除法

除法（英语、法语：division）是四则运算之一。除法运算的本质，就是「重复減法的简化表达」。

例如：，就好像，
，被減了兩次後，就變成了。

如果

而且不等于零，那么

其中，a称为商数，b称为除数，c称为被除数。

如果除式的商數（）必須是整數，则称为带餘除法，与相差的数值，称为餘數（）。

這也意味著

在高等数学、科学、工程学和计算机编程语言中，写成。如果我们毋需知晓确切值，或者留待以后引用，这种形式也常称之为分数的最终形式。其中尋找商數的函數為，尋找餘數（即模除）的函數則為。

在代数结构范畴中，除法运算存在两种基本形式，对应不同的数学结构定义：
带余除法（欧几里得除法）​​：若代数结构中定义了带余除法（即存在商和余数，且余数的范数严格小于除数的范数），则该结构称为歐幾里得整環。例如，一元多项式环（系数取自域）在其多项式次数构成的范数下构成欧几里得整环。
无余除法​​：若代数结构中所有非零元素均可逆（即对任意非零元素 ，存在  使得 ），则该结构称为域；若仅满足乘法可逆性（不要求交换性），则称为除环。例如，复数是域，而四元數是除环。

 引言 
首先，进入正题前，我们不妨来看两个生活中的例子：
将500克糖果均分给8人：由可得，每人获得62.5克糖果（无余除法）
500克奶粉，按70克/份分配：由可得，可完整分配7份，余量≈0.14份（带余除法）
其次，数学和物理存在许多：
已知某物体重力  ，可得质量 ；
已知匀速直线运动状态下，某物体行进距离  ，可得时间 ；
对一般仿射关系  ，其逆映射为 ；
当函数局部可線性化时（如泰勒展开一阶近似）： ，

 可构造逆函数近似解：；；
 此乃牛顿迭代法求根的理论基础：。

可见，在数学，尤其是在基本算术中，除法可视为「乘法的反运算」，也可理解为「重复的减法」。

 定义 
 基本定义 
首先，我们来定义整数间的带余除法。这一运算的核心，是将被除数表示为“除数的整数倍+余数”的形式，且余数需满足特定条件。

具体而言，对于任意整数  和非零整数 ，存在唯一的整数 （商）和 （余数），使得：
  且 

其中，余数  的非负性及小于除数绝对值的性质确保了分解的唯一性。

该定义是数论中整除、同余等概念的基础，并广泛用于模运算、輾轉相除法等算法中。

带余除法的概念，已能凸显除零问题​​的本质：如何将一个量分成0份？显然，这没有实际意义。

随后，我们引入十进制数​​的概念，并通过递归处理余数​​的方式扩展计算过程，由此便有了有理数的定义体系。​​至于实数，则​​在有理数基础上拓展而成。

此时可以设想，将整体划分为更小的​​单位份额​​，从而实现分数除法：将一个量除以 （即），意味着初始量相当于个单位份额，进而求出完整单位的大小；而将一个量除以负数，则相当于计算需要移除的单位份额规模。

無理數无法直观理解为具体数量，但可视为一种比——例如正方形对角线与边长之比，或圆周长与其直径之比。至此，除法运算不再能单纯定义为“划分”，而应理解为​​乘法逆运算​​。

基于此定义，除以零仍无意义。由于零乘任何数都得零（），零便有无穷多个乘法逆元。我们亦可从极限角度理解该问题——因为除以某数等价于乘以其倒数，故可将原问题转化为函数在零点处极限的操作：当  从左侧趋近于零时，极限为，从右侧趋近时，则为。

即便通过引入​​广义实数集​​（即在实数轴上添加和这两个“伪无穷大”）来扩展数系，问题仍未解决，因为极限值的符号不确定性依然存在。由此可见，​​除法在代数与数分中具有根本性意义。

