分数微积分

数学上，分數微積分（fractional calculus）是数学分析的一个分支，它研究微分算子和积分算子J的实数次幂的可能应用（通常不写作I,以避免和其他I形符号产生混淆）。

在这个上下文中，幂指反复应用，和

中的平方意义相同。例如，可以提出如何解释如下符号的问题

作为微分算子的平方根（半次操作），也就是一种算子操作两次以后可以有微分的效果。

更一般的，

对于实数值的n，使得当n为整数时，若n>0,它等同于通常的幂n次操作，当n<0,它等同于n次积分J。

讨论这个问题有几个原因。一个是，这样幂Dn组成的半群可以看作一个连续的半群中取离散值的部分。连续半群在数学上有很好的研究，有一个有趣的理论。注意，分数是个错误的记号，因为指数可以取非有理数，但是分数微积分已成为习惯用法。

 歷史緣由 
在應用數學與數學分析中，一個分數階的導數是一個可以為任意階實數或是複數的導數。這個概念第一次出現在1695年，萊布尼茲寫給洛必達的書信中。分數微積分則是第一次被介紹在阿貝爾的早期論文中，其中關於各種分數階的積分與微分的概念、微分與積分的關係、關於分數階的微分與積分其實都可以被視作一種廣義算子，以及統一關於實數階微分與積分的概念。該主題的基礎由劉維爾(Liouville)在1832年的論文中獨立奠定的，奧利弗·黑維塞(Oliver Heaviside)在1890年引入分數微分算子在電力傳輸分析中。分數微積分的理論與應用在19世紀跟20世紀中得到發展，許多貢獻者都給出了分數階導數與積分的定義。

试探法
一个很自然的想法是问，是否存在一个算子起到半导数的作用，即使得：

结论是：这样的算子是存在的，对于任意,存在一个算子,满足：

，

或者换一个说法, 的定义可以从正整数n扩充到所有的实数n.

在这里我们引入Γ函數将阶乘扩展到实数和复数域上. Γ函數的定义如下：
，

假设对函数 在0到x上求积分，我们可以形式的定义积分算子J:

重复这个过程，可得：
,
这个过程可以任意的重复下去。

利用重复积分的柯西公式，即：

我们可以直截了当的写出任意实数n的积分算子。

直接利用函数将离散的阶乘扩展为连续的函数。我们可以自然的得到分数积分算子的表达形式

这个算子定义明确而且具有良好的性质。

可以证明J算子满足如下关系

这个性质叫微分积分算符的半群性。然而用类似方法定义微分算子将变得相当困难，而且定义出来的微分算子D一般来说不对易也不具有叠加性。

分数微分在一个简单函数上的应用
假设有一个函数
。它的一阶导数一般是：
。重复这一过程，得到更一般的结果：
，将阶乘用伽玛函数替换，可得：
。当k = 1,并且a = 1/2时我们可以得到函数的半导数：
。重复这一过程，得：
，这正是期望的结果：
。

以上微分算子的扩展不仅仅局限于实数次。举个例子，阶导数作用后，阶导数再作用，可以得到二阶导数。同时如果a为负则可为求积分。

分数微分可以得到上述相同的结果（当）。

对于任意的,由于伽玛函数的参数在实数部为负整数时没有定义，需要在分数微分前先进行整数微分。例如

 拉普拉斯變換 
我們可以藉由拉普拉斯變換提出一個問題。已知

以及

然後繼續下去，我們可以推斷:

舉例來說:

如同預期一樣。的確，我們給出捲積性質。

然後為了方便，令  ，我們發現到:

即得到柯西所給出的樣子。

拉普拉斯在一些較少的函數上有效，但是它在解分數微分方程上卻非常有用。

 分數階積分 

 分數階微分 

应用
WKB近似

对于一个一维的量子系统进行准经典的近似时，系统哈密顿量中的倒数可由对态密度的半阶微分求出

这里采用了自然单位制，即Fractional Calculus. An Introduction for Physicists, by Richard Herrmann. Hardcover. Publisher: World Scientific, Singapore;（2014）ISBN 978-981-4551-09-0（http://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/8934） 

相關條目
 Γ函數
 拉普拉斯轉換

参考文献

外部链接
 任意阶微积分 http://drhuang.com/chinese/science/mathematics/fractionalCalculus/ 
 MathWorld - Fractional calculus 
MathWorld - Fractional derivative 
 Specialized journal: Fractional Calculus and Applied Analysis 
 http://www.nasatech.com/Briefs/Oct02/LEW17139.html 
 https://web.archive.org/web/20040502170831/http://unr.edu/homepage/mcubed/FRG.html
 Igor Podlubny's collection of related books, articles, links, software, etc.  
  http://s.dugowson.free.fr/recherche/dones/index.html 
History, Definitions, and Applications for the Engineer（PDF）, by Adam Loverro, University of Notre Dame

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