赫尔德不等式

赫爾德不等式是數學分析的一條不等式，取名自德國數學家奧托·赫爾德。這是一條揭示Lp空間的相互關係的基本不等式：

設為測度空間，，及，設在內，在內。則在內，且有

等号当且仅当与（幾乎處處）线性相关时取得，即有常數使得對幾乎所有成立。

若取作附計數測度，便得赫爾德不等式的特殊情形：對所有實數（或複數），有
。

上式等號成立的充要條件是，而我们称  和  互为赫尔德共轭。

若取為自然數集附計數測度，便得與上類似的無窮級數不等式。

當，便得到柯西-施瓦茨不等式。

赫爾德不等式可以證明空間上一般化的三角不等式，閔可夫斯基不等式，和證明空間是空間的對偶。

备注

 在赫尔德共轭的定义中，意味着零。

 如果，，那么和表示（可能无穷的）表达式：

   以及   

 如果 ，那么表示  的本性上确界，也类似。

 在赫尔德不等式的右端，0乘以以及乘以0意味着 0。把  乘以，则得出。

证明

赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。

如果，那么  -几乎处处为零，且乘积   -几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果也是这样。因此，我们可以假设且。

如果或，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设和位于  内。

如果  且 ，那么几乎处处有 ，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于 和，情况也类似。因此，我们还可以假设。

分别用  和  除，我们可以假设：

我们现在使用杨氏不等式：

对于所有非负的  和 ，当且仅当  时等式成立。因此：

两边积分，得：

这便证明了赫尔德不等式。

在  和  的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有。更一般地，如果  和  位于  内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在（即  且  ），使得：

   -几乎处处   (*)

的情况对应于(*)中的 。 的情况对应于(*)中的 。

反向赫尔德不等式
当时，不再满足三角不等式，此时成立反向赫尔德不等式(Reverse Hölder inequality):

参考文献

Category:概率不等式
Category:泛函分析