超限归纳法

超限归纳法（）是数学归纳法向（大）良序集合比如基數或序数的集合的扩展。

 超限归纳 

假设只要对于所有的，为真，则也为真。那么超限归纳告诉我们对于所有序数为真。

就是说，如果为真只要对于所有为真，则对于所有为真。或者更实用的说：若要证明所有序数都符合性质，你可以假定它对于所有更小的已经是成立的。

通常证明被分为三种情况：

 零情况： 证明为真。
 后继情况： 证明对于任何后继序数，  得出自（如果需要的话，也假定对于所有  有）。
 极限情况： 证明对于任何极限序数，得出自 [对于所有]。

留意，以上三種情況(證明方法)都是相同的，只是所考虑的序数类型不同。正式來說不用分开考慮它们，但在实践時，因為它们的证明過程通常相差很大，所以需要分别表述。在一些情況下，「零情況」會被視為一種「極限情況」，因此可以使用極限序數來證明。

超限递归
超限递归是一種构造或定义某种對象的方法，它與超限归纳的概念密切相關。例如，可以定義以序數為下標的集合序列 Aα ，只要指定三个事項：
 是什么
 如何确定自（又或者是從到的部分）
 对于极限序数，如何确定自的对于的序列。

更形式的说，我们陈述超限递归定理如下。给定函数类, , ，存在一个唯一的超限序列带有（ 是所有序数的真类），使得

 ，对于所有 
 ，对于所有极限序數 。這裡的是指在 上的限制。

注意我们要求, , 的定义域足够广阔来使上述性质有意义。所以满足这些性质的序列的唯一性可以使用超限归纳证明。

更一般的说，你可以在任何良基关系上通过超限递归定义對象。（甚至不需要是集合；它可以是真类，只要它是类似集合的关系便可，也就是说：对于任何 ，使得的所有的搜集必定是集合。）

同选择公理的联系 
有一个常见的误解是超限归纳法或超限递归法要求选择公理。其實超限归纳可以应用于任何良序集合。但是常见的情况是使用选择公理来良序排序一个集合，使其適用超限归纳法。

参见
数学归纳法
结构归纳法
ε歸納法
首個不可數序數

C
C
C
C
Category:递归