婆羅摩笈多公式

歐氏平面幾何中，婆羅摩笈多公式是用以計算圓內接四邊形的面積的公式，以印度數學家婆羅摩笈多之名命名。一般四邊形的面積公式請見布雷特施奈德公式。

 基本形式 

婆羅摩笈多公式的最簡單易記的形式，是圓內接四邊形面積計算。若圓內接四邊形的四邊長為, , , ，則其面積為：



其中為半周長：



 证明 

圆内接四边形的面积 = 的面积 + 的面积

但由于是圆内接四边形，因此。故。所以：

对和利用余弦定理，我们有：

代入（这是由于和是互补角），并整理，得：

把这个等式代入面积的公式中，得：

它是的形式，因此可以写成的形式：

引入，

两边开平方，得：

证毕。

 更特殊情況 

若圓的圆內接四邊形的四邊長為, , , ，且外切于圆，則其面積為：



 证明 

由于四边形内接于圆，所以：


其中p為半周長：



又因为四边形外切圆，所以：



则：



同理:

， 
，

综上：

证毕。

 一般情況 

 布雷特施奈德公式 
對一般四邊形的面積有布雷特施奈德公式，其敘述如下：



其中  是四邊形一對對角和的一半。

注意到不論取到哪一對對角  的值都一樣，因為四邊形的內角和是 ，故如果選取到的是另一對角，其對角和的一半是 。而 ，所以有 。

假設此時四邊形恰好四頂點共圓，由於圓內接四邊形的對角和為 ，因此 ，而且由 ，可推得此時 ，布雷特施奈德公式恰好退化回婆羅摩笈多公式。

 柯立芝公式 
另一個由柯立芝所證明的公式如下J. L. Coolidge, "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral", American Mathematical Monthly, 46 (1939) pp. 345-347.：



其中及為四邊形對角線之長。在圓內接四邊形中，根據托勒密定理我們有，此公式退化回為婆羅摩笈多公式。

 相關定理 

海倫公式給出三角形的面積。它是婆羅摩笈多公式取的特殊情形。

婆羅摩笈多公式的基本形式和擴充形式，就像由勾股定理擴充至餘弦定理一般。

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