初等函数

初等函数（基本函數）是由常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、乘方、开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个方程式表示的函数。 

一般来说，分段函数不是初等函数，因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示。

初等函数的全体对算术运算、复合和微分（求导）是封闭的，但对求极限、无穷级数以及积分不封闭。只有刘维尔函数（初等函数及其积分）的全体对积分才是封闭的。

此外，部分初等函数不是整函数，或者在复数域上是多值函数。

 名称来源 
之所以称这些函数为“初等函数”或“基本函数”（法语：fonction élémentaire），需要从微分代数的角度考虑。尽管“初等函数”这个概念最初是由约瑟夫·刘维尔引入的，但目前的通行定义是由约瑟夫·里特给出的：

一个微分域，定义为某一个域再加上一个函数对函数的映射。其中，满足以下条件：

且该域内的任意常数都满足。

在以上定义满足时，一个函数被称为上的初等函数，当且仅当该函数至少满足以下三者之一：

 是上的代数函数；
 是上的指数性函数，意即；
 是上的对数性函数，意即。

常函数

称为常数函数，其中C为常数，它的定义域为。
常函数图像

幂函数

称形如的函数为幂函数，其中C, r为常数。幂函数的定义域与r的值有关，但是不管r取何值，该函数在上总有意义。
600px|几种常见的幂函数图像

指数函数

称形如的函数为指数函数，其中a是常数，且。该函数的定义域为，值域为
200px|指数函数的图像

对数函数

称形如的函数为对数函数，其中且，是指数函数的反函数。该函数定义域为，值域为
300px|各种底数的对数: 红色函数底数是E (数学常数)|e, 绿色函数底数是2，而藍色函数底数是1/2。在数轴上每个刻度是半个单位。所有底数的对数函数都通过点(1,0)，因为任何数的0次幂都是1，而底数 β 的函数通过点(β ,1)，因为任何数的1次幂都是自身1。曲线接近 y 轴但永不触及它，因为x=0的奇异性。

三角函数

正弦函数

称形如的函数为正弦函数，它的定义域为，值域为，最小正周期为。
300px|正弦函数图像
余弦函数

称形如的函数为余弦函数，它的定义域为，值域为，最小正周期为。
300px|余弦函数图像
正切函数

称形如的函数为正切函数，它的定义域为，值域为，最小正周期为。
300px|正切函数图像
余切函数

称形如的函数为余切函数，它的定义域为，值域为，最小正周期为。
300px|余切函数]图像
正割函数

称形如的函数为正割函数，它的定义域为，值域为，最小正周期为。
300px|正割函数图像

余割函数

称形如的函数为余割函数，它的定义域为，值域为，最小正周期为。
300px|余割函数图像

反三角函数

其它常见初等函数

双曲函数
双曲正弦函数：
双曲余弦函数：
双曲正切函数：
反双曲函数
反双曲正弦函数：
反双曲余弦函数：

 扩展阅读 

 Davenport, J. H.: What Might "Understand a Function" Mean. In: Kauers, M.; Kerber, M., Miner, R.;  Windsteiger, W.: Towards Mechanized Mathematical Assistants. Springer, Berlin/Heidelberg 2007, p. 55-65. 

 外部链接 
 Elementary functions at Encyclopaedia of Mathematics


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