等角螺线

等角螺线、对数螺线或生长螺线是在自然界常见的螺线，在极坐标系中，这个曲线可以写为

或

因此叫做“对数”螺线。

定理
等角螺线的臂的距离以几何级数递增。
设为穿过原点的任意直线，则与等角螺线的相交的角永远相等（故其名），而此值为。
设为以原点为圆心的任意圆，则与等角螺线的相交的角永远相等，而此值为，名为「倾斜度」
等角螺线是自我相似的；这即是说，等角螺线经放大后可与原图完全相同。
等角螺线的渐屈线和垂足曲线都是等角螺线。
从原点到等角螺线的任意点上的长度有限，但由那点出发沿等角螺线走到原点却需绕原点转无限次。这是由托里拆利发现的。

历史
等角螺线是由笛卡儿在1638年发现的。雅各布·伯努利后来重新研究之。他发现了等角螺线的许多特性，如等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺线。他十分惊叹和欣赏这曲线的特性，故要求死后将之刻在自己的墓碑上，并附词「纵使改变，依然故我」(eadem mutata resurgo)。但雕刻师误将阿基米德螺线（等速螺线）刻了上去。

自然现象
鹦鹉螺的贝壳像等角螺线
菊的种子排列成等角螺线
鹰以等角螺线的方式接近它们的猎物
昆虫以等角螺线的方式接近光源
蜘蛛网的构造与等角螺线相似
旋涡星系的旋臂差不多是等角螺线。银河系的四大旋臂的倾斜度约为 12°。
低氣壓（熱帶氣旋、溫帶氣旋等）的外觀像等角螺线

构造等角螺线
在複平面上定义一个複數，其中，那么连结的曲线就是一条等角螺线。
若是复平面中的一条直线且不平行于实数或虚数轴，那么指数函数会将这些直线映像到以 0 为中心的等角螺线。
使用黄金矩形：
在平面上, 质点围绕原点逐渐离开, 相对于原点的角速度恒定, 且相对于原点的距离以等比例增长, 则其轨迹为等角螺线。这是因为，则有。

参见
双曲螺线
圆内螺线
柯奴螺线
费马螺线
连锁螺线
阿基米德螺线

引用


 Jim Wilson, Equiangular Spiral (or Logarithmic Spiral) and Its Related Curves , University of Georgia (1999)
 Alexander Bogomolny, Spira Mirabilis - Wonderful Spiral , at cut-the-knot

外部链接
Spira mirabilis  等角螺线的历史和数学

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