有理数

在数学中，有理数（）的定义是：可以表示为两个整数比的数；此处的整数比写为分数形式 , 。例如：0.375 可以表示为 ，因此 0.375 是有理数，当然  本身也是有理数。

按上述有理数定义，可知整数和整数分数统称有理数；而与有理数相對的是无理数，不是有理數的實數遂稱為無理數；例如 无法用整数比表示，因此  是无理数。

並非所有以分數表示的數字皆為有理數，例如  並不是有理數，其不符合可表示为整数比的定义。

所有有理数構成的集合常寫作  或 ，其定义為：

有理数寫作小数時，其小数部分为有限或为循环。

 词源 
有理数在英文中称作rational number，来自拉丁语rationalis，意为理性的；词根ratio，拉丁语意为理性、计算。代表“比例”的英文ratio一词在历史上出现得要比有理数（rational number）一词更晚，前者最早有记录是1660，而后者是1570年。 Entry ratio, n., sense 2.a. Entry rational, a. (adv.) and n.1, sense 5.a.

 运算 
有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的（其中除法的除數不能為 0），亦即有理數加、减、乘、除有理數的結果仍為有理數。有理数的加法和乘法如下：

两个有理数  和  相等的充要條件為 。

有理数中存在加法反元素與乘法反元素（除了 0 以外，0 不具乘法反元素）：
时，
两数相乘，同号得正异号得负，并把绝对值相乘。

 古埃及分数 

古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如：

对于给定的正有理数，存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。

 形式构建 
数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上的等价类，这里不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法，规则如下：



为了使，定义等价关系如下：


这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的，而且可以将Q定义为整数有序对关于等价关系~的商集：。例如：两个对和是相同的，如果它们满足上述等式。（这种构建可用于任何整数环，参见商域。）

 定義大小 
Q上的大小可以定义为：
 当且仅当下列任一條件成立：
 并且
 并且

然後是指但。亦可在“小于”概念之上引入“大于”的概念，即：当且仅当。此排序中，每一对有理数之间皆可比較，必有且仅有以下关系之一：
，，。
又滿足传递性：若，且，则。所以以上定義的大小關係是全序关系。

有理數集的序還滿足：若，则必存在有理数，满足，且。

 性质 
集合，以及上述的加法和乘法运算，构成域，即整数的商域。

有理数是特征为0的域最小的一个：所有其他特征为0的域都包含的一个拷贝（即存在一个从到其中的同构映射）。

的代数闭包，例如有理数多项式的根的域，是代数数域。

所有有理数的集合是可数的，亦即是說的基數（或勢）與自然數集合相同，都是阿列夫數，這是因為可以定義一個從有理數集映至自然數集合的笛卡爾積的單射函數，而是可數集合之故。因为所有实数的集合是不可数的，所以从勒贝格测度来看，可以认为绝大多数实数不是有理数。

有理数的序是个：任何两个有理数之间存在另一个有理数，事实上是存在无穷多个。此外，有理數集也沒有最大和最小元素，所以是無端點的可數稠密全序（）。說明，任何無端點的可數稠密全序必定序同構於有理數的序，換言之，若不辨同構之異，則有理數的大小序是唯一具此性質的序結構。

 实数 
有理数是实数的稠密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，僅有理数可化為有限连分数。

依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量，有理数构成一个度量空间，这是上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间；实数是的完备集。

 p进数 
除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将转化到拓扑域：

设是素数，对任何非零整数设，这里是整除的的最高次幂；

另外。对任何有理数，设。

则在上定义了一个度量。

度量空间不完备，它的完备集是p进数域。

 参见 
 浮点数
 尼云定理

参考文献

Category:實數
Category:分數
Category:初等数学
Category:有理数