外测度

在数学中，特别是测度论中，外测度是一个定义在给定集合上的扩展实数值的函数，并满足几条附加条件。一般的外测度理论由C. Carathéodory引进，目的是给可测集和可数可加测度的理论建立基础。C. Carathéodory关于外测度上所做的工作应用于测度理论中的集合论上（例如外测度用于证明Carathéodory扩张定理）。豪斯多夫也用此来定义一个类似维数的度量，现在称为豪斯多夫维数。

从长度，面积及体积归纳出來的测度概念，对于很多抽象不规则的集合是很有用的。我们希望定义一个广义的测度函数,使其滿足以下4个条件：

 任意实数区间 有测度；
 測度函數 是非負扩展实数值函數，定义在的所有子集合上；
 平移不变性：任给集合和实数，与  有相同的测度(这里，）；
 可数可加律：对的任意的两两无交的子集序列，有：
。
事实上，这几条要求是不相容的。这样的測度函數 不能定义在的所有子集上，也就是说，不可测集是存在的。构造外测度的目的就是选出那些可测集合，使得可数可加性得到满足。

 定義 

外測度是从  的冪集合映到 的函數

且滿足以下條件：

空集合的外測度為零：

 单调性：

 次可加性: 对 X 的任意子集序列 （不管兩兩交集是否空集合）

接著可以借由外測度來定义  X 中的可測集合：子集合  是 -可测的，当且仅当对  的任意子集合  有：

所有的 -可测集合构成了一个-代数 ，且如果 限制在我們剛定義的可测集合上時， 會有可数可加的完备测度性質。这个方法是Carathéodory构造出来的，是构造勒贝格测度和积分理论的重要方法。

 外測度与拓撲學 

假設 是一個度量空間且  是一個在 之上的外測度。若 有以下性質 ：

只要 

就有

那么称是一个度量外测度。

如果是上的度量外测度，那么的每个Borel子集都是-可测的。

 外測度的构造 

有几种方法来构造一个集合上的外测度。下面两种是特别有用的。

令为一集合，是的包含空集的子集族，是上的非负扩展实数值函数，且 在空集处取零。

那么定义

则是一个外测度。

另一种方法在度量空间上更有效，因为它直接得到了度量外测度。设 是一个度量空间，是的包含空集的子集族，是上的非负扩展实数值函数，且在空集处取零。那么，对任意，令

及

对有 成立，因为减小时，下确界是在更小的集合上取得的。所以

存在（可能是无穷大）。

这样构造的是一个度量外测度。这个构造也就是定义豪斯多夫维数时用的外测度。

 參考 

 P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950

 M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953

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