費馬原理

費馬原理（）最早由法国科学家皮埃爾·德·費馬在1662年提出：光传播的路径是光程取极值的路径。这个极值可能是极大值、极小值或函数的拐点。 最初提出时，又名「最短時間原理」：光線傳播的路徑是需時最少的路徑。

費馬原理更正確的稱謂應是「平穩時間原理」：光沿着所需时间为平稳的路径传播。平稳是数学上的微分概念，可以理解为一阶导数为零，它可以是极大值、极小值甚至是拐点。

費馬原理是几何光学的基本定理。用微分或变分法可以从費馬原理导出以下三个几何光学定律：

光线在真空中的直线传播。
光的反射定律 - 光线在界面上的反射， 入射角必须等于出射角。
光的折射定律（斯涅尔定律）。

最短光时线可以有多条，例如光线从椭圆面焦点A经过反射到另一焦点B，可以有无数条路径，所有这些路径的光線傳播时間都相等。

概述

費馬原理更正確的版本應是「平穩時間原理」。對於某些狀況，光線傳播的路徑所需的時間可能不是最小值，而是最大值，或甚至是拐值。
平面鏡：任意兩點的反射路徑光程是最小值。
半橢圓形鏡子：其兩個焦點的光線反射路徑不是唯一的，光程都一樣，是最大值，也是最小值。
半圓形鏡子：其兩個端點、的反射路徑光程是最大值。
如最右圖所示，對於由四分之一圓形鏡與平面鏡組合而成的鏡子，同樣這兩個點、的反射路徑的光程是拐值。

光的反射
平面反射
光从点出发射向点，反射到点。

点到点的距离  

点 到点的距离 

從點到點的光程為
 。

根據費馬原理，光線在真空中傳播的路徑是光程為極值的路徑。

取光程  對  的導數，令其為零：

 。

但其中

 。

即

这就是反射定律

半球面反射

球面的半径

光线从直径一端射向球面，反射到直径另一端

光程

因;

所以

根据费马原理，

解之， 得  ，代入得到：

光程，乃是一个最大值；（最小值光程是从直径一端到另一端，光程）

光的折射
如右圖所示，設定介質1、介質2的折射率分別為  、 ，光線從介質1在點傳播進入介質2，則司乃耳定律以方程式表達為
 ；

其中， 為入射角， 為折射角。

從費馬原理，可以推導出司乃耳定律。光線在介質1與介質2的速度  和  分別為
 、
 ；

其中， 是真空光速。

由於介質會減緩光線的速度，折射率  和  都大於  。

從點Q到點P的傳播時間  為
 。

根據費馬原理，光線傳播的路徑是所需時間為極值的路徑，取傳播時間  對  的導數，設定其為零：
 。

其中

因此得到傳播速度與折射角的關係式：
 。

將傳播速度與折射率的關係式代入，就會得到司乃耳定律：
 。

 运动学 

伯努利家族的约翰·伯努利在解决最速降线问题时曾利用到费马原理。http://www.guokr.com/article/22018/  复活节闲扯：一场激动人心的数学公开挑战赛，果壳网。他将小球运动类比作光线的运动，从而得出最速降线为摆线。

參閱
费马
哈密顿原理
最小作用量原理
路径积分表述
惠更斯－菲涅耳原理

參考文獻

Category:几何光学
Category:变分法