等比数列

等比数列，是数列的一种。在等比数列中，任何相邻两项的比例相等，该比值称为公比。因为数列中的任意一項都等于相邻两项的几何平均数，所以又名几何数列（）。

例如数列：

就是一个等比数列。在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公比都等于。

 性質 

如果一个等比数列的首项記作，公比記作，那么该等比数列第项的一般項为：

換句話說，任意一個等比数列都可以寫成

在一個等比數列中，給定任意兩相連項和（其中），可知公比

給定任意兩項和，則有公比

這裡注意，若是偶數，則公比可取此結果的正值或負值。

此外，在一個等比数列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之積，為原來該項的平方。舉例來說，。

更一般地說，有：

證明如下：

證畢。

從另一個角度看，等比數列中的任意一項，是其相邻两项的幾何平均：

此結果從上面直接可得。

如果有整數，使得 ，那么则有：

證明如下：

由此可將上面的性質一般化成：

其中是一個小於的正整數。

給定一個等比數列 ，則有：

  是一個等比數列。
  是一個等比數列。
  是一個等差數列。

從等比數列的一般項可知，任意一個可以寫成

形式的數列，都是一個等比數列，其中公比，首項。

 公比 
公比（）是对于等比数列这一特殊数列而言的，它是指在等比数列中后一项与前一项的商。

 等比数列的通项公式 
等比数列都满足：。例如，数列3、9、27、81......的公比是3。注意公比不能是0（因為），否则為未定义。

 等比数列和 

一個等比數列的首項之和，稱為等比数列和（sum of geometric sequence）或幾何級數（geometric series），記作。

舉例來說，等比數列的和是。

等比數列求和的公式如下：

其中為首項，為項數，為公比，且。

公式證明如下：

将等比數列和写作以下形式：
 ……(1)

将两边同乘以公比 ，有：
 ……(2)

(1)式减去(2)式，有：

当时，整理後得證。

當時，可以发现：

综上所述，等比数列的求和公式为：

當時，注意到

因此，我們可得無限項之和（sum to infinity）的公式為

由此可見，當時，幾何級數會收斂到一個固定值。

 等比数列积 

一個等比數列的首項之積，稱為等比数列積（product of geometric sequence），記作。

舉例來說，等比數列的積是。

等比數列求積的公式如下：

證明如下：

第二步，公比的指數中，0來自於數列的第一項。最後一步，使用了等差數列的求和公式，通項為。

 参见 
 序列
 數列
 級數
 幾何級數
 幾何平均
 等差數列
 等諧數列
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 参考文献 

 Bhardwaj, S., Abiy, T., Kulkarni, O., et al. "Geometric Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/ .
 Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html .
 Weisstein, Eric W. "Geometric Series." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html .

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