四次方程

四次方程，是未知数最高次数不超过四次的多项式方程。一个典型的一元四次方程的通式为：
 其中 

本篇只讨论一元四次方程，并简称为四次方程。

 四次方程的解法 

数学家们为了解开四次方程——确切地说，找到解开四次方程的方法——做出了许多努力。像其它多项式一样，有时可以对四次方程进行因式分解；但高次幂下的因式分解往往非常困难，尤其是当根是无理数或复数时。因此找到一个公式解（就像二次方程的求根公式那样， 能解所有的一元二次方程）意义重大。经过诸多研究后，数学家们终于找到了四次方程的公式解。不过之后埃瓦里斯特·伽罗瓦证明，求根公式止步于四次方程，更高次幂的方程无法通过固定的公式求出。对于五次及以上的方程，需要一种更为有效的方式来求解。

由于四次方程的复杂性（参见下文），求解公式并不常用。如果只要求求解有理实根，可以使用试错法，该方法对于任意次数的多项式求解都有效。或是使用鲁菲尼法则求出，前提是所给的多项式的系数都是有理的。利用计算机编程，通过牛顿法等數值方法，可以轻易得到任意次方程的實數（數值）解。

 特殊情况 

名义上的四次方程

如果，那么其中一个根为，其它根可以通过消去四次项，并解产生的三次方程,

 双二次方程 

四次方程式中若 和  均為 者有下列形态：

因此它是一個雙二次方程式。解雙二次方程式非常容易，只要設  ，我們的方程式便成為：

這是一個簡單的二次方程式，其根可用二次方程式的求根公式來解：

當我們求得 z 的值以後，便可以從中得到 的值：

若任何一個  的值為負數或複數，那麼一些  的值便是複數。

 费拉里的方法 

开始时，四次方程首先要被转化为低级的四次方程式。

 转变成减少次数的四次方程 

要让以下四次方程式变成标准的四次方程式，先在等式两边分别除以

第一步：消除 列。为了做到这一步，先把变量变成，其中
.

将变量替换：

展开后变成：

整理后变成以u为变量的表达式

现在改变表达式的系数，为

结果就是我们期望的低级四次方程式，为

如果  那么等式就变成了雙二次方程式，更加容易解决（解释上面）；利用反向替代，我们可以获得我们要解决的变量 的值.

费拉里的解法

这种降低的四次方程的方法是被费拉里发现的，然而，这种方式曾经被发现过。接下来，利用一个恆等式

从方程 (1)和上式，得出：

结果把 配成了完全平方式：。左式中， 并不出现，但其符号已改变并被移到右边。

下一步是在方程 左边的完全平方中插入变量 ，相应地在右边插入一项。根据恒等式

及
两式相加，可得
（的插入）
与等式(2)相加，得

也就是

现在我们需要寻找一个值，使得方程的右边为完全平方。而这-{只}-要令二次方程的判别式为零。为此，首先展开完全平方式为二次式：

右边的二次式有三个系数。可以验证，把第二项系数平方，再减去第一与第三项系数之积的四倍，可得到零：

因此，为了使方程(3)的右边为完全平方，我们必须解出下列方程：

把二项式与多项式相乘，
两边除以，再把移动到右边，

这是关于的三次方程。两边除以，

 转化嵌套的三次方程为降低次数的三次方程 

方程是嵌套的三次方程。为了解方程，我们首先用换元法把它转化为减少次数的三次方程：

方程变为

展开，得

合并同类项，得

这是嵌套的三次方程。

记

则此三次方程变为

 解嵌套的降低次数的三次方程 

方程的解(三个解中任何一个都可以)为

令 
（由三次方程）

则原来的嵌套三次方程的解为

注意 ： 
注意 ： 

 配成完全平方项 

的值已由式给定，现在知道等式的右边是完全平方的形式

这对于平方根的正负号均成立，只要等式两边取相同的符号。的正负是多余的，因为它将被本页后面马上将提到的另一个消去。
从而它可分解因式为：
.
注：若  则 。如果 则方程为双二次方程，前面已讨论过。
因此方程化为
.
等式两边各有一个乘起来的完全平方式。两完全平方式相等。

如果两平方式相等，则两平方式的因子也相等，即有下式：
.
对 合并同类项，得
.
注： 及  中的下标 用来标记它们是相关的。
方程是关于的二次方程。其解为

化简，得

这就是降低次数的四次方程的解，因此原来的四次方程的解为

注意：两个  来自等式的同一处，并且它们应有相同的符号，而  的符号是无关的。

 费拉里方法的概要 

给定一个四次方程

其解可用如下方法求出：

若 ，求解  并代入 ，求得根
.

（平方根任一正负号均可）
（有三个复根，任一个均可）

两个 必须有相同的符号, 的符号无关。为得到全部的根，对， ,,,及  及  及  来求。二重根将得出两次，三重根及四重根将得出四次（尽管有，是一种特殊的情况）。方程根的次序取决于立方根 的选取。（见对相对的注）

此即所求。

还有解四次方程的其他方法，或许更好些。费拉里首先发现这些迷宫般的解之一。他所解的方程是
 ，
它已经化为简约的形式。它有一对解，可由上面给出的公式得到。

 笛卡兒方法 

此四次方程是下列两个二次方程之积：

以及

由于

因此

设

则方程
变为

同时有(未知的)变量和使方程
变为

方程与
相乘，得

把方程
与原来的二次方程比较，可知

及

因此

方程的解为

这两个解中的一个应是所求的实解。

 歐拉的方法
寫出式子 ，令 ,
把上式改寫為 ,
再利用係數  造出另一式子: , 求出  的三根，並用  代表它們。
那麼  的四個根就是


合併來看
二次方程根的樣式為 ,其中 

三次方程根的樣式為          ,其中 

四次方程根的樣式為  ,其中 
延伸這樣式，暗示了五次方程尋根的方向。

 其它方法 
 化为双二次方程 
一个例子可见双二次方程。

 埃瓦里斯特·伽罗瓦的理论和因式分解 

求根公式
四次方程的求根公式可以通过上述的伽罗瓦理论和因式分解得到。 对于，有：

若 ，方程有四个不同的实根，或两个实根和一对复共轭根。
若 ，方程至少有一个重根。
若 ，方程有两对复共轭根。

PlanetMath指出，这四个形式直接使用，即使是在计算机上也过于复杂。这四个解的推导过程的最后几步有较为简单的中间形式可以采用。得到这些解需要用到三次方程的求根公式。

參見
 费拉里
 卡尔达诺

文獻

 Ferrari's achievement
 四次方程的求根公式

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Category:多項式