三角不等式

三角不等式是數學上的一個不等式，表示從A到B再到C的距離永不少於從A到C的距離；亦可以說是兩項獨立物件的量之和不少於其和的量。它除了適用於三角形之外，還適用於其他數學範疇及日常生活中。

 歐式几何 

證明缩略图|三角形這個证明原记载于《几何原本》第一卷命题20。
如圖，取三角形。朝點 方向延长至点D，并使，联结。

因為三角形  为等腰三角形，根据第五公设可得。令：

顯然。由于角对应边，角对应边，根據命题19（大角对大边），因此。

又由于，所以：



同樣的，如果朝點方向延長，如法炮製的話，可以得到：

 (1)

朝點方向延長，如法炮製的話，可以得到：

 (2)

(1)兩邊各減去有：

(2)兩邊各減去有：

也就是

至此本定理得證。

至於：

除非三點共線否則在欧氏几何中不可能，要有这种「三角形」只有在打破第五公設的非欧几里得几何裡才會出現，如球面幾何學的球面三角形。或閔考斯基時空：

      对所有 ，使得,  和 

這個不等式的物理例子可以在狹義相對論中的雙生子佯謬找到。

 向量空間 
一種推廣三角不等式的方法是在「可相加和伸縮的空間」（向量空间）裡定義「長度」(范数)，嚴格來說就是所謂的賦範向量空間。但三角不等式在賦範向量空間是個不能證明的前提，而且不一定具有幾何中：

的直觀性質，要確保這種直觀性質的話，需要退一步在向量空间假設内积的構造，換句話說有以下定理:

（證明請見内积空间#三角不等式）

 實數與複數 
事實上，实数系跟複數系都是以自己為域（純量母空間）的向量空間，它們的向量加法就是普通的加法；純量積就是普通的乘法；至於內積的話，任二複數的內積可以定義成：

這樣範數就會等於绝对值：

而任二實數的內積就只是普通的乘法：

這樣兩系內的三角不等式都只是內積空間的特例：

其實上面兩式也可以用更基礎，只牽涉到複數運算的方式證明：
證明考慮到

有：

故複數三角不等式得證，實數只是複數的特例而以。

 坐標空間 
維（实数）坐標空間本身就是以實數系為域（純量母空間）的向量空間，只要對任意和和純量 作如下定義：

(1)向量加法： 

(2)純量乘法：

它也能成為實係數内积空间，只要作如下定義：

(3) 內積： 

也就是普通的点积。這樣的話範數正好就等於直觀上的長度：

這樣實數座標空間的三角不等式就是內積空間不等式的特例了：

如果把把歐幾里得平面和做一對一對應的話，歐式几何一節的三角不等式就可以視為上式的特例；但也可以使用空間座標的運算性質來證明：

證明首先注意到：

那根據点积的性質有：

另一方面：

考慮到：

所以：

同樣的對  和  如法炮製就有：

換句話說：

至此三角不等式成立。
 參見 
 次可加性

 参考文献 

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