度量张量

度量張量（英語：Metric tensor）在黎曼幾何裡面又叫黎曼度量，物理学译为度規張量，是指一用來衡量度量空间中距離，面積及角度的二階張量。

内容
當选定一個局部坐標系統，度量張量為二階張量一般表示為 ，也可以用矩陣  表示，記作為G或g。而  記號傳統地表示度量張量的協變分量（亦為「矩陣元素」）。

 到  的弧線長度定义如下，其中参数定為t，t由a到b:

兩個切向量的夾角 ,設向量  和 ，定義為：

若  為 到  的局部微分同胚，其誘導出的度量張量的矩陣形式 ，由以下方程式計算得出：

 表示  的雅可比矩阵，它的轉置为 。著名例子有  之間從極座標系  到直角座標  的座標變換，在這例子裡有：

這映射的雅可比矩陣為

所以

這跟微積分裡極座標的黎曼度量, ，一致。

例子
歐幾里德幾何度量
二維歐幾里德度量張量：

弧線長度轉為熟悉微積分方程式：

在其他坐標系統的歐氏度量：

极坐标系：

圓柱坐標系：

球坐標系：

平坦的闵可夫斯基空间 (狭义相对论)：

在一些習慣中，與上面相反地，時間ct的度規分量取正號而空間 (x,y,z)的度規分量取負號，故矩陣表示為：

參看
偽黎曼度量

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