最速降線問題

最速降線問題，又稱最短時間問題、最速落徑問題。問題如下：假想你正在側視的場景有高低不同的兩點，且高點不是在低點的正上方，若從高點放開一個靜止的質點讓它沿著任一路徑（直線、曲線、或折線皆可）滑到低點，其間只有均勻的重力作用而沒有摩擦力，則怎樣的路徑可讓這段行程的時間最短？

在部分歐洲語言中，這個問題稱為Brachistochrone，即希臘語中的「最短」（brachistos）和「時間」（chronos）。本問題的解答是擺線（而非很多人會猜想的直線），可以用變分法证明。

 歷史 

1638年，伽利略在《論兩種新科學》中以為此線是圓弧。約翰·伯努利參考之前分析過的等時降落軌跡，證明了此線是擺線，並在1696年6月的《博學通報》發表。艾薩克·牛頓、雅各布·伯努利、萊布尼茲和洛必達都得出同一結論，即正确的答案应该是摆线的一段。除了洛必達的解外，其他人的解都在1697年5月的《博學通報》出現。

 证明 

 约翰·伯努利的证明 

费马原理说明，两点间光线传播的路径是所需时间最少的路径。约翰·伯努利利用该原理,对此问题进行解决。

运用机械能守恒定律，可以导出在恒定重力场中运动的物体的速度满足
,
式中y表示物体在竖直方向上落下的距离，g为重力加速度。通过机械能守恒可知，经不同的曲线落下，物体的速度与水平方向的位移无关。
通过假设光在光速v在满足:的傳輸介質中运动形成的轨迹来导出最速降线。
约翰·伯努利注意到，根据折射定律，一束光在密度不均的介质中传播时存在一常数

,
式中vm为常数(可认为为真空中光速c，θ为轨迹与竖直方向的夹角，dx为水平方向路径微分，ds为运动方向路径微分。

通过上述方程，可以得到两条结论：

在刚开始，当质点的速度为零时，夹角也必然是零。因此，最速降线在起始处与竖直方向相切。

当轨迹变为水平即夹角变为90°时，速度达到最大。

为了简化过程，假设质点（或光束）相对于原点(0,0)有坐标(x,y)，且当下落了竖直距离D后达到了最大速度，则

.

整理折射定律式中的各项并平方得到

可以解得dx对dy有

.

代入v和vm的表达式得到

这是一个由直径为D的圆所形成的倒过来的摆线的微分方程。

 雅各布·伯努利的证明 

约翰的哥哥雅各布·伯努利说明了如何从二阶微分得到最短时间的情况。一种现代版本的证明如下。
如果从最短时间路径发生微小移动，那么形成三角形满足

.
dy不变求微分，得到

最后整理得到

最后的部分即二阶微分下距离的改变量与给定的时间的关系。现在考虑下图中的两条相邻路径，中间的水平间隔为d2x。对新旧两条路径，改变量为
right

对于最短时间的路径，两个时间相等，故得到

因此最短时间的情况为

 最速降線的數學形式與最短時間 

在垂直平面上，自原點至目的地的最速降線具有以下數學形式：

這裡的座標軸方向向下，且；為此擺線參數表達式的參數，原點處。

物體自原點沿最速降線滑至處所需的時間可由以下積分式給出：

。

利用以及，並以作為參數，整理後得

。

自此擺線的參數式中易知的最大值為，此值必須等於擺線的繞轉圓直徑，因此

。

現假設終點與原點直線距離，且終點對原點的仰角為。利用此擺線的參數式，可知


利用的關係式求出，並代回下滑時間中，得

綜合上述，討論在已知的情況下，下滑時間與俯角的關係為

。

 外部連結 
 重力下的最快下降曲線 ：國立中央大學物理演示實驗網站；內含實驗影片。
 Brachistochrone Problem -- from Wolfram MathWorld- ：有詳細的公式證明。

參考資料

Category:曲线
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