梅森素数

梅森数是形如  的数（ 是正整數），记为；如果梅森数是素数就称梅森素数（）。
+ 梅森预测表：n≤263P : M是梅森素数— : M是梅森合数青色：显示正确粉紅色：显示错误 n 2  3  5  7  11  13  17  19 M P  P  P  P  —  P  P  P n 23  29  31  37  41  43  47  53 M —  —  P  —  —  —  —  — n 59  61  67  71  73  79  83  89 M —  P  —  —  —  —  —  P n 97  101  103  107  109  113  127  131 M —  —  —  P  —  —  P  — n 137  139  149  151  157  163  167  173 M —  —  —  —  —  —  —  — n 179  181  191  193  197  199  211  223 M —  —  —  —  —  —  —  — n 227  229  233  239  241  251  257  263 M —  —  —  —  —  —  —  —
梅森数是根据17世纪法国数学家马兰·梅森的名字命名，他列出了  的梅森素数，不过他错误包括了不是梅森素数的 和 ，而遗漏了 、和 。

 为合数时，一定为合数（當  整除  時，一定整除，反之亦然）。但  为素数时，不一定皆為素数，如  和  是素数，但  不是素数。

截至2024年10月已知52个梅森素数，最大的是2136279841－1。从1997年至今，所有新的梅森素数都由互联网梅森素数大搜索（GIMPS）分布式计算项目发现。

 相关命题和定理 

 梅森数和梅森素数的性质 

。
如果为素数。则是素数的充分必要条件是 ，因此對於這些素數（除了3），不可能會是質數，前幾個這樣的素數為11、23、83、131、179、191、239、251、359、419、431、443、491、659、683、719、743、911、1019、1031、1103、1223、1439、1451、1499、... 
拉馬努金-南哥尔方程（Ramanujan–Nagell Equation）：。当为3、5和7时，为梅森素数，方程有整数解；为合数4和15时，方程亦有整数解；为其它自然数时，方程没有整数解。
如果是奇素数，任何能整除的素数都一定是的倍数加，如, 其中 且 。
如果是奇素数，任何能整除的素数都一定与同余。

 梅森数和梅森素数的关系 

下面的命题关注什么梅森数是梅森素数。
由知：「 是素数」是「 是素数」的必要条件，但不是充分条件。 是最小的反例。
对（ 是素数）有：
若  是  的因数，则  有如下性质：

形如  的数有欧拉理论表明：当且仅当有数对  使， 是素数，其中 。
最近，Bas jansen研究了等式，得出了時的新证明方法。
Reix发现  时， 可写成 ；显然，若有数对， 就是素数。

 检验梅森素数 

卢卡斯-莱默检验法是现在已知的检测梅森数素数的最好的方法。
该方法由爱德华·卢卡斯于1878年发现，并由德里克·亨利·莱默于1930年代改进，因此得名。
该方法基于的计算，其原理是：
 为素数当且仅当  整除 （，，），此數列為4、14、194、37634、1416317954、2005956546822746114、4023861667741036022825635656102100994、…

 与完全数的关系 
梅森素数与偶完全数有一一对应的关系，稱為歐幾里得-歐拉定理。
前4世纪，欧几里得证明如果M是梅森素数，則是完全数。
18世纪，欧拉证明所有偶完全数都有这种形式。

