内切圆

在數學中，若一個二維平面上的多邊形的每條邊都能與其內部的一個圓形相切，該圓就是所謂的多邊形的內切圓，這時稱這個多邊形為圓外切多邊形。它亦是多邊形內部最大的圓形。内切圓的圓心被稱為該多邊形的内心。

一個多邊形至多有一個内切圓，也就是說對於一個多邊形，它的内切圓，如果存在的話，是唯一的。並非所有的多邊形都有内切圓。三角形和正多邊形一定有内切圓。擁有内切圓的四邊形被稱為圆外切四边形。

三角形的內切圓
任何三角形都有內切圓。這個內切圓的圓心稱為內心，一般标记为，是三角形內角平分線的交點R.A.约翰逊，《近代欧氏几何学》，单墫 译，第158页，上海教育出版社，ISBN 7-5320-6392-5。在三線坐標，內心是1:1:1。

性质
內切圓的半徑為，當中表示三角形的面積，、、為三角形的三個邊長。

以內切圓和三角形的三個切點為頂點的三角形是的内接三角形之一。的內切圓就是的外接圓。而、和三线交于一点，它们的交點就是熱爾崗點（Gergonne point）。内切圆与九点圆相切，切点称作费尔巴哈点（见九点圆）。

若以三角形的内切圆为反演圆进行反演，则三角形的三条边和外接圆会分别变为半径相等的四个圆（半径都等于内切圆半径的一半）。《近代欧氏几何学》，第163页

三角形的外接圆半径、内切圆半径以及内外心间距之间有如下关系：
《近代欧氏几何学》，第162页

直角三角形兩股和等於斜邊長加上該三角形內切圓直徑

由此性質再加上勾股定理，可推得：

在直角座標系中，若頂點的座標分別為、、，則内心的座標為：

若为三角形的内心，所在直线交三角形外接圆与点，则有(见鸡爪定理)

四边形的内切圆
不是所有的四边形都有内切圆，拥有内切圆的四边形称为圆外切四边形。凸四边形有内切圆当且仅当两对对边之和相等：，此命题称为皮托定理。圆外切四边形的面积和内切圆半径的关系为：
，其中为半周长。

同时拥有内切圆和外接圆的四边形称为双心四边形。这样的四边形有无限多个。若一个四边形为双心四边形，那么其内切圆在两对对边的切点的连线相互垂直。而只要在一个圆上选取两条相互垂直的弦，并过相应的顶点做切线，就能得到一个双心四边形。

正多边形的内切圆
正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。边长为的正多边形的内切圆半径为：

其内切圆的面积为：

内切圓面積與正多邊形的面積之比為：

故此，當正多邊形的邊數趨向無窮時，

 参考文献 

 参见 

 旁切圓
 外接圓
 九点圆
 内切球



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