微分形式

微分形式（）是多变量微积分，微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念。现代意义上的微分形式，及其以楔积和外微分结构形成外代数的想法，都是由法国数学家埃里·嘉当引入的。

例如，一元微积分中的表达式  是1-形式的一个例子，并且可以在  定义域内的一个区间  上进行积分：

类似地，表达式  是2-形式的一种，它在可定向曲面  上有曲面积分:

符号表示两个微分形式的外积，有时候也称为楔积。类似地，3-形式  表示可以在空间的一个区域进行积分的体积元。一般地，-形式是一个可以在 -维集合上进行积分的对象，并且其坐标微分是  次齐次的。

简介

我们从Rn中的开集的情形开始。一个0-形式（0-form）定义为一个光滑函数 。
当我们在  的 -维子空间  上对函数  积分时，我们将积分写作：

把  当作形式化的对象，而非让积分看起来像个黎曼和的标记。我们把这些和他们的负叫做基本1-形式。

我们再在其上定义一种乘法规则楔积，这种乘法只需满足反交换的条件：
对所有 , 

注意这意味着
.

我们把这些乘积的集合叫做基本2-形式，类似的我们定义乘积

的集合为基本'3-形式，这里假定n至少为3。现在定义一个单项式' -形式为一个0-形式乘以一个基本的 -形式，定义 -形式为一些单项式 -形式的和。

楔积可以推广到这些和上：

等等，这里  和类似的项表示 -形式。换句话说，和的积就是所有可能的积的和。

现在，我们来定义光滑流形上的 -形式。为此，我们假设有一个开坐标覆盖。我们可以在每个坐标邻域上定义一个 -形式；一个全局的 -形式就是一组坐标领域上的 -形式，他们在坐标邻域的交集上一致。这种一致的精确定义，见流形。

楔积的性質

若 , ,  为任意微分形式，则

若  为 -形式， 为 -形式：

抽象（简明）定义及讨论
在微分几何中， 阶微分 -形式是一个流形的余切丛的  阶外幂（exterior power）的光滑截面。在流形的每一点 ，一个 -形式给出一个从切空间的  阶笛卡儿幂（cartesian power）到  的多线性映射。

例如，光滑函数（0-形式）的微分就是一个1-形式。

1-形式在张量的坐标无关表示中是一个很有用的基本概念。在这个上下文中，他们可以定义为向量的实值函数，并可以看成他们所对应的向量空间的对偶空间。1-形式的一个旧称就是"协变向量"。

微分形式的积分k阶微分形式可以在 维链（chain）上积分。若，这就是函数在点上的取值。其他的 对应于线积分，曲面积分，体积分等等。

设

为一微分形式，设  为一个我们想在其上积分的集合，其中  有参数化形式

 属于参数域 。则[Rudin, 1976]定义  上微分形式的积分为

其中

是雅可比矩阵的行列式。

参见斯托克斯定理（Stokes' Theorem）。

微分形式的操作

一个流形上所有k-形式的集合是一个向量空间。而且，其上有三类操作：楔积, 外微分（用d''表示），和李导数。，细节请见德拉姆上同调。

外导数和积分的基本关系由推广的斯托克斯定理给出，它也同时给出了德拉姆上同调和链的同调的对偶性。

参考




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