克拉梅爾猜想

數學上的克拉梅爾猜想（Cramér's conjecture）是瑞典數學家哈拉尔德·克拉梅尔在1937年提出的關於質數間隙的猜想。該猜想是說：

，

這裡代表第個素数。該猜想到現在仍未證出或被否證。

關於質數間隙的條件結果
克拉梅爾也提出另一個較弱的關於素数間隙的猜想，指出在黎曼猜想成立的狀況下，有

。

目前這方面最好的無條件結果是

而這點由R·C·贝克（R. C. Baker）、和三人證出。R. C. Baker, G. Harman, and J. Pintz, The difference between consecutive primes. II. Proc. London Math. Soc. (3), 83 (2001), no. 3, 532-562

另一方面，E·韦斯钦蒂乌斯（E. Westzynthius）於1931年證明質數間隙成長速度快過對數，也就是說，.

改進了他的結果，R. A. Rankin, The difference between consecutive prime numbers, J. London Math. Soc. 13 (1938), 242-247並證明道

艾狄胥·帕爾猜想表示上式的左側趨近於無限，而這點於2014年由、、和陶哲軒四人組。以及詹姆斯·梅納德分別證出。這兩組人馬在該年稍晚將該結果以因子進行改進。

探索性論證
克拉梅爾猜想是基於本質上探索性的機率模型之上的，在其中一個大小為的數是質數的機率是。而該結果又稱作「克拉梅爾隨機模型」（Cramér random model）或「克拉梅爾質數模型」（Cramér model of the primes）。Terry Tao, 254A, Supplement 4: Probabilistic models and heuristics for the primes (optional) , section on The Cramér random model, January 2015.

根據克拉梅爾隨機模型，以下事件的機率為一：

然而，指出，.根據邁爾定理，克拉梅爾隨機模型不能適切地描述質數在短區間上的分布，而在考慮可除性後，修正版克拉梅爾模型指向（），其中是歐拉-馬斯刻若尼常數。平茨·亚诺什則認為該比值的上極限可能發散至無限；János Pintz, Very large gaps between consecutive primes, Journal of Number Theory 63:2 (April 1997), pp. 286–301.

類似地，伦纳德·阿德曼和凯文·麦柯利（Kevin McCurley）寫道：
「由於H. Maier關於相鄰質數間隙的工作之故，學界對克拉梅爾猜想的確實公式起了疑問…（中略）因此很有可能對於任意的常數而言，總存在一個常數，使得和有一個質數。」 and Kevin McCurley, Open Problems in Number Theoretic Complexity, II. Algorithmic number theory (Ithaca, NY, 1994), 291–322, Lecture Notes in Comput. Sci., 877, Springer, Berlin, 1994.

類似地，罗宾·维瑟（Robin Visser）寫道：
「事實上，由於格兰维尔的工作之故，現在學界普遍相信克拉梅爾猜想是錯的。實際上也確實有邁爾定理等關於短區間的定理，和克拉梅爾模型難以兼容。」Robin Visser, Large Gaps Between Primes , University of Cambridge (2020).

相關猜想和探索
猜想表示對質數間隙而言，下列比克拉梅爾猜想來得強的非病態公式成立：.

J·H·卡德韦尔（J.H. Cadwell）則提出下列何質數間隙有關的公式：

該公式和尚克斯猜想在形式上一致，但同時提出了低次項。

马雷克·沃尔夫（Marek Wolf）則猜想在以素數計數函數表示的狀況下，最大質數間隙如下：

其中和是孿生質數常數的兩倍，可見和的相關內容。再一次地，該公式和尚克斯猜想在形式上一致，但同時提出了如下的低次項：

（發現奔騰浮點除錯誤的數學家）曾對許多大質數間隙進行計算，.他藉由下列公式來計算質數間隙與克拉梅爾猜想相契合的程度：

他寫道「即使對於已知最大的質數間隙，的值都維持在1.13左右」。

參見
質數定理
勒讓德猜想和安德里卡猜想─兩個遠遠較弱但依舊未證出的關於質數間隙上界的猜想。
菲鲁兹巴赫特猜想
邁爾定理─一個關於短區間質數個數且克拉梅爾模型給出錯誤預測的定理。

參考資料





外部連結

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