射影定理

射影定理（台灣稱「母子相似定理」)（），又稱歐幾里得定理（），是平面幾何中的一個定理。這個定理指出，在一個直角三角形中，一條直角邊的平方，相等於三角形的斜邊乘以該直角邊在斜邊上的正投影。這個定理出現在歐幾里得所著《幾何原本》第一卷當中，是第 47 個命題畢氏定理證明過程的一部分。

 定理內容 

400px|right|thumb|在  中，，以及 。 及  分別是  及  在底邊  的正投影。

在  中，。設  在  的上的高，則有：

在這裡， 及  分別是  及  在底邊  的正投影，故定理以此為名。

 證明 

注意到  與  是相似三角形。因此可得

整理可得

同理，考慮相似三角形  與 ，可得

整理可得

證明完畢。

相關定理

直角三角形面積

在上面的  中，我們有：

考慮三角形的面積，即可容易地證明。

 勾股定理 

勾股定理，是歐幾里得所著《幾何原本》第一卷當中的第 47 個命題。這個定理指出：

勾股定理與射影定理有密切關係。事實上，在《幾何原本》中，射影定理正是該證明過程的一部分。從射影定理可知：

將兩條等式相加，則可得：

由於 ，因此可得：

證明完畢。

幾何平均定理

，是在《幾何原本》第六卷中的第 8 個命題。這個定理指出：

也就是說， 是  和  的幾何平均。

與射影定理一樣，幾何平均定理可從相似三角形得證。

一般三角形的情況

200px|right|thumb|邊長  及  在底邊  的正投影，分別是  及 。

對於  的情況，三角形邊長的正投影可用餘弦求得：

以上結果從餘弦的定義直接可得。

把上面兩式相加，即可得：

以上公式，又被稱為「第一餘弦定理」。然而，一般「餘弦定理」所指的，是另一條定理（「第二餘弦定理」），詳見餘弦定理。

三維空間上的推廣

三直角四面體

200px|right|thumb|一個四面體。若構成頂點的三個面角皆為直角，則這是一個三直角四面體。

射影定理在三維空間上，也有相應的推廣。設  中，。又設  在斜面  的正投影為 。我們則有：

其中  表示  的面積。

把以上三條等式相加，則可得德古阿定理：

德古阿定理可以視為畢氏定理在三維空間上的其中一種推廣。

一般四面體

在四面體  中，設  為底面。又設  在  的正投影為 。我們則有：

其中  、 及  分別是  、 及   與底面  的夾角。

另外亦有：

其中  、 及  分別是  、 及   與底面  的夾角。

將上面三條等式相加，可得：

是上面提到「第一餘弦定理」的三維推廣。

任意圖形的投影

更進一步地說，面積為  的任意平面圖形，在底面的正投影的面積 ，都可用餘弦求得：

其中  是該平面圖形與底面的夾角。

 參考資料 

參見
正投影
直角三角形

畢氏定理

德古阿定理

Category:幾何學
Category:數學定理