罗素悖论

罗素悖论（），是英國哲學家伯特兰·罗素於1901年提出的悖论，是一个关于类的内涵问题。

罗素悖论有一些更为通俗的描述，如理发师悖论、书目悖论。但理髮師悖論被一些人認為只是罗素悖论的一種描述方式，僅以理髮師悖論並無法完全敘述羅素悖論。罗素悖论在类的理论中通过内涵公理而得到解决。

定义
设，那么。

我们通常希望，任给一个性質（例如「年滿三十歲」就是一個性質），满足该性質的所有集合總可以组成一个集合。但这样的企图将导致悖论。

设有一性質，並以一性質函数表示，且其中的自變量具有特性。现假设由性质能夠确定一个滿足性質的集合——也就是说 
。那么，是否成立？

首先，若，则是的元素，那么具有性质，由性質函数可以得知；

其次，若，根據定義，是由所有滿足性質的類組成，也就是说，具有性质，所以。

通俗诠释
理发师悖论

書目悖論
书目悖论（）是另一种罗素悖论的通俗解释。其内容为，假设有一图书馆编制了一部书目，有且仅有列出那些未列出自身的书目，那么这部书目会列出自身吗？

解决方案
当一个句子、想法或公式引用自身时，就会出现自指。直到现在，真正意义上的悖论，其问题几乎都是自指或自相关而引起。尽管陈述可以是自指并且不自相矛盾（例如“这一陈述是用中文写的”就是一真实且非自相矛盾的带有自指的陈述），但自指是悖论的一个常见要素。根據路德維希·維根斯坦的《邏輯哲學論》，任何命題不能包含自身，同理一個函數不能包含自身。

罗素悖论中，在逻辑上它们都有无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。因此，罗素提出了，禁止使用包含被定义对象本身的的集合来定义该对象。逻辑系统中，如果要求任何命题不能违反恶性循环原则，则可以避免类似罗素悖论等自指性悖论。

参考资料

参见
自指
理发师悖论
类的理论

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