Γ函数

在數學中，函数（伽瑪函數；Gamma函数），是階乘函數在實數與複數域上的擴展。如果為正整數，則：

根据解析延拓原理，伽瑪函數可以定義在除去非正整數的整個複數域上：

数学家勒讓德首次使用了希腊字母Γ作为该函数的记号。在機率論和组合数学中此函數很常用。

 定義 
函數可以通过欧拉（Euler）第二类积分定義：

对复数，我们要求。

函數还可以通过对做泰勒展开，解析延拓到整个复平面：

这样定义的函數在全平面除了以外的地方解析。

函數也可以用无穷乘积的方式表示：

这说明是亚纯函数，而是全纯函数。

 历史動機 
Γ函數本身可以被看作是一個下列插值問題的解：

『找到一個光滑曲線連接那些由  所給定的點，並要求要為正整數』

由前幾個的階乘清楚地表明這樣的曲線是可以被畫出來的，但是我們更希望有一個精確的公式去描述這個曲線，並讓階乘的操作不會依賴於值的大小。而最簡單的階乘公式  不能直接應用在值為分数的時候，因為它被限定在值為正整數而已。相對而言，并不存在一個有限的關於加總、乘積、冪次、指數函數或是對數函數可以表達 ，但是是有一個普遍的公式藉由微積分的積分與極限去表達階乘的，而 Γ函數就是那個公式。

階乘有無限多種的連續擴張方式將定義域擴張到非整數：可以通過任何一組孤立點畫出無限多的曲線。Γ函數是實務上最好的一個選擇，因為是解析的(除了非正整數點)，而且它可以被定義成很多種等價形式。然而，它並不是唯一一個擴張階乘意義的解析函數，只要給予任何解析函數，其在正整數上為零，像是 ，會給出其他函數有著階乘性質。

 無窮乘積 
函數可以用無窮乘積表示：

其中是欧拉-马歇罗尼常数。

 Γ積分 

 递推公式 
函数的递推公式为：
，

对于正整数，有
，
可以说函数是階乘的推廣。

 递推公式的推导 

我们用分部积分法来计算这个积分：

当时，。当趋于无穷大时，根据洛必达法则，有：

.

因此第一项变成了零，所以：

等式的右面正好是, 因此，递推公式为：

.

 重要性质 
 當時，
 歐拉反射公式（余元公式）：
 .
由此可知当时，.

 伽马函数还是负自然指数函数的梅林变换:    

 乘法定理：
。
.
 此外：
.
 使用乘法定理推導的關係：

此式可用來協助計算t分布機率密度函數、卡方分布機率密度函數、F分布機率密度函數等的累計機率。
 極限性質
對任何實數α

 斯特靈公式 

斯特靈公式能用以估計函数的增長速度。公式為：

其中e約等於。

 特殊值 

连分数表示

伽马函数也可以在复数域表示为两个连分数之和：

 导数 

對任何複數z，滿足 Re(z) > 0，有

於是，對任何正整數 m

其中γ是歐拉-馬歇羅尼常數。

 复数值 

 解析延拓 
注意到在函數的積分定義中若取為實部大於零之複數、則積分存在，而且在右半複平面上定義一個全純函數。利用函數方程

並注意到函數在整個複平面上有解析延拓，我們可以在時設

從而將函數延拓為整個複平面上的亞純函數，它在有單極點，留數為


 程式實現 
許多程式語言或試算表軟體有提供Γ函数或對數的Γ函数，例如EXCEL。而對數的Γ函数還要再取一次自然指數才能獲得Γ函数值。例如在EXCEL中，可使用GAMMALN函数，再用EXP[GAMMALN(X)]，即可求得任意實数的伽玛函数的值。
例如在EXCEL中：EXP[GAMMALN(4/3)]=
而在沒有提供Γ函数的程式環境中，也能夠過泰勒級數或斯特靈公式等方式來近似，例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法，其在十進制可獲得有效數-{}-字八位數的精確度，已足以填滿單精度浮點數的二進制有效數-{}-字24位：

 参见 
 双伽玛函数
 多伽玛函数
 倒數伽瑪函數
 反伽瑪函數
伽玛分布
 B函數

 參考文獻 

 外部链接 
 神奇的Gamma函数(上)
 神奇的Gamma函数(下) 

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