魏尔施特拉斯逼近定理

斯通—魏爾施特拉斯逼近定理 (Stone-Weierstrass Theorem) 是一個分析學上的定理，其描述了在緊緻豪斯多夫空間上的實數連續函數能夠被較小的函數集逼近的條件。

定義
對於緊緻豪斯多夫空間 以及，我們定義
 是一個代數 (algebra) 如果是一個實數子空間，並且對於所有，。
 分離相異點(separates points)如果對於所有相異，存在使得。
 是一個晶格 (lattice) 如果對於所有，。

敘述
對於緊緻豪斯多夫空間 以及分離相異點的閉子代數，那麼是以下兩個情況之一：

 ；
 存在一個使得。
且(1)若且唯若；(2)若且唯若存在使得對於所有。

注意：由於分離相異點，在(2)的等價(不論哪個方向)中的是唯一的。

證明
引理Ａ：如果將視為一個實數向量空間，且兩向量間乘法定義為，那麼是個代數。且所有子代數只能是以下幾個情況：

 ；
 ；
 的線性生成空間，其中。

證明：顯然，(1), (2)跟(3)都是子代數。如果是一個子代數，那麼因為是一個子空間。那麼如果，對應到(1), (2)。如果，那麼存在一個非零向量使得。那麼因為是一個代數，存在使得。所以 。如果，那麼，對應到(3)中的情況；如果其一非零，則對應到(3)中的情況。引理B：對於豪斯多夫空間和分離相異點的子代數，以及相異點，定義。那麼只能是以下兩個情況：

 對於所有相異。
 存在一組相異。

另外，(2)等價於存在一個使得對於所有，。

注意：由於分離相異點，在(2)的等價(不論哪個方向)中的是唯一的。證明：顯然，對於所有相異是一個子代數。根據引理A，只需要證明對於所有相異不可能是，但這顯然成立，因為分離相異點以及。

接著證明(2)的等價：如果存在一組相異，那麼根據的定義，存在一個使得對於所有，。相反地，如果存在一個使得對於所有，，那麼對於所有相異於的，我們有。引理C：對於任意，存在一個實多項式使得，且對於所有，。證明：令，。那麼根據數學歸納法可以證明：

 對於所有，。
 對於所有，。

因為，得證。引理D：對於緊緻豪斯多夫空間和閉子代數，如果，那麼，且是一個晶格。證明：對於非零函數，令，其中是在上的無窮範數。那麼因為根據引理C，存在一個存在一個實多項式使得，且對於所有，有。因為，所以。因為是任意的，所以。對於任意。引理E：對於緊緻豪斯多夫空間和閉晶格，如果，且對於所有，存在使得，那麼。證明： 給定，對於所有，令。那麼根據條件，對於所有，。於是對於任意，是一個的開覆蓋。因此存在使得。注意到這等價於對所有，存在一個使得。於是，如果令，那麼對於所有且對於所有。令，那麼因為是是一個的開覆蓋。存在使得。令。於是。因為是個閉晶格，。

 定理證明： 
我們宣稱以下等價：

 對於所有相異，，其中如引理B中所述；
 ；
 。

顯然，我們有(3)(2)。假設(2)成立，那麼就不可能是。所以根據引理Ｂ，(1) 成立。假設(1)成立，那麼給定任意以及相異，有，所以存在使得。另外，對於，根據引理B中(2)的等價，存在使得對於。因此，其中。於是，根據引理D以及引理E，。因為是任意的，(3)成立。

類似地，我們宣稱以下等價：

 存在相異，，其中如引理B中所述；
 存在使得對於所有；
 存在使得。

(1)(2)已由引理B給出且(3)(2)顯然。因此，僅須證明(2)(3)。假設(2)成立，那麼顯然有。注意到因為分離相異點，該唯一。 給定且。給定相異，如果，那麼根據引理B (的證明)，，所以存在使得。如果其一為，那麼根據的唯一性，，因此一樣有使得。

給定任意，如果，那麼，其中指零函數。如果，那麼根據的唯一性，存在使得，因此，其中。於是，根據引理D以及引理E，。因為是任意的，(3)成立。

 非緊緻空間 
根據亞歷山德羅夫緊化(Alexandroff's extension)，可以延伸到非緊緻的局部緊緻豪斯多夫空間中，敘述如下：敘述：給定一個非緊緻的局部緊緻豪斯多夫空間以及在在無窮遠處消失(vanishes at infinity)的實連續函數集 (也就是說，對於任意，是一個緊緻集)。如果使一個分離相異點的閉子代數，那麼是以下兩個情況之一：

 ；
 存在一個使得。

 複數域 
在複數域中，包含常數函數的閉子代數 並不會都與相等。不過如果對於共軛映射封閉，那麼有類似的結論：敘述：對於緊緻豪斯多夫空間 以及分離相異點，且對共軛封閉的的閉子代數，那麼是以下兩個情況之一：
 ；
 存在一個使得。

參考資料

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