拓扑空间

拓扑空间（）是一种賦予「一點附近」這個概念的抽象数学结构；拓扑空间也是一个集合，其元素称为点，由此可以定義出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。

 定义动机 
拓扑結構最實用的動機，在於怎麼去定義「一點的附近」，用以定義函數極限。

對於度量空间  內的任一點 ，可定義中心為 ，半徑為  的開球



然後把開球視為點  附近的「開放邊界區域」。但考慮到「區域」應該是有任意形狀的，那一般的「開放邊界區域」，應該是任取裡面的點  ，都會有一個夠小的開球  完全落在這個區域裡，也就是說，可以定義  的開子集  為滿足如下條件的子集合



這樣定義的開集有一些有趣的性質：

(1) 任二開集的交集也是開集

任取兩個  的開子集  ，若  ，根據定義存在  使得




這樣若取  ，則會有：



也就是說，  也是個開集。

(2) 任意個開集的并集也會是開集

若  是一群開集所構成的集合，也就是說



如果取



換句話說：



這樣的話，顯然有



所以  也會是一個開集。

以上的性質促使人們在不依託度量情況下，去定義一個描述「一點的附近」的結構，換句話說，去抽象的定義一群開集是這麼樣的特殊集合，任二開集的交集是開的且任意開集的聯集也是開的。

 正式定义 

 开集系 
根據定义动机一節可以作如下的定義：

  的子集族  若滿足以下开集公理
正式定義直觀解釋  本身和空集合也是開的有限個開集的交集也是開的任意個開集的併集也是開的
則称  为  的开集系（其中的元素称为开集）或拓扑， 則被稱為一拓扑空間， 內的元素  則称为拓扑空间  的点。

开集系的代號  是字母「O」的德文尖角體，取名自德语形容词「」（開的）。

从开集系出发定义其它概念：（ 為  的子集）
 闭集：若  是开集，則稱  是闭集。
 邻域：若存在开集  使得  ，則稱  是点  的邻域。
 开核： 的開核（或內部） 定義為 內所有开集之并，也就是

 闭集系 

 的子集族  若滿足如下闭集公理：
正式定義直觀解釋 本身和空集合也是閉的有限個閉集的併集是閉的任意個閉集的交集是閉的
則称  为  的闭集系（其中的元素称为闭集）。

閉集系的代號  是字母「 F」 的德文尖角體，取名自法语动词「」（關閉）的过去分词「」（封閉的）。

根據德摩根定理和量詞符號的意義，以下的子集族


為开集系，類似地，對於開集系  ，以下的子集族



為閉集系，所以閉集系跟拓扑是等價的結構。

从闭集系出发定义其它概念：（ 為  的子集）
 开集： 是闭集，則稱  是开集。
 闭包： 的闭包 定義為包含A的所有闭集之交，也就是

 邻域系 
函数 （  指  的幂集的幂集，也就是由所有子集族所構成的集合）若對任意  满足如下邻域公理：
正式定義直觀解釋 屬於  的任意元素（ 裡的元素都是  的邻域） 的任二邻域的交集也是  的邻域包含任何  的邻域的任意子集也是  的邻域 的每個邻域內有個  的邻域，使的大邻域都是小邻域裡面點的領域
这样任意  被称为  的邻域系，  裡的元素  則称为  的邻域。

換句話說，函數  将  的每个点  映射至  ，而  則是所有  的邻域所構成的集族。

邻域系的代號  是字母「 U」 的德文尖角體，取名自德语动词「 」（環繞）的名詞化「」（周圍、環境）。

若取以下的子集族


因為  包含任意邻域，  本身顯然為任意  的領域，故   ；另外空集合  沒有任何屬於它的點，所以根據實質條件的意義，。

若取  ，根據邻域公理的第二項有  ；若取  ，且  ，那換句話說


這樣的話有


那這樣根據邻域公理第三項，，所以  的確是個開集合系。

類似地對於開集系  ，若對任意  取


那  也會符合上面四款邻域系公理（注意到第四項取  ），所以對所有  定義了邻域系等同於定義了一個拓扑。

从邻域系出发定义其它概念：（ 為  的子集）
 开集：对任意  ，有 ，則稱  是开集。（開集本身是它所有点的邻域）
 开核：（開核裡的每一點，都有一個包含於  的領域。）
 闭包：。（閉包裡每一點的領域，都跟  有交集。）

