定理

定理（）是經過受邏輯限制的證明為真的陈述。一般來說，在數學中，只有重要或有趣的陳述才叫定理。證明定理是數學的中心活動。一个定理陈述一个给定类的所有（全称）元素一种不变的关系，这些元素可以是无穷多，它们在任何时刻都无区别地成立，而没有一个例外。（例如：某些是，某些是，就不能算是定理）。

猜想是相信為真但未被證明的數學敘述，或者叫做命题，當它經過證明後便是定理。猜想是定理的來源，但並非唯一來源。一個從其他定理引伸出來的數學敘述可以不經過成為猜想的過程，成為定理。

如上所述，定理需要某些邏輯框架，繼而形成一套公理（公理系統）。同時，一個推理的過程，容許從公理中引出新定理和其他之前發現的定理。

在命題邏輯，所有已證明的敘述都稱為定理。

 各種數學敘述（按重要性來排列）
數學原理
公理（也稱公設）－公理是沒有經過證明，但被當作不證自明的一個命題。
定理
命題－通常，命題是一個可以判斷真或假的陳述句，亦有既真又假的命題（悖論）。
 推論（也稱系、系理）－一個從定理隨之而即時出現的敘述。若命題B可以很快、簡單地推導出命題A，命題A為命題B的推論。
引理（也稱輔助定理，補理）－某個定理的證明的一部分的敘述。它並非主要的結果。引理的證明有時還比定理長，例如舒尔引理。
假說－根據已知的科學事實和科學原理，對所研究的自然現象及其規律性提出的推測和說明。

 結構 
定理一般都有许多條件。然後有結論——一個在條件下成立的數學敘述。通常寫作「若條件，則結論」。用符號邏輯來寫就是條件→結論。而當中的證明不視為定理的成分。

 逆定理 
若存在某敘述為，其逆敘述就是。逆敘述成立的情況是，否則通常都是倒果為因，不合常理。若果敘述是定理，其成立的逆敘述就是逆定理。
 若某敘述和其逆敘述都為真，條件必要且充足。
 若某敘述為真，其逆敘述為假，條件充足。
 若某敘述為假，其逆敘述為真，條件必要。

 逻辑中的定理 
逻辑语言中的定理表示的是一个公式集合，并且该公式集合中的每一个公式都代表着知识的一个片段，由此我们可以给定理一个更准确的表达（这里所说的定理指的是在一阶逻辑中的定理，通常来说任意一个命题集合往往不一定是定理）。定理在逻辑中的定义︰
一个定理是一个含有由建立于语言集合上的命题（-命題）组成的非空集合。
这个定理（或这个命题集合）我们记作，这些建立于语言集合上的命题必须符合如下属性：
对所有在中的命题，如果，那么。
比如一个永真命题集合是一个定理，这个永真命题集合被包含在所有建立在语言集合上的定理中。此外，我们说一个定理是另外一个定理的扩展（extension），前提是该定理包含定理。

有一个命题集合，我们將一个包含的集合记作，那麽 。显而易见，所以是一个定理。比如我们有一个集合，有三个基于语言上的命题，其中，是常数符号，是函数符号。三个命题如下：
，
，
。
那么如果有，則是的定理。当然，如果和是两个命题集合且满足，那么。

我们说一个定理是完整的（Complete），当且仅当对于和一样构建在同样语言集合上的所有命题，要么，要么。
注意：这个概念不能和定理的完备性（Completude）混淆，完备性是证明在定理中的永真命题是递推可枚举的（recursivement enumerable），但是不能说它一定是完整的。
不是所有的定理是完整的。比如一个空集合的定理是所有真命题集合，但是不是完整的。假如有命題，对于来说，它既不是永真命题，也不是永假命题，它是一个可满足式的命题，也就是说且。因此，所以我们说不是完整的。
一个定理称作是稳健的（Consistante），当且仅当。我们说对所有的解释（Interpretation），是一个定理，并且既是稳健的又是完整的。

 参考文献 

 参见 
 数学定理列表


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