满射

满射或蓋射（），或稱满射函数或映成函數，一个函数为满射，則对于任意的陪域  中的元素 ，在函数的定义域  中存在一點  使得 。换句话说，是满射時，它的值域与陪域相等，或者，等价地，如果每一个陪域中的元素  其原像  不等於空集合。

 例子和反例 

函数，定义为，不是一个满射，因为，（舉例）不存在一个实数满足。

但是，如果把的陪域限制到只有非负实数，则函数为满射。这是因为，给定一个任意的非负实数，我们能对求解，得到。

File:Bijection.svg
雙射（單射與滿射）File:Injection.svg
單射(one to one)但非滿射File:Surjection.svg
滿射(onto)但非单射File:Total function.svg
非滿射非單射

 性质 
根据定义，函数为双射当且仅当它既是满射也是单射。

若將定義在上的函數，視為其圖像，即（集合論經常如此行），則滿射與否，不僅是的性質，而是映射（需要聲明陪域）的性質。單射與否可以單憑圖像判斷，但滿射則不同，不能單憑圖像判斷，因為要知道陪域。

右可逆函數
函數稱為函數的右逆，意思是對的所有元素成立。簡而言之，的效果，可以復原。用文字表示，是的右逆，意思是先做後做的複合，等於上的恆等函數，即不造成任何變化。此處不要求是的真正反函數，因為另一次序的複合，不必是的恆等函數。換言之，可以「復原」或「抵消」，但不必被復原或抵消。

若函數有右逆，則必為滿射。但反之，「每個滿射皆有右逆」此一命題，等價於選擇公理，故在某些集合論中（例如假設決定公理為真的集合論系統），不必為真。

若為滿射，為的子集，則，即從預象，可以找回。

右可消去
函數是滿射，當且僅當其為：給定任何兩個有公共定義域和陪域的函數，若，則有。此性質的敍述用到函數和複合，可以對應推廣成範疇的態射和複合。右可消的態射稱為或滿同態。滿射與滿態射的關係在於，滿射就是集合範疇中的滿態射。

範疇論中，有右逆的態射必為滿態射，但反之則不然。態射的右逆也稱為的。而有右逆的態射稱為，是一類特殊的滿態射。

作為二元關係
以為定義域，為值域的函數，可以視為兩集合之間的的二元關係，因為可將函數與圖像等同。此觀點下，由到的滿射，是右唯一而既左全又右全的關係。

定義域不小於陪域
滿射的定義域，必有大於或等於其陪域的基數：若為滿射，則的元素個數必定至少等於的元素個數（在基數意義下）。但此結論的證明，需要假定選擇公理，以證明有右逆，即存在函數使得對的任意元素成立。滿足此性質的必為單射，故由基數大小比較的定義，有。

特別地，若和皆是有限，且兩者的元素個數相同，則是滿射當且僅當為單射。

給定兩個集合和，以表示「或者為空，或者存在由至的滿射」。利用選擇公理，可以證明，和兩者一起，足以推出。此為康托爾-伯恩斯坦-施羅德定理的變式。

複合與分解
兩個滿射的複合仍是滿射：若和皆為滿射，且的陪域是的定義域，則也是滿射。反之，若為滿，則是滿射，但不必為滿射。與右可消去一節一樣，從集合範疇的滿射，可以推廣到一般範疇的滿態射。

任何函數都可以分解成一個滿射與一個單射的複合：對任意，都存在滿射和單射使得，取法如下：定義為所有原像的集合，其中歷遍的值域。該些原像兩兩互斥，且劃分。於是，將每個映到包含的原像（此為的元素），然後再將的每個元素（形如）映到相應的。則為滿射（因為中的元素，是原像，且非空，故有某個，所以由的定義有），而根據的定義，其為單射。

導出滿射和導出雙射
任何函數，若將其陪域限制成值域，則可以視為滿射，稱為其導出滿射。任何滿射，若將定義域換成商集，即將函數值相同的參數，摺疊成同一個「等價類」，則得到一個雙射，其由等價類組成的集合，射去原函數的陪域。以符號表示，每個滿射可以分解成先做一個商映射，再做一個雙射。考慮以下等價關係：當且僅當。以表示此等價關係下，的等價類的集合。換言之，是所有原像的集合。以表示將映到等價類的商映射，又設，定義為，則。由定義知，是滿射，而是雙射。

 相关条目 
 单射
 双射

參考文獻



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