 其它定义 
 环论中的除法定义 
设  为整环，则  上的​​除法运算​​定义为满足以下条件的二元关系：
运算规则：对于任意  ， ，当且仅当 （其中 ）；
唯一性：整环的乘法消去律保证除法结果唯一（若  且 ，则 ）；
定义域限制​​：除法仅在  上有定义，即除数不能为零。
 从整环到域的扩展 
若 A 为交换环，可通过​​等价关系​​扩展除法：
定义等价关系：，其等价类称为​​分数​​，记为 ；
扩展后的集合构成域（含乘法逆元），其中  为加法单位元， 为乘法单位元。此即有理数域  的构造基础。
 关键限制与意义 
除零禁止​​：零元无乘法逆元，故  时除法无定义。
与欧几里得除法的区别​​：
环论中的除法是乘法的逆运算，强调代数结构；
欧几里得除法侧重整数间的带余除法（如上文的带余除法），两者本质不同。

 符号与表示 

基础算术中，除号“÷”仍被广泛使用，而在代数与科学领域，除法通常用​​水平横线（也被称为分数分划线）或斜杠表示被除数与除数的关系。除这三种以外，还有其它不同形式。

 除号形式 
用除号将被除数和除数相隔开：

但实际上，除了在基础算术外，这种形式并不常见。ISO 80000-2-10.6标准明确禁止使用该符号​​，因部分欧洲国家用 ÷ 表示減法，容易产生混淆。

 分数分划线形式 
将​​被除数​​置于分数线上方，​​除数​​置于下方，例如：

该形式可读作“a除以b”、“b除a”或“a比b”。

 斜杠与反斜杠形式 
在单行文本中，使用斜杠分隔被除数与除数，例如：

此写法常见于编程语言和计算器输入中。

另外，有部分数学软件（如MATLAB、GNU Octave）采用反斜杠表示运算顺序反转的除法：
 (等价于）

还有以上下标斜杠显示的：

 冒号形式 
在某些非英语国家，有的用冒号将被除数和除数相隔开：

此用法由奥特雷德于1631年最先引入，自莱布尼兹于1684年提倡以来，才为人广泛应用。 莱布尼兹更喜欢用同一个符号表示除法和比率。而在英语用法中，“:”一般只表示比率。

在大部分非英语语言中，代表的比，讀做c比b；則代表的比值。用法请参照比例。

除了以上这四种形式，美国自19世纪起便开始使用  或  来單獨表示  除以 ，尤常见于長除法中。时至今日，美国仍有零星人口使用这种写法。

 性质 
严格而言，除法并不构成集合上的（一种二元运算），其所谓“性质”并不构成数集的结构特性，而应理解为分数形式的固有属性。

 非运算性质 
 非交换律​​：
 非结合律​​：

 特殊元素与等式关系 
 右单位元​​：对任意数  ，存在  。
 左零吸收元​​：当  时， 。
 分数等式​​：
 同分母时：当  时， 。
 通分等价：当  时， 。
 顺序保持性​​：当  时，分数  与  的大小关系与原数  和  保持一致。


 不同的除法运算 
零除以任何非零的数都为零。即在被除数为零，除数非零的前提下，商数为零。
 整数除法 
整数集在除法运算下没有封闭性，这意味着，两个整数相除，结果不一定是整数。除零操作本身即无定义外，当被除数不是除数的整数倍时，商将呈现为非整数形式。

