测地曲率

测地曲率：设P是曲線（C）上一点，是（C）在P点的单位切向量，是主法向量，是副法向量。再设n是曲面S在P点的单位法向量。命。

曲线（C）在P点的曲率向量在上的投影（也就是在S上P点的切平面上的投影）

称为曲线（C）在P点的测地曲率。

 相关命题 

曲面S上的曲线（C），它在P点的测地曲率的绝对值等于（C）在P点的切平面上的正投影曲线（C'）的曲率。

式中，k为曲线在P点的曲率，为曲线在P点的法曲率。
二維曲面常用的測地曲率公式
今有一緊緻定向的二維曲面S，其線元素可用曲面的第一基本形式的係數表示為：，則其度量張量可表成下列關係式：

每當進行涉及到微分幾何的實用演算時，都會用到其分量形式以利細部計算，因此有必要將前述向量形式定義的測地曲率以其分量形式來表徵，以下將界定在二維曲面上局部範圍，有關公式及其推導過程，可於列出的相關參考文獻中找到。

二維曲面測地曲率之Beltrami公式
令為曲面S上的一正則曲線，在此曲線上以其弧長為參數，則曲線的參數方程式為，則它在P點的測地曲率可表為下列克氏符號（全稱克里斯多福符號，Christoffel symbols）相關的表示式
【推導過程見MIT線上開放課程 §10.2.1. Parametric surfaces】 
：

上述用克式符號表示測地曲率的一般公式即是所謂的Beltrami公式(Beltrami's formula for geodesic curvature.)。這裡所用的克氏符號  在有些書籍還會沿用舊式的 符號注記。由於克式符號屬曲面的內蘊性質，而上述測地曲率一般公式只和克式符號與曲面第一基本形式有關，因此，測地曲率必然是屬曲面的內蘊幾何量。

今若曲線是沿著座標線的話，此時常數，使得以及，那麼其測地曲率可算得為：

同理，假如曲線是沿著座標線的話，使得常數，因此以及，那麼其測地曲率可化簡為：

二維曲面測地曲率之Liouville公式
令為曲面S上的一正則曲線，在此曲線上以其弧長為參數，則曲線的參數方程式為，今其參數化是採正交座標系，換言之，第一基本形式的係數，又令曲線在P點與座標線的夾角為，則它在P點的測地曲率可表為下列與夾角相關的Liouville公式

：

上述公式中的與乃分屬於兩個座標線對應的測地曲率，至於它們的具體表徵是什麼，接下來將分別推導出其詳細內容。首先，考量如若曲線是沿著座標線的話，此時常數，則有以及，那麼該測地曲率可算得為：

同理，假如曲線是沿著座標線的話，此時常數，導致以及，那麼此測地曲率可算得為：

以上測地曲率之Liouville公式就已列出有三種，若覺得怎麼會有這麼多樣形式，其實還有其他變形，例如可參考網路上更加精簡且優美的形式Sigurd Angenent. A note and two problems on Liouville's formula.  這是介紹測地曲率之Liouville公式更加精簡形式的文件。，這端賴解析問題時，需要配套什麼形式的公式而定。

參考文獻

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