相等

在數學的領域中，若兩個数学对象在各个方面都相同，则称他们是相等的。这就定义了一个二元谓词等于，写作“”；当且仅当和相等。通常意义上，等于是通过两个元素间的等价关系来构造的。将两个表达式用等于符号连起来，就构成了等式，例如，即與是相等的。

注意，有些时候“”并不表示等式。例如，表示在数量级上渐进。因為这裡的符号“”不滿足若且唯若的定義，所以它不等於等于符号；实际上，是没有意义的。请参见大O符号了解这部分内容。


集合上的等于关系是种二元关系，满足自反性，对称性，反对称性和传递性。
实际上，这是 上唯一满足所有这些性质的关系。
去掉对反对称性的要求，就是等价关系。
相应的，给定任意等价关系，可以构造商集，并且这个等价关系将‘下降为’上的等于。

在任何条件下都成立的等式称为恒等式，包含未知数的等式称为方程式。

 邏輯形式 
謂詞邏輯含有標準的關於相等的公理來形式化萊布尼茨律。萊布尼茨律是由哲學家萊布尼茨在17世紀提出來的。
萊布尼茨的想法是，兩樣物體是同一的，當且僅當它們有完全相同的性質。
形式化這一說法，可以寫成
對任意和，當且僅當對任意謂詞 ，當且僅當。
然而，在一階邏輯中，不能對謂詞進行量化。因此，需要使用下述公理：
對任意和，若等於，則當且僅當。

這條公理對任意單變量的謂詞都有效，但只定義了萊布尼茨律的一個方向：若和相等，則它們具有相同的性質。
可以通過簡單的假設來定義萊布尼茨律的另一個方向：

對任意，等於。

則若和具有相同的性質，則特定的它們關於謂詞是相同的。這裡謂詞為：當且僅當。
由於成立，必定也成立（相同的性質），所以（' '的變量為）.

 等于的一些基本性质 
 替代性 

对任意量和和任意表达式，若，则（设等式两边都有意义）。
在一阶逻辑中，不能量化像这样的表达式（它可能是个函数谓词）。
一些例子：
 对任意实数，若，则（这里为）
 对任意实数，若，则（这里为）
 对任意实数，若，则（这里为）
 对任意实数，若且，则（这里为）

 自反性 
对任意量，。

这个性质通常在数学证明中作为中间步骤。

 对称性 
例子：如果，那么

 传递性 
例子：如果，，那么

实数或其他对象上的二元关系“约等于”，即使进行精确定义，也不具有传递性（即使看上去有，但许多小的差能够叠加成非常大）。然而，在绝大多数情况下，等于具有传递性。

尽管对称性和传递性通常看上去是基本性质，但它们能够通过替代性和自反性证明得到。

 符号的历史 

「等于」符号或 「」被用来表示一些算术运算的结果，是由罗伯特·雷科德在1557年发明的。

由于觉得书写文字过于麻烦，雷科德在他的作品 The Whetstone of Witte 中采用了这一符号。原因是符号中的两条线一样长，表明其连接的两个量也相等。这一发明在威尔士的St Mary教堂有记录。

约等于的符号是或≒，不等于的符号是。

参见
 等号

 外部链接 
关系符号的早期使用（英文）

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D
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