平均数不等式

平均数不等式，或称平均值不等式、均值不等式，是数学上的一组不等式，也是算术-几何平均值不等式的推广。它是说：

即

其中：

当且仅当  ，等号成立。

即对这些正实数：调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数（方均根）

简记为：“调几算方”

 时的情形 

 第一个不等号

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 第二个不等号

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 第三个不等号

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证明方法

关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法证明n维形式的均值不等式的方法：

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设，，则，且仅当时取等号。

引理的正确性较明显，条件，可以弱化为，，可以用数学归纳法证明。

原题等价于：，当且仅当时取等号。

当时易证；

假设当时命题成立，即，当且仅当时取等号。

那么当时，不妨设是、中最大者，则

设，
，根据引理

，当且仅当且时，即时取等号。

此外，人教版高中数学教科书《选修4-5 不等式选讲》也介绍了一个运用数学归纳法的证明方法。

先运用数学归纳法证明一个引理：若（是正整数）个正数的乘积，则它们的和，当且仅当时等号成立。

此引理证明如下：

当时命题为：若，则，当且仅当时等号成立。命题显然成立。

假设当时命题成立，则现在证明当时命题也成立。

若这个数全部是1，即，则命题显然成立。

若这个数不全是1，则易证明必存在使。不妨设。由归纳假设，因为，所以，记此式为①式。由，知，则，整理得，记此式为②式。①+②得，整理得（此时等号不成立），命题成立。

综上，由数学归纳法，引理成立。

现在为了证明平均值不等式，考虑个正数，它们的积为1，由引理，它们的和，当且仅当即时等号成立。

整理即得：，当且仅当时等号成立。于是得证。

利用，易证。考虑个正数，有，当且仅当即时等号成立。两边取倒数整理得，当且仅当时等号成立，即。

等价于。事实上，等于的方差，通过这个转化可以证出，证明如下。

，

当且仅当时等号成立。

利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式，同时还有柯西归纳法等方法。

参见
 算术-几何平均值不等式
 幂平均不等式

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Category:平均数