勾股数

勾股数，又名商高數或-{zh-cn:毕氏数; zh-sg:勾股数; zh-tw:勾股數;}-（Pythagorean triple），是由三个正整数组成的数组；能符合勾股定理（毕式定理）「」之中，的正整数解。而且，基于勾股定理的逆定理，任何边长是勾股数组的三角形都是直角三角形。

如果是勾股数，它们的正整数倍数，也是勾股数，即也是勾股数。若果三者互质（它们的最大公因数是 1），它们就称为素勾股数或本原勾股數組。

 找出素勾股数 
以下的方法可用来找出素勾股数。设、和均是正整数，

若和是互质，而且和為一奇一偶，计算出来的就是素勾股数。（若和都是奇数，就会全是偶数，不符合互质。）

所有素勾股数可用上述列式当中找出，这亦可推论到数学上存在无穷多的素勾股数。

 例子 
以下是小于 100 的素勾股数：
34551213724258151794041116061123537138485166365202129284553335665367785398089485573657297

有些勾股数组可以有同一个最小的勾股数。第一个例子是 20 ，它在以下两组勾股数之中出现：与。

其中最先例子是5，它在以下兩組勾股數之中出現及。

在 15,386 组素勾股数的 1229779565176982820 ，它的最小与最大的勾股数组是：

与

试考虑它的质因数分解

它质因数的个数涉及不少素勾股数。当然，数学上存在比它大的素勾股数。

 性質 
對於本原勾股數組，，我們有
兩兩互質
其中一個是3的倍數
其中一個是4的倍數
其中一個是5的倍數
對於第二、三、四條性質的證明：

利用完全平方數 若都不是3的倍數，則，導致 矛盾，所以一定有且只有一個數是3的倍數。

因為是本原勾股數組，所以必有一奇一偶。不妨設為奇數，為偶數，這時候對兩邊同時，則會得到，故，所以一定有且只有一個數是4的倍數。

利用完全平方數 若都不是5的倍數，則或或，而 或，矛盾，所以一定有且只有一個數是5的倍數。

證畢。

 找尋勾股數的小技巧 
若需要一組最小數為奇數的勾股數，可任意選取一個 3 或以上的奇數，將該數自乘為平方數，除以 2，答案加減 0.5 可得到兩個新的數字，這兩個數字連同一開始選取的奇數，三者必定形成一組勾股數。但卻不一定是以這個選取數字為起首勾股數的最小可能或唯一可能，例如並非是以 27 為起首的唯一勾股數，因為存在另一個勾股數是，同樣也以 27 為首。

對於任何大於1的整數，、與，三個數必為畢氏數，例如：代入為2，則為5，為3，為4，為一組畢氏數。

 推廣 
费马最后定理指出，若，而是大于 2 的整数，即没有正整数解。

 參見 
 勾股定理
 費馬最後定理
 特殊直角三角形#常見的勾股数
參考資料

 外部链接 
 談費瑪最後定理第 2 頁
 勾股定理
 Javascript 计算器，用以计算 () 公式，以及如何推论此公式。
 120 三元數組 (doc)

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Triple
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