向量空间

向量空間是一群可縮放和相加的數學實體（如實數甚至是函数）所構成的特殊集合，其特殊之處在於縮放和相加後仍屬於這個集合。這些數學實體被稱為向量，而向量空間正是線性代數的主要研究对象。

 正式定義 
給定域  和某集合  ，它們具有了以下兩種运算（函数）：

 向量加法  （其中  慣例上簡記為  ）
 标量乘法  （其中  慣例上簡記為  甚至是    ）

且這兩種運算滿足：（特別注意  和  是域  是本身具有的加法和乘法）

名稱前提條件 內容向量加法 的单位元與逆元素存在  的元素  對所有  有    且存在  使得  的结合律對所有   的交换律對所有  标量乘法 的单位元對所有 若  是  的乘法单位元，則  对向量加法的分配律對所有  和所有    对域加法的分配律對所有  和所有   与域乘法  

這樣稱 「  為定義在域  上的向量空間」，而  裡的元素  被稱為向量；域  裡的元素  被稱為标量。這樣域  就是囊括所有标量的集合，所以為了解說方便，有時會將  暱稱為标量域或是标量母空間。在不跟域的加法混淆的情況下，向量加法  也可以簡寫成  。

前四個條件規定  是交換群。上述的完整定義也可以抽象地概述成「  是個域，且  是一個 模」。
 基本性质 
以下定理都沿用正式定義一節的符號與前提條件。

以上的定理事實上繼承自群的單位元唯一性。這樣的話，可以仿造群的習慣以記號  代表「向量加法  的唯一單位元」，並稱之為  的零向量。

在不跟标量域的加法單位元   混淆的情況下，零向量  也可以簡寫成  。

以上的定理事實上繼承自群的逆元唯一性，這樣的話，可以仿造群的習慣以  代表「向量  在向量加法  下的唯一逆元素」，甚至可以把  簡記為  ，並暱稱為向量減法。在不跟标量的加法混淆的情況下，  也可記為  ；  也可記為  。

證明考慮到标量乘法对向量加法的分配律和零向量的性質會有



那取向量  為  的向量加法逆元素，配上向量加法的结合律和单位元的定義會有

故得証。

證明考慮到域  自身的定義，還有标量乘法对域加法的分配律的話有



那取向量  為  的向量加法逆元素，配上向量加法的结合律和单位元的定義會有



故得証。

證明若  ，根據定理(3)本定理顯然成立。下面只考慮  的狀況。

假設存在向量  和标量  滿足  且  ，但  。若以  表示域的乘法單位元，那根據其性質與和定義關於标量乘法單位元的部分會有

那再根據定義關於标量乘法与域乘法的部分，還有域乘法的交換律會有

那再套用定理(3)和前提假設會有

這跟前提假設是矛盾的，所以根據反證法和德摩根定理，對所有向量  和所有标量  ，只有可能「  或  」或「」，但這段敘述正好等價於定理想證明的，故得証。

證明以下設純量  是域加法的单位元。

考慮到域  自身的定義，還有标量乘法对域加法的分配律會有




然後考慮到前面的定理(4)，就有




然後考慮到定理(2)保證的逆元素唯一性，就可以知道向量   的加法逆元素必為  。

 額外結構 
研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下：
 一個實數或複數向量空間加上長度概念（就是範數）則成為賦範向量空間。
 一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念則成為內積空間。
 一個向量空間加上拓撲結構并滿足連續性要求（加法及標量乘法是連續映射）則成為拓撲向量空間。
 一個向量空間加上雙線性算子（定義為向量乘法）則成為域代數。
 例子 
對一般域，记為-向量空間。若是實數域，则稱為實數向量空間；若是複數域，则稱為複數向量空間；若是有限域，则稱為有限域向量空間。