闭包公理

的幂集上的一元运算（即将的子集A映射为的子集）称为闭包运算（像称为原像的闭包）。当且仅当运算满足下述的闭包公理：
 A1：；
 A2：；
 A3：；
 A4：。

集合的闭包通常记为。

从闭包出发定义其它概念：
 从闭包定义闭集：的子集是闭集，当且仅当。
 从闭包定义开核：的子集的开核。
 从闭包定义邻域：的子集是点的邻域，当且仅当。

开核公理

的幂集上的一元运算（即将的子集A映射为的子集）称为开核运算（像称为原像的开核或内部）。当且仅当运算满足如下开核公理：
 I1：；
 I2：；
 I3：；
 I4：。

集合的开核通常记为。
（显然，开核运算是闭包运算的对偶概念）。

从开核出发定义其它概念：
 从开核定义开集：的子集是开集，当且仅当。
 从开核定义邻域：的子集是点的邻域，当且仅当。
 从开核定义闭包：的子集的闭包。

导集公理
的幂集上的一元运算（即将的子集映射为的子集）称为导集运算（像称为原像的导集），当且仅当满足以下导集公理：
 D1：；
 D2：；
 D3：；
 D4：

从导集出发定义其它概念：
 从导集定义闭集：的子集是闭集，当且仅当。

 拓扑之间的关系 

同一个全集可以拥有不同的拓扑，有些是有用的，有些是平庸的，这些拓扑之间可以形成一种偏序关系。当拓扑的每一个开集都是拓扑的开集时，称拓扑比拓扑更细，或称拓扑比拓扑更粗。

仅依赖于特定开集的存在而成立的结论，在更细的拓扑上依然成立；类似的，仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论，在更粗的拓扑上也依然成立。

最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑，最细的拓扑是离散拓扑，这两个拓扑都是平庸的。

在有些文献中，我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。

 连续映射与同胚 

类似定义拓扑空间，连续映射也有基于开集，闭集，开核，闭包和邻域等概念的等价定义。

 性質 
 对任何闭集的原像是闭集。
 对点的任一邻域，都存在点的一个邻域，使得，则称在点连续，而连续映射即点点连续的映射。
 对任一集合，成立。
 对任一集合，成立。

 拓扑空间范畴 

拓扑空间作为对象，连续映射作为态射，构成了拓扑空间范畴，它是数学中的一个基础性的範疇。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法，激发和产生了整个领域的研究工作，包括同伦论、同调论和K-理论。

 相关概念 
基本概念
给定拓扑空间，A是X的子集，有以下概念（继续使用上面的符号）：
内部，内点
A的开核o(A)又称为A的内部，其元素称为A的内点。
外部，外点
X - c(A)称为A的外部，其元素称为A的外点。
边界，边界点
c(A)∩c(X-A)称为A的边界，其元素称为A的边界点。
触点
A的闭包c(A)中的点称为A的触点。
稠密性，稠密集
称A在X中是稠密的（或称稠密集），当且仅当c(A) = X。
边缘集
称A是X的边缘集，当且仅当X-A在X中是稠密的。
疏性，疏集
称A在X中是疏的（或称疏集），当且仅当c(A)是X中的边缘集。
第一范畴集，第二范畴集
称A是X中的第一范畴集，当且仅当A可以表示为可数个疏集的并。称A是X中的第二范畴集，当且仅当A不是X中的第一范畴集。
聚点，导集
X中的点x称为A的聚点，当且仅当x ∈ c(A - {x})（或者等价地，x的任意邻域至少包含x以外的A的一个点）。A的所有聚点组成的集合称为A的导集。
孤立点
A中的点x称为A的孤立点，当且仅当它不是A的聚点。
孤点集，离散集
称A为孤点集或离散集，当且仅当A中所有的点都是A的孤立点。
自密集
称A为自密集，当且仅当A中的点都是A的聚点（等价地，A中没有A的孤立点）。
完备集
称A为完备集，当且仅当A等于其导集。
自密核
A的最大自密子集称为A的自密核。
无核集
称A是无核集，当且仅当A的自密核是∅（或等价地，A的任意非空子集都含有孤立点）。

