雙線性形式

在域中，向量空間的雙線性形式指的是一个上的线性函数，满足：
，映射：

都是线性的。這個定義也適用於交換環的模，这时线性函数要改为模同态。

注意一個雙線性形式是特別的双线性映射。

坐標表示法

如果是n維向量空間，设是的一组基。定义 阶的矩阵使得。当
的矩阵和表示向量及时，双线性形式可表示为:

考虑另一组基  ，其中S是一个可逆的 阶矩阵（基底转换矩阵），则双线性形式在下的矩阵的形式为：

对偶空间映射

的每一個雙線性形式都定義了一對由射到它的对偶空间的線性函数。
定义 ：

常常記作：

這裡的(–)是放变量的位置。

如果是有限维空间的话，和它的雙对偶空間是同构的，这时是的轉置映射（如果是无限维空间，限制在在的像下的部分是的轉置映射）。 定義的轉置映射為雙線性形式：

如果是有限维空间，及的秩相等。如果他们的秩等于的維数的话，和就是由到的同构映射（显然是同构当且仅当是同构），此时，是非退化的。实际上在有限维空间里，这常常作为非退化的定义：是非退化的当且仅当

镜像對稱性和正交性

雙線性形式是镜像對稱的当且仅当:

有了镜像對稱性，就可以定义正交：两个向量和关于一个镜像對稱的双线性形式正交当且仅当：
 。
一个双线性形式的根是指与所有其他向量都正交的向量的集合。一个矩阵表示为的向量属于双线性形式的根当且仅当（等价于），根一般是的子空间，
当是非奇异矩阵，即当是非退化时，根都是零子空间。

设是一个子空间，定义。

当是非退化时，映射是双射，所以的维数等于。

可以证明，雙線性形式是镜像對稱的当且仅当它是以下两者之一：
對稱的： 
交替(alternating)的： 

每个交替形式都是斜对称(skew-symmetric)（或称反对称(antisymmetric)）的，只要展开

就可看出。

当的特征不为2时，逆命题也是真的。斜对称的形式必定交替。然而，当时，斜对称就是对称，因此不全是交替的。

一个双线性形式是对称的(反对称的)当且仅当它对应的矩阵是对称的(反对称的)。一个双线性形式是交替的当且仅当它对应的矩阵是反对称的，且主对角线上都是零。（在F的特征不为2时的情况下）

一个双线性形式是对称的当且仅当 相等，是旋钮对称的当且仅当。时，一个双线性形式可以按成对称和反对称部分分解：

其中是的转置映射。

不同空間的推廣
這套理論有很大一部份可推廣到雙線性映射的情形：

。

此時仍有從到的對偶、及從到的對偶的映射。當, 皆有限維，則只要其中之一是同構，另一個映射也是同構。在此情況下稱作完美配對。

張量積關係
由張量積的泛性質， 上的雙線性形式一一對映至線性映射 ：若  是  上的雙線性形，則相應的映射由下式給出

所有從  到  的線性映射構成  的對偶空間，此時雙線性形式遂可視為下述空間的元素：

同理，對稱雙線性形式可想成二次對稱冪 的元素，而交代雙線性形式則可想成二次外冪的元素。

參见

双线性映射
多线性映射
二次方程式
半双线性形式

外部链接

S
Category:抽象代数
Category:線性代數
Category:多重线性代数