贝尔数

性質

是基數為的集合的劃分方法的數目。集合的劃分是的兩兩不相交的非空子集的族，它們的並是。例如，，因為有3個元素的集合有5種不同的劃分方法：
。

;

因為空集正好有1種劃分方法。空集的每個成員都是非空集合（这是Vacuous truth，因为空集实际上没有成員），而它們的並是空集本身。所以空集是它的唯一劃分。

貝爾數滿足遞推公式：

上述组合公式的证明：

可以这样来想，是含有n+1个元素集合的划分的个数，考虑元素

假设他被单独划分到一类，那么还剩下n个元素，这种情况下划分个数为；

假设他和某一个元素被划分为一类，那么还剩下n-1个元素，这种情况下划分个数为 ；

假设他和某两个元素被划分为一类，那么还剩下n-2个元素，这种情况下划分个数为 ；

依次类推，得到了上述组合公式

它們也適合「Dobinski公式」：
期望值為1的泊松分數的n次矩。

它們也適合「Touchard同餘」：若p是任意質數，那麼

每個貝爾數都是"第二類Stirling數"的和

Stirling數S（n, k）是把基數為n的集劃分為正好k個非空集的方法的數目。

把任一概率分佈的n次矩以首n個累積量表示的多項式，其係數和正是第n個貝爾數。這種數劃分的方法不像用Stirling數那個方法粗糙。

貝爾數的指數母函數是

貝爾三角形
用以下方法建構一個三角矩陣（形式類似楊輝三角形）：
 第一行第一項是1（）
 對於n>1，第n行第一項等同第n-1行最後一項。（）
 對於m,n>1，第n行第m項等於它左邊和左上方的兩個數之和。（）
結果如下：（OEIS:A011971）



每行首項是貝爾數。每行之和是第二類Stirling數。

這個三角形稱為貝爾三角形、Aitken陣列或Peirce三角形（Bell triangle, Aitken's array, Peirce triangle）。

參考
 http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=9059

Bell