等差数列

等差数列，又名算術数列（），是数列的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等，该差值称为公差（）。

例如数列：

就是一个等差数列。 在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公差都相等。

 性质 

如果一个等差数列的首项記作 ，公差記作 ，那么该等差数列第  项  的一般項为：

換句話說，任意一個等差数列 都可以寫成

在一個等差數列中，給定任意兩相連項  和  ，可知公差

給定任意兩項  和  ，則有公差

此外，在一個等差数列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之和，為原來該項的兩倍。舉例來說， = 。

更一般地說，有：

證明如下：

證畢。

從另一個角度看，等差數列中的任意一項，是其前一項和後一項的算術平均：

此結果從上面直接可得。

如果有正整數 ，使得 ，那么则有：

證明如下：

由此可將上面的性質一般化成：

其中  是一個小於  的整數。

給定一個等差數列 ，則有：

  是一個等差數列。
  是一個等差數列。
  是一個等比數列。
  是一個等諧數列。

從等差數列的一般項可知，任意一個可以寫成

形成的數列，都是一個等差數列，其中公差  = ，首項  = 。

 等差數列和 

一個等差數列的首  項之和，稱為等差数列和（）或算術級數（），記作 。

舉例來說，等差數列 的和是  = 。

等差數列求和的公式如下：

等差数列和在中文教科書中常表达为:
一个等差数列的和，等于其首项与末项的和，乘以项数除以2。

公式證明如下：

将等差數列和写作以下两种形式：

将两公式相加来消掉公差 ，可得

整理可得第一種形式。

代入 ，可得第二種及第三種形式。

從上面的第三種形式展開可見，任意一個可以寫成

形成的數列和，其原來數列都是一個等差數列，其中公差  = ，首項  = 。

 等差数列积 

一個等差數列的首  項之積，稱為等差数列積（），記作 。

舉例來說，等差數列 的積是  = 。

等差数列積的公式较為复杂，須以Γ函數表示：

證明如下：

這裡的  为  的  次上升阶乘幂，例子如  。

使用上面的例子，對於數列 ：

結果相等。

 参见 
 序列
 數列
 級數
 算術平均
 等比數列
 等諧數列

注释

 参考文献 

 Bhardwaj, S., Abiy, T., Kulkarni, O., et al. "Geometric Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/ .
 Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html .
 Weisstein, Eric W. "Geometric Series." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html .

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