乘法

乘法是四则运算之一。乘法运算的本质，就是​​“同类累加的简写形式​​”。

例如：

 和  都是本式的因数（或称约数），其運算結果稱為積。

可以唸作「a 乘 b」（“a times b”）或「a 乘以 b」（“a multiplied by b”）。唸作「a 乘 b」时  是乘数， 是被乘数，即“个”。唸作「a 乘以 b」则相反，表示“的倍”。这种双意并非中文或者英文特有。乘数和被乘数的交替并不会影响乘法的结果。

乘法运算亦有其它形象理解：对于整数乘法，可表现为将对象排列成矩形陣列；对于实数乘法，则可解释为计算矩形面积。同样地，运算结果不受边长测量顺序的影响。

在乘法基本概念的基础上，序列乘积、向量乘法、复数及矩阵运算等均对其进行了概念扩展。这些更高级的数学结构会以各自方式影响乘法的基本性质——例如矩阵乘法和某些向量乘法会呈现非交换性，复数乘法则会改变复数的符号。

 引言 
首先，进入正题前，我们不妨来看两个生活中的例子：
买5个单价为3圆的冰激凌：由可得，需要支付15圆。
要搭一个3层高、每层4块积木的小塔：由可得，需要12块积木。
其次，数学和物理存在许多“累加关系”：
已知匀速直线运动状态下，某物体行进速度为  ，所用时间为  ，可得累计距离  ；
已知一个物体的密度为  （假设密度均匀），体积为  ，可得其质-{量}-  ；
......

可见，在数学，尤其是在基本算术中，乘法是​​加法的“快捷版”​​。

 定义 
 基本定义 
乘法运算，指通过特定法则将两个或多个数结合生成积的运算过程。其核心内涵包括：
 同类累加的简写形式：表示将相同值的数进行连续叠加的运算（如  ）
 比例关系的量化表达：当乘数非整数时，可表示为原数的分数（小数）倍（如  表示  的一半， 表示  的三分之一）
 維度扩展的数学工具：在几何学中，用于计算面积（长  宽）、体积（长  宽  高）等空间度量

 符号与表示 

乘法可以用幾種方法表示。以下的式子表示“五乘以二”：





古代常用的方法是將兩個數並排，沒有甚麼特別的符號來表示乘法。

以「」表示乘法，是由奥特雷德于1618年最先引入，也是現在最流行的寫法。在電腦领域，也有為方便鍵盤輸入而以小寫英文字母「x」替代「×」。

以「」表示乘法，如今已成为美国、德國、法國等國家的标准。其最早由托马斯·哈里奥特于1631年出版的著作使用，但令這种用法影响深远的人是萊布尼茲。

因為星號「」是鍵盤必備的符號，電腦常用其表示乘號，这种用法起源于FORTRAN语言。

代数中，为方便书写，乘號常被略去（如  和  ）。但如果變數多於一個字母，则易令人混淆。同时如果只有數字，乘号则不应略去，如  不會表示成  。

累乘则用大写希臘字母 （Pi）表示：


 性质 
乘法运算的数学性质在不同定义和數系下具有多样性，以下是主要分类及详细说明。

 基本运算律 
 交換律：
 結合律：
 分配律：

 单位元、零元与逆元性质 
 乘法單位律：任何数乘以  ，都會等於該數本身，即。此律可扩展至多項式中的常数项。
 零元性质：任何數乘以  ，即是甚麼也沒做過，結果为零，即。同样地，多个因數中若含  ，积必为  。
 逆元性质：非零数  的逆元（亦为其倒数）为  ，满足  。

 特殊数系下的性质 
 实数与复数除法 
 满足交换律、结合律、分配律。
 复数乘法涉及模长和辐角的变化。

 矩阵乘法 
 满足结合律和分配律，但​​不满足交换律，特殊矩阵（如對角矩陣）除外。
 对零矩陣：所有元素为  的矩阵，与任意矩阵相乘结果为零矩阵。

 模运算 
在模  下，乘法逆元存在当且仅当数与  互質（如模质数时所有非零数均有逆元）。

 不同的乘法运算 
两个数的乘法运算或积（这两个数可以是自然数、整数、分数、实数、复数、四元数等）的数学定义，相似而又各有特性。

 自然数乘法 

兩個自然數  ，其乘積为：

這是将该整数自身重复相加若干次的簡写法。换言之：

长远来看，将乘法视为重复加法并不高效。因此，数学家归纳了从  到  的乘法结果，即九九乘法表。

多个自然数相乘时，我们使用括号标明运算顺序。为避免过多括号，规定以下优先级规则：乘法始终优先于加法。例如在表达式  中，应理解为   ，而非  。

當是量，是自然數时，定義乘法递归如下：

 整数乘法 
整数乘法推广自然数乘法至负数，符号规则为：同号得正，异号得负，绝对值相乘。

 分数（小数）乘法 
两个分數  作乘法运算时，分子与分子相乘，分母与分母相乘：

当且仅当  时成立。

两个小数作乘法运算时，可利用乘法交换律的特性进行计算。

例如，计算  乘以  时：


可见，两个小数作乘法运算时，先忽略小數點，计算两数小数点后数字的位数之和，将两数视为整数相乘，最后在结果中从右往左数出与总位数相同的位数，并放置小数点。

又如，计算  乘以  时：
 先计算整数部分相乘：
 再将小数点向左移动  位：（末尾的  可省略，写作 ）

 实数乘法 
实数乘法是前文乘法的推广，性质也相同。其核心在于：每个实数都是某有理数集的上确界。特别地，每个正实数是其无限小数展开式截断序列的上确界，例如  是集合  的上确界。

