闭集

在拓扑空间中，闭集是指其补集为开集的集合。在一个拓扑空间内，闭集可以定义为一个包含所有其极限点的集合。在完备度量空间中，一个闭集的极限运算是闭合的。不要混淆于闭流形。

闭集等价的定义
在一個任意的拓扑空间内，一个集合是闭集当且仅当它与它的闭包相同。等价地，一个集合是闭集当且仅当所有的极限点都是这个集合中的点；也就是，。

 性质 

闭集包含其自身的边界。换句话说，这个概念基于“外部”的概念，如果你在一个闭集的外部，你稍微“抖动”一下仍在这个集合的外部。注意，这个概念在边界为空的时候还是真的，比如在有理数的度量空间中，对于平方小于2的数的集合。

任意多个闭集的交集是闭集；有限多个闭集的并集是闭集。特别的，空集和全空间是闭集。

交集的性质也被用来定义空间上的集合的闭包，即的闭合子集中最小的的父集。特别的，的闭包可以通过所有的其闭合父集的交集来构造。

 例子 

 区间在实数上是闭集。（方括号、圆括号的集合符号，参见区间文中的解释。）
 单位区间在实数的度量空间中是闭集。而集合在有理数上是闭集，但在实数上并不是闭集。
 有些集合既不是开集也不是闭集，如实数上的半开区间。
 有些集合既是开集也是闭集叫做闭开集，最簡單的例子就是空集合以及拓樸空間本身。
 半区间在實數上是闭集。
 康托尔集是一个独特的闭集，它包含所有边界点，并且没有一处是稠密的。
 仅包含一个点的集合（显然它是有限集）在豪斯多夫空间内是闭集。
 如果和是拓扑空间，而是一個從到的連續函數當且僅當中任意的閉集的原像在中也是闭集。

 细说 

上述闭集的定义是根据开集而来得，这一概念在拓扑空间上是有意义的，同时也适用于含有拓扑结构的其他空间，如度量空间、可微流形、一致空间和规格空间。

另一种对闭集的定义是通过序列。拓扑空间上的子集是闭合的，当且仅当的元素组成的任意序列的任意极限仍然属于。这一表述的价值在于，它可以用在收敛空间的定义中，而收敛空间比拓扑空间更普通。注意，这一表述仍然依赖背景空间，因为序列是否在中收敛依赖于中的点。

集合是否是闭合的通常取决于它所在的空间。然而在某种意义上，紧致的豪斯多夫空间是“绝对闭合的”。精确地说，将紧致的豪斯多夫空间放在任意豪斯多夫空间中，总是的一个闭合子集；这和“背景空间”没有关系。实际上，这个性质刻画了紧致的豪斯多夫空间。

 参见 
 开集
 闭开集
 闭包

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