等价类

在数学中，假設在一个集合上定義一个等价关系（用來表示），则中的某個元素的等价类就是在中等价于的所有元素所形成的子集:
。

等价类的概念有助于从已经构造了的集合构造新集合。在中的给定等价关系的所有等价类的集合表示为并叫做除以的商集。这种运算可以（实际上非常不正式的）被认为是输入集合除以等价关系的活动，所以名字“商”和这种记法都是模仿的除法。商集类似于除法的一个方面是，如果是有限的并且等价类都是等势的，则的序是的序除以一个等价类的序的商。商集被认为是带有所有等价点都识别出来的集合。

对于任何等价关系，都有从到的一个规范投影映射，给出为。这个映射总是满射的。在有某种额外结构的情况下，考虑保持这个结构的等价关系，接着称这个结构是良好定义的，而商集在自然方式下继承了这个结构而成为同一个范畴的对象；从到的映射则是在这个范畴内的满态射。参见同余关系。

 例子 
 如果是轿车的集合，而 是“颜色相同”的等价类，则一个特定等价类由所有绿色轿车组成。 自然的被认同于所有轿车颜色的集合。
 考虑在整数集合上的“模” ﹝見同餘﹞等价关系: 当且仅当是偶数。这个关系精确的引发两个等价类: 由所有偶数组成，由所有奇数组成。在这个关系下和都表示的同一个元素。
 有理数可以构造为整数的有序对 的等价类的集合，不能为零，这里的等价关系定义为
 当且仅当。
 这里的有序对 的等价类可以被认同于有理数。
 任何函数定义在X上的等价关系，通过 当且仅当。的等价类是在中被映射到的所有元素的集合，就是说，类是的逆像。这个等价关系叫做的核。
 给定群和子群，我们可以定义在上的等价关系，通过当且仅当。这个等价类叫做H在G中的右陪集；其中之一是自身。它们都有同样数目的元素（在无限的情况下是势）。如果是正规子群，则所有陪集的集合自身是在自然方式下的一个群。
 所有群都可以划分成叫做共轭类的等价类。
 连续映射的同伦类是所有同伦于的所有映射的等价类。
 在自然语言处理中，等价类是对一个个人、位置、事物或事件的所有提及的要么真实要么虚构的集合。例如，在句子“"GE股东将投票公司杰出的CEO Jack Welch的继任者”。“GE”和“公司”是同义的，所以构成一个等价类。对“GE股东”和“Jack Welch”有单独的等价类。

 性质 
因为等价关系的在中和任何两个等价类要么相等要么不相交的性质。得出X的所有等价类的集合形成的划分：所有的元素属于一且唯一的等价类。反过来，的所有划分也定义了在上等价关系。

它还得出等价关系的性质
当且仅当。

如果是在上的等价关系，而是的元素的一个性质，使得只要为真如果为真，则性质被称为良好定义的或在关系下“类恒定”的。常见特殊情况出现在是从到另一个集合的时候；如果蕴涵则被称为在下恒定的类，或简单称为在下恒定。这出现在有限群的特征理论中。对函数的后者情况可以被表达为交换三角关系．参见不變量。

 参见 
 等价关系

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