質數定理

在數論中，素数定理（）描述素数在自然數中分佈的漸進情況，給出隨著數字的增大，質數的密度逐漸降低的直覺的形式化描述。1896年法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家德·拉·瓦莱布桑先後獨立給出證明。證明用到了複分析，尤其是黎曼ζ函數。

素数的出現規律一直困惑著數學家。一個個地看，素数在正整數中的出現沒有什麼規律。可是總體地看，素数的個數竟然有規可循。對正實數x，定義π(x)為素数计数函数，亦即不大於x的素数個數。數學家找到了一些函數來估計π(x)的增長。以下是第一個這樣的估計。

其中 ln x 為 x 的自然對數。上式的意思是當 x 趨近無限，π(x)與x/ln x的比值趨近 1。但這不表示它們的數值隨著 x 增大而接近。

下面是對π(x)更好的估計：

，當x 趨近∞。

其中（对数积分），而關係式右邊第二項是誤差估計，詳見大O符號。

 敘述 
定義 π(x) 為素数计数函数，也就是小於等於x 的質數個數。例如 π(10)=4，因為共有 4 個質數小於等於 10，分別是 2、3、5、7。質數定理的敘述為：當 x 趨近無限，π(x) 和  的比值趨近 1。其數學式寫做

。
淺白的說，當 x 很大的時候，π(x) 差不多等於 。該定理被認為是質數的漸進分布定律，以漸進符號可簡化為
。

注意到，上式並不是說指隨著 x 趨近無限， 與 的差趨近於 0。而是隨著 x 趨近無限， 與 的相對誤差趨近於 0。

因此，質數定理也可以被想像成描述從正整數中抽到素数的概率：從不大於 n 的正整數中隨機選出一個數，它是素数的概率大約是。

質數定理有一個相關的定理，是關於第個素数 的下界，也就所謂的Rosser定理：

 關於 、 和  的數值 

下表比較了π(x)，x/ln x和Li(x)：

{| class="wikitable" style="text-align: right"
!  
! 
! 
! 
! 
! 
|-
| 10
| 4
| −0.3
| 0.921
| 2.2
| 2.500
|-
| 102
| 25
| 3.3
| 1.151
| 5.1
| 4.000
|-
| 103
| 168
| 23
| 1.161
| 10
| 5.952
|-
| 104
| 1,229
| 143
| 1.132
| 17
| 8.137
|-
| 105
| 9,592
| 906
| 1.104
| 38
| 10.425
|-
| 106
| 78,498
| 6,116
| 1.084
| 130
| 12.740
|-
| 107
| 664,579
| 44,158
| 1.071
| 339
| 15.047
|-
| 108
| 5,761,455
| 332,774
| 1.061
| 754
| 17.357
|-
| 109
| 50,847,534
| 2,592,592
| 1.054
| 1,701
| 19.667
|-
| 1010
| 455,052,511
| 20,758,029
| 1.048
| 3,104
| 21.975
|-
| 1011
| 4,118,054,813
| 169,923,159
| 1.043
| 11,588
| 24.283
|-
| 1012
| 37,607,912,018
| 1,416,705,193
| 1.039
| 38,263
| 26.590
|-
| 1013
| 346,065,536,839
| 11,992,858,452
| 1.034
| 108,971
| 28.896
|-
| 1014
| 3,204,941,750,802
| 102,838,308,636
| 1.033
| 314,890
| 31.202
|-
| 1015
| 29,844,570,422,669
| 891,604,962,452
| 1.031
| 1,052,619
| 33.507
|-
| 1016
| 279,238,341,033,925
| 7,804,289,844,393
| 1.029
| 3,214,632
| 35.812
|-
| 1017
| 2,623,557,157,654,233
| 68,883,734,693,281
| 1.027
| 7,956,589
| 38.116
|-
| 1018
| 24,739,954,287,740,860
| 612,483,070,893,536
| 1.025
| 21,949,555
| 40.420
|-
| 1019
| 234,057,667,276,344,607
| 5,481,624,169,369,960
| 1.024
| 99,877,775
| 42.725
|-
| 1020
| 2,220,819,602,560,918,840
| 49,347,193,044,659,701
| 1.023
| 222,744,644
| 45.028
|-
| 1021
| 21,127,269,486,018,731,928
| 446,579,871,578,168,707
| 1.022
| 597,394,254
| 47.332
|-
| 1022
| 201,467,286,689,315,906,290
| 4,060,704,006,019,620,994
| 1.021
| 1,932,355,208
| 49.636
|-
| 1023
| 1,925,320,391,606,803,968,923
| 37,083,513,766,578,631,309
| 1.020
| 7,250,186,216
| 51.939
|-
|1024
|18,435,599,767,349,200,867,866
|339,996,354,713,708,049,069
|1.019
|17,146,907,278
|54.243
|-
|1025
|176,846,309,399,143,769,411,680
|3,128,516,637,843,038,351,228
|1.018
|55,160,980,939
|56.546
|-
|OEIS
|
|
|
|
|
|}

