曲线

线指动点在空间中运动方向连续变化的轨迹In (rather old) French: "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel […] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exempt de toute latitude." Pages 7 and 8 of Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demonstrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions, by Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).。直线是特殊的曲线}。

在现代数学中，曲线的定义是连续函数在拓扑空间上区间的图像。

历史
 若尔当曲线定理
 变分法（最速降線問題、等時降線）
 希爾伯特第十六問題
 皮亚诺曲线和其他
 卷绕数

定义
在数学上，一条曲线的定义为：

设为一实数区间，即实数集的非空子集，那么曲线就是一个连续函数的映射，其中为一个拓扑空间。

我们常遇到的平面曲线的拓扑空间为。

若f是单射的，则 c是简单曲线（simple curve）。

若和，f是闭曲线（closed curve）或環圈。

曲线方程

一般来说，当在下一些符合一条方程的点的集合组成一条曲线时，那方程就叫那曲线的曲线方程（）。

例如，是单位圆的曲线方程，因为有且仅有单位圆上的点符合这条方程；因这些点组成一个单位圆，故该方程正代表着平面上的单位圆。

曲线长度

若，则其长度是

平面曲线
例如，若一条平面曲线可表达成标准方程，那么它的长度就是：

其中、为的上下限。

若平面曲线可表达成参数方程，那么它的长度就是：

其中、为的上下限。

 参考 

 外部链接 
 MacTutor著名曲線列圖