柯西-施瓦茨不等式

柯西-施瓦茨不等式（），又稱施瓦茨不等式或柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式或柯西不等式，在多個数学领域中均有應用的不等式；例如線性代數的矢量，數學分析的無窮級數和乘積的積分，和概率論的方差和協方差。它被认为是最重要的数学不等式之一。它有一些推广，如赫尔德不等式。

不等式以奧古斯丁-路易·柯西，赫爾曼·施瓦茨，和命名。

 叙述 
 是個複内积空间，則對所有的  有：

 (a) 
 (b)   存在  使 
證明請見内积空间#柯西-施瓦茨不等式。

特例

 實數 

此定理可以根據点积為内积的事實，然後設：

這樣根據一般內積空間的柯西不等式就可以得証，也可以如下依據實數的性質直接證明
證明考慮一個關於的一元二次方程式 
  (1)

也就是 

  (1')

因為對於任意實數有



所以的二次方程式(1')不是沒有實數解，不然就是有重根，這樣的話，根據二次方程的公式解有



即

 (2)

另一方面，(2)等號成立等價於，這正好就是(1)有重根的情況，換句話說



而就是定理要求的，故本定理得證。

 複數 
維复数空間事實上是個定義在域(也就是純量母空間)上的複係數内积空间，只要對任意定義如下的內積函數：

這樣根據一般內積空間的柯西不等式就有：

直接以複數性質證明的事實上與一般內積空間的證明方法雷同，請參閱内积空间#柯西-施瓦茨不等式。

 矩阵 
一般线性代数的書籍習慣將複數版本的柯西不等式以矩阵表示，換句話說，取：

(共軛加上转置)
這樣的話，複數版本的柯西不等式可以重寫為：

注意到矩陣乘法偷懶地把只有一個元素的矩陣視為那個元素本身，而且為了符合矩陣乘法和线性映射的對應：

必須把内积空间的線性定義改為：（也就是符合狄拉克符号的習慣）
线性對所有 對所有  和所有 
但這並沒有產生任何新的性質。而等號成立地條件也只是換種說法，說成是与线性相关。

 Lp空间 
 對平方可積的複值函數，有
。

可一般化為赫爾德不等式。

 原不等式可以增強至拉格朗日恒等式
。
这是


 同名的定理 

 正定對稱算子 
是個複内积空间，如果， ，這時如果對所有 都有，稱是的一個正定算子（）。

類似的，如果對所有 都有，稱是的一個對稱算子（）。

證明若  ，注意到對於任意有



所以這種情況下，本不等式成立。若考慮 且   ，取





則

所故得証。
考慮到對稱算子在有有限基底的向量空间中都可以唯一的表示成某個埃尔米特矩阵，一般线性代数的書籍習慣以如下的形式表示：

另外，正定算子對應的矩陣元素都必須，所以正定對稱算子對應的是對稱且非負的矩陣。

這個定理無法視為本章所述的柯西不等式的特例，因為不一定能推出，如：

的話，那：

所以

不一定有非退化的性質，而不能視為內積，所以就無法直接套用內積空間的柯西不等式。這也意味著以上定理等號成立的條件，不必然是线性相关。

 复变函数中的柯西不等式 
设 在区域及其边界上解析， 为内一点，以为圆心做圆周 ，只要及其内部均被包含，则有：

其中，M是的最大值，
。

其它推广

若，则

參見
 三角不等式
 內積空間

 注释 

参考资料

Category:奥古斯丁-路易·柯西
Category:代数不等式
Category:线性代数
Category:泛函分析