情況分開討論
1.除数a为的倍數时，有max(m,n)个不循环位数，其中為任意自然數，為非之其他數。
2.如果，a不是2或5的倍数，並且a與b互質，那麼存在一個正整數e，e為的循環節位數，而e=。
表示可以整除a，或稱與1同餘）
事實上以該參考文獻的定理一公式推導式子:來看，也成立，例如與，兩者循環小數一致，因為，只差別在商，餘數皆為1(同餘)故成立。
3.承接以上兩點，當除数a可以質因數標準分解式表示成⋯時，會有max(m,n)個不循環位數，和個循環節位數。
其中，, ,⋯,分別各有個循環節位數，存在一個最小公倍數。
例：的循環節個數？
答：前三位不循環（2 和 5 的最高次方為 3），循環節個數是 48（因為的循環節位數為1，7的循環節位數為6，17的循環節位數為16，[1,6,16]=48）

 化為分數的方法 
0.xxx...=x/((10^(上取(log(x))))-1)
(可能未約至最簡)

(⬇另一方法)
先看有幾位「非循環節位數（）」和「循環節位數（）」，算出後，將擺於「分母」。
「分子」則是將「非循環節部分」和「循環節部分」併為一個數字，將其減去「非循環節部分」，即，詳細公式如下。
公式：
原理：
令。
則──①式。
──②式。
②－①⇒。
。
範例：。
令
則、
兩式相減得，
∴。

 计算方法 

利用短除法可以将分数(有理数，)转化为循环小数。

例如可以用短除法计算如下：

 7|3.00000000000000000
   0.42857142857142857...

 表示方法 

循环小数在不同国家地区都有不同的表示惯例，但没有一种惯例是通用的。

+附有示例的不同符号分数 括线 上点 括号 弧线 省略号  0. 0. 0.(1) 0. 0.111... =  0. 0. 0.(3) 0. 0.333... =  0. 0. 0.(6) 0. 0.666... =  0. 0. 0.(81) 0. 0.8181... =  0.58 0.58 0.58(3) 0.58 ... =  0. 0.4285 0.(142857) 0. ... =  0. 0.1234567 0.(012345679) 0. ... =  3. 3.4285 3.(142857) 3. ... =  11. 11.88679245283 11.(1886792452830) 11. ...

括线：在美国、加拿大、印度、法国、德国、意大利、瑞士、捷克共和国、斯洛伐克、斯洛文尼亚、智利和土耳其，惯例是在重复的循环节上方绘制一条水平线（括线）。

上点：在一些伊斯兰国家，如马来西亚、摩洛哥、巴基斯坦、突尼西亚、伊朗、阿尔及利亚和埃及，以及英国、新西兰、澳大利亚、南非、日本、泰国、印度、大韩民国、新加坡和中国，惯例是将点放在重复的循环节最外围的数字上方。

括号：在欧洲的部分地区，包括奥地利、丹麦、芬兰、荷兰、挪威、 波兰、俄罗斯和乌克兰，以及越南和以色列，惯例是将重复的循环节放在括号中。这会与的符号混淆。

弧线：在西班牙和一些拉丁美洲国家，例如阿根廷、巴西和墨西哥，括线和上点以重复的循环节上的弧线替代。

省略号：非正式地，重复小数通常用省略号表示（三个句点，0.333…），尤其是在学校首次教授以前的符号惯例时。这种符号会带来不确定性，即哪些数字应该循环，甚至是否会发生循环，因为这种省略号也用于无理数；例如，可以表示为3.14159…。

 缺点 

 不唯一性 

使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性，例如

 与進位制系統密切相关 

由于循环小数与進位制系統密切相关，使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。如：

但在某些进位制当中反而因为循环节较短，使得看起来相当简单。如

又或

参考资料

 參見 
0.999…
Midy定理

 外部連結 

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