子集

子集（）亦称部分集合，为某集合中部分元素的集合；这时某集合则被称作这个子集的超集或母集。子集与超集的关系被称为“包含”。

如果集合的任意一个元素都是集合的元素（，亦可写作），则集合称为集合的子集，记为或，读作“集合包含于集合”或“集合包含集合”。

即：，有，则。

若和为集合，且的所有元素都是的元素，则可表示為：
 是的子集（或称包含于 ）；
 是的超集／母集（或称包含 ）；

任何集合皆是自身的子集（）。而的子集中不等于的集合，称为真子集，若是的真子集，写作。

 定义 

假设有和两个集合，如果中的每个元素都在中，则：

是的子集，记作
也可以说
是的超集，记作

如果是的子集，但不等于（即中至少存在一个元素不在中），则：

是的真子集，记作
也可以说
是的真超集，记作

 符号 
ISO 80000-2标准中定义了两种符号搭配：

 如果用表示子集关系（包含关系），那么用表示真子集关系（真包含关系）。
 如果用表示子集关系（包含关系），那么用表示真子集关系（真包含关系）。

 举例 

 集合是集合的真子集。
 自然数集合是有理数集合的真子集。
 集合是大于2000的素数是集合是大于1000的奇数的真子集。
 任意集合是其自身的子集，但不是真子集。
 空集，写作，是任意集合的子集。空集总是其他集合的真子集，除了其自身。

 性质 
命题1：空集是任意集合的子集。

这个命题说明：包含是一种偏序关系。

命题2：若是集合，则：

自反性：

反对称性：
若且，则

传递性：
若且，则

这个命题说明：对任意集合，的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。

命题3：若是集合的子集，则：

存在一个最小元和一个最大元：
（由命題1給出）

存在并运算：

若且，则

存在交运算：

若且，则

命题4：对任意两个集合和，下列表述等价：

这个命题说明：表述""，和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。

 參考文獻 

参见
 冪集：某集合的全部子集组成的集合。

Z

ro:Mul?ime#Submul?imi