伯努利不等式

數學中的伯努利不等式指出：對任意整數，和任意實數有：
 ；
如果且是偶數，則不等式對任意實數成立。

可以看到在，或時等號成立，而對任意正整數和任意實數，，有嚴格不等式：
 。

伯努利不等式經常用作證明其他不等式的關鍵步驟。

 證明和推廣 

伯努利不等式可以用數學歸納法證明：當，不等式明顯成立。假設不等式對正整數，實數時成立，那麼

 。

下面是推廣到實數冪的版本：如果，那麼：

若或，有；

若，有。

這不等式可以用導數比較來證明：

當時，等式顯然成立。

在上定義，其中，
對求导得，
則當且僅當。分情況討論：

 ，則對，；對，。因此在時取最大值，故得。
 或，則對，；對，。因此在時取最小值，故得。
在這兩種情況，等號成立當且僅當。

 相關不等式 

下述不等式從另一邊估計：對任意，都有

 。

我们知道（），因此这个不等式是成立的。
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