最简单的-向量空間是自身。只要定义向量加法为域中元素的加法，标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当是实数域时，可以验证对任意实数、以及任意实数、、，都有：
 ，
 ，
 零元素存在：零元素满足：对任何的向量元素，，
 逆元素存在：对任何的向量元素，它的相反数就满足。
 标量乘法对向量加法满足分配律：{{math|a(v + w)  a v + a''' w}}.
 向量乘法对标量加法满足分配律：.
 标量乘法与标量的域乘法相容：。
 标量乘法有單位元：中的乘法单位元，也就是实数“1”满足：对任意实数，。

更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面：平面上的每一点都有一个坐标，并对应着一个向量。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间，记作ℝ²，因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组。可以验证，对于普通意义上的向量加法和标量乘法，ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上，向量空间是ℝ²的推广。

同样地，高维的欧几里得空间ℝn也是向量空间的例子。其中的向量表示为，其中的都是实数。定义向量的加法和标量乘法是：
，

可以验证这也是一个向量空间。

再考虑所有系数为实数的多项式的集合。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法，也构成一个向量空间。更广泛地，所有从实数域射到实数域的连续函数的集合也是向量空间，因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。

方程组与向量空间
向量空间的另一种例子是齐次线性方程组（常数项都是0的线性方程组）的解的集合。例如下面的方程组：

如果和都是解，那么可以验证它们的“和”也是一组解，因为：

同样，将一组解乘以一个常数后，仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理，因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。

一般来说，当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时，方程组有无限多组解，并且这些解组成一个向量空间。

对于齐次线性微分方程，解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程：

出于和上面类似的理由，方程的两个解和的和函数也满足方程。可以验证，这个方程的所有解构成一个向量空间。

 子空間基底 
如果一個向量空間V的一個非空子集合W对于V的加法及標量乘法都封闭（也就是说任意W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W之中），那么将W称为V的線性子空間（简称子空间）。V的子空间中，最平凡的就是空間V自己，以及只包含0的子空间。

給出一個向量集合B，那么包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間，也称線性包络，记作span(B)。

給出一個向量集合B，若它的生成子空间就是向量空間V，则稱B為V的一个生成集。如果一个向量空間V拥有一个元素个数有限的生成集，那么就稱V是一个有限维空间。

可以生成一個向量空間V的線性獨立子集，稱為這個空間的基。若V={0}，约定唯一的基是空集。對非零向量空間V，基是V“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基B之后，空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能够把基中元素按下标排列：，那么空间中的每一个向量v便可以通过座標系統來呈現：

这种表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是说，向量空间的基提供了一个坐标系。

可以证明，一个向量空間的所有基都擁有相同基數，稱為該空間的維度。当V是一个有限维空间时，任何一组基中的元素个数都是定值，等于空间的维度。例如，各种實數向量空間：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ∞,…中，  ℝn的維度就是n。在一个有限维的向量空间（维度是n）中，确定一组基，那么所有的向量都可以用n个标量来表示。比如说，如果某个向量v表示为：

那么v可以用数组来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法，基中元素表示为：

可以证明，存在从任意一个n维的-向量空间到空间的双射。这种关系称为同构。

 線性映射 
給定兩個系数域都是F的向量空間V和W,定义由V到W的線性變換（或称线性映射）为所有从V射到W并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数f：

所有线性变换的集合记为，这也是一个系数域为F的向量空间。在确定了V和W上各自的一组基之后，中的线性变换可以通过矩阵来表示。

如果两个向量空間V和W之间的一个線性映射是一一映射，那么这个线性映射称为（线性）同构，表示两个空间构造相同的意思。如果在V和W之間存在同構，那么稱這兩個空間為同構的。如果向量空間V和W之间存在同构，那么其逆映射也存在，并且对所有的，都有：

 參考文獻  
 《中国大百科全书》
 Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.
 Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
 Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.
 Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22''' (1995), no. 3, 262-303.
 Gilbert Strang.  "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8
 參考資料 

 外部連結 

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Category:向量