佩多不等式

幾何學的佩多不等式，是關連兩個三角形的不等式，以唐·佩多(Don Pedoe)命名。這不等式指出：如果第一個三角形的邊長為，面積為，第二個三角形的邊長為，面積為，那麼：

，

等式成立當且僅當兩個三角形為一對相似三角形，對應邊成比例；
也就是。

 证明 

由海伦公式，两个三角形的面积可用边长表示为

再由柯西不等式，

于是，



命题得证。

等号成立当且仅当，也就是说两个三角形相似。


几何证法
三角形的面积与边长的平方成正比，因此在要证的式子两边同乘一个系数，使得，几何意义是将第二个三角形取相似（如右图）。
设这时A、B、C变成x、y、z，F变成F'。
考虑 AA' 的长度。由余弦公式，

将,

代入就变成：

两边化简后同时乘以，并注意到a=x，就可得到原不等式。
等号成立当且仅当A与A'重合，即两个三角形相似。

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