向量分析

向量分析，或称为向量微積分（）是數學的一个分支，主要研究在3维欧几里得空间中向量場的微分和积分。「向量分析」有时也用作多元微积分的代名词，其中包括向量分析，以及偏微分和多重积分等更广泛的问题。

向量分析在微分几何与偏微分方程的研究中起着重要作用。它被广泛应用于物理和工程中，特别是电磁场、引力场和流体流动的描述中。

向量分析由约西亚·吉布斯和奧利弗·黑維塞於19世纪末从四元數分析发展而来，大多数符号和术语由吉布斯和在《向量分析》（1901）中提出。向量演算的常规形式中使用外积，不能推广到更高维度，而另一种几何代数的方法运用了可推广的外积，下文将会讨论。

基本对象
标量场

标量场将空间中的每点与标量值相关联。标量是代表物理量的数字。标量场的应用如空间中的温度分布、流体中的压强分布、零旋量子场（称为标量玻色子）如希格斯场。这些场是标量场论的研究对象。

向量场

向量场将向量分配给空间中的每一点。例如，平面中的向量场可形象地理解为一组箭头的集合，每个都有给定的大小与方向，并与平面上的点相关联。向量场常用于模拟运动流体在整个空间中的速度和方向，或某种力（如磁力或引力）在点之间变化时的强度和方向。例如，这可用于计算在一条线上所做的功。

向量和伪向量
在更高级的处理中，进一步区分了伪向量场和赝标量场，它们只在反向映射下符号会变化：例如，向量场的旋度是伪向量场，若反射一个向量场，旋度会指向相反的方向。这种区别在几何代数中有阐述，下详。

向量运算
代数运算

向量分析中的基本代数（非微分）的运算称为向量代数，定义在一向量空间，然后应用到整个向量场，基本代数运算有：

+向量分析基本代数运算运算记作描述向量加法两个向量相加，产生向量。标量乘法标量和向量相乘，产生向量。內積 / 点积两个向量相乘，产生标量。外積 / 叉积中两向量相乘，产生（伪）向量。

两种三重积也比较常见：
+向量分析中的三重积运算记作描述标量三重积向量与两向量叉积的点积。向量三重积向量与两向量叉积的叉积。

三重積不常作为基本运算，不過仍可以用內積及外積表示。

微分运算

向量分析研究定义在标量场或向量场定义的不同微分算子，通常用的向量算子（∇）来表示，也被称为“Nabla算子”。向量分析的五个最重要的微分运算：
算子 表示  敘述  界域梯度   純量場  於場中某點增加率最大的速率與方向  純量場的梯度是向量場散度   向量場  於場中某點附近發散或匯聚的程度  向量場的散度是純量場旋度   向量場  於場中某點附近旋轉的程度 向量場的旋度是向量場均值在无穷小的球内向量场的值不同的程度向量場的向量拉普拉斯是向量場 拉普拉斯算子   對純量場  作梯度運算後，再作散度運算  純量場的拉普拉斯是純量場

 定理 
同样，也有几个与这几个相关的重要定理，将微积分基本定理拓展到了更高维度：
 定理  表示  註解 梯度定理   梯度（向量）场中的曲线积分与它的标量场中两个端点的差。 格林定理   平面内向量场中区域的标量旋度，等於向量场沿逆时针方向的封閉曲線的線積分。 斯托克斯定理    内向量场的旋度的曲面积分，等于向量场在曲面边界上的线积分。 高斯散度定理  向量场的散度对体积的积分，等于穿过包围体积的闭曲面通量的积分。

应用
线性近似

线性近似用几乎相同的线性函数代替复杂函数。给定实值可微函数，对接近的，可以用下式近似

右式是图形在处切线的平面方程。

最优化

对连续可微多变量函数，若其所有偏导数在P点都为零（梯度为零），则P点是一个临界点。临界值是函数在临界点上的值。

若函数光滑，或至少2次连续可微，则临界点可能是局部极值或鞍点。考虑二阶导的黑塞矩阵的特征值，可以区分不同情形。

由费马引理，可微函数的局部极值都出现在临界点上。因此，要找到局部极值，只需计算梯度的零点及当处的黑塞矩阵特征值。

物理学与工程学
向量分析尤其适于研究
质心
场论
运动学
麦克斯韦方程组

推广
向量分析还可推广到其他3-流形及高维空间。

不同3-流形
向量分析起初是在欧氏空间中，不仅是3维实向量空间，还具有额外结构，即：由内积定义范数（给出长度概念），又引出角度与方向，方向又分左右手。这些结构产生了体积形式，以及在向量分析中常用的叉积。

