态叠加原理

在量子力学裏，态叠加原理（superposition principle）表明，假若一個量子系統的量子態可以是幾種不同量子態中的任意一種，則它們的歸一化線性組合也可以是其量子態。稱這線性組合為「疊加態」。假設組成疊加態的幾種量子態相互正交，則這量子系統處於其中任意量子態的機率是對應權值的絕對值平方。

從數學表述，态叠加原理是薛丁格方程式的解所具有的性質。由於薛丁格方程式是個線性方程式，任意幾個解的線性組合也是解。這些形成線性組合（稱為「疊加態」）的解時常會被設定為相互正交（稱為「基底態」），例如氫原子的電子能級態；換句話說，這幾個基底態彼此之間不會出現重疊。這樣，對於疊加態測量任意可觀察量所得到的期望值，是對於每一個基底態測量同樣可觀察量所得到的期望值，乘以疊加態處於對應基底態的機率之後，所有乘積的總和。

更具體地說明，假設對於某量子系統測量可觀察量，而可觀察量的本徵態、分別擁有本徵值、，則根据薛定谔方程的线性关系，疊加態也可以是這量子系統的量子態；其中，、分別為疊加態處於本徵態、的機率幅。假設对這疊加態系統测量可观察量，則測量獲得數值是或的機率分別為、，期望值為。

舉一個可直接觀察到量子疊加的實例，在雙縫實驗裏，可以觀察到通過兩條狹縫的光子相互干涉，造成了顯示於偵測屏障的明亮條紋和黑暗條紋，這就是雙縫實驗著名的干涉圖樣。

再舉一個案例，在量子運算裏，量子位元是的兩個基底態與的線性疊加。這兩個基底態、的本徵值分別為、。

理論
在數學裏，疊加原理表明，線性方程式的任意幾個解所組成的線性組合也是這方程式的解。由於薛丁格方程式是線性方程式，疊加原理也適用於量子力學，在量子力學裏稱為態疊加原理。假設某量子系統的量子態可以是  或  ，這些量子態都滿足描述這量子系統物理行為的薛丁格方程式。則這量子系的量子態也可以是它們的線性組合，也滿足同樣的薛丁格方程式；其中，、是複值係數，為了歸一化，必須讓。

假設為實數，則雖然與標記同樣的量子態，他們並無法相互替換。例如，、分別標記兩種不同的量子態。但是，和都標記同一個量子態。因此可以這樣說，整體的相位因子並不具有物理意義，但相對的相位因子具有重要的物理意義。這種相位因子固定不變的量子疊加稱為「相干量子疊加」。

電子自旋範例
設想自旋為的電子，它擁有兩種相互正交的自旋本徵態，上旋態與下旋態，它們的量子疊加可以用來表示量子位元：
；

其中，、分別是複值係數，為了歸一化，必須讓。

這是最一般的量子態。係數、分別給定電子處於上旋態或下旋態的機率：
、
。

總機率應該等於1：
。

這電子也可能處於這兩個量子態的疊加態：
。

電子處於上旋態或下旋態的機率分別為
、
。

再次注意到總機率應該等於1：
。

非相對論性自由粒子案例
描述一個非相對論性自由粒子的含時薛丁格方程式為
；

其中，是約化普朗克常數，是粒子的波函數，是粒子的位置，是時間。

這薛丁格方程式有一個平面波解：
；

其中，是波向量，是角頻率。

代入薛丁格方程，這兩個變數必須遵守關係式
。

由於粒子存在的機率等於1，波函數必須歸一化，才能夠表達出正確的物理意義。對於一般的自由粒子而言，這不是問題。因為，自由粒子的波函數，在位置或動量方面，都是局部性的。在量子力學裏，一個自由粒子的動量與能量不必須擁有特定的值。自由粒子的波函數可以表示為很多平面波的量子疊加：
；

其中，積分區域是-空間。

為了方便計算，只思考一維空間，
；

其中，振幅是量子疊加的係數函數。

逆反過來，係數函數表示為
；

其中，是在時間的波函數。

所以，知道在時間的波函數，通過傅立葉變換，可以推導出在任何時間的波函數。

參見
 叠加原理
 波函数
Delta 位勢阱 
Delta 位勢壘

參考文獻

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