全序关系

全序关系，也称为线性顺序（）即集合上的反对称的、传递的和完全的二元关系（一般称其为）。

若满足全序关系，则下列陈述对于中的所有和成立：

 反对称性：若且则
 传递性：若且则
 完全性：或

满足全序关系的集合叫做全序集合、线性序集合、简单序集合或链。
链还常用来描述偏序集合的全序子集。

全序关系的完全性可以如下这样描述：集合中的任何一对元素都是可相互比较的。

注意完全性条件蕴涵了自反性：，因此全序关系也是（满足“完全性”条件的）偏序关系。

严格全序
对于每一（非严格）全序关系≤都有一关联的非对称的严格全序关系<，它可以用以下两种等价的方式定义：
当且仅当且
当且仅当（即为的逆补关系）

性质：
传递性：且蕴涵。
-{zh-cn:三分性; zh-tw:三一性;}-：, 和中有且仅有一个成立。
弱序性：其中关联的等价是相等的。

我们可以通过指定为三分二元关系，用这两种等阶的方式来定义全序：
当且仅当或
当且仅当

另两个关联的关系是补关系和，它们构成了四元组。

我们可以用这四个关系中的任何一个来定义全序集，符号指明了全序集的严格性。

例子
 字典序的字母表，比如等等。
 全序集的任何保持原次序不变的子集。
 满足完全性的偏序集。
 基数或序数集（严格地说，它们都是良序集）。
 若为任何集合，为到一全序集的单射，则诱导为当且仅当的全序集。
 有序数的全序集的直积的字典序是全序的，例如按字典序排序的任何单词表——长为的单词可视为字母表集合的直积自乘次所得结果集合中的元素。
 拥有小于（）和大于关系（）的实数集是全序的，因此其子集（自然数集、整数集、有理数集等）均为全序集。
自然数集是最小的无上界全序集。
整数集是最小的无界全序集。
有理数集是最小的无界稠密全序集。
实数集是最小的无界连通全序集。

 参见 
 二元关系
 偏序关系

 引用 
 George Grätzer (1971). Lattice theory: first concepts and distributive lattices. W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-0442-0 
 John G. Hocking and Gail S. Young (1961). Topology. Corrected reprint, Dover, 1988.  ISBN 0-486-65676-4

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Category:数学关系