数列

数列（）是由数字組成的序列。另一種略為抽象的說法是——以正整數為定義域、值域是一個數系的函数。级数也是一種数列，不過它的每一項是另外一個數列的部份和。在微積分的教材中經常討論的数列是實數序列和實數級數。一般的「序列」则范围更广，可以由有序的一系列数字、一系列函数、一系列向量、一系列矩阵或一系列张量等等所组成。而在計算理論中，数列以及相关术语常用于有关递推规律的研究。

 正式定義 
由於最一般的數為複數，可以作如下的定義：。

在教學上常會如下標示有限數列，來增進對定義的直觀理解：

以上表達式中的每一个数被称为这个数列的「项」。 为数列的「第一项」、 为「第二项」，以此類推。 被稱為有限數列的項數。數列中的第一项常稱為「首項」，最后一项則称为「末项」。注意有限數列也可以設為  ，換句話說，把  包含在數列的定義域中，並以第零項  作為首項。無窮數列只有首項，沒有末項，但類似的，也可不将包含在無窮數列的定義域中，讓無窮數列的首項為  。

由數列中各個項的和組成的數列稱為「級數」，換句話說

一般會將  寫為  ，甚至更直觀的  來凸顯級數源於求和的直觀概念。

級數的概念可以推廣至數列以外的序列，比如說函數序列的。

 分類 

單調性
 若對所有  ， ，则称数列  为「递增数列」。把  換成  ，則稱為「嚴格遞增數列」。
 若對所有  ， ，则称数列  为「递减数列」。把  換成  ，則稱為「嚴格遞减數列」。
 若對所有  ， ，则称数列  为「常数数列」。

有限性

 若數列  的项数有限，則  为「有限数列」。
 若數列  的项数无限，則  为「无穷数列」。

 有界性 
 若對所有  ， ，则称数列  为「有界数列」。  稱為「下界」，  稱為「上界」。
 若對數列  ，上述的  、  不存在，则称数列  为「無界数列」。

 收斂性與極限 
收斂性是數列的一個重要性質。如果一個數列逐漸趨近於某一個值，就稱該數列為收斂數列，否則稱為發散數列。

簡單的說，一個數列有極限，便是它的數列中的元素逐漸地越來越靠近（稱為極限值），但是它們仍然任意得很靠近極限值，而不一定恰好相等。

舉例來說：當  時，隨著n的數字增加，可以看到它逐漸趨向於0。當 時，隨著n的數字增加，可以看到它逐漸趨向於2。

此外，值得注意的是，當一個數列有極限值時，它的極限值一定是唯一的。一般來說，當數列收斂，我們會記。

 收斂的嚴格定義 
我們說一個實數數列收斂於實數；如果對任意的 ，存在一個正整數，使得對所有的，有。

 重要的特殊数列 
 等差数列：是一种特殊数列。数列中，从第二项起，每一项与前一项的差相等。

例如数列。

这就是一个等差数列，因为第二项与第一项的差和第三项与第二项的差相等，都等于；与的差也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的差称之为公差，符号为，并且可为0。

若設首項，則等差數列的通項公式為。

多阶等差数列：又称高阶等差数列，中國则称之为“质数相关数列”。
把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，如果这个新的数列是普通等差数列，原数列就称为二阶等差数列。
由此类推，把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，再把这个新的数列的所有后项与前一项之差组成另一个新的数列，如此进行下去，直到最后的数列如果是普通等差数列，那么原数列就是多阶等差数列。
普通等差数列可以视为一阶等差数列，因而常数数列实际就是零阶等差数列。
等比数列：是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。

例如数列。

这就是一个等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，都等于2，与的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比，符号为。

若設首項，則等比數列的通項公式為。

斐波那契数列：是一种特殊数列。它的特点是：首兩項均是1，从第3项起，每一项均為前兩項的和。

以數學符號表示，即，且對於，。

斐波那契数列的通项公式為。

質數數列：目前找不到規律的特殊數列，即：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,............
正负相间：或
隔项有零：或

 数列的求和 

通常对第1项到第项求和，记为。此求和符号是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉使用和推广的。

一个特殊数列求和：奇数数列。1，3，5，7，9，...。其和为项数的平方。例如：1+3=22,1+3+5=32。

 通项公式的求解 

通常，从实际问题中会先得到一个递推关系式，但是可能会难以观察出数列中某一项的项数和具体大小之间的规律。所以需要求出这个数列的通项公式。以下是一些常见的递推式化简方法。通项公式的求解在积分学、线性代数、概率论、组合数学、趣味数学、数学物理、数学建模、数值分析、分形等领域中都会遇到。并不存在一种通用的解法。求不出通项公式或只能进行估算的情形也可能出现。

 数学归纳法 
求出该数列的前数项，归纳其通项公式，然后用数学归纳法证明公式正确。

数学归纳法是最基本的方法，但对观察和归纳的能力要求比较高。如果猜不出规律，则不能使用此方法。

 逐差全加 
给定数列差时逐差全加，例如：
，, 求

 逐商全乘 
给定数列比时逐差全乘，例如：
，，求

 从和式求通项 
如果已知数列和的公式，那么通项的求解非常容易。由可知

把看成一个数列，可以先对进行求解，然后得出。

 换元法 
换元法用于从形式上简化表达式，以突出问题的本质。换元法一般不单独使用，而是和其它方法结合使用。中学数学中常用的有对数换元法、三角函数换元法，还有用得很少的双曲函数换元法。

 不动点法 
对于形如齐次分式的递推关系，可利用不动点来推导。

已知，其中、、都是常数，求。
求这类数列的通项公式，一般的方法就是将之化成一个新的等比数列。

 如果，那么这个式子就可以化成下面的形式：
。
求出，那么数列就是一个等比数列，从而求出通项公式。

 如果，这个递推关系就不能化为等比数列。如果，那么它就是等差数列。另外，当的时候，它是一个等和数列。从这个问题我们可以看到，等和数列也可以化成一个等比数列。
 除此之外也可以这样将之化成等比数列：

两边相减就有：，如此就化成了一个等比数列。

已知,其中、、、都为常数，求；
与上述数列一样，它们一定可以化成下面的形式：

求出对应系数，于是就转化成了前面那种形式，然后就可以求出数列的通项公式，然后求出的通项公式。实际上这是一种逐步化简的方法。

 其它方法 
其它常用方法包括导数求通项法、组合数学中的母函数方法、特征方程法，这些一般是在大学课程或是部分高中的进阶课程中学到。其中特征方程法专门用于线性递推关系式的化简，与求解线性微分方程的特征方程法非常类似。

 在其他數學領域的使用 

 拓樸 

 分析 

 線性代數 

 抽象代數 

 参见 
 整数数列线上大全 (OEIS)

 参考资料 

Category:初等数学
Category:序列