單位元

單位元（unit element）也称恒等元（identity element）、中立元（neutral element）、恒元，是集合裏的一種特殊元素，與該集合裏的二元運算有關。單位元和其他元素結合時，並不會改變那些元素。單位元在群和其他相關概念中都有使用。

設為一帶有一二元運算的集合（稱為原群）。若內有一元素對S內所有元素a满足，則被稱為左單位元；若满足，则稱為右單位元。而若同時為左單位元及右單位元，則稱為雙邊單位元，又簡稱為單位元。

對應加法的單位元稱為加法單位元（通常被標為0），而對應乘法的單位元則稱為乘法單位元（通常被標為1）。這一區分大多被用在有兩個二元運算的集合上，比如環。

 例子 
{| class="wikitable"
|-
!集合!!運算!!單位元
|-
|實數||+（加法）||0
|-
|實數||·（乘法）||1
|-
|實數||（乘方）||1（只為右單位元）
|-
|複數||+（加法）||0
|-
|複數||·（乘法）||1
|-
|矩陣|| +（加法）||零矩陣
|-
|方陣|| ·（乘法）||單位矩陣
|-
|所有從集合M映射至其自身的函數||（函數複合）||單位函數
|-
|所有從集合M映射至其自身的函數||（摺積）||（狄拉克δ函數）
|-
|字串|| 串接 || 空字元串
|-
|擴展的實數軸 || 最大值 ||
|-
|擴展的實數軸 || 最小值 ||
|-
|集合M的子集 ||（交集） ||M
|-
|集合 ||（聯集） ||（空集）
|-
|布爾邏輯 ||（邏輯與） || ⊤（真值）
|-
|布爾邏輯 ||（邏輯或） || ⊥（假值）
|-
|閉二維流形 || #（連通和） ||
|-
|只兩個元素||* 定義為且||和都是左單位元，但不存在右單位元和雙邊單位元
|}

如最後一個例子所示，有多個左單位元是可能的，且事實上，每一個元素都可以是左單位元。同樣地，右單位元也一樣。但若同時存在有右單位元和左單位元，則它們會相同，且仅存在一個雙邊單位元。要證明這個，設為左單位元且為右單位元，則。特別的，不存在兩個以上的單位元。若有兩個單位元和，則必同時等於和。

一個代數也可能沒有單位元。最常见的例子為向量的內積和外積。前者缺乏單位元的原因在於，相乘的兩個元素都會是向量，但乘積卻會是個純量。而外積缺乏單位元的原因則在於，任一非零外積的方向必和相乘的兩個向量相正交，因此不可能得出一個和原向量指向同方向的外積向量。

 参考 

 另見 
 逆元素
 加法逆元
 -{zh-cn:幺半群; zh-tw:么半群;}-
 單作
 擬群

Category:1

fa:عمل دوتایی#عضو خنثی