网
网的目的在推广序列及极限，网的收性称作Moore-Smith收敛。其关键在於以有向集合代替自然数集。

空间上的一个网是从有向集合映至的映射。

若存在，使得对每个的邻域都存在，使得，则称网收敛至。

几乎所有点集拓扑学的基本概念都能表述作网的收敛性，请参阅主条目网

 拓扑空间的例子 

 实数集R构成一个拓扑空间：全体开区间构成其上的一组拓扑基，其上的拓扑就由这组基来生成。这意味着实数集R上的开集是一组开区间的并（开区间的数量可以是无穷多个，但进一步可以证明，所有的开集可以表示为可数个互不相交的开区间的并）。从许多方面来说，实数集都是最基本的拓扑空间，并且它也指导着我们获得对拓扑空间的许多直观理解；但是也存在许多“奇怪”的拓扑空间，它们有悖于我们从实数集获得的直观理解。
更一般的，n维欧几里得空间Rn构成一个拓扑空间，其上的开集就由开球来生成。
任何度量空间都可构成一个拓扑空间，如果其上的开集由开球来生成。这中情况包括了许多非常有用的无穷维空间，如泛函分析领域中的Banach空间和希尔伯特空间。
任何局部域都自然地拥有一个拓扑，并且这个拓扑可以扩张成为这个域上的向量空间。
除了由全体开区间生成的拓扑之外，实数集还可以赋予另外一种拓扑—下限拓扑（lower limit topology）。这种拓扑的开集由下列点集构成—空集、全集和由全体半开区间[a, b)生成的集合。这种拓扑严格地细于上面定义的欧几里得拓扑；在这种拓扑空间中，一个点列收敛于一点，当且仅当，该点列在欧几里得拓扑中也收敛于这个点。这样我们就给出了一个集合拥有不同拓扑的示例。
 流形都是一个拓扑空间。
每一个单形都是一个拓扑空间。单形是一种在计算几何学中非常有用的凸集。在0、1、2和3维空间中，相应的单形分别是点、线段、三角形和四面体。
每一个单纯复形都是一个拓扑空间。一个单纯复形由许多单形构成。许多几何体都可以通过单纯复形—来建立模型，参见多胞形（Polytope）。
 扎里斯基拓扑是一种纯粹由代数来定义的拓扑，这种拓扑建立在某个环的交換环谱之上或者某个代数簇之上。对Rn或者Cn来说，相应扎里斯基拓扑定义的闭集，就是由全体多项式方程的解集合构成。
 线性图是一种能推广图的许多几何性质的拓扑空间。
 泛函分析中的许多算子集合可以获得一种特殊的拓扑，在这种拓扑空间中某一类函数序列收敛于零函数。
任何集合都可以赋予离散拓扑。在离散拓扑中任何一个子集都是开集。在这种拓扑空间中，只有常数列或者网是收敛的。
任何集合都可以赋予平庸拓扑。在平庸拓扑中只有空集和全集是开集。在这种拓扑空间中，任和一个序列或者网都收敛于任何一个点。这个例子告诉我们，在某些極端情況下，一个序列或者网可能不会收敛于唯一的一个点。
 有限补拓扑。设X是一个集合。X的所有有限子集的补集加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为有限补空间。有限补空间是这个集合上最小的T1拓扑。
 可数补拓扑。设X是一个集合。X的所有可数子集的补集加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为可数补空间。
如果Γ是一个序数，则集合[0, Γ]是一个拓扑空间，该拓扑可以由区间(a, b]生成，此处a和b是Γ的元素。
 例子 
  = {1,2,3,4} 和  內兩個子集組成的集族  會形成一個-{zh-hans:平庸拓扑;zh-hant:密著拓撲}-。
  = {1,2,3,4} 和  內六個子集組成的集族  = {,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 會形成另一個拓撲。
  = （整數集合）及集族  等於所有的有限整數子集加上  自身不是一個拓撲，因為（例如）所有不包含零的有限集合的聯集是無限的，但不是  的全部，因此不在  內。
 1个元素的集上总拓扑数显然只有1个。
 2个元素的集上总拓扑数显然只有4个。
 3个元素的集上总拓扑数-{只有}-29个。
 4个元素的集上总拓扑数-{只有}-355个。
 n个元素的集上总拓扑数规律还在研究中，不过已取得些成果。参见OEIS-A000798说明

3点集 X={a,b,c}的拓扑总共有29个,可分为九类，具体如下：

{∅, X}
{∅,{a},X},{∅,{b},X},{∅,{c},X}
{∅,{a,b},X},{∅,{a,c},X},{∅,{b,c},X}
{∅,{a},{b,c},X},{∅,{b},{a,c},X},{∅,{c},{a,b},X}
{∅,{a},{a,b},X},{∅,{a},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},X},{∅,{b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},X},{∅,{c},{b,c},X}
{∅,{a},{a,b},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},{b,c},X}
{∅,{a},{b},{a,b},X},{∅,{a},{c},{a,c},X},{∅,{b},{c},{b,c},X}
{∅,{a},{b},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{a},{c},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{c},{a,c},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,b},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,c},{b,c},X}
{∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X}