以26除以11为例，其商即便非整数，但也属于有理数范畴。此时通常采用以下5种处理策略：
 将此类除法视为偏函数，即当除法无法得到整数结果时直接判定为无定义。这种处理方式严格遵循数学定义，但会限制运算的应用范围。
 采用​​浮点近似法​​，将结果表示为带有小数部分的实数。这是数值计算方面的通用做法，例如   该方法通过牺牲精确性来换取运算的普适性，但可能引入捨入誤差。
 通过分數形式​​保持精确性，将结果表示为既约分数或带分数。这种处理要求分子分母的最大公约数为1，例如经约简后同样得到。分数体系通过引入有理数集  ，使整数除法在更广泛的數系中保持封闭性。
 采用欧几里得除法，将结果分解为商和余数的组合形式： 这种表达式满足，其数学基础可追溯至《几何原本》中关于线段分割的公理体系。该处理方式在密码学和算法设计中具有重要应用，如RSA加密演算法中的模幂运算。
 实施​​整数截断，直接取商的地板值（floor function），即。该处理方式在编程语言中普遍使用，如C语言的整数除法运算符“/”默认采用此规则。但需要注意的是：
 不同语言对负数处理存在差异。例如，C语言采用向零取整（T-division），而Python采用向下取整（F-division）。
 不同语言对整数除法的实现存在显著差异。例如，MATLAB和計算機代數系統通常返回精确分数，而Java、C++等语言则返回截断后的整数。为获取完整结果，多数语言提供辅助函数，如Python的divmod()可同时获取商和余数，Java的Math.floorDiv()可实现地板值除法。
 术语方面，“div”、“/”、“\”等符号在不同语境下可能代表不同运算规则。例如，C++中的“/”运算符对整数执行截断除法，而对浮点数执行精确除法；Python的“//”运算符则严格实施地板值除法。这种语义差异要求程式员必须明确上下文环境。

欲快速判定整数可除性（整除性），可借助整除规则：如2的倍数末位为偶数，3的倍数各位数字之和可被3整除等。这些规则本质上是数论中同余理论的特例。

 有理数除法 
在除数非零的前提下，两个有理数相除，结果仍为有理数。

具体而言，对于有理数和（其中 均为整数且 ），其除法运算可表示为：


该公式表明，有理数的除法本质上是乘以除数的倒数。所有参与运算的量均为整数，且仅有分子  允许为零（此时结果为有理数0）。

这一定义严格保证了除法与乘法的逆运算关系：若  ，则必然满足  。

 实数除法 
由有理数除法可得，在除数非零的前提下，两实数相除，结果仍为实数。

 复数除法 
 代数形式的复数除法 
对于两个非零复数  和 （其中 ，且  和  不同时为零），其除法运算通过​​分母实数化​​实现。先将分子和分母同时乘以分母的共轭复数  ，分子展开后再分离实部与虚部，即

该方法通过消去分母的虚部实现有理化，分母变为实数。

 极坐标形式的复数除法 
当上文复数表示为极坐标形式  和  （与上述条件相同外，  ）时，运算可进一步简化为：

该方法直接利用欧拉公式的性质，避免了复杂的代数运算。

 多项式除法 

和整数之间的带余除法类似，一元多项式之间也可以进行带余除法。
证明：

设有多项式和非零多项式，则存在唯一的多项式和，满足：

而多项式若非零多项式，則其冪次严格小于的冪次。

作为特例，如果要计算某个多项式除以一次多项式得到的餘多项式，可以直接将代入到多项式中。除以的餘多项式是。

具体的计算可以使用类似直式除法的方式。例如，计算除以，列式如下：

因此，商式是，餘式是。

 矩阵除法 
矩阵除法可通过逆矩阵运算实现，通常定义为右除​​：对于可逆方阵  和  ，其除法运算表示为：

其中  为  的逆矩阵。为避免歧义，该运算更常见于显式写出乘积形式  。

此外，矩阵的​​元素级除法​​可通过阿达玛积定义，即对应元素相除：
  （要求  元素非零）

 抽象代数除法 
抽象代数中，给定一个带有二元运算 * 的广群，​​左除​​（记为  ）通常定义为满足方程  的解  ，类似地，​​右除记为  ）通常定义为满足方程  的解  。这种除法定义不要求运算 * 具有交换性、结合性或單位元等性质。若一个广群中，所有元素对  和  的左除和右除均存在且唯一（即满足拉丁方陣），则该广群称为拟群。在拟群中，即使没有单位元和逆元，这种除法运算始终可行。

