布朗运动

布朗运动（）是微小粒子或者颗粒在流体中做的无规则运动。布朗运动过程是一种正态分布的独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。其基本性质为：布朗运动W(t)是期望为0、方差为t（时间）的正态随机变量。对于任意的r小于等于s，W(t)-W(s)独立于的W(r)，且是期望为0、方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是马尔可夫过程、鞅过程和伊藤过程。

它是在西元1827年部分紀錄為1828年。英國植物學家罗伯特·布朗利用一般的顯微鏡觀察懸浮於水中由花粉所迸裂出之微粒時，發現微粒會呈現不規則狀的運動，因而稱它布朗運動。布朗運動也能測量原子的大小，因為就是由水中的水分子對微粒的碰撞產生的，而不規則的碰撞越明顯，就是原子愈小，因此根據布朗運動，定義原子的直徑為10−8厘米。

定義
自1860年以來，許多科學家都在研究此種現象，後來發現布朗運動有下列的主要特性：
 粒子的運動由平移及轉移所構成，顯得非常沒規則而且其軌跡幾乎是處處沒有切線。 
 粒子之移動顯然互不相關，甚至於當粒子互相接近至比其直徑小的距離時也是如此。 
 粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時，粒子的運動越活潑。 
 粒子的成分及密度對其運動沒有影響。 
 粒子的運動永不停止。

 愛因斯坦的理論 
在1905年，爱因斯坦提出了相关理论。他的理論有兩個部分：第一部分定義布朗粒子擴散方程式，其中的擴散係數與布朗粒子平均平方位移相關，而第二部分連結擴散係數與可測量的物理量。以此方式，愛因斯坦的理論可決定原子的大小，一莫耳有多少原子，或氣體的克分子量。根據阿伏伽德罗定律，所有理想氣體在標準溫度和壓力下體積為22.414升，其中包含的原子的數目被稱為「阿伏伽德罗常数」。由氣體的莫耳質量除以阿伏伽德罗常数等同原子量。

爱因斯坦论证的第一部分是，确定布朗粒子在一定的时间内运动的距离。 经典力学无法确定这个距离，因为布朗粒子将会受到大量的撞击，每秒大约发生 1014 次撞击。因此，爱因斯坦将之简化，即讨论一个布朗粒子团的运动。

他把粒子在一个的空间中，把布朗粒子在一维方向上的运动增量 (x) 视作一个随机值（ 或者 x，并对其坐标进行变换，让原点成为粒子运动的初始位置）并给出概率密度函数 。另外，他假设粒子的数量有限，并扩大了密度（单位体积内粒子数量)，展开成泰勒级数 。

第一行中的第二个等式是被  这个函数定义的。第一项中的积分等于一个由概率定义函数，第二项和其他偶数项（即第一项和其他奇数项）由于空间对称性而消失。化简可以得到以下关系关系：

拉普拉斯算子之前的系数，是下一刻的随机位移量 ，让 D 为质量扩散系数：

那么在 t 时刻 x 处的布朗粒子密度 ρ 满足扩散方程：

假設在初始時刻t = 0時，所有的粒子從原點開始運動，擴散方程的解

 数学模型 

 定义 
满足下列条件的鞅我们称之为布朗运动
 这个鞅是关于时间连续的。
 他的平方减去时间项也是一个鞅。

是一个布朗运动当且仅当为鞅，且也为鞅.

 其他定义 



一维的定义

一维布朗运动是关于时间t的一个随机过程，他满足 ：
（独立增量）设时间t和s满足t > s,增量独立于时间s前的过程。 
（稳定增量和正态性）设时间t和s满足t > s,增量服从均值为0方差为t−s的正态分布。
 几乎处处连续， 也就是说在任何可能性下， 函数是连续的.
 通常假设。这种布朗运动我们称它为标准的。

等价定义

一维布朗运动是关于时间t的一个随机过程，他满足 ：
 是一个高斯过程，也就是说对于所有的时间列：,随机向量：服从高维高斯分布（正态分布）。
 几乎处处连续。
对于所有s和t,均值，协方差.

高维定义

是d维布朗运动，只需满足为独立的布朗运动。

换句话说，d维布朗运动 取值于，而它在空间上的投影均为布朗运动。

Wiener测度的定义

设为从到的连续函数空间，为概率空间。布朗运动为映射

           .
Wiener测度 （或称为布朗运动的分布）设为,是映射B关于的图测度。

换句话说，  W是上的一个概率测度，满足对于任何，有
。

备忘
 布朗运动是一种增量服从正态分布的萊維過程。
 这个定义可以帮助我们证明布朗运动的很多特性，比如几乎处处连续，轨迹几乎处处不可微等等。
 我们可以利用二次变差的期望为时间来等价定义布朗运动。这个定义由Levy定理演化而来， 即： 轨迹连续且二次变差为的随机过程为布朗运动。

 性质 

 布朗运动的轨道几乎处处不可微：对于任何,轨道为一个连续但是零可微的函数。
 协方差。
 布朗运动具有强马氏性： 对于停时T,取条件,过程为一个独立于的布朗运动。
 它的Fourier变换或特征函数为。可见，布朗运动是一个无偏，无跳跃，二项系数为1/2的Levy过程。
 布朗运动关于时间是齐次的： 对于s > 0, 是一个独立于的布朗运动。
 -B是一个布朗运动。
 （稳定性） 对于c > 0，  是布朗运动。 
（时间可逆性）在t=0之外是布朗运动。
 （常返性）只有1维和2维布朗运动是常返的：
       如果,集合不是有界的，对于任何，
       如果（几乎处处）。
 （反射原理）

 布朗运动的数学构造 

 利用Kolmogorov一致性定理
设为空间中一列实值函数。设：

这列函数满足：

，任意的,矩阵为对称半正定的。

利用Kolmogorov一致性定理，我们可以构造高斯过程，它的均值任意， 协方差为上面定义的。

当，为不依赖于t的常数，为上的示性函数。则：

在这个情况下，矩阵是对称且正定的。

我们称一个高斯过程为 布朗运动当且仅当均值为0，协方差为s。，当时， 称之为 标准的布朗运动.

 利用随机过程 

Donsker定理（1951）证明了逐渐归一化的随机游走弱收敛于布朗运动。

其中（Un, n ≥ 1） 独立同分布， 均值为0,方差为σ的随机变量序列。

 利用傅立叶级数 

设2列独立的正态随机变量序列和。定义：

为布朗运动。

 争议 
 對於布朗運動之誤解 


 参见 
 维纳过程

 腳註 

 外部連結 
 漫談布朗運動 
 Brownian motion - an overview

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