算术基本定理

算术基本定理，又称为正整數的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数，要么本身就是质数，要么可以写为2個或以上的質數的积，而且这些質因子按大小排列之后，写法僅有一種方式。

例如：，，。

算术基本定理的内容由两部分构成：
 分解的存在性：
 分解的唯一性，即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素數乘积的方式是唯一的。

算术基本定理是初等數論中一个基本的定理，也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。

 定理陳述 
. 其中  而且  是一个質数，.

這種表示的方法存在，而且是唯一的。

 證明 
算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。准确的说，欧几里得证明了在一般整环上看与算术基本定理等价的命题：若質數，则不是 ，就是。然而，在欧几里得的时代，并没有发展出幂运算和指数的写法，甚至连四个整数的乘积这种算式都被认为是没有意义的，所以欧几里得并没有给出算术基本定理的现代陈述。

 存在性 
用反證法：假設存在大於  的自然數不能寫成質數的乘積，把最小的那個稱為 。

 不可爲質數，因爲  可被寫成質數的乘積。因此  一定是合數，但每個合數都可以分解成兩個嚴格小於自身而大於  的自然數的積。設 
 ，則根據假設，由於  是最小的不能被寫成質數乘積的自然數，所以  和  都能被寫成質數的乘積。然而  也可以寫成質數的乘積，由此產生矛盾，故大於  的自然數必可寫成質數的乘積。

 唯一性 

歐幾里得引理：若質數，则不是 ，就是。

引理的证明：若 则证明完毕。若，那么两者的最大公约数为1。根据貝祖等式，存在 使得。于是。
由于，上式右边两项都可以被p整除。所以。

再用反證法：假設有些大于1的自然數可以以多于一种的方式寫成多个質數的乘積，那么假设是其中最小的一個。

首先不是質数。將用兩種方法寫出： 。根據引理，質数 ，所以 中有一個能被整除，不妨设为。但也是質数，因此 。所以，比小的正整数也可以写成 。这与 的最小性矛盾！

因此唯一性得证。

 推廣 
在一般的數域中，並不存在相應的定理；事實上，在虛二次域  之中，只有少數幾個能滿足。例如，可以以兩種方式在  中表成整數乘積： 和 。一個自然的問題是哪个值可以得到唯一分解定理？在高斯时代，已知有9个使得所产生的数有唯一因子分解（，如上面指出那样取值）。高斯认为的數量不會超過10個，但是没有人能够证明。
1952年，业余数学家，退休的瑞士工程师（Kurt Heegner）发表了他的证明，声称第10个高斯类数不存在。但是没有人相信他。世界又等待了15年之后才知道这个定理：麻省理工学院的斯塔克（Harold Stark）和剑桥大学的阿兰贝克（Alan Baker）独立用不同方法证明了第10个值不存在。两个人重新检查了黑格纳的工作，发现他的证明是正确的。
为了紀念长期被忽视的黑格纳，上述的9個數被稱為黑格纳数，一些曲线上的点被命名为黑格纳点。

歐幾里得在普通整數  中証明了算術基本定理──每個整數可唯一地分解為素數的乘積，高斯則在複整數  中得出並証明，只要不計四個可逆元素  之作用，那麼這個唯一分解定理在  也成立。高斯還指出，包括費馬大定理在內的普通素數的許多定理都可能擴大到複數域。

 外部連結 
  Fundamental Theorem of Arithmetic - Wolfram Demonstrations Project 

Category:数论
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