中位數

統計學上，中位數（），又稱中央值、中值，是一個樣本、種群或概率分佈中之一個數值，其可將數值集合劃分爲数量相等的上下兩部分。對於有限的數集，可以通過把所有觀察值高低排序後找出正中間的一個作爲中位數。如果觀察值有偶數個，則中位數不唯一，通常取最中間的兩個數值的平均數作爲中位數。

一個數集中最多有一半的數值小於中位數，也最多有一半的數值大於中位數。如果大於和小於中位數的數值個數均少於一半，那麽數集中必有若干值等同於中位數。

设连续随机变量  的分布函数为 ，那么满足条件  的数称为  或分布  的中位数。

对于一组有限个数的数据来说，其中位数是这样的一种数：这群数据的一半的数据比它大，而另外一半数据比它小。

计算有限个数的数据的中位数的方法是：把所有的同类数据按照大小的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则中间那个数据就是这群数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间那2个数据的算术平均值就是这群数据的中位数。

 公式 
實數按大小順序（順序，降序皆可）排列為、

實數數列的中位數  為

其中 odd number 表示奇數，even number 表示偶數。

 中位數特性 
中位數在敘述統計學上和平均数、众数並列為數據的集中趨勢。三者的位置排序亦對應著偏度的正負偏態意義。一般而言，平均數是最常被使用做為數據的集中趨勢，但如果有極端值存在，平均數的代表性降低，也就所謂的「男人女人平均一顆睪丸」的問題，因此在有極端值的狀況下，中位數是比較好的集中趨勢代表。因此，在各國的每人所得分布上，通常以中位數代表集中趨勢，而非平均數台北市政府主計處，台北市家庭所得概況，民國106年。(  連結 )。

中位數通常出現在描述统计学和無母數統計，有母數的統計分析很少提及。中位數為集中趨勢時，對應的離散趨勢係數為平均絕對離差（Mean absolute deviation, MAD）或是四位位距(Q3 - Q1)。不過如果論及母體中位數的統計量時，仍需根據統計分析對抽樣分配的要求，尋找母體中位數統計量的期望值與變異數，再依照點估計的充分、不偏、效率、一致性進行討論。而母體中位數的統計量通常是樣本中位數。因此，樣本中位數的期望值與變異數就值得被討論，進行基礎研究。

 常態分配下的中位數 

常態分配下的平均數、中位數、眾數都是同一個位置。目前最為世人熟知的是平均數的抽樣分配會是常態分配，期望值為母體平均數  且變異數為母體變異數（）。統計學對常態分配的母體平均數統計量說明甚多，並發展完善。那麼中位數可基於機率分配模擬器和數值分析發展，在  個獨立隨機變數來自常態分配可生成n個隨機樣本，則（樣本中位數）且（樣本中位數），其中， 受到樣本個數（）影響。當樣本個數介於2至200時，兩者的關係不明顯，但可計算出樣本個數和  的關聯表。

+ k(n)和n的對應表 n  k(n)  n  k(n)  n  k(n) 2  0.500267128  70  0.021985179  138  0.011271806 3  0.448703237  71  0.021403637  139  0.011269587 4  0.298172500  72  0.021393271  140  0.011109049 5  0.286770401  73  0.020840845  141  0.011111745 6  0.214713620  74  0.020830427  142  0.010959968 7  0.210476952  75  0.020295864  143  0.010962027 8  0.168172011  76  0.020294599  144  0.010810205 9  0.166171644  77  0.019776971  145  0.010809127 10  0.138304145  78  0.019777466  146  0.010661452 11  0.137221972  79  0.019291777  147  0.010659591 12  0.117603985  80  0.019294767  148  0.010513172 13  0.116875871  81  0.018831955  149  0.010523498 14  0.102209683  82  0.018826854  150  0.010377973 15  0.101704592  83  0.018394657  151  0.010379735 16  0.090397468  84  0.018390467  152  0.010244606 17  0.090046842  85  0.017972657  153  0.010247290 18  0.081017991  86  0.017972309  154  0.010109136 19  0.080776427  87  0.017567447  155  0.010114347 20  0.073450103  88  0.017564340  156  0.009986419 21  0.073284584  89  0.017187295  157  0.009984465 22  0.067168338  90  0.017189110  158  0.009862704 23  0.067002164  91  0.016812903  159  0.009858886 24  0.061881619  92  0.016813666  160  0.009735345 25  0.061762647  93  0.016466660  161  0.009736185 26  0.057309720  94  0.016462668  162  0.009617128 27  0.057271174  95  0.016125488  163  0.009619325 28  0.053440064  96  0.016119237  164  0.009501480 29  0.053332370  97  0.015802880  165  0.009502525 30  0.049992614  98  0.015797856  166  0.009389839 31  0.049937448  99  0.015492872  167  0.009388423 32  0.047029351  100  0.015490432  168  0.009279058 33  0.046965211  101  0.015190773  169  0.009277712 34  0.044337988  102  0.015189776  170  0.009169514 35  0.044336558  103  0.014904567  171  0.009169768 36  0.041990927  104  0.014896640  172  0.009061071 37  0.041942218  105  0.014628725  173  0.009060657 38  0.039852927  106  0.014623638  174  0.008961003 39  0.039832458  107  0.014359452  175  0.008957769 40  0.037939073  108  0.014359166  176  0.008860612 41  0.037904745  109  0.014100614  177  0.008859363 42  0.036184274  110  0.014104129  178  0.008762802 43  0.036152192  111  0.013856818  179  0.008760489 44  0.034579591  112  0.013854712  180  0.008665028 45  0.034577569  113  0.013609600  181  0.008663662 46  0.033133177  114  0.013610680  182  0.008571695 47  0.033118807  115  0.013383360  183  0.008570240 48  0.031791145  116  0.013382329  184  0.008475410 49  0.031783399  117  0.013153728  185  0.008477845 50  0.030548873  118  0.013156167  186  0.008388634 51  0.030533811  119  0.012938560  187  0.008384818 52  0.029411882  120  0.012939455  188  0.008300454 53  0.029402885  121  0.012729706  189  0.008300175 54  0.028347691  122  0.012731381  190  0.008214157 55  0.028342062  123  0.012533040  191  0.008211878 56  0.027348747  124  0.012525181  192  0.008130539 57  0.027350473  125  0.012333899  193  0.008128310 58  0.026442809  126  0.012334408  194  0.008045347 59  0.026436289  127  0.012141084  195  0.008041810 60  0.025573242  128  0.012138522  196  0.007964784 61  0.025575279  129  0.011964057  197  0.007961234 62  0.024780610  130  0.011961887  198  0.007882679 63  0.024751923  131  0.011782874  199  0.007882009 64  0.024005574  132  0.011779941  200  0.007806200 65  0.024006688  133  0.011604216  201  0.007801090 66  0.023304209  134  0.011600908  202  0.007729016 67  0.023287460  135  0.011433315  203  0.007728333 68  0.022616908  136  0.011438587  204  0.007654504 69  0.022624425  137  0.011271806  205  0.007652196

如果樣本個數超過200，但不超過1000時，兩者有明顯的關係，並且受到樣本個數是否為奇數或偶數影響。此時可使用迴歸分析尋找兩者的關係。

1. 樣本個數為偶數，迴歸式為 。

2. 樣本個數為奇數，迴歸式為 。

由此可得到樣本中位數的變異數和母體常態分配的變異數形成穩定的對應關係。

參考文獻

 外部链接 
 Calculating the median
 A problem involving the mean, the median, and the mode.
 mathworld: Statistical Median

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