秩 (线性代数)

在线性代数中，一个矩阵  的列秩是列向量生成的最大线性无关组的向量个数。类似地，行秩是矩阵 的线性无关的横行的个数。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵  的秩（）。通常表示为  ， 或。

 可替代定义 
 用-{行列式}-定义 
设  为  矩阵。若  至少有一个  阶非零子式，而其所有  阶子式全为零，即矩阵的最高阶非零子式的阶数为r。则称  为  的秩。

 用向量组的秩定义 
对于  维线性空间  中的一个向量组 ，若 
 中的  个向量线性无关，且若 ，， 中  个向量都线性相关，则称  为  的极大线性无关组， 为  的秩。可以证明  的秩等于向量组  生成的子空间的维数。
矩阵  的列秩定义为  的列向量组的秩，也即矩阵的列空间的维数。类似地，矩阵的行秩定义为  的行向量组的秩，即矩阵的行空间的维数。

 用线性映射定义 
考虑线性映射：



对于每个矩阵 ， 都是一个线性映射，同时，对每个  的
线性映射 ，都存在矩阵 使得 。也就是说，映射

是一个同构映射。所以一个矩阵  的秩还可定义为  的像的维度（像与核的讨论参见线性映射）。矩阵  称为  的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为  的核的维度；秩-零化度定理證明它等于  的像的维度。

 行秩列秩相等性
矩阵的行秩与列秩相等，是线性代数基本定理的重要组成部分。其基本证明思路是，矩阵可以看作线性映射的变换矩阵，列秩为像空间的维度，行秩为非零原像空间的维度，因此列秩与行秩相等，即像空间的维度与非零原像空间的维度相等（这里的非零原像空间是指约去了零空间后的商空间：原像空间）。这从矩阵的奇异值分解就可以看出来。

给出这一结果的两种证明。第一个证明是简短的，仅用到向量的线性组合的基本性质。第二个证明利用了正交性Mackiw, G. (1995). A Note on the Equality of the Column and Row Rank of a Matrix. Mathematics Magazine, Vol. 68, No. 4。第一个证明利用了列空间的基, 第二个证明利用了行向量空间的基。第一个证明适用于定义在标量域上的矩阵，第二个证明适用于内积空间。二者都适用于实或复的欧氏空间，也都易于修改去证明当A是线性变换的情形。

证明一
令  是一个  的矩阵，其列秩为  . 因此矩阵  的列空间的维度是  . 令  是  的列空间的一组基，构成  矩阵 的列向量 ，并使得  的每个列向量是 的 个列向量的线性组合. 由矩阵乘法的定义，存在一个  矩阵 , 使得 . ( 的  元素是  与  的第  个行向量的点积.)

现在，由于 ,  的每个行向量是  的行向量的线性组合，这意味着  的行向量空间被包含于  的行向量空间之中. 因此  的行秩 ≤ 的行秩. 但仅有行, 所以的行秩 ≤  = 的列秩. 这就证明了的行秩 ≤ 的列秩. 

把上述证明过程中的“行”与“列”交换，利用对偶性质同样可证的列秩 ≤ 的行秩。更简单的方法是考虑的转置矩阵，则的列秩 = 的行秩 ≤ 的列秩 = 的行秩. 这证明了的列秩等于的行秩. 证毕.

证明二 
令是矩阵，其行秩是. 因此的行向量空间的维度是，设是的行向量空间的一组基. 如果把这组基当作原像列向量看待，则向量集是线性独立的。 这是因为对一组标量系数，如果:

其中. 则可以推出有两个事实: (a) 是行向量空间的线性组合, 即属于的行向量空间；(b) 由于 = 0,  正交于的所有行向量，从而正交于的行向量空间的所有向量. 事实(a)与(b)结合起来，则正交于自身，这意味着 = 0. 由的定义:

再由是的行向量空间的一组线性独立的基，可知. 因而是线性独立的.

是的列空间中的向量. 因此是的列空间中个线性独立的向量. 所以的列向量空间的维数(的列秩)必然不小于. 这证明了的行秩r ≤ 的列秩. 把这一结果应用于的转置矩阵可以得到: 的列秩 = 的行秩 ≤ 列秩 = 的行秩. 这证明了的列秩等于的行秩，证毕.

最后, 还可以证明rk(A) = rk(A*), 其中A*是A的共轭转置或称施密特转置. 当A的元素都是实数, 这一结果变为rk(A) = rk(AT). 然而对于复系数矩阵，rk(A) = rk(A*)并不等价于行秩等于列秩, 需要用到上述两个证明. 

证明三 
令A是一个m×n矩阵. 定义rk(A)为A的列秩，A*为A的共轭转置或称施密特转置. 首先可知A*Ax = 0当且仅当Ax = 0.  
 A*Ax = 0 ⇒ x*A*Ax = 0 ⇒ (Ax)*(Ax) = 0  ⇒ ‖Ax‖2 = 0 ⇒ Ax = 0,
其中‖·‖是欧氏范数. 这说明A的零空间与A*A的零空间相同. 由秩－零化度定理, 可得rk(A) = rk(A*A). A*A的每一个列向量是A*的列向量的线性组合. 所以A*A的列空间是A*的列空间的子空间. 从而rk(A*A) ≤ rk(A*). 即: rk(A) = rk(A*A) ≤ rk(A*). 应用这一结果于A*可获得不等式: 由于(A*)* = A, 可写作rk(A*) ≤ rk((A*)*) = rk(A). 这证明了rk(A) = rk(A*). 证毕.

