二项式定理

二项式定理（）描述了二项式的幂的代数展开。根据该定理，可以将两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式，其中、均为非负整数且。系数是依赖于和的正整数。当某项的指数为0时，通常略去不写。例如：

中的系数被称为二项式系数，记作或（二者值相等）。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理Roman, Steven "The Umbral Calculus", Dover Publications, 2005, ISBN 0-486-44129-3。

 历史 

二项式系数的三角形排列通常被认为是法国数学家布莱兹·帕斯卡的贡献，他在17世纪描述了这一现象Devlin, Keith, The Unfinished Game: Pascal, Fermat, and the Seventeenth-Century Letter that Made the World Modern, Basic Books; 1 edition (2008), ISBN 978-0-465-00910-7, p. 24.。但早在他之前，就曾有数学家进行类似的研究。例如，古希腊数学家欧几里得于公元前4世纪提到了指数为2的情况The Story of the Binomial Theorem by J. L. Coolidge, The American Mathematical Monthly 56:3 (1949), pp. 147–157。公元前三世纪，印度数学家青目探讨了更高阶的情况。帕斯卡三角形的雏形于10世纪由印度数学家大力羅摩发现。在同一时期，波斯数学家和数学家兼诗人歐瑪爾·海亞姆得到了更为普遍的二项式定理的形式。13世纪，中国数学家杨辉也得到了类似的结果。用数学归纳法的原始形式给出了二项式定理和帕斯卡三角形(巴斯卡三角形)的有关证明。艾萨克·牛顿勋爵将二项式定理的系数推广到有理数Bourbaki: History of mathematics。

 定理的陈述 
根据此定理，可以将的任意次幂展开成和的形式

其中每个 为一个称作二项式系数的特定正整数，其等於。这个公式也称二项式公式或二项恒等式。使用求和符号，可以把它写作

后面的表达式只是将根据与的对称性得出的，通过比较发现公式中的二项式系数也是对称的。
二项式定理的一个变形是用 1 来代换得到的，所以它只涉及一个变量。在这种形式中，公式写作

或者等价地

 几何释义 
对于正值和，二项式定理，在时是在几何上的明显事实，边为的正方形，可以切割成1个边为的正方形，1个边为的正方形，和2个边为和的长方形。对于，定理陈述了边为的立方体，可以切割成1个边为的立方体，1个边为的立方体，3个长方体，和3个长方体。

在微积分中，此图解也给出导数的几何证明。设且，将解释为的无穷小量改变，则此图解将无穷小量改变，显示为维超立方体 ：

其中（针对的）线性项的系数是，将公式代入采用差商的导数定义并取极限，意味着忽略高阶项和更高者，产生公式：。若再进行积分，这对应于应用微积分基本定理，则得到卡瓦列里求积公式：。

 證明 
數學歸納法

當，

假設二项展开式在  時成立。若，

組合方法
考慮，共7個括號相乘，從7個括號選出其中的4個括號中的，再從剩餘的3個括號中選出3個相乘，便得一組，而這樣的選法共有種，故總共有個；其他各項同理。

同理，，共個括號相乘，從個括號選出其中的個括號中的，再從剩餘的個括號中選出個相乘，便得一組，而這樣的選法共有種，故總共有個；其他各項同理。

不盡相異物排列方法
考慮，每一個括號可以出或出，而最後要有4個、3個相乘，這形同的「不盡相異物排列」，其方法數為，恰好等於；其他各項同理。

同理，，每一個括號可以出或出，而最後要有個、個相乘，這形同的「不盡相異物排列」，其方法數為，恰好等於；其他各項同理。

一般形式的证明

通常二项式定理可以直接使用泰勒公式进行证明. 下面的方法不使用泰勒公式

设, 。注意只有当时上述两个函数才收敛

 首先证明 收敛于。这里省略
 之后，易得满足微分方程︰。用求导的一般方法就能得到这个结论，这里省略
 再证明 亦满足上述微分方程︰

因为

于是
因为 

 根据除法定则，
 根据拉格朗日中值定理，是常数函數.

 应用 
牛顿以二项式定理作为基礎发明出了微积分。其在初等数学中应用主要在于近似、估计以及证明恒等式等。

 证明组合恒等式 
二项式定理给出的系数可以视为组合数  的另一种定义。 因此二项式展开与组合数的关系十分密切。 它常常用来证明一些组合恒等式。
(1)证明

可以考虑恒等式 。 展开等式左边得到： 。 注意这一步使用了有限求和与乘积可以交换的性质。 同时如果展开等式右边可以得到 。 比较两边幂次为  的项的系数可以得到: 。 令 ，并注意到  即可得到所要证明的结论。

(2)證明
因為

令，代入上式，得

多倍角恒等式
在复数中，二项式定理可以與棣莫弗公式結合，成為n倍角公式。根據棣莫弗公式：

通過使用二项式定理，右邊的表達式可以擴展為

由棣莫弗公式，实部与虚部对应，能夠得出

即二倍角公式。同樣，因為

所以藉棣莫弗公式，能夠得出

整體而言，多倍角恒等式可以寫作

和

e级数
數學常數e的定義爲下列極限值：

使用二项式定理能得出

第项之總和為

因為时，右邊的表达式趋近1。因此

這表明可以表示为Encyclopedic Dictionary of Mathematics 142.D

 推广 
该定理可以推广到对任意实数次幂的展开，即牛顿广义二项式定理：

。其中。

多项式展开

对于多元形式的多项式展开，可以看做二项式定理的推广：
.

证明：

数学归纳法。对元数做归纳：
当时，原式为二项式定理，成立。 假设对元成立，则：


证毕。

 参见 

二項分佈
組合
立方根
平方根
牛顿法
多项式定理
负二项分布
杨辉三角形
斯特靈公式
中一新生之夢

 参考文獻 

參考書目

Barth, Nils R. (November 2004). "Computing Cavalieri's Quadrature Formula by a Symmetry of the n-Cube". The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 111 (9): 811–813. doi:10.2307/4145193. ISSN 0002-9890. JSTOR 4145193, author's copy,

外部链接

Binomial Theorem - 史蒂芬·沃尔夫勒姆
"Binomial Theorem (Step-by-Step)" by Bruce Colletti and Jeff Bryant, Wolfram 演示项目, 2007.
 The Binomial Theorem - Interactive Mathematics
 Binomial Expansion - HyperPhysics

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