实数的一个基本性质是：有理逼近与算术运算（特别是乘法）相容。这意味着，若正实数  和  分别表示为集合  和  的上确界（即  ，  ），则两数乘积  等于所有  与  的乘积项的上确界（即  ）。具体而言，两个正实数的乘积等于其十进制展开式逐项积序列的上确界。

对于涉及负实数的乘法运算，可通过符号法则简化处理：正负号的变化将上确界转化为下确界。很多人都通过柯西序列构造实数，因为这种方法无需考虑四种可能的符号组合情况，从而简化了运算规则的推导过程。

 复数乘法 
复数乘法可通过分配律和虚数单位性质  进行运算。具体地，两个复数  与  作乘法运算时，展开过程为：

其中  替换为  后，实部与虚部分别合并。


从几何视角理解，复数可表示为极坐标形式：

此时，复数乘法可转化为模长与辐角的运算：

其几何意义在于模长相乘（  ）、辐角相加（  ）。

 四元数乘法 

 基于集合论的乘法 
非负整数的乘法可通过集合论中的基数概念或皮亚诺公理进行定义。基数理论通过集合的势（即集合元素的数量）定义乘法，例如，两个有限集合的笛卡儿积的势等于各自势的乘积。而皮亚诺公理体系则通过自然数的递归定义实现乘法运算：设非负整数表示为自然数，其乘法可归纳定义为：
 基例​​：对任意非负整数  ，有  ；
 递推规则​​：对任意非负整数  、 ，有  。

此定义通过数学归纳法可证明满足乘法结合律、交换律等基本性质。

对于任意整数的乘法，需在自然数乘法基础上引入符号规则。例如，负整数乘法定义为：若  、 为自然数，则  ，而  。这一扩展保持了乘法运算的代数结构一致性。

有理数乘法则通过分数形式定义：若  与  为最简分数（  、 ），则其乘积为  ，分母通过集合论中的笛卡尔积构造，分子通过自然数乘法定义。此过程需验证运算的封闭性与唯一性，例如通过交叉相乘消去公约数，确保结果仍为最简分数。

实数乘法的定义依赖于有理数乘法的完备性。通过戴德金分割或柯西序列构造实数时，乘法运算被定义为极限运算：若  和  为收敛的有理数序列，则实数乘积定义为  。此定义需满足乘法与极限运算的交换性，并通过  语言严格证明其合理性。

 基于群论的乘法 
在群论中，若一个集合在乘法运算下满足封闭性、结合律、存在单位元且每个元素均有逆元素，则称其构成群结构。这些公理构成了群的定义基础。

以非零有理数集为例，其乘法运算满足群的所有条件：单位元为1（不同于加法群的单位元0），每个非零有理数均存在乘法逆元，且乘法运算封闭（因为两个非零有理数相乘仍为非零有理数）。但需注意的是，零必须被排除，因其乘法逆元不存在。此例中的群为阿贝尔群，但群论中并非所有乘法群均为阿贝尔群。

考虑可逆方阵群：给定域上同维数的可逆矩阵集合，其乘法运算满足封闭性（矩阵相乘仍为同维可逆矩阵）、结合律、单位矩阵作为单位元，且每个矩阵均有逆矩阵。然而，矩阵乘法不满足交换律（如  ），因此该群为非阿贝尔群。

即使排除零元素，整数集在乘法下也不构成群。原因在于除  和  外，其他整数均无乘法逆元。这一特性凸显了乘法群对逆元存在与否的严格要求。

群的乘号通常表示为点乘（）或直接省略不写。在描述群时，点乘符号常用于明确运算，例如非零有理数乘法群可记为（  ）。这种符号体系与加法群（如（  ））形成对比，体现了运算类型的差异。

 运算方法 
 历史上的算法 
迄今为止发现的最早的乘法运算，是可追溯至旧石器时代初期的伊尚戈骨上的刻痕。划痕可能是计数符号，也可能只是为了方便抓握，或有其他非数学的目的。

古埃及人采用连续加倍法进行整数和分數的乘法运算，这一方法在《莱因德数学纸草书》中有详细记载。例如，计算  时，通过将依次加倍三次得到、、，再根据加倍序列中的对应项，得出   。

巴比伦人使用六十進制系统，其乘法运算与现代十进制类似，但因  种组合过多，他们通过制作包含前个基数倍數的乘法表（如  及  ）来简化计算，如  可通过  的组合快速得出。