 性质 
我们假定A是在域F上的m × n矩阵并描述了上述线性映射。

 m × n矩阵的秩不大于m且不大于n的一个非负整数，表示為 rk(A) ≤ min(m, n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。
 只有零矩阵有秩0
 A的秩最大为min(m,n)
 f是单射，当且仅当A有秩n（在这种情况下，我们称A有“列满秩”）。
 f是满射，当且仅当A有秩m（在这种情况下，我们称A有“行满秩”）。
 在方块矩阵A (就是m = n)的情况下，则A是可逆的，当且仅当A有秩n（也就是A有满秩）。
 如果B是任何n × k矩阵，则AB的秩最大为A的秩和B的秩的小者。即：

推广到若干个矩阵的情况，就是：

证明：
考虑矩阵的秩的线性映射的定义，令A、B对应的线性映射分别为f和g，则AB表示复合映射f·g，它的象Im f·g是g的像Im g在映射f作用下的象。然而Im g是整个空间的一部分，因此它在映射f作用下的象也是整个空间在映射f作用下的象的一部分。也就是说映射Im f·g是Im f的一部分。对矩阵就是：秩（AB）≤秩（A）。
对于另一个不等式：秩（AB）≤秩（B），考虑Im g的一组基：（e1，e2，...，en），容易证明（f(e1)，f(e2)，...，f(en)）生成了空间Im f·g，于是Im f·g的维度小于等于Im g的维度。对矩阵就是：秩（AB）≤秩（B）。
因此有：秩（AB）≤min(秩（A），秩（B））。若干个矩阵的情况证明类似。
作为"<"情况的一个例子，考虑积

两个因子都有秩1，而这个积有秩0。
可以看出，等号成立当且仅当其中一个矩阵（比如说A）对应的线性映射不减少空间的维度，即是单射，这时A是满秩的。于是有以下性质：
 如果B是秩n的n × k矩阵，则

 如果C是秩m的l × m矩阵，则

 A的秩等于r，当且仅当存在一个可逆m × m矩阵X和一个可逆的n × n矩阵Y使得

这裡的Ir指示r × r 单位矩阵。
证明可以通过高斯消去法构造性地给出。
 西尔维斯特不等式: 如果 A 是一个 m × n 的矩阵且 B 是 n × k 的, 则

这是下一个不等式的特例.
 这个不等式是由Frobenius提出的: 如果 AB, ABC 和 BC 有定义, 则

 子加性：当矩阵和的形状相同时，有 . 因此，一个秩为k的矩阵能够表示成k个秩为1的矩阵的加和，但不能是k-1个或更少。
 矩阵的秩加上矩阵的零化度等于矩阵的纵列数（这就是秩-零化度定理）。
 如果 A 是实数上的矩阵，那么 A 的秩和它对应格拉姆矩阵的秩相等。于是，对于实矩阵
.
该性质可以通过它们的零空间证明. 格拉姆矩阵的零空间由所有满足 的向量组成。如果上式成立, 那么下式也成立： ，于是，，即与的零空间相同.
 如果 A 是复数上的矩阵且 A* 表示 A 的共轭转置(i.e., A 的伴随), 则

 向量组的线性相关性 
将个维列向量排列成的矩阵A，这个对应矩阵的秩即为原向量组的秩。

原向量组线性相关的充分必要条件为：

如果

则向量组线性无关。另外，不存在

特殊的，若向量的个数大于向量的维数，则根据：

这个向量组必然线性相关。

 计算 
计算矩阵A的秩的最容易的方式是高斯消去法，即利用矩阵的初等变换生成一个行阶梯形矩阵，由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，因此A的行阶梯形矩阵有同A一样的秩。经过初等变换的矩阵的非零行的数目就是原矩阵的秩。

例如考虑4 × 4矩阵

我们看到第2纵列是第1纵列的两倍，而第4纵列等于第1和第3纵列的总和。第1和第3纵列是线性无关的，所以A的秩是2。这可以用高斯算法验证。它生成下列A的行阶梯形矩阵:

它有两个非零的横行。

在应用在计算机上的浮点数的时候，基本高斯消去（LU分解）可能是不稳定的，应当使用秩启示（revealing）分解。一个有效的替代者是奇异值分解（SVD），但还有更少代价的选择，比如有支点（pivoting）的QR分解，它也比高斯消去在数值上更强壮。秩的数值判定要求对一个值比如来自SVD的一个奇异值是否为零的依据，实际选择依赖于矩阵和应用二者。

 应用 
计算矩阵的秩的一个有用应用是计算线性方程组解的数目。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则该方程组有解。在这种情况下，如果它的秩等于方程的数目那么该方程组有唯一的一个精确解。如果增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩，则方程组是不一致（Inconsistent）的。

在控制论中，矩阵的秩可以用来确定线性系统是否为可控制的，或可观察的。

 註解 

 参考文献 

 Horn, Roger A. and Johnson, Charles R. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1985. ISBN 978-0-521-38632-6.
 Kaw, Autar K. Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra: 1. Vectors  and System of Equations 

 参见 
 向量组的秩

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