环同态

在环论或抽象代数中，环同态是指两个环  與  之间的映射  保持两个环的加法与乘法运算。

更加精确地，如果  和  是环，则环同态是一个函数，使得：
 ，对于  内的所有  和 ；
 ，对于  内的所有  和  ；
 。

如果我们不要求环具有乘法单位元，则最后一个条件不需要。

性质

直接从这些定义，我们可以推出：


 如果  在  内具有乘法逆元，则  在  内具有乘法逆元，且有 。
  的核，定义为，是  内的一个理想。每一个交换环  内的理想都可以从某个环同态用这种方法得出。对于具有单位元的环，环同态的核是一个没有单位元的子环。
 环同态  是单射，当且仅当。
  的像，，是  的一个子环。
 如果  是双射，那么它的逆映射  也是环同态。在这种情况下， 称为同构。在环论的立场下，同构的环不能被区分。
 如果存在一个环同态 ，那么  的特征整除  的特征。这有时候可以用来证明在一定的环  和  之间，不存在环同态 。
 如果  是一个域，则  要么是单射，要么是零函数。（但是，如果  保持乘法单位元，则它不能是零函数）。
 如果  和  都是域，则  是  的一个子域（如果  不是零函数）。
 如果 和  是交换环， 没有零因子，则  是  的一个素理想。
 如果 和  是交换环， 是一个域，且  是满射，则  是  的一个最大理想。
 对于每一个环 ，都存在一个唯一的环同态 。这就是说，整数环是环范畴中的始对象。

例子
 函数 ，由  定义，是一个满射的环同态，它的核为。
 当  时，不存在环同态。
 如果  表示变量为  的所有实系数多项式的环，表示复数域，则函数 ，由  定义（在多项式  中用虚数单位  来代替变量 ），是一个满射的环同态。 的核由  内所有能被  整除的多项式组成。

环同态的种类
 双射的环同态称为环同构。
 定义域与值域相同的环同态称为环自同态。

在环范畴中，单射的环同态与单同态是相等的：如果  是单同态而不是单射，则它把某个  和  映射到  的同一个元素。考虑从  到  的两个映射  和 ，分别把  映射到  和 ；和 是相等的，但由于  是单同态，这是不可能的。

然而，在环范畴中，满射的环同态与满同态是非常不同的。例如， 是满同态，但不是满射。

参见

同态

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