并运算

在数学中，集合上的并（）可以用两种方式定义：关于这个集合上的偏序的唯一上确界（最小上界），假定这种上确界存在的话；或者是满足幂等律的交换结合二元运算。在任何一个情况下，这个集合与并运算一起是并半格。两个定义生成等价的结果，除了偏序方式有可能直接的定义更一般的元素的集合的并之外。最常见到并运算的领域是格。

 和  的并通常被指示为 。

偏序定义

设 A 是带有偏序  的一个集合，-{zh-hans:并; zh-hant:並;}-设  和  是 A 中的两个元素。A 中的一个元素  是  和  的并（或最小上界或上确界），如果满足下列两个条件:
1.   且  （就是说， 是  和  的一个上界）
2.  对于 A 中任何 ，使得  且 ，有着  （就是说， 小于任何其他  和  的上界）。
如果  和  有并，则实际上它是唯一的，因为如果  和  都是  和  的最小上界，则 ，因此确实 。如果并存在，它被指示为 。A 中的某些对元素可能缺乏并，要么因为它们根本就没有上界，要么因为它们的上界没有一个小于所有其他的。如果所有的元素对都有并，则这个并实际上是在 A 上的二元运算，并且容易看出这个运算满足下列三个条件: 对于 A 中任何元素 ,  和  有
a.   (交换律)，
b.   (结合律)，
c.   (幂等律)。

泛代数定义

通过定义，在集合 A 上的二元运算  是并，如果它满足上述三个条件 a, b 和 c。有序对 (A,) 就是并半格。此外，我们可以定义在 A 上的二元关系 ，通过声称  当且仅当 。事实上，这个关系是在 A 上的偏序。实际上，对于 A 中任何元素 ,  和  有
，因为 ，通过公理 c；
如果  且 ，则 ，通过公理 a；
如果  且 ，则 ，因为 ，通过公理 b。

两个定义的等价性
如果 (A,) 是偏序集合，使得 A 中每对元素都有并，则确实  当且仅当 ，因为在后者情况下  的确是  和  的上界，并且因为明显的  是最小上界当且仅当它是上界。因此，以泛代数方式的并定义的偏序一致于最初的偏序。

反过来说，如果 (A,) 是并半格，并用泛代数的方式定义偏序 ，对于 A 中某些元素  和  有 ，则  是  和  关于  的最小上界，因为 ，类似的 ，并且如果  是  和  的另一个上界，则 ，因而 。所以最初的并定义的偏序定义的并一致于最初的并。

换句话说，这两种方式生成本质上等价的概念，集合配备了二元关系和二元运算二者，使得每个结构都有另一个确定，而且分别满足关于偏序或并的那些条件。

一般子集的并

如果 (A,) 是并半格，则并可以被扩展为任何非空有限集合的良好定义的并，通过在迭代二元运算中描述的技术。可作为替代的，并定义或定义自偏序，A 的某个子集的确有关于它的上确界。对于非空有限子集，这两种方式生成同样的结果，因此任何一个都可以作为并的定义。在 A 的每个子集都有并的情况下，实际上 (A,) 是完全格；详情请参见完全性 (序理论)。

参见
上确界
半格
格 (数学)
偏序集合
交运算

B
B
B