希尔伯特的23个问题

希尔伯特问题（）是德國數學家大衛·希爾伯特於1900年在巴黎舉行的第二届国际数学家大会上所作题为《数学问题》的演讲中提出的23个最重要的数学问题。希尔伯特问题对20世纪数学的发展起了积极的推动作用。在许多数学家的努力下，希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了解决或部分解决。

希尔伯特问题中未能包括拓扑学、微分几何等领域，除数学物理外很少涉及应用数学，更不曾预料到电脑的发展将对数学产生重大影响。20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特所预示的范围。

希尔伯特问题中的1-6是数学基础问题，7-12是数论问题，13-18属于代数和几何问题，19-23属于数学分析。

 问题解決進度 

以下列出希尔伯特的23個問題，各问题的解答状况可参见各问题条目。

#主旨進展說明 第1题 连续统假设 1963年美国数学家保羅·柯恩以力迫法證明連續統假設不能由策梅洛-弗蘭克爾集合論（无论是否含选择公理）推導。也就是說，連續統假設成立與否無法由ZF/ZFC確定。 第2题 算术公理之相容性 庫爾特·哥德爾在1931年證明了哥德爾不完備定理，根岑在1936年证明了一阶算术系统（即皮亚诺算术系统）是自洽的。但这些定理是否已回答了希尔伯特的原始问题，数学界没有共识。 第3题 两四面體有相同体积之证明法 答案：否。1900年，希爾伯特的學生以一反例證明了是不可以的。 第4题 建立所有度量空间使得所有线段为測地線 此问题被英国数学史学家杰雷米·格雷（Jeremy Gray）认为过于隐晦。最早的公认解法由苏联数学家阿列克谢·波戈雷洛夫（Алексей Васильевич Погорелов）提出。 第5题 所有连续群是否皆为可微群 1953年日本數學家山邊英彥证明在无“小的子群”情况下，答案是肯定的；但此定理是否已回答了希尔伯特的原始问题，数学界仍有争论（因为希尔伯特那个年代没有“流形”的概念）。 第6题 公理化物理 希尔伯特后来对这个问题进一步解释，而他自己也进一步研究这个问题。柯尔莫哥洛夫对此也有贡献。然而，尽管公理化已经开始渗透到物理当中，量子力学中仍有至今不能逻辑自洽的部分（如量子场论），故该问题未完全解决。但也有争论认为，希尔伯特所说的“物理”一词并不包含在当时尚未发现的量子力学等理论。 第7题 若b是無理數、a是除0、1之外的代數數，那么ab是否超越數 答案：是。分別於1934年、1935年由苏联数学家亚历山大·格尔丰德與德国数学家特奥多尔·施耐德獨立地解決。 第8题 黎曼猜想及哥德巴赫猜想和孪生素数猜想虽然分别有比较重要的突破和被解决的弱化情况，三个问题均仍未被解决。 第9题 任意代数数域的一般互反律 1927年德国的埃米爾·阿廷证明在阿贝尔扩张的情况下答案是肯定的；此外的情况则尚未证明。 第10题 不定方程可解性 答案：否。1970年由苏联数学家尤里·马季亚谢维奇证明。 第11题 代数系数之二次形式 有理數的部分由哈塞於1923年解決。 第12题 一般代数数域的阿贝尔扩张 埃里希·赫克于1912年用希尔伯特模形式研究了实二次域的情形。虚二次域的情形用已基本解决。一般情况下则尚未解决。 第13题 以二元函數解任意七次方程1957年苏联数学家柯尔莫哥洛夫和弗拉基米尔·阿诺尔德證明对于单值解析函数，答案是否定的；然而希尔伯特原本可能希望证明的是代数函数的情形，因此该问题未获得完全解答。 第14题 证明一些函數完全系統（Complete system of functions）之有限性 答案：否。1959年日本人永田雅宜提出反例。 第15题 之严格基础 一部分在1938年由范德瓦爾登得到嚴謹的證明。段海豹和赵学志宣称该问题实际已解决。 第16题 代数曲线及表面之拓撲結構 此问题进展缓慢，即使对于度为8的代数曲线也没有证明。 第17题 把有理函數写成平方和分式 答案：是。1927年埃米爾·阿廷解决此问题，并提出實封閉域。 第18题 非正多面體能否密铺空间、球體最紧密的排列 1911年做出“n维欧氏几何空间只允许有限多种两两不等价的空间群”；证明不规则多面体亦可填满空间；托马斯·黑尔斯于1998年提出了初步证明，并于2014年8月10日用计算机完成了开普勒猜想的形式化证明，证明球体最紧密的排列是面心立方和六方最密两种方式。 第19题 拉格朗日系统（Lagrangian）之解是否皆可解析 答案：是。1956年至1958年和约翰·福布斯·纳什分別用不同方法證明。第20题 所有边值问题是否都有解 实际上工程和科研中遇到的边值问题都是适定的，因而都可以确定是否有解。 第21题 证明有线性微分方程有給定的單值群（monodromy group） 此问题的答案取决于问题的表述：部分情况下是肯定的，部分情况下则是否定的。 第22题 将解析关系（analytic relations）以一致化 1904年由和龐加萊取得部分解決。详见单值化定理。第23题變分法的长远发展 开放性问题包括希尔伯特本人、昂利·勒贝格、雅克·阿达马等数学家皆投身于此。理查德·贝尔曼提出的动态规划可作为变分法的替代。

 参阅 

 大卫·希尔伯特
 国际数学家大会
 千禧年大獎難題
 斯梅尔问题

文獻





 Felix E. Browder (editor), Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII (1976), American Mathematical Society. A collection of survey essays by experts devoted to each of the 23 problems emphasizing current developments.



Specific

 外部链接 

 評《希爾伯特的23個數學難題》 
 希尔伯特23个问题及解决情况
 希尔伯特的23个问题 
 希尔伯特的23个问题（简要）

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