自反关系

自反关系是在逻辑学和数学中一种特殊的二元关系，这样的二元关系被称为自反的，也被称为具有自反性。自反關係的一個例子是關於實數集合的“等於”關係，因為每個實數都等於它自己。对称性、传递性以及自反性是定義等價關係的三個屬性。

定义
对于集合X上的二元关系R，若满足：取X裡任一元素a，且滿足對於所有a皆存在(a,a)在R集合中，则称二元关系R是自反的，或称R具有自反性，或称R为自反关系。

相关概念
，a = a，在一些系统中称为相等公理。

一個反自反（irreflexive, anti-reflexive）的關係，是在一個集合中沒有元素與自身相關的二元關係。例如實數上的“大於”關係（x> y）。請注意，沒有自反的各種關係，並不全都是反自反的；有些關係中，部分元素與自己相關，而部分不是。例如，“x和y的乘積是偶數”的二元關係在偶數集上是自反的，在奇數集上是反自反的，在自然數集上既不是自反，也不是反自反。

關於集合S上的一個關係，如果與某個元素相關的每個元素也與它自己有關，形式上就稱為準自反：∀x，y∈S：x〜y⇒（x〜x∧y〜y）。一個例子是關於實數序列集合的“具有相同極限”的關係：並不是每個序列都有一個極限，因此這個關係不是自反的，但是如果一個序列與某個序列具有相同的極限，具有與其本身相同的限制。

S上二元關係的自反閉包是S上最小的自反關係，它是〜的超集。等價地，它是S與S上的同一性關係的聯合，形式如下：（≃）=（¯）∪（=）。例如，x <y的自反閉包是x≤y。

在集合S上的二元關係的自反性約化或反自反核是最小的關係≆，使得≆共享與〜相同的自反閉包。它可以被看作是自反封閉的反面。 它相當於S上關於〜的形式關係的補充，形式上是：（≆）=（〜）\（=）。也就是說，除了x〜x是真的，它相當於〜。例如，x≤y的自反減少是x <y。

特殊的自反关系
满足传递性的自反关系称为预序关系。满足反对称性的预序关系称为偏序关系。满足对称性的预序关系称为等价关系。

举例

自反关系举例：
 等于
 是……的子集（集合的包含）
 小于等于、大于等于
 整除

 n元素集合之上的關係 
一個“n”-元素集合上，自反關係的數目是2n2−n.On-Line Encyclopedia of Integer Sequences A053763

+n元集上各種二元關係的數目n全部遞移自反預序偏序全序等價011111111122111111216134433223512171642919136546553639944096355219752415n2n2 2n2−n  n!OEIS                 
 參考文獻 

Category:数学关系