凸函数

凸函数（英文：Convex function）是指函数图形上，任意兩點連成的線段，皆位於圖形的上方的实值函数，如單變數的二次函数和指数函数。二階可導的一元函數為凸，当且仅当其定義域為凸集，且函數的二階導數在整個定義域上非負。直觀理解，凸函數的圖像形如開口向上的杯，而相反，凹函数則形如開口向下的帽。

在最优化研究中，凸函數的最小化問題有唯一性，即凸開集上的嚴格凸函數，至多只有一個極小值。

概率论中，凸函數作用在某随机变量期望值所得的結果，總不大於對隨機變量先取函數值再取期望，即

稱為延森不等式。該不等式可以推導出均值不等式及赫尔德不等式等結果。

定義

為某實向量空間的凸子集，若实值函数 對任意 及任意，皆有

則  稱為凸函数。

若  ，然後在  圖像上任取兩點和 連線，則連線上某點  的  座標可以想成從  出發，前進了  這整段的一部分而已，也就是說

循著同樣的比例  ，   的  座標就可以寫成

但同樣的  座標下，對應的  函數值就是

所以，凸函數的定義意為， 的圖像上，任意相異兩點的連線不能低於中間 的曲線。換言之，函數的（圖像上方的點的集合）为凸集。

 严格凸函数 
若將定義的號換成，則得到嚴格凸的定義： 

稱為嚴格凸，意思是對和任意不相等的，皆有

若  ，在嚴格凸函數的圖像曲線上，任意兩相異點的連線，除端點外皆高於曲線。

 几乎凸函数 

若 ，实值函数 對於任意三實數  ，都有，則稱  是幾乎凸的。

 性质 

凸函數的某些性質，多元情況的敍述與一元情況同樣簡單。此種性質，可能僅於多元情況列舉，恕不在一元情況贅述。

 一元情況 
 設是一元實函數，定義域為區間。考慮割線斜率則函數是對稱函數，即關於。為凸，當且僅當對每個固定的，皆有關於單調不減（或由對稱性，可將此句中互換）。此刻劃有助證明以下的結果。
 若一元凸函数定义在开区间內，則在C内连续，且處處有左側及右側的。如此定義的兩個單邊導函數，皆為單調不減。由此推出，除可数个点外，在其他点皆可微（不過不可導的點組成的集合，仍有可能稠密）。如果是闭区间，那么有可能在的端点不连续，見例子。
 一元可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上方：对于区间内的所有和，都有特别地，如果，則上式化為，故是的最小值。
 一元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调不减。若一元函數既凸又可導，則其導數也連續。
 一元二阶可微的函数在区间上是凸的，当且仅当它的二阶导数是非负的；这是判断某个函数是否凸的實用方法。直觀地，二階可導的凸函數「向上彎」，而不會屈向另一邊（即無拐点）。如果它的二阶导数是正数，那么函数就是严格凸的，但反过来不成立。例如，的二阶导数是，当时为零，但是严格凸的。
此性質的條件「二階導數非負」與前一個性質的條件「導數單調不減」有差異。若在區間非負，則的確在單調不減。反之則不然，因為可能有在單調不減，但在某點不可導，即在中某點無定義。
 若為一元凸函數，且，則在正數集內為，即對任意正實數成立。

 多元情況 
更一般地，多元二次可微的连续函数在凸集上是凸的，当且仅当它的黑塞矩阵在凸集的内部是半正定的。

凸函数的任何极小值也是最小值。严格凸函数最多有一个最小值。

对于凸函数f，水平子集{x | f(x) < a}和{x | f(x) ≤ a}（a ∈ R）是凸集。然而，水平子集是凸集的函数不一定是凸函数；这样的函数称为拟凸函数。

延森不等式对于每一个凸函数f都成立。如果是一个随机变量，在f的定义域内取值，那么（在这里，表示数学期望。）

 凸函數的初等運算 
如果和是凸函數，那麼和也是凸函數。
如果和是凸函數，且遞增，那麼是凸函數。
凸性在仿射映射下不變：也就是說，如果是凸函數（），那麼也是凸函數，其中
如果在內是凸函數，且是一個凸的非空集，那麼在內是凸函數，只要對於某個，有。

 例子 
 函数处处有，因此f是一个（严格的）凸函数。
 绝对值函数是凸函数，虽然它在点x = 0没有导数。
 当时，函数是凸函数。
 定义域为[0,1]的函数f，定义为f(0)=f(1)=1，当0<x<1时f(x)=0，是凸函数；它在开区间(0,1)内连续，但在0和1不连续。
 函数的二阶导数为，因此它在x ≥ 0的集合上是凸函数，在x ≤ 0的集合上是凹函数。
 每一个在内取值的线性变换都是凸函数，但不是严格凸函数，因为如果f是线性函数，那么。如果将“凸”替换为“凹”，该命题也成立。
 每一个在内取值的仿射变换，也就是说，每一个形如的函数，既是凸函数又是凹函数。
 每一个范数都是凸函数，这是由于三角不等式。
 如果是凸函数，那么当时，是凸函数。
和为单调递增但非凸的函数。
 函数f(x) = 1/x2，f(0)=+∞，在区间(0,+∞)内是凸函数，在区间(-∞,0)内也是凸函数，但是在区间(-∞,+∞)内不是凸函数，这是由于x = 0处的奇点。

 参见 

 凹函数
 凸集
 對數凸函數

 参考文献 








 Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste, and Lemaréchal, Claude. (2004). Fundamentals of Convex analysis. Berlin: Springer.

 Borwein, Jonathan, and Lewis, Adrian. (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer.

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