反證法

反证法https://terms.naer.edu.tw/detail/b6c4105c64165755ca6ac0f69d871c71/?seq=1（）又称背理法，是一种论证方式，他首先假设某命题成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。

反证法与归谬法相似，但归谬法不仅包括推理出矛盾结果，也包括推理出不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果。

理據
給出命題  和命題 （非 ），根據排中律，兩者之中起碼有一個是真（更強的說法為，除了真和假之外並無其他的情況），所以如果其中一個是假的，另一個就必然是真。給出命題  和命題 （非 ），根據無矛盾律，兩者同時為真的情況為假。給出命題  和 ，根據否定後件律，如果若  成立時出現 ，則  為假時  即為假。反證法在要證明  時，透過顯示出若  成立時出現矛盾（ 和 ），即  為假，從而證明  為真。

例子
是无理数的证明（古希腊人）

证明：假设是有理数，那么可以写成  的形式，其中 、 皆為正整數且 、 互质。那么有

可得 是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以  也是偶数。因此可设 ，從而 ，代入上式，得：。所以 也是偶數，故可得  也是偶数。这样 、 都是偶数，不互质，这与假设 、 互质矛盾，假设不成立。因此为无理数。

其他可用反證法證明的例子
數學上有許多的定理可用反證法來證明，以下是一小部分的例子：
证明有无限多个质数。
任意6人当中，求证或者有3人两两相识，或者有3人互不相识。
现有90张纸，每张纸都写有一个非负整数，已知这90个数之和小于1980，证明至少有三张数目相同的纸。
集合  没有最小值。
设  是大于1的整数，若所有小于或等于的质数都不能整除 ，则  是质数。
已知三角形ABC是锐角三角形，且。求证：。
已知 、 为正实数，求证：。
已知 、、、 是实数，且，求证：。
一個群若同時是交換群和單群，則該群是循環群
若一個循環群是單群，則該群的階為質數
若一個循環群的階為質數，則該群為單群
鴿籠原理

引文
英國數學家高德菲·哈羅德·哈代在他的文章《一個數學家的辯白》描述：「歐幾里得最喜歡用的反證法，是數學家最精良的武器。它比起棋手所用的任何戰術還要好：棋手可能需要犧牲一隻兵甚至更多，但數學家卻是犧牲整個棋局來獲得勝利。」

相關條目
 歸謬法
 排中律
 直覺主義邏輯：一種不承認排中律的邏輯系統
 數學構成主義
 可反證性

参考

進一步閱讀
J. Franklin and A. Daoud, Proof in Mathematics: An Introduction, Quakers Hill Press, 1996, ch. 6

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