有序对

在数学中，有序对是两个对象的搜集，使得可以区分出其中一个是“第一个元素”而另一个是“第二个元素”（第一个元素和第二个元素也叫做左投影和右投影）。带有第一个元素和第二个元素的有序对通常写为。

符号也表示在实数轴上的开区间；在有歧义的场合可使用符号。

 一般性 

设和是两个有序对。则有序对的特征或定义性质为：

有序对可以有其他有序对作为投影。所以有序对使得能够递归定义有序n-元组（n项的列表）。例如，有序三元组可以定义为，一个对嵌入了另一个对。这种方法也反映在计算机编程语言中，就是从嵌套的有序对构造元素的列表。例如，列表 (1 2 3 4 5)变成了(1, (2, (3, (4, (5, {} )))))。Lisp编程语言使用这种列表作为基本数据结构。

有序对的概念对于定义笛卡尔积和关系是至关重要的。

 有序对的集合论定义 

诺伯特·维纳在1914年提议了有序对的第一个集合论定义：

他注意到这个定义将允许《数学原理》中所有类型只透過集合便能表达。（在《数学原理》中，所有元数的关系都是原始概念。）

 标准Kuratowski定义 
在公理化集合论中，有序对(a,b)通常定义为库拉托夫斯基对：

陈述“是有序对的第一个元素”可以公式化为

而陳述“是的第二个元素”为


注意这个定义对于有序对仍是有效的；在这种情况下陈述（）顯然是真的，因为不会有的情况。

 变体定义 
上述有序对的定义是“充足”的，在它满足有序对必须有的特征性质（也就是：如果则且）的意义上，但也是任意性的，因为有很多其他定义也是不更加复杂并且也是充足的。例如下列可能的定义




“逆”（reverse）对基本不使用，因为它比通用的Kuratowski对没有明显的优点（或缺点）。“短”（short）对有一個缺點，它的特征性质的证明會比Kuratowski对的证明更加复杂（要使用正规公理）；此外，因为在集合论中数2有时定义为集合，这将意味着2是对。

 证明有序对的特征性质 
Kuratowski对：
证明：当且仅当且。

僅當：
如果，则，且。所以，或。

如果，则。

如果，则或。但這樣就會等於，繼而，跟先前的假設矛盾。

如果，则，这矛盾于。所以，即，且。

并且如果，则。所以。

所以同樣有且。

當：
反过来，如果并且，则顯然。所以。

逆对：
。

如果，则。所以且。

反过来，如果和，则顯然。所以。

 Quine-Rosser定义 
Rosser（1953年）J. Barkley Rosser, 1953. Logic for Mathematicians. McGraw-Hill.扩展了蒯因的有序对定义。Quine-Rosser的定义要求自然数的先决定义。设是自然数的集合，是在內的相對差集，並定義：

包含在中所有自然数的后继，和中的所有非数成员。特别是，不包含数0，所以对于任何集合和，。

以下是有序对的定义：

提取这个对中那些不包含0的所有元素，然後再還原的作用，就得出了。类似的，可以通过提取这个对的包含0的所有元素来復原。

有序对的这个定义有个显著的优点。在类型论和从类型论派生出的集合论如新基础中，这个对与它的投影有相同的类型（所以术语叫做“类型齐平”有序对）。因此一個函数（定义为有序对的集合），有只比序對的投影的类型高1的类型。对蒯因集合论中有序对的广泛的讨论请参见Holmes (1998)。Holmes, Randall (1998)  Elementary Set Theory with a Universal Set . Academia-Bruylant. The publisher has graciously consented to permit diffusion of this monograph via the web. Copyright is reserved.

 Morse定义 
Morse（1965年）Morse, Anthony P., 1965. A Theory of Sets. Academic Press提出的Morse-Kelley集合论可以自由的使用真类。Morse定义有序对的方法，使得它的投影可以是真类或者集合。（Kuratowski定义不允许这样）。它首先像Kuratowski的方式那樣，定义投影为集合的有序对。接着，他重定义对 (x,y)为 

这里的笛卡尔积是指由Kuratowski对組成的集合並且

這便允許了定義以真類為投影的有序對。

 参考文献 

 参见 
 笛卡儿积
 二元关系

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