等价关系

在数学中，等價關係（）是具有自反性，对称性，传递性的二元关系。等价关系也称为同值關係。一些等价关系的例子包括整数集上的同余，. 歐幾里得几何中的等量（），以及普通的相等关系。

集合上的每个等价关系都提供了一个的划分，将划分为不相交的等价类。中的两个元素等价当且仅当它们属于同一等价类。

定义
若集合上的二元关系满足以下條件：

 自反性：
 对称性：
 传递性：

则称是一個定义在上的等价关系。習慣上會把等價關係的符號由改寫為。

事例
等价关系的例子

例如，设，定义上的关系如下：

其中叫做与模3同餘，即除以3的餘数与除以3的餘数相等。例子有1R4, 2R5, 3R6。不难验证为上的等价关系。

并非所有的二元關係都是等價關係。一個簡單的反例是比較兩個數中哪個較大：
 沒有自反性：任何一個數不能比自身為較大（）
 沒有對稱性：如果，就肯定不能有

 不是等价关系的关系的例子 
 实数之间的"≥"关系满足自反性和传递性，但不满足对称性。例如，7 ≥ 5 无法推出 5 ≥ 7。它是一种全序关系。

 参见 

 当且仅当
 等价类
 集合划分
 商集

 共轭类


 Up to

參考文獻

Brown, Ronald, 2006. Topology and Groupoids. Booksurge LLC. .
Castellani, E., 2003, "Symmetry and equivalence" in Brading, Katherine, and E. Castellani, eds., Symmetries in Physics: Philosophical Reflections. Cambridge Univ. Press: 422-433.
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外部連結

 Bogomolny, A., "Equivalence Relationship " cut-the-knot. Accessed 1 September 2009
 Equivalence relation at PlanetMath
 Binary matrices representing equivalence relations  at OEIS.

Category:数学关系