古希腊人以幾何圖形（如矩形）表示乘法，体现“乘积即面积”的思想。欧几里得更是在《几何原本》中用几何方法证明乘法分配律。

中国古代拥有史上最早、最详细的​​十进制位值制乘法规则，其首见于南北朝时期的孙子算经。孙子乘法的核心，是通过纵横排列的算筹模拟位值运算，如计算  时，先以算筹摆出  和  ，再按“九九表”逐位相乘并累加，终得  。这种算法在9世纪传至中东，13世纪又译成拉丁文而流行于欧洲。至于九九乘法表​​，则在战国时期已成熟应用，其采用“小九九”形式，从“九九八十一”到“一一如一”，比古埃及的累加法效率提升数十倍。

阿拉伯穆斯林于9世纪引入印度數字和位值制，结合阿拉伯语符号形成计算体系，推动乘法运算标准化。而数学家花拉子米在接纳中国的孙子乘法後，在《代数学》中将乘法与方程系统化结合，提出“还原与对消”法，将乘法纳入代数运算框架，影响欧洲数学发展。

印度古代的乘法运算亦有发展。7世纪，数学家婆羅摩笈多提出“交叉相乘法”，即  ，简化多位数乘法步骤。例如计算  时，通过分项相乘再求和，减少重复计算。12世纪，印度文献中出现类似中国古代“铺地锦”的图形化乘法，通过网格线段交叉点计数得出结果，后经阿拉伯传入欧洲。“納皮爾的骨頭”便是借鉴“铺地锦”的灵感产生的。

 现代算法 
现代基于印度-阿拉伯数字系统的乘法，最早同样由婆罗摩笈多系统阐述。他在7世纪著作《婆罗摩修正体系》中完整定义了加、减、乘、除四则运算的规则，其乘法体系包含多种算法，现代竖式乘法即源于此。此算法通过花拉子米的著作《印度数字算术》于9世纪初传入阿拉伯世界，其《代数学》系统整合了印度数字与运算规则。13世纪，意大利数学家斐波那契在《计算之书》中推广此法，最终使印度-阿拉伯数字系统取代罗马数字成为欧洲主流。

由于历史影响，華人小學生现在仍背誦九九乘法表來學習乘法。

关于電腦的特別算法，以及其它现代运算法，详見乘法算法。

 其它算法 

 用手指算乘法 
除了加法，在有限范围内，乘法也可以用手指完成。为此，两个因數需处于同一十位半区，也就是说，两者要么均以  至  结尾，要么均以  至  结尾。

对于因数以  至  结尾的情况：
 首先为手指编号：从小指开始，依次标记为  至拇指为  （其中  表示对应数的十位，如第二位为  时，对应  至  ）；
 对齐两个因数的手指後，数出下方手指总数（包括对齐的手指），将其乘以  ；
 计算左右手下方手指（不包含对齐的手指）的乘积；
 最后，加上常数项  ，结果即为所求。

对于因数以  至  结尾的情况：
 类似地，从小指开始，依次标记为  至拇指为  （其中  表示对应数的十位，如第二位为  时，对应  至  ）；
 对齐两个因数的手指后，数出下方手指总数（包括对齐的手指），将其乘以  （同上）；
 计算左右手上方手指（不包含对齐的手指）的乘积（同上）；
 最后，加上常数项  ，结果即为所求。

以  为例：
 和  均以  至  结尾，而  。对齐手指后，下方手指有  根，乘以  得  ；上方手指分别为  根和  根，积为  ；加法常数项 ，总和为  。

再如  ：
 和  均以  至  结尾，而  。对齐手指后，下方手指有  根，乘以  得到  ；下方手指分别为  根和  根，积为  ；加法常数项  ，总和为  。

此方法尤其适用于快速心算平方数。对于不同十位或十位半区的因数，可通过分解为和的形式（如  ）应用该技巧。其数学原理基于多项式展开：

 尺规作图法 

 从相交弦定理出发的尺规法 
如图1所示，过点  作一直线，分别在  点两侧截取长度为  和  的线段，得点  和  。再从  出发，沿另一方向作射线，截取单位长度  ，得点  。过  、 、 三点作外接圓，该圆与第二条射线的交点  满足相交弦定理：



此法通过构造三角形外接圆，将乘法转化为几何长度的投影关系。

 从割线定理出发的尺规法 
如图2所示，设圆外一点  ，沿同一方向截取长度为  和  的线段，得点  和  。过  作与  成任意角  的射线，在该射线上截取单位长度  ，得点  。作  和  的垂直平分線以确定圆心，过  、  、  三点作外接圆，该圆与射线交于点  。根据割线定理：

通过调整射线角度  ，可利用相似三角形关系将乘积转化为圆外一点到交点的距离。

 从相似三角形出发的尺规法 

如图3所示，在射线  上截取单位长度  和长度  ，得点  和  ，从  出发，沿另一方向截取长度  ，得点  。过  作与  平行的直线，与过  的射线交于点  。由相似三角形关系可得：


此法通过构造平行线与相似三角形，将乘法运算转化为几何比例问题。

 參考 

Category:二元運算
Category:數學表示法
Category:乘法