卡塔蘭猜想

卡塔蘭猜想也稱為米哈伊列斯庫定理，是比利時數學家歐仁·查理·卡塔蘭在1844年提出的數論猜想，已在2002年4月由帕德博恩大學的羅馬尼亞數學家證明了這猜想，因此也稱為米哈伊列斯庫定理，證明大幅使用了分圓域和。

此定理斷言除了，，沒有兩個連續整數都是正整數的幂（即次方數）；以數學方式表述為：不定方程的大於1的正整數只有唯一解。

 歷史 
在卡塔蘭之前已有人考慮過類似的問題。
1320年左右，（1288年—1344年）證明2和3的冪之間只有8和9相差是1。
莱昂哈德·歐拉證明，x2 - y3 = 1-{只}-有一解：x = 3,y = 2。
勒貝格證明了方程xa - y2 = 1，a > 1 沒有正整數解。
1965年柯召證明方程x2 - yb = 1，b > 1 只有一個解。
於是卡塔蘭猜想只餘下為奇素数的情況。
1976年羅貝特·泰德曼(Robert Tijdeman)證明卡塔蘭猜想的方程只有有限個解。雷·斯坦納(Ray Steiner)和莫里斯·米尼奧特（）也對這猜想作出貢獻。
皮萊猜想（Pillai's conjecture）：把卡塔蘭猜想一般化，推測正整數的冪之間的差趨向無限大；換句話說，對任何正整數，僅有限多對正整數的冪的差是這個數。這猜想現在仍未解決。若abc猜想成立，則皮萊猜想也成立。

參見
費馬-卡塔蘭猜想
布羅卡問題

參閱

 Ivars Peterson's MathTrek
 Jeanine Daems: A Cyclotomic Proof of Catalan's Conjecture

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