減法

減法（英语：subtraction、法语：soustraction）是四则运算之一。减法运算的本质，就是「逆着加法去寻找原数」。

例如： 中，已知  是  和  的和，其中一个加数是  ，求另一个加数  。

其中， 稱為被減數， 稱為減數， 是  和  的差。

减法遵循几个重要的规律：

减法不像加法那样符合交換律，即改变运算顺序会一同改变结果符号。它也不满足结合律，也就是说，当需要连续减去两个以上的数时，减法的执行顺序会影响结果。由于  是加法單位元，减去  不会改变一个数的值。

此外，减法在涉及相关运算（如加法和乘法）时也遵循可预测的规则。所有这些规则皆可从整数减法开始进行证明，并推广至实数、乃至更广泛的数学对象。所有遵循这些规律的通用二元运算在抽象代数中都有研究。

 定义 
 算术定义 
已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，符号为“  ”，结果为差。

 集合论定义 
在集合论中，减法通过差集定义。给定两个集合  和  ，它们的差集  包含所有属于  但不属于  的元素。例如：

若 ，，则 。

此外，在可计算性理论中，由于减法在自然数上并非良定义，数与数之间的运算实际上是通过“截断减法”或称为monus的运算来定义的。

 代数结构中的定义 
在更抽象的代数系统中（如群、环、域）：

群​​：若  是一个群，减法  定义为 ，其中  是  的加法逆元。
环与域​​：减法是加法的逆运算，满足封闭性、结合律及分配律的扩展性质。

例如，在整数环  中，减法确保对任意  ，存在唯一的  使得  。

 符号与表示 

减法通常用被减数与减数之间的减号"-"来表示（中缀表示法的一种），运算结果则用等号“=”表示。例如：

（ 减  等于 ）

（ 减  等于 ）

在某些情况下，即使没有出现减号，减法运算亦可“约定俗成”。例如在记账的一列数中，若下方数字以红色显示，则通常表示需要减去该列中较小的数，差值写在该行下方横线之下的位置。

英语单词subtraction（减法，名词）来源于拉丁语动词“subtrahere”，而该动词本身由前缀“sub”（意为“（从）下方”）和动词“trahere”（意为“拉拽”）复合构成。因此，减法的字面含义就是“从下方拉出”或“取走”。而subtrahend（减数）则由添加动名词后缀“-nd”派生（字面意义为“被拉出的事物”）。

minuend（被减数）则源于拉丁动词“minuere”（意为“减少或缩小”），表示“被缩减的事物”。

 性质 
 恒等性质 
任何数减去 0 都等于其本身：。

 非运算性质 
 非交换律​​：
 非结合律​​：

 不同的减法运算 
 自然数减法 
自然数集上的减法运算不满足封闭性：只有当被减数大于或等于减数时，差值才是自然数。例如  减去  就无法得到自然数结果。对此有两种处理方式：

 偏函数法​​：直接假定  不能减去  ，化减法为偏函数
 整数扩展法​​：将结果表示为負整數，即 

 整数减法 
想象一条长度为  的线段，左端标记为  ，右端标记为  。从  点出发，向右移动  个单位即可到达  点。在数学上，这种右移通过加法运算建模：



而从  点出发，向左移动  个单位就能回到  点。这种左移则通过减法运算建模：



再想象一条线段，这条线段则标有数字  、  、  。现在从位置  出发，向左移动  个单位，仍停留在  ，因此  ；向左移动  个单位，则到达位置  ，因此 。

此线段的局限在于，无以描述从位置  向左移动  个单位后的情况，需延长数轴（即沿用整数数轴）方可。

 分数减法 
分數减法类似自然数和整数的减法，但要求分母相同。若两分数分母不同，可用通分实现：


 实数减法 
实数域可通过仅定义两个二元运算（加法与乘法）及两个一元运算（求加法逆元与乘法逆元）来构建。此时，从被减数中减去减数的实数运算，可定义为被减数与该减数加法逆元的加法运算。例如：



若不依赖这些一元运算，亦可将减法与除法作为基本二元运算来处理。

 抽象代数减法 
 向量减法 

在线性代数中，向量空间是一个允许向量相加及缩放的代数结构。所有实数的有序对组成的集合就是一个常见的向量空间：有序对  被解释为欧几里得平面上从原点到由  表示的点的向量。两个向量的差是通过将对应的坐标相减完成的：。

