不动点

在数学中，函数的不动点或定点是指被这个函数映射到其自身一个点。例如，定义在实数上的函数，

，

则是函数的一个不动点，因为。

也不是每一个函数都具有不动点。例如定义在实数上的函数就没有不动点。因为对于任意的实数，永远不会等于。用画图的话来说，不动点意味着点在直线上，或者换句话说，函数的图像与那根直线有共点。上例的情况是，这个函数的图像与那根直线是一对平行线。

在函数的有限次迭代之后回到相同值的点叫做周期点；不动点是周期等于 1 的周期点。

 吸引不动点 

250px|thumb|不动点迭代  带有初始值 。

函数  的吸引不动点是  的不动点  使得，對在足够接近  的定义域中的任何  值而言，迭代函数序列

收敛于 。如何接近才是“足够接近”有时是个微妙的问题。

自然余弦函数（自然意味着使用弧度而非角度）有精确的一个吸引不动点。在这种情况下，“足够接近”根本不是严格标准 -- 为了展示这个情况，在计算器上开始于任何实数并重复按“cos”键。它会快速的收敛于大约 0.73908513，这就是不动点。这是余弦函数和线  在图上的交叉点。

不是所有不动点都是吸引的：例如， 是函数  的不动点，但是这个函数对非零任意值的迭代快速的发散。

吸引不动点是更广泛的数学概念吸引子的特殊情况。

如果吸引不动点具有李雅普诺夫稳定性，那麼它也被称为稳定不动点。

如果一个不动点具有李雅普诺夫稳定性但不具吸引性，則也會被称为中立稳定不动点。二阶齐次线性微分方程的中心点是中立稳定不动点的例子。

 應用 
平衡和穩定性是許多領域的基本概念，可以用不动点來描述。例如在經濟學賽局理論中，一個賽局中的最佳回應：納什均衡點即是一個不动点。然而在物理學中，更確切地說在相變理論中，靠近一不穩定的不动点線性化，是1982年獲頒諾貝爾物理學獎得主威爾遜，因他發明了重整化群的作品，並對“臨界現象”這個術語作了數學解釋。

對於編程語言的編譯器，例如在数据流分析中，不动点計算通常用於需要代碼優化的程序分析。網際網路上所有網頁的PageRank值向量，即是由其鏈接結構導出的線性變換的不动點。

在邏輯學家索尔·阿伦·克里普克具有影響力的真相理論中，也運用了不动點的觀點。

 保证不动点存在的定理 

在数学的不同部分有很多定理保证函数、在一定的条件下，必定有一个或者更多的不动点。这些在最基本的定性结果当中，那些普遍性应用的不动点定理是非常具有价值的洞察。

 参考资料 

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Category:数学分析
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