欧拉准则

在数论中，二次剩余的歐拉判別法（又稱歐拉準則）是用来判定给定的整数是否是一个质数的二次剩余。

叙述

若是奇質數且不能整除，則：

 是模的二次剩余当且仅当：



 是模的非二次剩余当且仅当：



以勒让德符号表示，即為：

举例

例子一：对于给定数，寻找其为二次剩余的模数

令。对于怎样的质数，17是模的二次剩余呢？

根据判别法里给出的准则，我们可以从小的质数开始检验。 

首先测试。我们有：，因此17不是模3的二次剩余。

再来测试。我们有：，因此17是模13的二次剩余。实际上我们有：，而.

运用同余性质和勒让德符号可以加快检验速度。继续算下去，可以得到：
对于质数（也就是说17是模这些质数的二次剩余）。
对于质数（也就是说17是模这些质数的二次非剩余）。

例子二：对指定的质数p，寻找其二次剩余

哪些数是模17的二次剩余？

我们可以手工计算：









于是得到：所有模17的二次剩余的集合是。要注意的是我们只需要算到8，因为，9的平方与8的平方模17是同余的：.（同理不需计算比9大的数）。  

但是对于验证一个数是不是模17的二次剩余，就不必将所有模17的二次剩余全部算出。比如说要检验数字3是否是模17的二次剩余，只需要计算，然后由欧拉准则判定3不是模17的二次剩余。

欧拉准则与高斯引理以及二次互反律有关，并且在定义欧拉-雅可比伪素数（见伪素数）时会用到。

證明
首先，由于是一个奇素数，由费马小定理，。但是是一个偶数，所以有

是一个素数，所以和中必有一个是的倍数。因此模的余数必然是1或-1。

 證明若是模的二次剩餘，則

若是模的二次剩餘，則存在，跟互質。根據費馬小定理得：



 證明若，則是模的二次剩餘

是一个奇素数，所以关于的原根存在。设是的一个原根，则存在使得。于是 

是的一个原根，因此模的指数是，于是整除。这说明是一个偶数。令，就有。是模的二次剩余。

參考资料
 Legendre Symbol
二次互反律
  潘承洞、潘承彪，《初等数论》，北京大学出版社。

外部链接
参考证明(中文)

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