 矩阵减法 

大小相同的两个矩阵可以相减。两个  矩阵  和  的差也是一个  矩阵，用  表示，由对应元素相加得到：

 基于群论的减法 
设  为一个阿贝尔群。我们在  中定义一个新的内合成法则，称为“减法”并记作"−"，其定义为：


其中  表示元素  的逆元。

需要注意的是，既用"-"表示元素  的逆元  ，又表示二元运算  ，属于符号的滥用。

一般的减法运算性质在此群论框架下依然成立。

 范畴论中的减法 
在范畴论中，减法并没有统一的直接对应物，但可以借助态射、核（kernel）、余核（cokernel）、差分对象​​等抽象概念来表达类似于“减法”的关系。

 二进制减法 
在计算机科学和数字逻辑中，减法是在二进制数​​之间进行的，通常使用补码方法来简化运算，详见下文“计算机算法”。

 运算方法 
 竖式减法 
 从右向左相减的方法 
 美国竖式法 
在美国所谓的“传统教学”中，学生在一年级末（或二年级期间）会学习一种针对多位整数的特定竖式减法运算，该流程会在四年级或五年级时扩展至包含小数的分数表示形式。目前几乎所有美国学校都教授一种使用借位（或称为重组，即分解算法）的竖式减法，并配合一套被称为"辅助记号"（crutches）的标记系统。Susan Ross and Mary Pratt-Cotter. 2000. "Subtraction in the United States:  An Historical Perspective," The Mathematics Educator 8(1):4–11. p. 8: "This new version of the decomposition algorithm [i.e., using Brownell's crutch] has so completely dominated the field that it is rare to see any other algorithm used to teach subtraction today [in America]." 虽可能不愿承认，中国国内的主流算法却正是这种“美帝算法”。

用此法计算减法时，数从右向左逐位相减。具体操作步骤如下：

 基本减法操作​​：用被减数（上方数字）的每一位减去减数（下方数字）对应位置的数字。
 借位处理​​：当被减数的某一位数字小于减数对应位数字时（即"上方数字太小"），则：
 先向该位"借10"（即在当前位数字上加10）
 同时从其左边相邻的高位数字中"减去1"（即高位数字减1，相当于借出1个十）
 连续运算​​：完成当前位的减法后，继续处理下一数位，根据需要重复借位操作，直至完成所有数位的减法运算。

下面以计算  为例：

美国竖式法还有一种变体，名为“先借位法”，其核心是：​​在进行任何减法运算之前，先完成所有的借位操作​​。The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics  Subtraction: Trade First

下面以计算  为例：

 欧洲竖式法 
部分欧洲学校采用一种称为欧洲法（或奥地利法）的竖式减法。此法不涉及借位运算，但会根据不同国家的习惯使用各种辅助记号（帮助记忆的标记）。Klapper 1916, pp. 177–.

下面以计算  为例：

 从左向右相减的方法 
 补数法的变体 
减法运算也可以从左到右进行。这种不常见的方法实际上是补数法的一种变体，其特点是在精确计算差值之前，先处理所有的借位（进位）问题。由于该方法既不需要记录借位，也不需要记忆借位情况，因此不仅相对不易出现粗心错误，计算速度也非常快，甚至适用于心算。

下面以计算  为例：

 分步差减法 
分步差减法与其他竖式减法的相异在于：它既不需要借位，也不需要进位。取而代之的是，根据被减数与减数的大小关系，在相应数位上标注正号或负号——若被减数大于减数则记为正，反之则记为负。最终，将所有数位上的分步差值（正负结果）相加，所得总和即为最终的差值结果。Partial-Differences Subtraction ; The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics  Subtraction: Partial Differences

下面以计算  为例：

 非竖式减法 
 递增进数法 
不同于逐位计算差值，递增进数法通过计算减数与被减数之间的数值增量来求得差值。The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics  Subtraction: Counting Up

示例​​：计算  可通过以下步骤：






将各步骤的递增值相加即得总差值：

 分步拆解法 
另一种适用于心算的方法是将减法运算拆分为多个小步骤进行计算。The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics  Subtraction: Left to Right Subtraction

示例​​：计算  可通过以下步骤：





 恒等变换法 
该方法基于"对被减数和减数同时加减相同数值不改变差值结果"的数学原理，通过调整减数至零值来简化计算。The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics Subtraction: Same Change Rule

示例​​：计算  可通过以下步骤：






參考資料

Category:減法
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