平方根

在數學中，一個數的平方根指的是滿足的數，即平方結果等於的數。例如，4和-4都是16的平方根，因为。

任意非負實數都有唯一的非負平方根，称为算术平方根或-{zh-cn:主平方根; zh-tw:算術平方根;}-（），記為，其中的符号称作根号。例如，9的算术平方根为，记作 ，因为并且3非负。被求平方根的数称作被开方数（），是根号下的数字或者表达式，即例子中的数字9。

正数有兩個互为相反数的平方根：正数与负数，可以将两者一起记为。

負數的平方根在複數系中有定義。而實際上，對任何定義了開平方運算的數學物件都可考慮其“平方根”（例如矩陣的平方根）。

在Microsoft的試算表軟體Excel與大部分程式語言中以 "sqrt()"表示求主平方根。

 历史 

耶鲁大学的巴比伦藏品YBC 7289是一块泥板，制作于前1800年到前1600年之间。泥板上是一个画了两条对角线正方形，标注了的六十进制数字 1;24,51,10。六十进制的 1;24,51,10 即十进制的 1.41421296，精确到了小数点后5位（1.41421356...）。

莱因德数学纸草书大约成书于前1650年，内容抄写自更早年代的教科书。书中展示了埃及人使用反比法求平方根的过程。Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York: Springer-Verlag.

古印度的《绳法经》大约成书于前800年到前500年之间，书中记载了将2的平方根的计算精确到小数点后5位的方法。

古希腊的《几何原本》大约成书于前380年，书中还阐述了如果正整数不是完全平方数，那么它的平方根就一定是无理数——一种无法以两个整数的比值表示的数（无法写作m/n，其中m和n是整数）。

中国的《书》成书于汉朝（约前202年到前186年之间），书中介绍了使用盈不足术求平方根的方法。

古代未有劃一的平方根符號時，人們通常使用他們語言內開方這個字的首個字母的變型作為開方號。

中世紀時，拉丁語中的（正方形邊）的首個字母“L”被不少歐洲人採用；亨利·布里格斯在其著作《》中則用橫線當成的簡寫，在被開方的數下畫一線。

最有影響的是拉丁語的（平方根），1220年Leconardo在《》中使用℞（R右下角的有一斜劃，像P和x的合體）；⎷（沒有上面的橫劃）是由克里斯多福·魯登道夫在1525年的書Coss首次使用，據說是小寫r的變型；后来数学家笛卡尔给其加上线括号，但与前面的方根符号是分开的（即“⎷‾”），因此在复杂的式子中它显得很乱。直至18世纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（当根指数为2时，省略不写），从而形成了现在人們熟知的开方运算符号。

 正數 

的平方根亦可用指數表示，如：

的絕對值可用的算數平方根表示：

若正整數是平方數，則其平方根是整數。若正整數不是平方數，則其平方根是無理數。

對於正數、，以下式成立：

 负数与複數 
正数和负数的平方都是正数，0的平方是0，因此负数没有实数平方根。然而，我们可以把我们所使用的数字集合扩大，加入负数的平方根，这样的集合就是複數。首先需要引入一个实数集之外的新数字，记作（也可以记作，比如电学场景中一般表示电流），称之为虚数单位，定义即为，故是-1的平方根，而且，所以也是-1的平方根。通常称-1的算术平方根是，如果是任意非负实数，则的算术平方根就是：

例如-5的平方根有两个，它们分别为和。

之所以等式右侧（包括其对应的负值）是的算术平方根，是因为：

负数的兩個平方根为一对共轭的纯虚数。

對於負數、，以下式成立：

 虚数的算术平方根 

虚数的算术平方根可以根据以下公式计算：

这个公式可以通过用代数方法推导，只需找到特定的实数和，满足

就可以得到方程组

的解：

其中，算术平方根即为

这个公式还可以通过棣莫弗公式得到，设

就可以推出

 复数的算术平方根 

对于任何一个非零的复数都存在两个複数使得。

首先，我们将复数 看作是平面上的点，即笛卡尔坐标系中的点。这个点也可以写作极坐标的，其中，是该点到坐标原点的距离，则是从原点到该点的直线与实数坐标轴（轴）的夹角。复分析中，通常把该点记作。如果

