并集

在集合论和数学的其他分支中，一群集合的并集（Union），是以这群集合的所有元素來构成的集合。

 有限聯集 

聯集是由公理化集合论的分類公理來確保其唯一存在的特定集合  ：

也就是直觀上：
「對所有  ，  等價於  或 」

举例：

集合和的并集是。数不属于素数集合和偶数集合的并集，因为既不是素数，也不是偶数。

更通常的，多个集合的并集可以这样定义：
例如，和的并集含有所有的元素，以及所有的元素和所有的元素，而没有其他元素。形式上：
是的元素，当且仅当属于或属于或属于。

 代数性质 
二元并集（两个集合的并集）是一种结合运算，即
。事实上，也等于这两个集合，因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。

相似的，并集运算满足交换律，即集合的顺序任意。

空集是并集运算的单位元。即，对任意集合。可以将空集当作零个集合的并集。

结合交集和补集运算，并集运算使任意幂集成为布尔代数。例如，并集和交集相互满足分配律，而且这三种运算满足第摩根定律。若将并集运算换成对称差运算，可以获得相应的布尔环。

 无限并集 

由公理化集合论的并集公理，有唯一的集合  滿足：



也就是直觀上「對所有  和所有  ，  等價於有某個  的下屬集合  ，使得」。以上的  可以直觀的視為一個集合族，而把  看成對  內的集合取并集，例如：

取  則  。

但這個公理並沒有對  下屬集合的數量做出任何限制，所以這個  被俗稱為任意并集或无限并集。

若  ，會稱  被   覆蓋（cover），也就是直觀上可以用  裡的所有集合疊起來蓋住 。

无限并集有多种表示方法：

可模仿求和符号記為
 。
但大多數人會假設指标集  的存在，換句話說
 若  則 
在指标集  是自然数系  的情况下，更可以仿无穷级数來表示，也就是說：
 若  則 
也可以更粗略直觀的將  写作。

 无限并集的性質 

證明(1)  (空集公理)

(2) (MP with A4, 1)

(3)(M0 with 2)

(4)(Equv with DN, 3)

(5)(Equv with De Morgan, 4)

(6)(GEN with  , 5)

(7)(Equv with DN, 6)

(8)(MP with 并集公理,  A4)

(9)(MP with  A4, 8)

(10)(MP with AND ,9)

(11)(MP with T, 10)

(12)(MP with 7, 11)

(13)(GEN with  , 12)

(14) (E)

(15) (GEN with  , 14)

(16)(MP with  A4, 15)

(17)  (Equv with 13, 16)
 比較性質 

證明注意到可以從(AND)得到

換句話說，從演繹元定理有
(u) 

(1)  (Hyp)

(2) (MP with 1, A4)

(3) (AND)

(4)(AND)

(5)(D1 with 2, 3)

(6)(u with 4, 5)

(7)(GENe with ,  6)

(8) (MP with 并集公理,  A4)

(9) (MP with 并集公理,  A4)

(10)  (MP with 8, A4)

(11)  (MP with 9, A4)

(12) (D1 with 7, 10)

(13) (D1 with 11, 12)

(14) (GEN with  , 13)
 覆蓋性質 

「 正好就是其冪集的聯集」，這個定理直觀上可理解成，因為冪集  是以  和  的子集為元素，所以  的聯集理當是  。
證明注意到可以從(AND)得到

換句話說，從演繹元定理有
(u) 

(1)(MP with 并集公理,  A4)

(2) (幂集公理)

(3) (MP with A4 ,2)

(4)  (Equv with 1, 3)

(5) (AND)

(6) (A4)

(7) (D1 with 5, 6)

(8) (AND)

(9) (u with 7, 8)

注意到

再對上式套用(AND)就有
(a)
(10') (D1 with a, 9)

(11') (GENe with , 10')

(12')  (A4)

(13')  (MP with T, 12')

(14')  (I)

(15')  (GEN with  , 14')

注意到(AND)依據演繹定理可改寫為
(b)
(16'')  (b with 15')

(17'')  (D1 with 13', 16'')

(18'')  (AND with 11', 17'')

(19'') (Equv with 4, 18''')

直觀上，這個定理說「一群集合的聯集包含於   ，則它們個個都包含於  」
證明(1)  (Hyp)

(2)  (A4 and T)

(3)  (MP with 1, A4)

(4)  (D1 with 2, 3)

(5)  (MP with abb, 4)

(6)  (GEN with  , 5)

(7)   (MP with A5 , 6)

(8)  (GEN with  , 7)

直觀上，這個定理說「集族  的聯集為  ，則對  的每點  ，都可從  裡找到一個  的鄰域  ，且這個鄰域不會比  大 」
證明注意到可以從(AND)得到

換句話說，從演繹元定理有
(u) 
(1)  (Hyp)

(2) (MP with 1, 定理3)

(3) (MP with  A4, 2)

(4) (AND)

(5) (AND)

(6) (AND)

(7)  (D1 with 3, 4)

(8) (a with 5, 6)

(9) (a with 7, 8)

(10) (GENe with ,  9)

(11) (MP with  A4, 1)

(12) (AND with  11)

(13) (D1 with 10, 12)

(14) (GEN with ,  13) 

(15)(幂集公理) 

(16)(MP with  A4, 15) 

(17)(Equv with 14, 16) 

(18) (有限交集) 

(19)(MP with  A4, 18) 

(20)(MP with  A4, 19) 

(21)(MP with  A4, 20) 

(22)(Equv with 17, 21) 

(23)(MP with 并集公理,  A4) 

(24)(Equv with 22, 23) 
 運算性質 

證明(1) (的定義)

(2) (MP with 并集公理,  A4)

(3) (有限交集) 

(4)(MP with  A4, 2) 

(5) (MP with  A4, 1) 

(6) (Equv with 4, 5) 

(7)(Equv with Ce, 6) 

(8)(Equv with 量詞可交換性 ,7) 

(9) (E2) 

(10)(AND) 

(11)(D1 with 9,10) 

(12) 

(MP with A2, 11) 

(13)(I) 

(14)(MP with 12, 13) 

(15)(AND) 

(16)(D1 with 14,15) 

(17)(GENe with  then ) 

(18) (E1) 

注意到配合(AND)和演繹定理有 

(a) 

(19)(a with 18) 

(20)(A4) 

(21)(MP with T, 20) 

(22)(D1 with 19, 21) 

(23)(GENe with ) 

(24)(AND with 17, 23) 

(25)(Equv with 8, 24) 

(26) (MP with  A4, 3) 

(27)(Equv with 25, 26) 

(28)(Equv with Ce, 27) 

(30) (MP with  A4, 2) 

(31)(Equv with 28, 30) 

(32)(MP with  A4, 3) 

(33)(Equv with 31, 32) 

(34)(GEN with , 33) 
直觀上這個定理說，交集在「无限并集满足分配律」，一般會不正式的寫為


這個定理一般會被不正式的寫為
 。
 参考 
 朴素集合论
 交集
 补集
 对称差
 不交并
 布尔逻辑

 参考文献 

B
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