費馬數

費馬數是以数学家费马命名的一组自然数，具有形式：

其中为非负整数。

若是素数，可以得到  必须是2的幂。（若，其中且b为奇数，则，即是的因數。）也就是说，所有具有形式的素数必然是費馬數，这些素数称为費馬素數。已知的費馬素數只有至五個。

基本性质

费马数满足以下的递归关系：

其中。这些等式都可以用数学归纳法推出。从最后一个等式中，我们可以推出哥德巴赫定理：任何两个费马数都没有大于1的公因子。要推出这个，我们需要假设且和有一个公因子。那么能把

和都整除；则能整除它们相减的差。因为，这使得。造成矛盾。因为所有的费马数显然是奇数。作为一个推论，我们得到素数个数无穷的又一个证明。

其他性质：
的位数可以表示成以为基数就是

 (参见高斯函数).
除了以外没有费马数可以表示成两个素数的和。
当是奇素数的时候，没有费马数可以表示成两个数的  次方相减的形式。
除了和，费马数的最后一位是7。
大的費馬數除以小的費馬數的餘數都是2。
 所有费马数的倒数之和是无理数。 (所罗门·格伦布,1963)

费马数的因式分解
最小的12个費馬數为：

= 21+1 =3= 22+1 =5= 24+1 =17= 28+1 =257= 216+1 =65,537 以上5个是已知的费马素数。= 232+1 =4,294,967,297      =641 × 6,700,417= 264+1 =18,446,744,073,709,551,617     =274,177 × 67,280,421,310,721= 2128+1 =340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457     =59,649,589,127,497,217 × 5,704,689,200,685,129,054,721= 2256+1 =115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,937     =1,238,926,361,552,897 × 93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321= 2512+1 =13,407,807,929,942,597,099,574,024,998,205,846,127,479,365,820,592,393,377,723,561,443,721,764,030,073,546,976,801,874,298,166,903,427,690,031,858,186,486,050,853,753,882,811,946,569,946,433,649,006,084,097     = 2,424,833 × 7,455,602,825,647,884,208,337,395,736,200,454,918,783,366,342,657 × 741,640,062,627,530,801,524,787,141,901,937,474,059,940,781,097,519,023,905,821,316,144,415,759,504,705,008,092,818,711,693,940,737= 21024+1=179,769,313,486,231,590,772,930,519,078,902,473,361,797,697,894,230,657,273,430,081,157,732,675,805,500,963,132,708,477,322,407,536,021,120,113,879,871,393,357,658,789,768,814,416,622,492,847,430,639,474,124,377,767,893,424,865,485,276,302,219,601,246,094,119,453,082,952,085,005,768,838,150,682,342,462,881,473,913,110,540,827,237,163,350,510,684,586,298,239,947,245,938,479,716,304,835,356,329,624,224,137,217     =                                                                                                         45,592,577 × 6,487,031,809 × 4,659,775,785,220,018,543,264,560,743,076,778,192,897 ×
130,439,874,405,488,189,727,484,768,796,509,903,946,608,530,841,611,892,186,895,295,776,832,416,251,471,863,574,140,227,977,573,104,895,898,783,928,842,923,844,831,149,032,913,798,729,088,601,617,946,094,119,449,010,595,906,710,130,531,906,171,018,354,491,609,619,193,912,488,538,116,080,712,299,672,322,806,217,820,753,127,014,424,577= 22048+1=32,317,006,071,311,007,300,714,876,688,669,951,960,444,102,669,715,484,032,130,345,427,524,655,138,867,890,893,197,201,411,522,913,463,688,717,960,921,898,019,494,119,559,150,490,921,095,088,152,386,448,283,120,630,877,367,300,996,091,750,197,750,389,652,106,796,057,638,384,067,568,276,792,218,642,619,756,161,838,094,338,476,170,470,581,645,852,036,305,042,887,575,891,541,065,808,607,552,399,123,930,385,521,914,333,389,668,342,420,684,974,786,564,569,494,856,176,035,326,322,058,077,805,659,331,026,192,708,460,314,150,258,592,864,177,116,725,943,603,718,461,857,357,598,351,152,301,645,904,403,697,613,233,287,231,227,125,684,710,820,209,725,157,101,726,931,323,469,678,542,580,656,697,935,045,997,268,352,998,638,215,525,166,389,437,335,543,602,135,433,229,604,645,318,478,604,952,148,193,555,853,611,059,596,230,657     = 319,489 × 974,849 × 167,988,556,341,760,475,137 × 3,560,841,906,445,833,920,513 ×
173,462,447,179,147,555,430,258,970,864,309,778,377,421,844,723,664,084,649,347,019,061,363,579,192,879,108,857,591,038,330,408,837,177,983,810,868,451,546,421,940,712,978,306,134,189,864,280,826,014,542,758,708,589,243,873,685,563,973,118,948,869,399,158,545,506,611,147,420,216,132,557,017,260,564,139,394,366,945,793,220,968,665,108,959,685,482,705,388,072,645,828,554,151,936,401,912,464,931,182,546,092,879,815,733,057,795,573,358,504,982,279,280,090,942,872,567,591,518,912,118,622,751,714,319,229,788,100,979,251,036,035,496,917,279,912,663,527,358,783,236,647,193,154,777,091,427,745,377,038,294,584,918,917,590,325,110,939,381,322,486,044,298,573,971,650,711,059,244,462,177,542,540,706,913,047,034,664,643,603,491,382,441,723,306,598,834,177
其中前八个来源于。

質因數個數顏色：
紅色：2個因數；綠色：3個因數；粉色：4個因數；藍色：5個因數；橘色：6個因數；紫色：7個因數(含以上)；

只有最小的12个費馬數被人们完全分解了 費馬數的分解 ，目前最小不確定質性的費馬數是。

不確定質性的數：， 33、34、35、44、45、46、...

 历史 
1640年，费马提出了一个猜想，認為所有的费马数都是素数。这一猜想对最小的5个費馬數成立，于是费马宣称他找到了表示素数的公式。然而，欧拉在1732年否定了这一猜想，他给出了的分解式：


歐拉證明費馬數的因數皆可表成，之後卢卡斯證明費馬數的因數皆可表成。

費馬的本猜測到了大數可說是大錯特錯，甚至不少數學家認為不存在第6個費馬質數。

 定理 

高斯称：尺规作图正多边形的边数目的充分条件是2的非負整數次方乘以任意个（可为0个）不同的费马素数的积，解决了兩千年来悬而未决的难题。這個條件也是必要條件，但他沒有給出證明。

 素性检验 

方法一
设为第个费马数。如果不等于零，那么：

是素数，当且仅当。

证明

假设以下等式成立：

那么，因此满足的最小整数一定整除，它是2的幂。另一方面，不能整除，因此它一定等于。特别地，存在至少个小于且与互素的数，这只能在是素数时才能发生。

假设是素数。根据欧拉准则，有：
,
其中是勒让德符号。利用重复平方，我们可以发现，因此，以及。因为，根据二次互反律，我们便可以得出结论。

方法二

根據費馬平方和定理，可證明某些費馬數為合數。(因為型的質數皆可表示為兩正整數的平方和，且表示方法唯一)
例如：

注释

Fermat
Category:数学中未解决的问题
Category:大整数
Category:数学概念