一元二次方程

一元二次方程式是只含有一个未知數，并且未知數的最高次數是二次的多項式方程。

例如，，， 等都是一元二次方程。

一元二次方程式的一般形式是

其中，是二次项，是一次项，是常数项。是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。当然，在强调了是一元二次方程之后，也可以省略不写。另外，一元二次方程式有時會出現複數根。

 历史 

古巴比伦留下的陶片显示，在大约公元前2000年（2000 BC）古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大約公元前480年，中國人已经使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世紀印度的婆羅摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代數方程式且容許同時有正負根的數學家。

11世紀阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是（引自婆什迦罗第二）：

将其转化为数学语言：解关于的方程 

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍，即，得　

在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方，即，得　

然后在方程的两边同时开二次方根，得　

 解法 
阿贝尔指出，任意一元二次方程都可以根据、、三个系数，通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的根。

一般来说，一元二次方程有两个根。

 因式分解法 
把一个关于  一元二次方程变形成一般形式  后，如果  能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。

将方程左边分解成两个一次因式的乘积后（一般可用十字相乘法），分别令每一个因式等于零，可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。

如果一元二次方程存在两个实根，那么它可以因式分解为。

例如，解一元二次方程时，可将原方程左边分解成，所以，可解得
 公式解法 
对于，若，则它的两个不等实数根可以表示为

；

若，则它的两个相等实数根可以表示为

；

若，则它的两个共轭复数根可以表示为

。

 公式解的证明 
公式解可以由配方法得出。

已知关于  的一元二次方程 

①移项，得：

；

②二次项系数化为 ，得：

；

③配方，得：

，

；

因为 ，所以

若，则它的两个不等实数根可以表示为

；

若，则它的两个相等实数根可以表示为

；

若，则它的两个共轭复数根可以表示为

。

 一般化 
一元二次方程的求根公式在方程的係數为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。

公式中的根式應該理解為「如果存在的話，自乘後為之兩數中的任何一個」。在某些数域中，有些数值没有平方根。

 根的判别式 

对于实系数一元二次方程，称作一元二次方程根的判別式。根据判别式，一元二次方程的根有三种可能的情况：

 如果，则这个一元二次方程有两个不等的实数根。如果系数都为有理数，且是一个完全平方数，则这两个根都是有理数，否则这两个根至少有一个是无理数。

 如果，则這个一元二次方程有两个相等的实数根。这两个等根 

 如果，则这个一元二次方程有两个不等的复数根，两根互为共轭复数。这时两根分别为，其中 。

 非实系数一元二次方程 
即系数为非实数时的一元二次方程，将系数扩展到复数域内，此时要注意根的判别式不适用于非实系数一元二次方程。

 一元二次方程的根与系数的关系 
根据韦达定理可以找出一元二次方程的根与系数的关系。

 图像解法 
，则该函数与x轴相交（有两个交点），则该函数与x轴相切（有且仅有一个交点），则该函数与x轴相离（没有交点）

一元二次方程的根的几何意义是二次函数的图像（为一条抛物线）与  轴交点的坐标，即二次函数的零点。


另外一种解法是把一元二次方程化为 的形式。

则方程的根，就是函数和交点的横坐标。

通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。

 计算机法 

在使用计算机解一元二次方程时，跟人手工计算相似，大部分情况下也是根据以下公式去解可以进行符号运算的程序，比如Mathematica，可以给出准确的解析表达式。而大部分程序则只会给出数值解。(但亦有部分显示平方根及虚数)

 参见 
 方程
 三次方程
 和平方
 差平方
 平方差
 配方法
 二次無理數

 参考资料 

 外部連結 
 101 uses of a quadratic equation: Part I ，Part II 

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