那么我们将的算术平方根定义为：

因此，平方根函数除了在非正实数轴上以外是处处全纯的。 的泰勒级数也适用于复数。

上面的公式还可以用三角函数的形式表达：

 代数公式 
如果使用笛卡尔坐标的形式表达复数 z，其算术平方根可以使用如下公式：, Section 3.7.27, p. 17 

其中，方根虚部的符号与被开方数虚部的符号相同（为0时取正）；主值实部永远非负。

在虛數，平方根函數的值不是連續的，以下等式不一定成立：




所以這是錯誤的：

多项式

例：若，

 2的算术平方根 
數學史中，最重要的平方根可以說是，它代表邊長為1的正方形的對角線長，是第一個公認的無理數，也叫毕达哥拉斯常数，其值到小數點14位約為。

是無理數，可由歸謬法證明：

 設為有理數，可表示為，其中、為互質之正整數。
 因為，故是2的倍數，也是2的倍數，記為，其中為正整數。
 但是，故，是2的倍數，也是2的倍數。
 依上兩式，、都是2的倍數，和、為互質之正整數的前題矛盾。依歸謬法，得證不是有理數，即是無理數。

 計算方法 
因數計算
。

注意，6 的质因数分解为 2 × 3，不能写成某个数的平方，因此  就是最简结果
。
 中算开方 
《九章算术》和《孙子算经》都有筹算的开方法。宋代数学家贾宪发明、增乘开平方法；明代数学家，程大位发明，而朱载堉《算学新说》首创用81位算盘开方，精确到25位数字劳汉生《珠算与实用算术》ISBN 7-5375-1891-2/O。

 長除式算法 
長除式算平方根的方式也稱為直式開方法，原理是。

 首先將要開平方根的數從小數點分別向右及向左每兩個位一組分開，如98765.432內小數點前的65是一組，87是一組，9是一組，小數點後的43是一組，之後是單獨一個2，要補一個0而得20是一組。如1 04.85 73得四組，順序為1' 04. 85' 73'。
 將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數，並將該平方數的開方（應該是個位數）記下。
 將上一步所得之差乘100，和下一組數加起來。 
 將記下的數乘20，然後將它加上某個個位數，再乘以該個個位數，令這個積不大於但最接近上一步所得之差，並將該個個位數記下，且將上一步所得之差減去所得之積。
 記下的數一次隔兩位記下。
 重覆第3步，直到找到答案。
 可以在數字的最右補上多組的00'以求得理想的精確度為止。

下面以為例子：

四捨五入得答案為14.14。

事實上，將算法稍作改動，可以開任何次方的根，詳見。

利用高精度长式除法可以计算出1至20的平方根如下：
 1 1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462 1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909 2 2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638 2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457 2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230 2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924 3 3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639 3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609 3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818 3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293 3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307 3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937 4 4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338 4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386 4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203 4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276

 牛頓法 

如果要求的平方根，選取


例子：求至6位有效數字。

因此.

 連分數 
平方根可以简便地用连分数的形式表示，关于连分数请见连分数，其中1至20的算术平方根分别可用连分数表示为：



连分数部分均循环，省略号前为2或4个循环节。

巴比倫方法

巴比伦求平方根的算法实际上很简单：（假设要求一个数N的平方根）

 预测一个平方根，初始另一个值，且
 求预测值与初始值的均值：, 
 比较和的差值是否达到精度，如果无，继续步骤

 重複的算術運算 
這個方法是從佩爾方程演變過來的，它通過不斷減去奇數來求得答案。

 尺规作图 
 問題 
給定線段AB和1，求一條長為的線段。

 解法 
right
 畫線AB，延長BA至C使
 以BC的中點為圓心，OC為半徑畫圓
 過A畫BC的垂直線，垂直線和圓弧交於D，AD即為所求之長度

 證明 
將整個過程搬到直角座標上，已知AC=1，設
 O=
 AB=

 直徑為BC的圓就是（圓的方程式：）（其中表示半径。）
 將（A,D所在的x座標）代入上面的方程式

 解方程，得。

另也可参见射影定理。
缩略图|射影定理（图）

 参见 
 方根
 增乘开平方法
二项式定理
牛顿法

 外部链接 
 Earliest Uses of Symbols of Operation
 The History of Mathematical Symbols: The radical symbol
 开方公式的推导 
 平方根計算器 

 參考資料 

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