標準偏差

標準偏-{}-差（，std dev，SD）又稱標準差、中误差，在统计学中，是衡量一组变量值相对于其算术平均值（期望值）变异程度（离散程度）的指标。标准差越小（低），表示这些变量值越倾向于聚集在数据集的算术平均值（也视作期望值）附近；反之，标准差越大（高），则意味着这些变量值分布得越分散。

标准差通常用于界定哪些数据属于异常值（离群值），而哪些不属于异常值。在数学文本和方程式中，通常用小写希腊字母 σ 表示总体标准差（population SD），用小写拉丁字母 s 表示样本标准差（sample SD）。在实际研究中，我们通常无法获取总体所有数据，因此会抽取样本来推断总体，借由样本的变异度来推估计总体的变异度。

在概率統計中，标准差最常作為评估一組數值的離散程度之用。標準偏差（标准差）的操作型定義为：
一群数值与其算术平均数之差异的平方，再取算术平均数，此时得变异-{}-数（variance，σ2，s2）又称方-{}-差，最后取二次方根；即“方差開算术平方根”。
标准差可反映组内個體間的離散程度，也可表示内部符合精度，作为在一定条件下衡量测量精度的一种数值指标。標準差與期望值之比為標準離差率。

标准差具有兩種性質：
 為非負數值（因為平方後再做平方根）；
 與測量資料具有相同單位（這樣才能比對）。

一個總量的標準差或一個隨機變數的標準差，及一個子集合樣品數的標準差之間，有所差別。標準差的概念由卡爾·皮爾森引入到統計中。

 闡述及應用 
簡單來說，標準差是一組數值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準差，代表大部分的數值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準差，代表這些數值較接近平均值。

例如，兩組數的集合{0, 5, 9, 14}和{5, 6, 8, 9}其平均值都是7，但第二個集合具有較小的標準差。

表述“相差个标准差”，即在  的样本（sample）范围内考量。

標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學中，做重複性測量時，測量數值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預測值，測量值的標準差佔有決定性重要角色：如果測量平均值與預測值相差太遠（同時與標準差數值做比較），則認為測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解，因為如果測量值都落在一定數值範圍之外，可以合理推論預測值是否正確。

標準差應用於投資上，可作為量度回報穩定性的指標。標準差數值越大，代表回報遠離過去平均數值，回報較不穩定故風險越高。相反，標準差數值越小，代表回報較為穩定，風險亦較小。

 母體的標準差 
 基本定義 

为平均值。

 母體為随机变量 
一隨機變量的標準差定義為：

須注意並非所有隨機變量都具有標準差，因為有些隨機變量不存在期望值。
如果隨機變量為具有相同機率，則可用上述公式計算標準差。

 離散随机变量的标准差 
若是由實數構成的離散隨機變數（），且每個值的機率相等，則的標準差定義為：

　，其中　

換成用來寫，就成為：

　，其中　

目前為止，與母體標準差的基本公式一致。

然而若每個可以有不同機率，則的标准差定義為：

　，其中　
这里，为的数学期望。

 连续随机变量的标准差 
若為概率密度的连续随机变量（），則的标准差定義為：

其中为的数学期望：

 标准差的特殊性质 
对于常数和随机变量和：

其中：
表示随机变量和的协方差。
表示，即（的變異數），對亦同。

 样本的标准差 
在真实世界中，找到一个总体的真实的标准差並不實際。大多数情况下，总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。

從一大組數值當中取出一樣本數值組合，常定義其樣本標準差：

样本方差是对总体方差的无偏估计。之所以中的分母要用而不是像总体样本差那样用，是因为的自由度为，这是由于存在约束条件。

 範例 
這裡示範如何計算一組數的標準差。例如一群孩童年齡的數值為{5, 6, 8, 9}：

第一步，計算平均值︰

當（因為集合裏有4個數），分別設為：

則平均值為

第二步，計算標準差︰

 常態分佈的規則 


在實際應用上，常考慮一組數據具有近似於常態分佈的機率分佈。若其假設正確，則約68%數值分佈在距離平均值有1個標準差之內的範圍，約95%數值分佈在距離平均值有2個標準差之內的範圍，以及約99.7%數值分佈在距離平均值有3個標準差之內的範圍。稱為「68-95-99.7法則」。



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 數字比率標準差值 機率 包含之外比例 百分比 百分比 比例0.318 639σ25%75%3 / 4 σ % % 1 /  σ 68% 32% 1 / 3.125 1σ % % 1 /  σ 80% 20% 1 / 5 σ 90% 10% 1 / 10 σ 95% 5% 1 / 20 2σ % % 1 /  σ 99% 1% 1 / 100 3σ % % 1 / 370.398 σ 99.9% 0.1% 1 /  σ 99.99% 0.01% 1 /  4σ % % 1 /  σ 99.999% 0.001% 1 /  σ   1 / 3.4 /  (每一邊) σ % % 1 /  5σ % % 1 /  σ % % 1 /  σ % % 1 /  σ % % 1 /  σ % % 1 /  σ % % 1 /  σ % % 1 /  7σ  % 1 / 

 標準差與平均值之間的關係 
一組數據的平均值及標準差常常同時作為參考的依據。从某种意义上说，如果用平均值來考量數值的中心的话，則標準差也就是对统计的分散度的一个“自然”的测度。因为由平均值所得的标准差要小于到其他任何一个点的标准差。較確切的敘述為：設為實數，定義函数：

使用微積分或者通过配方法，不難算出在下面情況下具有唯一最小值：

 几何学解释 
从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从维空间的一个点到一条直线的距离的函数。举一个简单的例子，一组数据中有3个值，。它们可以在3维空间中确定一个点。想像一条通过原点的直线。如果这组数据中的3个值都相等，则点就是直线上的一个点，到的距离为0，所以标准差也为0。若这3个值不都相等，过点作垂线垂直于，交于点，则的坐标为这3个值的平均数：

运用一些代数知识，不难发现点与点之间的距离（也就是点到直线的距离）是。在维空间中，这个规律同样适用，把换成就可以了。

 参考文献 

 外部链接 
 Standard Deviation Calculator，标准差计算器 

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