有限域

在数学中，有限域（）或伽罗瓦域（，为纪念埃瓦里斯特·伽罗瓦命名）是包含有限个元素的域。与其他域一样，有限域是进行加减乘除运算都有定义并且满足特定规则的集合。有限域最常见的例子是当  为素数时，整数对  取模。

有限域的元素个数称为它的阶。

有限域在许多数学和计算机科学领域的基础，包括数论、代数几何、伽羅瓦理論、有限幾何學、密码学和编码理论。

定理 

 有限域的阶（有限域中元素的个数）是一个素数的幂。
 对于每个素数p和每个正整数n在同构的意义下存在惟一的阶的有限域，并且所有元素都是方程  的根，该域的特征为p。
 有限域的乘法群是循环群。即若F是有限體，则存在使得。
 有限域是完美域，即它的任何代数扩张一定是可分扩张。
 有限域的有限扩张一定是伽罗瓦扩张，并且对应的伽罗瓦群是循环群。

存在性與唯一性
設  為質數冪，  為多項式

於質數域  上的分裂域。換言之，  是最低階的有限域，使得  在  內有  個互異的根（注意  的為  ，因此  無重根）。

利用二項式定理，可證恆等式

在特徵為  的域上成立（中一新生之夢）。此恆等式說明  任兩根之和或積仍為  的根。同時，  的根的乘法逆元仍是根，因此  的根構成一個  階的域。由  的最小性，可知此域即為 。

由於分裂域在同構意義下唯一，  階域也在同構意義下唯一（已證其為  的分裂域）。而且，若域  有一個階為  的子域，則其元素恰為  的  個根，所以  不能包含另一個階為  的子域。

E·H·摩爾於 1893 年證明了以下的分類定理，可作為本節的總結：

有限域的階為質數冪。對任意一個質數冪  都存在  階的域，並且任意兩個    階的域都同構。該些域中，任意的元素  都滿足

且多項式  可分解成 

由此可知， 有同構於  的子域當且僅當  整除 ；該情況下，僅有唯一的子域與  同構。多項式  整除  也是當且僅當  整除 

弗羅貝尼烏斯自同構和伽羅瓦理論

設  為質數，  為質數冪。

在  中，恆等式  說明映射

是  上 -線性的域自同構，其保持子域  的元素。該映射稱為弗罗贝尼乌斯自同構，得名於费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯。

記  為  的  次疊代，則

此前已證明  為恆同映射。若 , 則自同構  並非恆同映射，否則多項式

就有多於  個根，矛盾。

此外  並無其他 -自同構。換言之， 恰有  個 -自同構，其為 

以伽羅瓦理論觀之，  是  的伽羅瓦擴展，且其伽羅瓦群為循環群。

弗羅貝尼烏斯映射為滿射，因此任意一個有限域都是。

 一些小型的有限域 
F2:

+01001110·01000101

F3:

+012001211202201·012000010122021

F4: 考虑 方程的根不在F2中。記其中一根為A, 則且另一根為

+01AB001AB110BAAAB01BBA10·01AB00000101ABA0AB1B0B1A

 参考文献 

《近世代数》

 参见 
 域论

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