立方體

在幾何學中，立方體，是由6個正方形面組成的正多面體，故又稱正六面體、正方體或正立方體。它有12條稜（邊）和8個頂點，是五個柏拉圖立體之一。

立方體是一種特殊的正四棱柱、長方體、三方偏方面體、菱形多面體、平行六面體，就如同正方形是特殊的矩形、菱形、平行四邊形一様。立方體具有，即考克斯特BC3對稱性，施萊夫利符號，，其對偶多面體為正八面體。

 性質 
面的組成：正方形
面的數目：6
邊的數目：12
頂點數目：8
表面積：
體積：
二面角角度：
外接球半徑：
內接球半徑：
對偶多面體：正八面體

在所有表面积一定的长方体中，立方体的体积最大，同样，在所有线性大小（长宽高之和）一定的长方体中，立方体的体积也是最大的。反过来，体积相等的长方体中，立方体拥有最小表面积和线性大小。

 顶点坐标及表面方程 
在三维直角坐标系中，对于以原点为中心的、各棱平行于坐标轴的、棱长为2的立方体，其顶点坐标为

的全排列。其包含了所有满足且且的点。

在中，以点为中心的立方体表面是点的运动轨迹，其中, , 满足：

 几何性质 
立方体有11种不同的展开图，也就是说有11种不同的方法切开空心立方体的7条棱而将其展平为平面图形。
缩略图|右|立方体的11种不同展开图

如果要将立方体涂色而使相邻的面不带有相同的颜色，则至少需要3种颜色（类似于四色问题）。

立方体是唯一能够独立密铺三维欧几里得空间的柏拉图正多面体，因此立方体堆砌也是四维唯一的正堆砌（三维空间中的堆砌拓扑上等价于四维多胞体）。它又是柏拉图立体中唯一一个有偶数边面——正方形面的，因此，它是柏拉图立体中独一无二的环带多面体（它所有相对的面关于立方体中心中心对称）。

将立方体沿对角线切开，能得到6个全等的正4棱柱（但它不是半正的，底面棱长与侧棱长之比为）将其正方形面贴到原来的立方体上，能得到菱形十二面体（两两共面三角形合成一个菱形）。

 正交投影 
我们可以从不同角度将立方体投影到二维平面上，这些投影都各自携带有立方体原本BC3对称性的一部分。
+ 正交投影正对于正方形面顶点考克斯特群B2100pxA2100px投影对称性[4][6]倾斜视角100px100px

 半正对称性与表面涂色 
作为正多面体之一，立方体拥有较高的对称性，它的所有面在几何上都是相同的，不可区分的。可是我们也可以想象将立方体的面“涂上”不同的“颜色”，使它其的不同面拥有不同的“几何意义”，使立方体拥有不同的对称性。在立方体完全的对称性，即正八面体对称性Oh中，立方体的所有面都是相同的。二面体对称性D4h则将立方体描述得像一个正四棱柱，有两个颜色相同的上下底面，其余4个侧面颜色相同。立方体最低的对称性D2h也将立方体描述的像一个棱柱，不过是长方形棱柱，即一个长方体，它的相对的面颜色相同，而相邻的面是不同的。每一种半正对称性都有自己的施莱夫利符号、和。此外，由于其对偶正八面体也可被看作是正三反棱柱，立方体也可被看作是正三反棱柱的对偶，即正三偏方面体。
名称正六面体正四棱柱长方体正三偏方面体施莱夫利符号{4,3}{4}×{}{}×{}×{}3 | 4 24 2 | 22 2 2 |Oh(*432)D4h(*422)D2h(*222)D3d(2*3)对称群阶2416812图像(半正表面涂色)100px(111)100px(112)100px(123)100px(111), (112), (122), 及(222)

 相关多面体及鑲嵌 
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 將立方體的其中四個頂點相連，而這四個頂點任何兩條都沒有落在立方體同一條的邊上，可得到一個正四面體，其邊長為立方體邊長的，其體積為立方體體積的。

150px|right
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 立方體的對偶多面體是正八面體。

當正八面體在立方體之內：
正八面體體積 : 立方體體積
高底面積 邊3

 星形八面體的對角線可組成一個立方體。
 截半立方體：從一條棱斬去另一條棱的中點得出
 截角立方體
 超正方體：立方體在高維度的推廣。更加一般的，立方体是一个大家族，即立方形家族（又称超方形、正测形）的3维成员，它们都具有相似的性质（如二面角都是90°、有类似的超体积公式，即等）。
 長方體、偏方面體的特例。