 相关问题和猜想 
梅森素数是否有无限个
梅森素数如何分布

 寻找梅森素数 
头四个梅森素数、、、在古代已知。
第五个梅森素数在1461年之前发现；
和两數随后在1588年由Cataldi发现。
17世纪法国数学家马兰·梅森列出了他认为的幂小于等于257的梅森素数，其中错误包括了不是素数的和，遗漏了、和。这也是“梅森素数”一名的由来。
一个多世纪后的1750年，才由欧拉证实是第8个梅森素数。
下个发现的梅森素数是由卢卡斯在1876年证明的；
1883年，Pervushin证实。
和在20世纪早期由Powers分别在1911年和1914年发现。
发明电子计算机改革了梅森素数的寻找過程。第一項成功例子是证明M521，它由莱默指导，用拉斐爾·米切爾·羅賓遜教授编写的软件，利用坐落在洛杉矶加利福尼亚大学的数据分析协会的，属于美国国家标准局的西部自动计算机（SWAC）于1952年1月30日晚上10:00获得，并且在随后不到两小时发现下个梅森素数M607。在随后的几个月裡，使用同样的程序发现了另外三个梅森素数M1279、M2203和M2281。
素數P值增大，搜尋梅森素數MP的過程都艱辛無比，但各國科學家及業餘研究者仍樂此不疲，激烈競爭；1979年2月23日，當美國克雷研究公司的計算機專家史洛溫斯基和納爾遜宣布找到第26個梅森素數M23209時才知諾爾在兩星期前已得到這結果。
為此，史洛溫斯基潛心發憤，花了一個半月用CRAY－1型計算機找到新梅森素數M44497，這紀錄成了當時不少美國報紙的頭版新聞。
他之後乘勝前進，使用改進了的CRAY－XMP型計算機在1983年至1985年間找到3個梅森素數M86243、M132049和M216091，但未能確定M86243和M216091之間是否有異於M132049的梅森素數。而到了1988年，科爾魁特和韋爾什使用NEC－FX2型超高速并行計算機果然捉到「漏網之魚」M110503。
沉寂4年後，1992年3月25日，英國原子能技術權威機構哈威爾實驗室有研究小組宣布找到梅森素數M756839。
1994年1月14日，史洛溫斯基和蓋奇為其公司再次奪回發現「已知最大質數」的桂冠——M859433；而下個梅森素數M1257787仍是他們的成果，用CRAY－794超級計算機在1996年找到。
史洛溫斯基發現7個梅森素數，獲美譽「素數大王」。
2010年7月11日GIMPS確認M20,996,011是第40個梅森素数。
2011年12月1日GIMPS确认M24,036,583是第41个梅森素数。
2012年12月20日GIMPS确认M25,964,951是第42个梅森素数。
2013年1月25日GIMPS发现M57,885,161
2014年2月23日GIMPS确认M30,402,457是第43个梅森素数。
2014年11月8日GIMPS确认M32,582,657是第44个梅森素数。
2016年1月7日GIMPS發現M74,207,281
2018年1月3日GIMPS发现的M77,232,917有23249425位数。
2018年12月7日GIMPS的M82,589,933有24862048位数。
2024年10月21日GIMPS的M136,279,841有41024320位数。

