极限点

极限点（）在数学中是指可以被集合S中的点随意逼近的點。

这个概念有益的推广了极限的概念，并且是諸如闭集和拓扑閉包等概念的基础。实际上，一个集合是闭合的当且仅当他包含所有它的极限点，而拓扑闭包运算可以被认为是通过增加它的极限点来扩充一个集合。

 定义 

以上的定義來自於「總是可以找到一組 內的點去逼近 」的粗略想法，但一般的拓撲空間的不一定有像距離這樣的工具來比較「開集的大小」，若想以極限點嚴謹地描述「可沿著  去逼近點」的話，還需要對做額外的假設。

 特殊类型的極限點 

度量空间的聚集点
度量空间 自然的帶有由度量生成的拓撲  ；更仔細地說，是由以開球為元素的拓撲基所生成的拓撲，也就是裡的開集都是某群開球的聯集。這樣對開球定義極限點的話，就會等價於對定義（因為屬於某個開球等價於屬於某開集），換句話說，對度量空間可以作如下定義：

直觀上可理解為「可以用  裡的點（以度量  ）無限制地逼近」。應用上，  為定義域的聚集點也是函數極限能在  上有定義的前提條件。

在度量空间中，会聚点与普通的极限点定义等价

 性质 

 关于极限点的性质：是的极限点，当且仅当它属于 \ {}的闭包。
证明：根据闭包定义，某点属于某集合的闭包，当且仅当该点的所有邻域都和该集合相交。则有：x是的极限点，当且仅当所有的邻域都包含一个非的点属于S，当且仅当所有的邻域含有一个点属于\ {x}，当且仅当属于的闭包。
 的闭包具有下列性质：的闭包等于和其導集的并集。
证明：
（从左到右）设属于的闭包。若属于S，命题成立。若，则所有的邻域都含有一个非的点属于；也就是说，x是的极限点，。
（从右到左）设属于S，则明显地所有的邻域和相交，所以属于的闭包。若属于L(S)，则所有的邻域都含有一个非的点属于S，所以也属于的闭包。得证。
 上述结论的推论给出了闭集的性质：集合是闭集，当且仅当它含有所有它的极限点。
证明1：S是闭集，当且仅当等于其闭包，当且仅当=∪ L(S)，当且仅当L(S)包含于S。
证明2：设是闭集，是的极限点。则必须属于S，否则的补集为的开邻域，和不相交。相反，设包含所有它的极限点，需要证明的补集是开集。设属于的补集。根据假设，x不是极限点，则存在的开邻域U和不相交，则U在的补集中，则的补集是开集。
 孤点不是任何集合的极限点。
证明：若是孤点，则{x}是只含有的的邻域。
 空间是离散空间，当且仅当的子集都没有极限点。
证明：若是离散空间，则所有点都是孤点，不能是任何集合的极限点。相反，若不是离散空间，则单元素集合{x}不是开集。那么，所有{x}的邻域都含有点y ≠ x，则是的极限点。
 若空间有密着拓扑，且是的多于一个元素的子集，则的所有元素都是的极限点。若是单元素集合，则所有\的点仍然是的极限点。
说明：只要\ {x}非空，它的闭包就是X；只有当是空集或是的唯一元素时，它的闭包才是空集。
為T1空間，則  為 的極限點等價於  的每個鄰域皆包含無限多個  的點。

注释

引用


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