伯努利数

0  1 1  ±  2    3  0  4  −  5  0  6    7  0  8  −  9  0  10    11  0  12  −  13  0  14    15  0  16  −  17  0  18    19  0  20  − 
白努利數  是一個数学分析中常见的有理數序列。前21个伯努利数的值列于右表。其中上標 ± 在本文中用來區別兩種不同的白努利數定義，這兩種定義只对有区别：，。

符号
 ，而，是美國國家標準技術研究所（NIST）和大多数现代教科书的符号约定。 / 
 ，而，在较早的文献中被使用。 / 
由於對所有大於的奇數 ，白努利數  ，且許多公式中僅使用偶數項的白努利數，一些作者可能會用來代表 ，不過本文不會如此簡寫。

 历史 

伯努利数来源于计算等幂求和。定義等冪和如下，其中：

這數列和的公式必定是變數為，次數為次的多項式，稱為伯努利多項式。伯努利多項式的係數與伯努利數有關係如下：

其中 為二項式係數。

例如，把m取為1，有

伯努利數最先由雅各布·伯努利研究，他给出了伯努利數的计算方法和所有幂和的统一公式。根据棣莫弗的提议，伯努利多项式中的系数被称为伯努利數。

在1842年的愛達·勒芙蕾絲的分析機筆記的筆記G，第一次記述了一個讓電腦產生伯努利數的算法。

 定义
伯努利數可以由下列遞歸公式計算：

其中，是克罗内克δ函数。

伯努利數也可以用母函數技巧定義。它們的指數母函數是x/（ex − 1），使得對所有絕對值小於2π的x（冪級數的收斂半徑），有

。

有時會寫成小寫bn，以便與貝爾數区分。

最初21項伯努利數記於OEIS中的數列和。

可以證明對所有不是1的奇數n有Bn = 0。

數列中乍看起來突兀的B12 = −691/2730，喻示伯努利數不能以初等方式描述；其實它們是黎曼ζ函數於負整數的值，有深邃的數論性質聯繫，所以不能預期有簡單的計算公式。

伯努利数和黎曼ζ函數

歐拉以黎曼ζ函數表達伯努利數為：

。

在[−1, 0]區間上的連續均勻概率分佈的n階累積量是Bn/n。

伯努利數的算術性質

伯努利數可以用黎曼ζ函數表達為Bn = − nζ（1 − n），也就說明它們本質上是這函數在負整數的值。因此，可推測它們有深刻的算術性質，事實也的確如此，這是庫默爾（Kummer）研究費馬大定理時發現的。

伯努利數的可整除性是與分圓域的理想類群有關。這關係由庫默爾的一道定理和更強的埃爾貝朗-里貝定理（Herbrand-Ribet）描述。而這性質與實二次域的關係由安克尼-阿廷-喬拉猜想（Ankeny-Artin-Chowla）給出。伯努利數還和代數K理論有關：若cn是Bn/2n的分子，那樣的階是−c2n若n為偶數；2c2n若n為奇數。

與整除性也有關連的是馮·施陶特-克勞森定理（von Staudt-Clausen）。這定理是說，凡是適合p − 1整除n的質數p，把1/p加到Bn上，我們會得到一個整數。這個事實給出了非零伯努利數Bn的分母的特徵：這些分母是適合p − 1整除n的所有質數p的乘積；故此它們都無平方因子，也都可以被6整除。

吾鄉-朱加猜想猜測p是質數當且僅當pBp−1模p同餘於−1。

p進連續性

伯努利數的一個特別重要的同餘性質，可以表述為p進連續性。若b，m和n是正整數，使得m和n不能被p − 1整除，及，那麼

。

因為，這也可以寫成

，

其中u = 1 − m和v = 1 − n，使得u和v非正，及不是模p − 1同餘於1。這告訴我們，黎曼ζ函數的歐拉乘積公式中去掉後，對適合模p − 1同餘於某個的負奇數上的p進數連續，因此可以延伸到所有p進整數，得出p進ζ函數。

伯努利數的应用
伯努利數出現在正切和雙曲正切函數的泰勒級數展開式、歐拉-麥克勞林公式，及黎曼ζ函數的一些值的表達式。

拓扑
在時給出可平行流形邊界的怪（4n−1）球，對於它們的微分同胚類的循環群的階，有凱爾韋爾-米爾諾公式（Kervaire-Milnor），用到了伯努利數。若B是B4n/n的分子，那麼這種怪球的數目是。（拓撲學文章中的公式與這裡不同，因為拓撲學家為伯努利數編號的習慣不同。本文跟隨數論家的編號習慣。）

参考

外部連結
伯努利數網頁 
整數數列線上大全——與伯努利數有關的數列的記錄
首498個伯努利數 取自古登堡計劃

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