施瓦茨-克里斯托费尔映射

在数学的複分析中，施瓦茨—克里斯托费尔映射（）是複平面的变换，把上半平面共形地映射到一個多边形。施瓦茨—克里斯托费尔映射可用在位势论和其它应用，包括极小曲面和流体力学中。施—克映射有一个缺陷，它无法较好的处理不规则几何图形和有孔的情况，这个问题已被伦敦皇家学院应用数学教授Darren Crowdy解决。施—克映射的名字取自埃尔温·布鲁诺·克里斯托费尔和赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨。

 定义 
考虑複平面上一個多边形。黎曼映射定理指出存在一个一一对应解析映射f从上半平面

到多边形的內部。函数f把实数轴映射到多边形的邊。若多边形内角为，那么映射由下式给出：
，
其中是常数，是平面的实轴上的点的值，对应平面上的多边形的顶点。这形式的变换称为施瓦茨—克里斯托费尔映射。

为了简便，通常会考虑一种特殊情況，就是当平面的无穷远点映射到平面的多边形其中一顶点（习惯是内角为的顶点）。如此，公式的第一个因式实际上是个常数，可以合併进裡。

 例子 

考虑平面中的半无穷带。这可以视作顶点是, 和的三角形，当趋向无穷大的极限情形。极限时有和。假设我们要找映射f，有f(−1) = Q，f(1) = P，和f(∞) = R，那么f是

。

计算积分得到

其中是个（複）积分常数。条件和给出和。因此施瓦茨—克里斯托费尔积分是。下图描绘这个映射。


 其它简单映射 
 三角形 
到内角为，和的三角形的映射是
。

 正方形 
从上半平面到正方形的映射是
，
其中是第一类不完全椭圆积分。

 广义三角形 
施瓦茨三角形映射把上半平面映射到其边是圆弧的三角形。

 参看 
 在施瓦茨—克里斯托费尔理论中出现的施瓦茨导数。

 参考 

 Tobin A. Driscoll and Lloyd N. Trefethen, Schwarz-Christoffel Mapping, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-80726-3.

 Z. Nehari, Conformal Mapping, (1952) McGraw-Hill, New York.

 Darren Crowdy，Schwarz-Christoffel mappings to unbounded multiply connected polygonal regions，Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (2007)，142, 319.

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