伪黎曼流形

在数学物理学中，伪黎曼流形 也称为半黎曼流形，是一种可微流形，其度量张量处处非退化。这是黎曼流形的推广，其中放宽了正定性的要求。

伪黎曼流形的每个切空间都是伪欧几里得向量空间。

广义相对论中使用的一个特例是用于建模时空的四维洛伦兹流形，其中切向量可分为类时间、零和类空间。

 介绍 

 流形 
在微分几何中，可微流形是局部类似于欧氏空间的空间。在n维欧几里得空间中，任何一点都可以用n 个实数指定。这些被称为点的坐标。

n维可微流形是n维欧氏空间的概括。在流形中可能只能局部定义坐标。这是通过定义坐标补丁来实现的：可以映射到n维欧几里得空间的流形子集。

有关更多详细信息，请参阅流形、可微流形、坐标补丁。

 切空间和度量张量 
与每个点相关在一个维可微流形是一个切空间（表示为 ）。这是一个维向量空间，其元素可以被认为是通过点的曲线的等价类 。

度量张量是一种非退化、光滑、对称、双线性映射，它为流形的每个切空间中的切向量对分配一个实数。将度量张量表示为我们可以将其表达为



该映射是对称且双线性的，因此如果是某一点的切向量到流形那么对于任何实数 , 我们有




这是非退化的，意味着不存在对所有都适用的非零

 度规符号 

给定n维实流形上的度量张量g ，与该度量张量相关的二次型应用于任何正交基的每个向量都会产生n 个实值。根据西尔维斯特惯性定律，以这种方式产生的正值、负值和零值的数量都是度量张量的不变量，与正交基的选择无关。度量张量的度规符号给出了这些数字，以相同的顺序显示。非退化度量张量的且签名可以表示为 ，其中 。

 定义 
伪黎曼流形是可微流形M ，其具有处处非退化、光滑、对称的度量张量g 。

这样的度量称为伪黎曼度量。应用于矢量场，流形上任何一点的标量场值可以是正、负或零。

伪黎曼度量的签名是 ，其中p和q均为非负。非退化条件与连续性一起意味着p和q在整个流形中保持不变（假设它是连通的）。

 洛伦兹流形 
洛伦兹流形是伪黎曼流形的一个重要特例，其中度量的符号为 （等价于 ；参见符号约定）。这样的度量被称为洛伦兹度量。它们以荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹 (Hendrik Lorentz) 的名字命名。

 物理学中的应用 
洛伦兹流形是继黎曼流形之后伪黎曼流形最重要的子类。它们在广义相对论的应用中很重要。

广义相对论的一个主要前提是，时空可以建模为一个四维洛伦兹流形，其特征为 ，或者等效地为 。与具有正定度量的黎曼流形不同，不定签名允许将切向量分类为类时间、零或类空间。当流形具有或的签名时，它也是局部（也可能是全局）时间可定向的（参见因果结构）。

 伪黎曼流形的性质 
就像欧氏空间可以被认为是黎曼流形的局部模型，闵可夫斯基空间采用平坦的闵可夫斯基度量是洛伦兹流形的局部模型。同样地，特征为 ( p, q ) 的伪黎曼流形的模型空间是伪欧几里得空间 ，存在坐标x i使得



黎曼几何的一些定理可以推广到伪黎曼情况。特别是，黎曼几何基本定理对所有伪黎曼流形都成立。这使得人们可以谈论伪黎曼流形上的列维-奇维塔联络以及相关的曲率张量。另一方面，黎曼几何中有许多定理在广义情况下不成立。例如，并不是每个光滑流形都允许给定特征的伪黎曼度量；存在某些拓扑障碍。此外，子流形并不总是继承伪黎曼流形的结构；例如，在任何类光曲线上，度量张量都变为零。克利夫顿-波尔环面是紧致但不完备的伪黎曼流形的一个例子，霍普夫-里诺定理不允许黎曼流形具有这种性质。 

 参见 

 因果关系条件
 全局双曲流形
 双曲偏微分方程
 可定向流形
 时空
 发条火箭

 笔记 

 参考 







 外部链接 



Category:黎曼几何
Category:洛伦兹流形
Category:微分几何
Category:伯恩哈德·黎曼