海伦公式

-{zh-cn:海伦公式;zh-hk:希羅公式;zh-tw:海龍公式}-（），又譯希罗公式。由古希臘數學家亞歷山大港的希羅發現，並在其於公元60年所著的《Metrica》中載有數學證明，原理是利用三角形的三條邊長求取三角形面積。亦有認為更早的阿基米德已經了解這條公式，因为《Metrica》是一部古代數學知識的結集，该公式的發現時間很有可能先於希羅的著作。

假設有一個三角形，邊長分別為，三角形的面積可由以下公式求得：

，其中

中国南宋末年數學家秦九韶发现或知道等價的公式，其著作《數書九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂併大斜幂，減中斜幂，餘半之，自乘於上；以小斜幂乘大斜幂，減上，餘四約之，爲實，一為從隅，開平方，得積。”若以大斜记为，中斜记为，小斜记为，秦九韶的方法相当于下面的一般公式：

，其中

像其他中國古代的數學家一样，他的方法沒有证明。根據现代數學家吴文俊的研究，秦九韶公式可由出入相補原理得出。

由於任何边的多邊形都可以分割成个三角形，所以海伦公式可以用作求多邊形面積的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

 证明 

 利用三角公式和代数式变形来证明 

与希羅在他的著作《Metrica》中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边的对角分别为，则余弦定理为

利用和平方、差平方、-{平方差}-等公式，从而有

 利用勾股定理和代数式变形来证明 


缩略图|330x330像素

 用旁心來證明 
設中，。

為內心，為三旁切圓。

四點共圓，並設此圓為圓。
 過做鉛直線交於，再延長，使之與圓交於點。再過做鉛直線交於點。
 先證明為矩形：，又(圓周角相等)。為矩形。因此，。
 內切圓半徑，旁切圓半徑。且易知。由圓冪性質得到：。故

 其他形式 
海倫公式可改寫成以幂和表示：

將海倫公式略為變形，知

多次使用平方-{}-差公式，得

等號兩邊開根號，再同除以4，得

 註釋 

 資料來源 

 參見 
 婆罗摩笈多公式：海倫公式對圆内接四边形的推廣。

 外部連結 
 海龍公式 1
 海龍公式 2

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