矩生成函數

在概率論和統計學中，一個實數值隨機變量的動差-{}-母函數（）又稱動差-{}-生成函數，-{zh-hans:矩;zh-tw:動差}-亦被稱作-{zh-tw:矩;zh-hans:动差}-，矩生成函數是其概率分佈的一種替代規範。 因此，與直接使用概率密度函數或累積分佈函數相比，它為分析結果提供了替代途徑的基礎。 對於由隨機變量的加權和定義的分佈的矩生成函數，有特別簡單的結果。 然而，並非所有隨機變量都具有矩生成函數。

顧名思義，矩生成函數可用於計算分佈的矩：關於 0 的第個矩是矩生成函數的第階導數，在 0 處求值。

除了實值分佈（單變量分佈），矩生成函數可以定義為向量或矩陣值的隨機變量，甚至可以擴展到更一般的情況。

與特徵函數不同，一個實數值分佈的矩生成函數並不總是存在。 分佈的矩生成函數的行為與分佈的性質之間存在關係，例如矩的存在。

 定義 
隨機變數的動差母函數定義為：

前提是这个期望值存在。

计算

如果具有连续概率密度函数，则它的動差母函數由下式给出：

其中是第阶矩。是的双边拉普拉斯变换。

不管概率分布是不是连续，矩生成函数都可以用黎曼-斯蒂尔吉斯积分给出：

其中是累积分布函数。

如果是一系列独立的随机变量，且

其中是常数，则的概率密度函数是每一个的概率密度函数的卷积，而的矩生成函数则为：
　。

对于分量为实数的向量值随机变量X，矩生成函数为：

其中是一个向量， 是数量积。

意义

只要矩生成函数在周围的开区间存在，第个矩为：
　。

如果矩生成函数在这个区间内是有限的，则它唯一决定了一个概率分布。

一些其它在概率论中常见的积分变换也与矩生成函数有关，包括特征函数以及概率生成函数。

累积量生成函数是矩生成函数的对数。

 例子 
下面是一些矩生成函數和特徵函數的例子，用於比較。 可以看出，特徵函數是矩生成函數存在時的威克轉動（Wick rotation）。
{|class="wikitable"
|-
! 分布
! 矩生成函數 
! 特徵函數 
|-
|退化 
|
|
|-
| 伯努利  
| 
| 
|-
| 幾何  
|   
| 
|-
| 二項式 
| 
| 
|-
|负二项 
|式(11)。
|
|-
| 卜瓦松 
|  
|  
|- 
| 均勻(連續型) 
| 
| 
|- 
| 均勻(離散型) 
| 
| 
|-
|拉普拉斯 
|
|
|-
| 正态 
| 
| 
|-
| 卡方(Chi-squared) 
| 
| 
|-
|Noncentral chi-squared 
| 
| 
|-
| 伽玛(Gamma) 
|
| 
|-
| 指数(Exponential) 
| 
| 
|-
| 多元正态 
|
|
|-
| 柯西(Cauchy) 
|不存在
| 
|-
|Multivariate Cauchy 
Kotz et al. p. 37 using 1 as the number of degree of freedom to recover the Cauchy distribution
|不存在
|
|-
|}

参见
 主動差
 矩
 阶乘矩生成函数
 速率函数

 註 

 参考文献 

D
D
Category:母函数