将立方体后的到的商形成的一个实射影多面体，即立方體半形（hemicube）（不应叫其“半立方体”，因为其易与‘demicube’混淆）。
缩略图|右|Hemi-立方体是立方体2到1的商

正方体的对偶多面体是正八面体，如果原正方体棱长为1，则对偶正八面体棱长为。

正方体是一种最特殊的四边形正六面体：
名称棱长相等？对角相等？各角为直角？立方体是是是菱面体是是否长方体否是是平行六面体否是否四边形正六面体否否否

立方体的8个顶点可以被交错地分为两组，每一组都构成一个完整的正四面体，更严格地说，这是作为超半方形（demicube）的正四面体。这两个正四面体组合到一起，就构成了一个正的复合多面体——星形正八面体（Stella Octagula）。两个正四面体重合的地方构成凸的正八面体。这意味着，正四面体的对称群A3是正方体对称群的子群，对应着能将半立方体变换到自身的对称变换，立方体其余的对称变换能将两个半立方体变换到对方。一个这样的正四面体占据了立方体体积的1/3,立方体剩余的部分是4个全等的、顶角是立方体立体角的正三棱锥，各占立方体体积的1/6。

如果从立方体各棱中点处切掉立方体的角，原先立方体的正方形面将变成其对偶的正方形面，而切掉的顶点处出现了新的正三角形面，这样的操作叫“截半”（rectification），得到的半正多面体叫截半立方体（rectified cube），又叫立方八面体（cuboctahedron）。如果不在棱中点处截断，则这种操作叫“截角”（truncation），正方形面变成了八边形。如果从合适处截断，则可将正方形截成正八边形，得到的半正多面体叫截顶立方体（truncated cube）。如果同时截掉立方体的棱和顶，则这种操作叫“截棱”（centellation），如果从合适处截断，得到·的半正多面体是小斜方截半立方体（rhombicuboctahedron）。

正十二面体有20个顶点，它们可以以不同组合分成由8个顶点组成的5组，这8个顶点两两相连，构成内接在正十二面体内部的立方体，它的棱都是正十二面体的各面的对角线。这五个立方体组合在一起，构成复合多面体——五复合立方体。缩略图|右|正十二面体内部的五复合立方体

如果完全切掉立方体相对的两个顶点，则会得到一个非正的八面体，将8个这样的八面体正三角形面对正三角形面贴到正八面体上，则得到截半立方体。
立方体与所有其它拥有BC3对称性的多面体（如正八面体和立方八面体）构成正八面体家族：

此外，立方体在拓扑上与其它3阶正镶嵌{n,3}相关：

立方体在拓扑上还和其它阶的正方形正镶嵌{4,n}(n≥3)有关：

立方体是正四棱柱：

類別柏拉圖立體卡塔蘭立體種子80px{3,3}80px{4,3}80px{3,4}80px{5,3}80px{3,5}80pxaC80pxaD倒角80pxcT80pxcC80px80pxcD80pxcI80pxcaC80pxcaD

 應用 
 日常生活
 食盐和糖的結晶體都是立方狀。
 骰子最常見的形狀就是立方體。
 1967年世界博覽會的「立方體房間」
 中国国家游泳中心俗称“水立方”
 遊戲
 索馬立方
 -{zh-hans:魔方; zh-tw:魔術方塊; zh-hk:扭計骰;}-
 扭扭骰
 斯洛陶伯－赫拉茨馬立方：以6個1×2×2及3個單位立方組成3×3×3的立方（僅有一個解法）
 康威立方：以3個1×1×3，13個1×2×4，及1×2×2和2×2×2的長方體各一個，組成一個5×5×5的立方（572個解）
 視錯覺
 奈克方塊
 不可能方塊（下圖）
 數論
 立方數
250px

 數學問題 

 倍立方體問題 
參見尺規作圖，已經證明此題無法用無刻度的直尺與圓規去畫出的位置

 最大的橫切面 
立方體的橫切面只有四種：
 三角形
 矩形
 五邊形
 六邊形

其中以正六邊形的面積最大，若立方体的棱长为，则正六边形的面积为。

 參見 
四角柱
超方形
正八面体

 外部連結 

 摺紙立方體 

 Mathematische Basteleien 

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