 消去性质与除法运算的扩展 
在任意广群中，若元素  满足消去律，则可通过  对元素进行消去操作。例如：
 矩阵代数​​中，可逆矩阵的左乘或右乘满足消去律；
 四元數代数​​中，非零元素满足消去律；
 拟群的结构天然支持消去操作。

在整环中，虽然并非所有元素都有逆元，但对可消去元素  ，仍可对形如  或  的元素进行左除（ ）或右除（ ）。进一步地，若一个有限环的所有非零元素均满足消去性质，则根据鴿巢原理，每个非零元素必为可逆元，从而该环成为除环，此时任意非零元素均可作除法。

 除法代数的分类与博特周期性 
博特周期性定理表明，对于满足特定条件的代数结构（如有限维实范数除法代数），其仅能与以下四类结构同构：
 实数域 （维度 1）；
 复数域 （维度 2）；
 四元數代数 （维度 4）；
 八元数代数 （维度 8）。
这一分类结果揭示了除法代数维度的内在规律性，并在拓扑学与量子场论中具有重要应用。

 二进制除法 
讲完以上十进制除法，我们来介绍计算机科学领域更为常见的二进制编码数除法。

 二元欧几里得除法 
首先，我们来思考两个正整数  和  的除法运算，采用欧几里得除法。

设  和  均为  位二进制数，其中  表示第  位（从右向左，编号为  至 ）， 表示从第  位到第  位的连续位段。以下伪代码（因词汇采用法语而非英语，如无另外说明，以下伪代码词汇皆用法语）实现了该除法的商  和余数  的计算：

fonction [Q, R] = diviser(a, b)

    si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;

    Q := 0 ; R := a ; // initialisation
    pour i = n-1 → 0
        si a(n:i) >= b alors
            Q(i) = 1 ; // i-ème bit du quotient
            R = a(n:i) - b ; // reste
        fin
     fin
     retourne [Q, R] ;
fin

算法从被除数的最高位开始，逐步截取与除数同长度的位段（记为 ），并判断是否满足  。若当前截取的被除数高位段（从最高位开始逐步扩展）小于除数，则商的对应位为0；若该位段数值大于等于除数b，则通过一次减法操作确定商的当前位为1，并更新余数  。

原始伪代码通过逐位比较实现，而优化版本有以下改进：

fonction [Q, R] = diviser(a, b)

    si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;

    Q := 0 ; R := 0 ; // initialisation
    pour i = n-1 → 0
        R = décalage_à_gauche_de_bits(R, 1) ; // équivaut à rajouter un 0 à droite
        R(1) = a(i) ; // le bit de poids faible de R est le i-ème bit du numérateur
        si R >= b alors
            Q(i) = 1 ; // i-ème bit du quotient
            R = R - b ; // reste
        fin
    fin
    retourne [Q, R] ;
fin

而对于浮点数，只需将其分解为尾数和指数，公式为：

但需处理捨入誤差，如采用舍入到最近偶数策略。

总之，该算法仅需​​比较、位移、减法​​三种基本操作，体现了计算机算术运算中​​位级优化​​的核心思想，适合在微处理器中通过组合逻辑电路或状态机实际操作。

 相对较慢的算法 
设被除数  和除数  均为  位二进制数，其中  表示第  位（从右向左，编号为  至 ）， 表示从第  位到第  位的连续位段。算法核心思想是通过递推关系构造商  和余数  。

在第  步迭代中，余数更新公式为：


若当前余数  左移后大于等于除数  ，则商位  ，更新余数


若结果为负，则商位  ，需恢复余数
 （通过加回除数实现）

此算法下，原始版本伪代码如下：

fonction [Q, R] = diviser(a, b)

    si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;