 歷史 
1797年至1798年間，法國數學家勒讓德根據上述的質數表猜測，大約等於 ，其中、是未知的函數。勒讓德於1808年出版一本關於數論的書的第二版，書中他給出更精確的猜測：，。根據高斯自己在1849年的回憶，他在15歲或16歲(1792或1793年)的時候就已經考慮過類似的問題了C. F. Gauss. Werke, Bd 2, 1st ed, 444–447. Göttingen 1863.。1832年，狄利克雷經過跟高斯的交流之後，給出了一個新的逼近函數 ，(事實上他是用一個有點不一樣的級數表達式)。勒讓德和狄利克雷的式子皆等價於現在的版本，但如果考慮逼近式與  的差，而不是比值的話，狄利克雷的式子是準確許多的。

俄國數學家切比雪夫參考了歐拉在1731年的工作，引進了定義在實數軸上黎曼ζ函數，企圖證明質數分布的漸進式，並將他所得到的結果寫成兩篇論文，分別在1848和1850年發表。切比雪夫可以證明，如果存在且有限，則它一定是1。此外，在沒有假設任何結果之下，他也證明當 x 足夠大，會界在兩個很靠近 1 的數字之間。雖然切比雪夫的論文沒辦法證明質數定理，但它對  已經可以推論出伯特蘭-切比雪夫定理：對任何大於的正整數，存在一個質數介於和之間。

1859年，黎曼提交了一篇關於質數分布的非常重要的報告《》，這也是黎曼在這個領域的唯一一篇文章。黎曼在報告中使用了創新的想法，將函數的定義解析延拓到整個複數平面，並且將質數的分布與函數的零點緊密的聯繫起來。因此，這篇報告是歷史上首次用複分析的方法研究實函數 。1896年法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家夏尔-让·德拉瓦莱·普桑先後獨立給出證明。兩個證明延著黎曼的思路繼續拓展，且都使用複分析的工具，其中的關鍵步驟是證明如果複數可以寫成  的形式，且 ，則 。

進入20世紀之後，阿達馬和普桑證明的定理經常被稱作質數定理，定理的其他不同證明也陸陸續續被發現，這之中包括1949年阿特勒·塞爾伯格和艾狄胥·帕爾發現的「初等證明」。原本的證明是既冗長，又複雜，於是有很多後面發現的證明使用了讓證明變得比較簡短，但卻變得讓人比較難以消化。1980年，美國數學家發現了一個簡潔的證明，這可能是目前已知最簡單的證明。不過，證明中使用了柯西積分公式，因此一般不被視為是為初等的證明。

因為黎曼ζ函數與關係密切，關於黎曼函數的黎曼猜想對數論很重要。一旦猜想獲證，便能大大改進素数定理誤差的估計。1901年瑞典數學家海里格·馮·科赫證明出，假設黎曼猜想成立，以上關係式誤差項的估計可改進為

至於大O項的常數則還未知道。

 初等證明 

素数定理有些初等證明只需用數論的方法。第一個初等證明於1949年由匈牙利數學家保羅·艾狄胥和挪威數學家阿特利·西爾伯格合作得出。

在此之前一些數學家不相信能找出不需借助艱深數學的初等證明。像英國數學家哈代便說過素数定理必須以複分析證明，顯出定理結果的「深度」。他認為只用到實數不足以解決某些問題，必須引進複數來解決。

相關條目
抽象解析数论
切比雪夫函數─與質數定理密切相關的函數
質數計數函數

參考資料

 外部链接 

Category:素数
SSDL

pl:Liczba pierwsza#Twierdzenie o liczbach pierwszych