梅森素数列表

下表列出所有已知的梅森素数：

+ 序 n Mn Mn的位数 发现日期 发现者 算法1231 公元前5世紀 古希臘数學家2371 公元前5世紀 古希臘数學家35312 公元前3世紀 古希臘数學家471273 公元前3世紀 古希臘数學家51381914 1456年 无名氏 试除法6171310716 1588年 彼得羅·卡塔爾迪 试除法7195242876 1588年 彼得羅·卡塔爾迪 试除法831214748364710 1772年 莱昂哈德·欧拉 优化的试除法961230584300921369395119 1883年 伊·波佛辛 卢卡斯数列108961897001964269013744956211127 1911年 拉爾夫·歐內斯特·鮑爾斯 卢卡斯数列1110716225927682921336339157801028812733 1914年 拉爾夫·歐內斯特·鮑爾斯 卢卡斯数列1212717014118346046923173168730371588410572739 1876年 爱德华·卢卡斯 卢卡斯数列13521686479766013...291115057151157 1952年1月30日 拉斐爾·米切爾·羅賓遜 卢卡斯－莱默检验法14607531137992816...219031728127183 1952年1月30日 拉斐爾·米切爾·羅賓遜 卢卡斯－莱默检验法151279104079321946...703168729087386 1952年6月25日 拉斐爾·米切爾·羅賓遜 卢卡斯－莱默检验法162,203147597991521...686697771007664 1952年10月7日 拉斐爾·米切爾·羅賓遜 卢卡斯－莱默检验法172,281446087557183...418132836351687 1952年10月9日 拉斐爾·米切爾·羅賓遜 卢卡斯－莱默检验法183,217259117086013...362909315071969 1957年9月8日 Hans Riesel 卢卡斯－莱默检验法194,253190797007524...8153504849911,281 1961年11月3日 亞歷山大·赫維茲 卢卡斯－莱默检验法204,423285542542228...9026085806071,332 1961年11月3日 亞歷山大·赫維茲 卢卡斯－莱默检验法219,689478220278805...8262257541112,917 1963年5月11日 Donald B. Gillies 卢卡斯－莱默检验法229,941346088282490...8837894635512,993 1963年5月16日 Donald B. Gillies 卢卡斯－莱默检验法2311,213281411201369...0876963921913,376 1963年6月2日 Donald B. Gillies 卢卡斯－莱默检验法2419,937431542479738...0309680414716,002 1971年3月4日 布萊恩特·塔克曼 卢卡斯－莱默检验法2521,701448679166119...3535118827516,533 1978年10月30日 Landon Curt Noll & Laura Nickel 卢卡斯－莱默检验法2623,209402874115778...5237792645116,987 1979年2月9日 Landon Curt Noll 卢卡斯－莱默检验法2744,497854509824303...96101122867113,395 1979年4月8日 Harry Nelson & David Slowinski 卢卡斯－莱默检验法2886,243536927995502...20943343820725,962 1982年9月25日 David Slowinski 卢卡斯－莱默检验法29110,503521928313341...08346551500733,265 1988年1月28日 Walt Colquitt & Luke Welsh 卢卡斯－莱默检验法30132,049512740276269...45573006131139,751 1983年9月20日 David Slowinski 卢卡斯－莱默检验法31216,091746093103064...10381552844765,050 1985年9月6日 David Slowinski 卢卡斯－莱默检验法32756,839174135906820...328544677887227,832 1992年2月19日 David Slowinski & Paul Gage 卢卡斯－莱默检验法33859,433129498125604...243500142591258,716 1994年1月10日 David Slowinski & Paul Gage 卢卡斯－莱默检验法341,257,787412245773621...976089366527378,632 1996年9月3日 David Slowinski & Paul Gage 卢卡斯－莱默检验法351,398,269814717564412...868451315711420,921 1996年11月13日 GIMPS／Joel Armengaud 卢卡斯－莱默检验法362,976,221623340076248...743729201151895,932 1997年8月24日 GIMPS／Gordon Spence 卢卡斯－莱默检验法373,021,377127411683030...973024694271909,526 1998年1月27日 GIMPS／Roland Clarkson 卢卡斯－莱默检验法386,972,593437075744127...1429241937912,098,960 1999年6月1日 GIMPS／Nayan Hajratwala 卢卡斯－莱默检验法3913,466,917924947738006...4702562590714,053,946 2001年11月14日 GIMPS／Michael Cameron 卢卡斯－莱默检验法4020,996,011125976895450...7628556820476,320,430 2003年11月17日 GIMPS／Michael Shafer 卢卡斯－莱默检验法4124,036,583299410429404...8827339694077,235,733 2004年5月15日 GIMPS／Josh Findley 卢卡斯－莱默检验法4225,964,951122164630061...2805770772477,816,230 2005年2月18日 GIMPS／Martin Nowak 卢卡斯－莱默检验法4330,402,457315416475618...4116529438719,152,052 2005年12月15日 GIMPS／Curtis Cooper及Steven Boone 卢卡斯－莱默检验法4432,582,657124575026015...1540539678719,808,358 2006年9月4日 GIMPS／Curtis Cooper及Steven Boone 卢卡斯－莱默检验法4537,156,667202254406890...02230822092711,185,272 2008年9月6日 GIMPS／Hans-Michael Elvenich 卢卡斯－莱默检验法4642,643,801169873516452...76556231475112,837,064 2009年4月12日 GIMPS／Odd M. Strindmo 卢卡斯－莱默检验法4743,112,609316470269330...16669715251112,978,189 2008年8月23日 GIMPS／Edson Smith 卢卡斯－莱默检验法4857,885,161581887266232...07172428595117,425,170 2013年1月25日 GIMPS／Curtis Cooper 卢卡斯－莱默检验法4974,207,281300376418084...39108643635122,338,618 2015年9月17日 GIMPS／Curtis Cooper卢卡斯－莱默检验法5077,232,917467333183359...06976217907123,249,425 2017年12月26日 GIMPS／Jon Pace卢卡斯－莱默检验法51*82,589,933148894445742...32521790259124,862,048 2018年12月7日 GIMPS／Patrick Laroche卢卡斯－莱默检验法52*136,279,841881694327503...21948687155141,024,320 2024年10月21日 GIMPS／Luke DurantPRP(可能質數)測試

註：现在还不知道第50个梅森素数（M77,232,917）和第52个（M136,279,841）之间是否还有未知梅森素数，其序号用*标出，如有會通知遞補。

外部链接
Great Internet Mersenne Prime Search  GIMPS計劃
Mersenne Primes: History, Theorems and Lists  梅森素数：历史，定理，以及梅森素数列表

参考

Category:素数
Category:数学中未解决的问题
Category:梅森素数
Category:完全数