卡方分佈

卡方分布（chi 的读音是 /kaɪ/ ，与「開」字的-{zh-cn:普通话;zh-hk:普通話;zh-tw:國語}-发音相同。, ，或寫作χ²分布）是概率论与统计学中常用的一种概率分布。卡方分布是一种特殊的伽玛分布，是統計推論中应用最为广泛的概率分布之一，例如假說檢定和置信区间的计算。卡方分布也是由标准正态变量的平方和形成的分布。（美）迈克尔·刘易斯-伯克（Michael Lewis-Beck），（美）艾伦·布里曼（Alan Bryman），（美）廖福挺（Tim Futing Liao）主编；沈崇麟，赵锋，高勇主译,社会科学研究方法百科全书精编版  A-D,重庆大学出版社,2022.10,第149页

由卡方分布延伸出來皮爾森卡方檢定常用于：

樣本某性質的比例分布與母體理論分布的拟合优度（例如某行政機關男女比是否符合該機關所在城鎮的男女比）；
同一母體的兩個随机变量是否独立（例如人的身高與交通違規的關聯性）；
二或多個母體同一屬性的同質性檢定（義大利麵店和壽司店的營業額有沒有差距）。（詳見皮爾森卡方檢定）

 数学定义 

若k个随机变量、......、是相互独立且符合标准正态分布的随机变量（数学期望为0、方差为1），则随机变量Z的平方和

被称为服从自由度为 k 的卡方分布，记作



 性质 
可以在文章右上角的表中看到更多卡方分布的性质。
 概率密度函数 
卡方分布的概率密度函数为：

其中，当时。这里Γ代表Gamma函数。

 累积分布函数 
卡方分布的累积分布函数为：
，
其中γ(k,z)为不完全Γ函数

在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如OpenOffice.org Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。

自由度为k的卡方变量的平均值是k，方差是2k。
卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：

其中是雙伽瑪函數。

 卡方變數與Gamma變數的關系 
當Gamma變數 頻率（λ）為1/2時，α的2倍為卡方變數之自由度。
即：

卡方變數之期望值＝自由度
卡方變數之方差＝两倍自由度

 可加性 
由定义可得，独立卡方变量之和同样服从卡方分布。特别地，若分别独立服从自由度为的卡方分布，那么它们的和服从自由度为的卡方分布。

 偏差的平方和 
若k个随机变量、......、是相互独立，符合标准正态分布的随机变量，则它们与均值之间偏差的平方和

其中均值

它的平方正比于自由度为1的卡方分布，即

 卡方分布表 
p-value = 1- p_CDF.

χ2越大，p-value越小，則可信度越高。通常用p=0.05作为閾值，即95%的可信度。

常用的χ2与p-value表如下:

 自由度k \ P value （概率） 0.95 0.90 0.80 0.70 0.50 0.30 0.20 0.10 0.05 0.01 0.001 <div align="center"> 1 0.004 0.02 0.06 0.15 0.46 1.07 1.64 2.71 3.84 6.64 10.83 <div align="center"> 2 0.10 0.21 0.45 0.71 1.39 2.41 3.22 4.60 5.99 9.21 13.82 <div align="center"> 3 0.35 0.58 1.01 1.42 2.37 3.66 4.64 6.25 7.82 11.34 16.27 <div align="center"> 4 0.71 1.06 1.65 2.20 3.36 4.88 5.99 7.78 9.49 13.28 18.47 <div align="center"> 5 1.14 1.61 2.34 3.00 4.35 6.06 7.29 9.24 11.07 15.09 20.52 <div align="center"> 6 1.63 2.20 3.07 3.83 5.35 7.23 8.56 10.64 12.59 16.81 22.46 <div align="center"> 7 2.17 2.83 3.82 4.67 6.35 8.38 9.80 12.02 14.07 18.48 24.32 <div align="center"> 8 2.73 3.49 4.59 5.53 7.34 9.52 11.03 13.36 15.51 20.09 26.12 <div align="center"> 9 3.32 4.17 5.38 6.39 8.34 10.66 12.24 14.68 16.92 21.67 27.88 <div align="center"> 10 3.94 4.86 6.18 7.27 9.34 11.78 13.44 15.99 18.31 23.21 29.59

 参考文献 

 外部链接 
卡方分配與卡方檢定 
 分布计算器

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