    R := a // valeur initiale du reste
    b := décalage_à_gauche_de_bits(b, n)
    pour i = n-1 → 0
        R := décalage_à_gauche_de_bits(b, 1)
        si R >= b alors
             Q(i) := 1 // le i-ème bit de i est 1
             R = R - b
        sinon
             Q(i) := 0 // le i-ème bit de i est 0
        fin
    fin
    retourner[Q, R]
fin

优化版本伪代码如下：

fonction [Q, R] = diviser(a, b)

    si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;

    R := a // valeur initiale du reste
    b := décalage_à_gauche_de_bits(b, n)
    pour i = n-1 → 0
        R := 2*R - b // le reste décalé est-il supérieur à b ?
        si R >= 0 alors
            Q(i) := 1 // le i-ème bit de i est 1
        sinon
            Q(i) := 0 // le i-ème bit de i est 0
            R := R + b // on restaure la valeur du reste en gardant le décalage
        fin
    fin
    retourner[Q, R]
fin

由于循环中的最后一条语句，这种算法被称为“带恢复的除法”。通过引入​​+1和-1商位生成机制​​，可改进为无恢复余数算法。

例如，二进制数11101010可通过以下方式计算：
11101010
-00010101
---------11010101，通过​​商位符号扩展​​避免余数恢复步骤。

无恢复余数算法伪代码如下：

fonction [Q, R] = diviser(a, b)

    si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;

    R[0] := a
    i := 0
    tant que i < n
        si R[i] >= 0 alors
            Q[n-(i+1)] := 1
            R[i+1] := 2*R[i] - b
        sinon
            Q[n-(i+1)] := -1
            R[i+1] := 2*R[i] + b
        fin
        i := i + 1
    fin
    Q = transforme(Q)
    retourner[Q, R]
fin

另外，还有SRT算法，一种通过​​商位查找表​​的非恢复方法。

 相对更快的算法 
快速除法的核心思想，是通过​​计算倒数实现除法运算，即先计算  ，再通过乘法  得到商。此乃牛顿-拉夫森法，其数学形式为：


其中，函数  的零点即为 。迭代公式可简化为：


为加速收敛，需对  进行初始估计。先将除数  的二进制指数对齐至区间  ，再采用预计算的线性近似公式：

其中系数  和  已预先存储为常量。

牛顿-拉夫森法具有​​二次收敛性​​，误差随迭代次数指数级下降。对于  位精度，所需迭代次数为：

欲求单精度浮点数（24位尾数），需要约3次迭代；欲求双精度浮点数（53位尾数），则需约4次迭代。

牛顿-拉夫森法伪代码如下：

fonction [Q] = diviser(a, b)
    e := exposant(b) // b = M*2^e (représentation en virgule flottante)
    b' := b/2^{e + 1} // normalisation ; peut se faire par un décalage de e+1 bits à droite
    a' := a/2^{e + 1} // 0.5 <= b <= 1 ; a'/b' = a/b
    X := 48/17 - 32/17*b' // initialisation de la méthode de Newton
    pour i = 1 → s // s précalculé en fonction du nombre p de bits de la mantisse
        X := X + X*(1 - b*X)
    fin
    Q := a'*X
    retourne[Q]
fin

至于高施密特法，则是基于倒数逼近原理实现除法运算。其核心思想是通过构造因子序列

使得归一化后的除数b满足收敛条件
 。

 整除 
整除是数学中两个自然数之间的一种关系。自然数可以被自然数整除，是指是的因數，且a是b的整数倍数，也就是除以没有餘数。

因數判別法可參照整除規則。

 表示方法 
表示整除，即是的倍数，是的因数。

 举例 
可以被整除，记作。

不能被整除（因为餘数为），记作。在上加一条斜线即表示不整除。

 运算方法 
根据乘法表，两个整数可以用长除法（直式除法）笔算。如果被除数有分数部分（或者说时小数点），计算时将小数点带下来就可以；如果除数有小数点，将除数与被除数的小数点同时移位，直到除数没有小数点。

