数列极限

数列極限（）為某些数列才擁有的特殊值，當數列的下標越來越大的時候，數列的值也就越接近那個特殊值。

定義

 實數數列的極限 
從上面的定義可以證明，對實數數列  來說，若

則其極限  一定為实数 ，
證明假設  的虛部  的話，則對極限定義取  的話，會存在  ，使得任意的 ，只要 有

這是矛盾的，所以根據反證法， ，即  。
 基本性質 
 唯一性 

證明設數列  有兩個不相等的極限值，則根據假設，對任意的  ，存在 ，使任意 ，只要  就有

這樣根據三角不等式，對任意的  ， 只要自然數   就有則

這樣的話，根據不極限不相等的假設有

所以可以取而得到

這樣是矛盾的，故根據反證法，  ，也就是  ，故極限唯一。
 有界性 

證明因為有極限，所以有复数  滿足

這樣的話，對於  ，存在自然数 ，使得任意的自然数 ，只要 ，則

從而

這樣的話，令

就會有

故得証。
根據实质条件的意義，上面的定理等價於「如果一個複數數列無界，則這個複數數列一定發散。」

注意有界數列不一定有極限，如數列   是一個有界數列，但沒有極限。

但是當數列有界，存在一個遞增或是遞減的子數列的話，在假設可數版本的選擇公理成立的情況下，則可以證明此數列有極限。

 保序性 

證明左至右：

取，則由前提假設，存在   使任何  只要  就有


从而

故

這樣取  ，左至右就得證。

右至左：

由前提假設，對任意的  ，存在   使任何  只要  就有



从而

故得證。

 四則運算定理 

證明對任意 有  ，所以根據前提，對  存在   使任何  只要  就有


這樣根據三角不等式有

故得證。

證明對任意正整數 有
 (1) 
且根據上面的有界性，存在 使得
 (2) 
那對任意的 有  ，所以根據前提，對  存在   使任何  只要  就有


這樣根據三角不等式和(1)(2)式就有

故得證。

證明根據前提(1)，對  存在   使任何  只要  就有
 (a)
根據實數系的三分律跟前提(2)，不是  就是 ；

先假設 ，那根據(a)有
 (b)
另一方面，若，同樣根據(a)有
 (c)
所以綜合(b)(c)，可以結論
「存在   使任何  只要  就有」(d)
那對任意的 有  ，所以根據前提(2)(3)和式(d)，對  存在   ，使任何  只要  就有

故得證。
以上的除法定理配上乘法定理，就可以對一般的狀況取極限。

審斂法
其中一個判斷數列是否收斂的定理，称为单调收敛定理，和實數完備性相關：單調有界數列必收斂，即是說，有上界的單調遞增數列，或是有下界的單調遞減數列，必然收斂。

 柯西數列 

参考文献列表

 參看 
 级数
 函数极限

Category:微积分
Category:序列