乘积法则

乘积法则（），也称積定則、莱布尼兹法则，是数学中关于两个函数的积的導數的一个计算法则。

若已知两个可導函数及其导数，则它们的积的导数为：

這個法則可衍生出积分的分部積分法。

莱布尼兹的发现

人們將這個法則的發現歸功於莱布尼兹，以下是他的論述：设和为的两个可导函数。那么，的微分是：



由于的，因此有：

两边除以，便得：

若用拉格朗日符號來表達，則等式記為

例子

假设我们要求出的导数。利用乘积法则，可得（这是因为的导数是，的导数是）。
乘积法则的一个特例，是“常数因子法则”，也就是：如果是实数，是可微函数，那么也是可微的，其导数为。
乘积法则可以用来推出分部积分法和除法定则。

证明一：利用面积

假设

且和在x点可导。那么：

现在，以下的差

是图中大矩形的面积减去小矩形的面积。
这个区域可以分割为两个矩形，它们面积的和为：

因此，(1)的表达式等于：

如果(5)式中的四个极限都存在，则(4)的表达式等于：

现在：

因为当时，不变；

因为在x点可导；

因为在x点可导；以及

因为在x点连续（可导的函数一定连续）。

现在可以得出结论，(5)的表达式等于：

证明二：使用对数
设，并假设和是正数。那么：

两边求导，得：

把等式的左边乘以，右边乘以，即得：

证明三：使用导数的定义

设 

且和在x点可导。那么：

.

推廣
 若有个函数，则：



 （萊布尼茲法則）若均為可導次的函數，則的次導數為：



其中是二項式係數。

应用

乘积法则的一个应用是证明以下公式：

其中是一个正整数（该公式即使当不是正整数时也是成立的，但证明需要用到其它方法）。我们用数学归纳法来证明这个公式。如果，

假设公式对于某个特定的成立，那么对于，我们有：

因此公式对于也成立。

参见
 除法定则
 倒数定则
 鏈式法則
 分部积分法

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