邻域

在集合论中，邻域（）指以点为中心的任何开区间，记作：。

在拓扑学和相关的数学领域中，邻域是拓扑空间中的基本概念。直觉上说，一个点的邻域是包含这个点的集合，並且該性質是外延的：你可以稍微“抖动”一下这个点而不离开这个集合。

 定义 
在集合论中，有以下几种邻域：
邻域：
去心邻域：
左邻域：
右邻域：

在拓扑学中，拓扑空间，，，称是的邻域，当且仅当以下条件之一成立：
 存在开集，使得。
 。（是的内部）

开邻域，闭邻域
若是开集，则称为的开邻域；若是闭集，则称为的闭邻域。
邻域系统
设，则所有邻域的集合，称为（或）的邻域系。

注意：某些作者要求邻域是开集，所以在阅读文献时注意约定是很重要的。

如果是的子集，的邻域是集合，它包含了包含的开集。可得出集合是的邻域，当且仅当它是在中的所有点的邻域。

 鄰域的度量空间定義 
在度量空间中，集合是点的邻域，如果存在以为中心和半径为的开球，

它被包含在中。

 一致邻域 
叫做集合的一致邻域（uniform neighborhood），如果存在正数使得对于的所有元素，

被包含在中。

对于集合的-邻域是中与的距离小于的所有点的集合（或等价的说是以中一个点为中心半径为的所有开球的并集）。

可直接得出-邻域是一致邻域，并且一个集合是一致邻域当且仅当它包含对某个值的-邻域。

參見一致空間。

 非一致邻域的例子 
给定实数集带有平常的欧几里得度量和如下定义的子集
，
则是自然数集合的邻域，但它不是这个集合的均匀邻域，因為並不是一個固定值。

 去心邻域 
点  的去心邻域（ 或 ）是点  的邻域中减去  后得到的差集。例如，区间  是  在实数轴上的邻域，因此集合  是  的一个去心邻域。需注意的是，给定点的去心邻域实际上不是该点的邻域。在讨论函数极限时，会用到去心邻域的概念。

 基于邻域的拓扑 

上述定义適用於开集的概念早已定义的情況。有另一种方式来定义拓扑，也就是先定义邻域系统，再定义开集：若集中每个点皆有一個邻域被包含於集中，則為開集。

在上的邻域系统是滤子（在集合上）到每个中的的指派，使得
 点是每个中的的元素，
 每个中的包含某个中的使得对于每个中的有着在中。

可以证明这两个定义是兼容的，就是说从使用开集定义的邻域系统获得的拓扑就是最初的拓扑，反之从邻域系统出发亦然。

引用

参见
局部基
第一可数空间
管状邻域

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Category:數學分析