开集

在數學上，特別是拓樸學中，開集是對實數開區間進行推廣之後得到的抽象集合。

通常微積分的課程中，會借助歐式空間的距離去描述數列極限；直觀上，當  越來越大時，數列  跟  極其靠近，則稱  是數列  的極限，但這需要距離去嚴謹的描述「靠近程度」，開集就是來自於「  點附近」這樣的直觀概念。類似的，函數極限也需要距離的概念去嚴謹定義。


 定義 
直觀上，於「開集」或說「不含邊界的集合」中任取一點，都可以找到一個以此點為圓心，且半徑足夠小到落在「開集」裡的圓盤（但圓盤的邊界可能不在開集內）。開集的嚴謹定義由此而來。

 歐式空間 
所謂的維歐式空間，指的是囊括所有实数n-元組的集合（記為）。 為了定義開集，可以推廣勾股定理，將  中任兩點 與  的歐式距離定義為：



然後定義所謂的（維）開球（open ball）：



也就是直觀上，一個以為球心，為半徑但不包含表面的球體。

這樣就可以作如下的定義：

也就是直觀上，取開集  的任意點  都有一個以  為球心的開球完全包含於  。

 賦距空间 
只要把上節的歐式距離改成一般的度量，開集的概念很容易推廣到賦距空间中。

以下把 中的開球（open ball）定義成：



這樣就可以作如下的定義：

這的確推廣了歐式空間部分的定義，因為歐式距離  和本身就組成了一個賦距空間。

賦距空間的開集還會有以下的性質：

證明(1) 對每個都有，所以是自己的一個開集；另外對所有都有（直觀上來說沒有點可以當開球的球心），所以邏輯上不用驗證是否有開球包含於，就可以得到滿足開集的定義 （直觀上來說，前提為假的話，不論結論是否為真，「前提=>結論」都是對的）。

(2) 若，依據假設存在 使得  且 ，這樣取 的話，就有，是故也是 的開集。

(3) 若，依照聯集的性質，存在  使得  ；但根據假設，  都是  的開集，換句話說，存在  使 ，那因為 ，所以有 ，是故   也是  的開集。
事實上這些性質這就是拓扑空间定義的動機。
 拓撲空間 
開集是拓扑空间定義的基石；也就是從任意母集合  出發，再選取  的特定的子集族  ，規定  中的集合就是開集，这樣的子集族  被叫做  上的拓扑：

根據上一節賦距空間的性質，取  為所有  的開集所構成的子集族，則  也是一拓撲空間。

 例子 
 度量空间中，以点为中心，为半径的球体为开集，任意的开集包含以为中心，充分小的为半径的球体。
 流形中的开集为子流形。

 用处 
开集在拓扑学分支中有著基础的重要性。當定义拓扑空间和其他拓扑结构（处理邻近性与收敛此類概念，比如度量空间和一致空间）時，都會用到开集的概念。

拓扑空间的每個子集都包含至少一个（可能为空）开集；最大的这种开集被叫做的内部。它可以通过取包含在中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间和以及函数，如果在中的所有开集的前像是在中的开集，則是连续的，這是實函數上的連續定義的推廣，時這與實函數的連續定義等價。如果在中的所有开集的像是中的开集，映射被叫做开映射。

实直线上的开集都是可数個不相交开区间的并集。

 相关条目 
 拓扑空间
 度量空间
 闭集
 闭开集
注释

K