循環單位

在趣味數學中，循環單位是由1組成的數如1, 11, 111, 1111等。

1966年，A.H. Beiler稱這類數為repunit，表示repeated unit。

對於n≥1，循環單位可以這樣定義：

亦可以用遞歸的方法：

其中是进位制的底。在這篇文章，循環單位都是指十进制中的。

循環單位的平方
至的循環單位，的平方有一個很有趣的性質，它們都會得出由1到的數字順序組成的回文数。例如十进制中的：
        1×1        =        1
       11×11       =       121
      111×111      =      12321
     1111×1111     =     1234321
    11111×11111    =    123454321
   111111×111111   =   12345654321
  1111111×1111111  =  1234567654321
 11111111×11111111 = 123456787654321
111111111×111111111=12345678987654321

而上述原則於十進制，只在的情況下才能生效，因為在的情況下，的平方已經不能組成迴文數。例如：
      11111111111×1111111111      =      1234567900987654321
     111111111111×11111111111     =     123456790120987654321
    1111111111111×111111111111    =    12345679012320987654321
   11111111111111×1111111111111   =   1234567901234320987654321
  111111111111111×11111111111111  =  123456790123454320987654321
 1111111111111111×111111111111111 = 12345679012345654320987654321
11111111111111111×1111111111111111=1234567901234567654320987654321
...
雖然在的情況下，的平方不能組成迴文數，卻有著固定的結構：

如果，前綴：123456790，後綴：0987654321
如果，前綴：123456790，中段：從1開始順序數數，直至得出與9的差，再倒數至2，後綴：0987654321

循環單位質數
當能被大於1的整除時，（例如），因此若是質數，必須是質數。

現在已知時，是質數，而的則可能是偽素數，是目前已知最大的可能質數。

號碼n年份發現者12－－219－－323－－43171978年Williams, Dubner510311986年Dubner6490811999年Dubner7864532000年Baxter81092972007年Bourdelais, Dubner92703432007年Voznyy, Budnyy1057947772021年Batalov, Propper1181772072021年Batalov, Propper

參見
循環單位因數表

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