算盘也可以做除法运算。

 長除法 
長除法俗稱「長除」，適用於正式除法、小數除法、多項式除法（即因式分解）等較重視計算過程和商數的除法，過程中兼用了乘法和減法。

使用長除法計算的過程可以表示為：

 短除法 
短除法是長除法的簡化版本。在短除法裏，被除數放中央，旁以一L型符號表示除法，被除數左側為除數，下側為商，省去了長除法逐層計算的過程。

 使用短除法計算的近似值：

 使用短除法計算的質因數分解：

 使用短除法計算的最大公因數及最小公倍數：

 尺规作图法 
类似于乘法、幂运算和平方根，除法同样可以用尺规作图来表示。下文将展示两种不同的操作方法：

一种方法是作圆法。

两幅附图分别展示了一种简洁解法，该解法同时适用于  及其倒数  。图中的虚线圆和弧并非解题所需，而凭通过弦定理，更清晰地展示证明过程。为方便对比，图中各点的命名与弦定理引言图一致。

以下仅针对 的情况（图1）说明构造步骤（至于  的情况，见图2）：


 在数轴上，将长度  和  的两条共线线段分别标记为线段  和  ；
 过点  作  的垂线，并作一条与  距离为1的平行线，两线交于点  。为确定过点  的弧  的圓心  ，需作弦  和  的两条中垂线（图中未画出）；
 绘制弧  ，其与另一辅助线交于点  ；
 连接点  和  ，该连线与过  作的垂线交于  ；
 从点  出发，作过  的射线，直至其与过  作的垂线交于  。

至此，构造基本完成。为避免出现重叠，  与  的长度关系需单独说明。

对图1的证明：

在以  为圆心的圆  中应用弦定理可得：

在以  为圆心的圆  中应用弦定理可得：

另一种方法是利用截線定理，用尺规作全等三角形。（图3）具体步骤如下：


 自点  引出第一条射线；
 在该射线上，以  为起点，先截取长度为  的线段  ，再截取长度为  的线段  ；
 自点  出发，在与  成任意角  的方向上截取长度为  的线段  ；
 过点  作自点  引出的第二条射线；
 自点  作与  平行的直线，该直线与第二条射线的交点  所对应的线段  即为所求商  的长度。

 关于“除以零” 

 “除以零”有意义吗？ 
在标准数学体系中，除以零被定义为“未定义”操作，因其与“零乘任何有限数恒为零”相悖http://mathworld.wolfram.com/DivisionbyZero.html  Retrieved October 23, 2018，计算器输入此类表达式也会报错。但在零环和等高阶数学结构中，通过重新定义运算规则，除以零可被赋予特定意义。

 1 : 0 是否等于∞? 

部分人认为，这个问题应当赋予“∞”的解，因为经验表明，当分配者数量趨近於零时，每个个体获得的量会趋向无限。然而，这种直觉在数学体系中会引发根本性矛盾。

首先，引入“∞”这一“值”将导致环及其算术体系的瓦解。具体表现为：
 传统算术运算规则失效（如 ∞  ∞ 未定义）
 出现大量不定式（如型表达式）
 需另外建立特殊处理法则

其次，通过极限理论，在x=0处，函数  同时具有正负两个方向的发散趋势：
 右极限：
 左极限：

由于正负无穷不可比较，该点不存在传统意义上的极限值。

而且，在有理数集  和实数集  中，引入无穷大会破坏原有序关系，导致比较运算的逻辑悖论。

最后，直接承认方程  无解具有显著优势：
 保持算术体系自洽性
 避免引入矛盾性概念
 更利于误差处理（如编程中的除零异常）

接受该方程无解的朴素事实，并借助分析学工具（如洛必达法则）处理相关问题，是更为合理且自洽的解决方案。

 参见 
 筹算除法
 同餘
 余数
 带餘除法
參考資料

C
C