梯度与散度只需要内积，旋度和叉积还需要考虑坐标轴的手性。

若其他3维实向量空间有内积（或更一般的对称非退化形式）和方向，向量分析就可在这些空间上定义；这比欧氏空间的同构数据要少，因为不需要坐标轴集（参照系），这反映了向量分析在旋转（特殊正交群SO(3)）下不变的事实。

更一般地说，向量分析可定义在任意3维有向黎曼流形，或更一般的伪黎曼流形上。这种结构就是每点的切空间都有内积与方向，更一般地说是有对称非退化度量张量与方向。向量分析根据每点的切向量定义，所以有效。

 其他维度 
大多数分析结果都可以通过微分几何机制轻松理解，向量分析是其子集。梯度、散度、梯度定理、散度定理、拉普拉斯算子（产生调和分析）可轻易推广到其他维度，而旋度和叉积则不能直接推广。

从一般观点来看，（3维）向量分析中的各种场被统一视作k向量场：标量场是0-向量场，向量场是1-向量场，伪向量场是2-向量场，伪标量场是3-向量场。在更高维度中，还有更多类似的场（标量/向量/伪向量/伪标量对应0/1/n-1/n维，这在3维中详尽无遗），因此不能只用（伪）标量和（伪）向量。

在任意维度中，假定一个非退化形式，标量函数的梯度是向量场，而向量场的散度是标量函数，但只有3维、7维Lizhong Peng & Lei Yang (1999) "The curl in seven dimensional space and its applications", Approximation Theory and Its Applications 15(3): 66 to 80 （1维、0维是平凡的）中，才能定义叉积（其他维度的推广或要n-1个向量才能得到一个向量，或要用李代数代替，即更一般的反对称双线性积）。总之，向量场的旋度是二重向量场，可解释为无穷小旋转的特殊正交李代数；但这不能视作向量场，因为维数不同——3维旋转有3维，但4维旋转有6维（n维中的旋转有维）。

向量分析有两个重要的替代性推广。第一个是几何代数，用k向量场（3维及以下时，k向量场都可用标量函数或向量场识别，但更高维并非如此）。外积取代了叉积，可在所有维度中，由两个向量场输出一个二重向量场。这产生了作为向量空间上代数结构的克利福德代数（具有有向非退化形式）。几何代数主要用于物理学等应用领域向更高维的推广。

第二个运用微分形式（k余向量场），在数学中有广泛应用，尤常见于微分几何、几何拓扑、调和分析等领域，在有向伪黎曼流形上产生了霍奇理论。从这个角度看，梯度、旋度、散度分别对应0形式、1形式、2形式的外导数，而向量分析的关键定理都是斯托克斯定理一般形式的特例。

从这两种推广来看，向量分析隐式地标识了不同的数学对象，使表述更简单，但底层的数学结构与推广却不那么清晰。从几何代数的角度来看，向量分析隐式地将k向量场与向量场与标量函数区分开来：0向量与3向量同标量有关，1向量和2向量同向量有关。从微分形式的角度来看，向量分析隐式地将k形式同标量场与向量场相联系：0形式、3形式与标量场有关，1形式、2形式与向量场有关。因此，举例来说，旋度自然地将向量场或1形式作为输入，将2向量场或2形式作为输出（因此是伪向量场），然后将其解释为向量场，而非直接从向量场映射到向量场，这在高维空间反映为旋度的输出不是向量场。

参见

 实函数
 向量恒等式
 在圆柱和球坐标系中的del
 方向导数
 保守矢量场
 螺线矢量场
 拉普拉斯矢量场
 亥姆霍兹分解
 正交坐标
 偏斜坐标
 曲线坐标
 张量

 参考文献 
 脚注 

 参考资料 

 Sandro Caparrini (2002) "The discovery of the vector representation of moments and angular velocity ", Archive for History of Exact Sciences 56:151–81.



 Barry Spain (1965) Vector Analysis, 2nd edition, link from Internet Archive.
 Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis . Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.

外部链接
 The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 2: Differential Calculus of Vector Fields


 A survey of the improper use of ∇ in vector analysis  (1994) Tai, Chen-To
 Vector Analysis: A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics, (based upon the lectures of Willard Gibbs) by Edwin Bidwell Wilson, published 1902.

 延伸阅读 
A History of Vector Analysis

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