無理數

無理數（irrational number）是指有理数以外的实数，當中的「理」字来自于拉丁语的rationalis，意思是「理解」，实际是拉丁文对于logos「说明」的翻译，是指无法用两整数之比来说明的无理数。

非有理數之實數不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點後有無限多位，並且不會循環，即无限不循环小数（任何有限或无限循环小数可表示成两整数的比）。常見無理數有大部分的平方根、π和e（後兩者同時為超越數）等。無理數另一特徵是無限的連分數表達式。

傳說中，无理数最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯发现，他以幾何方法證明無法用整数及分數表示；而畢達哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信無理數存在，後來希伯斯触犯学派章程，将无理数透露给外人，因而被扔进海中处死，其罪名竟然等同于“渎神”。另見第一次數學危機。

 举例 
1.73205080…
＝0.47712125…
2.71828182845904523536…
0.70710678…
3.141592653589793238462…

 性质 
 无理数加或减有理数必得无理数。
 无理数乘以或除以不等于0的有理数必得无理数。
 无理数的平方根、立方根等次方根必得无理数。但无理数的无理数次幂不一定是无理数，如是有理数。

 不知是否是無理數的數 
無理數與無理數的四則運算的結果往往不知道是否無理數。如，都是无理数与无理数进行四则运算得到有理数的例子。只有一些特定形式的数，如，可以证明是无理数。而、等数未知是否是无理数，事实上，對于任何非零整數及，不知道是否無理數。

目前也不知道、、、欧拉－马歇罗尼常数、卡塔兰常数和费根鲍姆常数是否是無理數。

 無理數集的特性 

無理數集是不可數集（有理數集是可數集而實數集是不可數集）。無理數集是不完備的拓撲空間，它與所有正數數列的集拓撲同構，當中的同構映射是無理數的連分數開展，因而贝尔纲定理可應用於無數間的拓撲空間。

 無理化作連分數的表達式 
，
選取正實數使
。
經由遞迴處理

 無理數之證 
證明某數是無理數，可以採用反證法，首先假設該數是有理數，可以用最簡分數表示，進而推導出矛盾，證明假設不成立。
 證明是无理数 

假设是有理数，且，是最简分数。

两边平方，得。将此式改写为，可见为偶数。

因为平方运算保持奇偶性，所以只能为偶数。设，其中为整数。

代入可得。同理可得亦为偶数。

这与为最简分数的假设矛盾，所以是有理数的假设不成立。

此结论可进一步推广，当为正整数但不是完全平方数时，是无理数。一般地，根据有理数根定理，对于方程，是整数，，方程的有理数解必须满足是常数项的整数因子以及是首项的整数因子，而其他的解是无理数。

 证明是无理数 

假设是有理数，且，那么有







因为是偶数，是奇数，所以得到矛盾，因此是无理数。

 定義 
所有無理數成的集合其定义为：

 参见 
 分划
 丢番图逼近
 3的算术平方根
 5的算术平方根
 超越数
 第一次數學危機
 正規數

 外部連結 
 從畢氏學派到歐氏幾何的誕生，蔡聰明 ，有畢氏弄石法的證明
 是無理數的六個證明，香港大學數學系蕭文強 （Mathematical Excalibur Vol.3 No.1 Page 2）
 舊題新解—根號2是無理數，張海潮 張鎮華（數學傳播 第30卷 第4期）

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