 拓扑空间的构造 

拓扑空间的任何一个子集都可以被赋予一个子空间拓扑，子空间拓扑中的开集是全空间上的开集和子空间的交。
对任何非空的拓扑空间族，我们可以构造出这些拓扑空间的积上的拓扑，这种拓扑称为积拓扑。对于有限积来说，积空间上的开集可以由空间族中各个空间的开集的积生成出来。
商拓扑可以被如下地定义出来：若X是一个拓扑空间，Y是一个集合，如果f : X  →  Y是一个满射，那么Y获得一个拓扑；该拓扑的开集可如此定义，一个集合是开的，当且仅当它的逆像也是开的。可以利用f自然投影确定下X上的等价类，从而给出拓扑空间X上的一个等价关系。
 Vietoris拓扑

 拓扑空间的分类 

依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等。可以对拓扑空间进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。

以下假设X为一个拓扑空间。

 分离公理 

详细资料请参照分离公理以及相关条码。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式，请参照分离公理的历史。
拓扑不可区分性
X中两个点x，y称为拓扑不可区分的，当且仅当如下结论之一成立：
对X中每个开集U，或者U同时包含x，y两者，或者同时不包含它们。
x的邻域系和y的邻域系相同。
，且。

 可数公理 
可分的
X称为可分的，当且仅当它拥有一个可数的稠密子集。
第一可数
X称为第一可数的，当且仅当其任何一个点都有一个可数的局部基。
第二可数
X称为第二可数的，当且仅当其拥有一个可数的基。

 连通性 
连通
X称为连通的，当且仅当它不是两个无交的非空开集的并。（或等价地，该空间的闭开集（既开又闭的集合）只有空集和全空间两者）。
局部连通
X称为局部连通的，当且仅当它的每个点都存在一个特殊的局部基，这个局部基由连通集构成。
完全不连通
X称为完全不连通的，当且仅当不存在多于一个点的连通子集。
道路连通
X称为道路连通的，当且仅当其任意两点x和y，存在从x到y的道路p，也即，存在一个连续映射p: [0,1] → X，满足p（0）= x  且p（1）= y。道路连通的空间总是连通的。
局部道路连通
X称为局部道路连通的，当且仅当其每个点都有一个特殊的局部基，这个局部基由道路连通集构成。一个局部道路连通空间是连通的，当且仅当它是道路连通的。
单连通
X称为单连通的，当且仅当它是道路连通且每个连续映射都与常数映射同伦。
可缩
X称为可缩的，当且仅当它同伦等价到一点。
超连通
X称为超连通的，当且仅当任两个非空开集的交集非空。超连通蕴含连通。
极连通
X称为极连通的，当且仅当任两个非空闭集的交集非空。极连通蕴含道路连通。
平庸的
X称为平庸的，当且仅当其开集只有本身与空集。

 紧性 
（详细资料请参照紧集）
紧性
X称为紧的，当且仅当其任意开覆盖都有有限开覆盖的加细。
林德洛夫性质
X称为拥有林德洛夫性质，当且仅当其任意开覆盖都有可数开覆盖的加细。
仿紧
X称为仿紧的，当且仅当其任意开覆盖都有局部有限开覆盖的加细。
可数紧
X称为可数紧的，当且仅当其任意可数开覆盖都有限开覆盖的加细。
列紧
X称为可数紧的，当且仅当其任意点列都包含收敛子列。
伪紧
X称为伪紧的，当且仅当其上的任意实值连续函数都有界。

 可度量化 
可度量性意味着可赋予空间一个度量，使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理，其中最著名的是Urysohn度量化定理：一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。

 拥有代数结构的拓扑空间 

对於任一类代数结构，我们都可以考虑其上的拓扑结构，并要求相关的代数运算是连续映射。例如，一个拓扑群乃是一个拓扑空间配上连续映射（群乘法）及（反元素），使之具备群结构。

同样地，可定义拓扑向量空间为一个赋有拓扑结构的向量空间，使得加法与纯量乘法是连续映射，这是泛函分析的主题；我们可以类似地定义拓扑环、拓扑域等等。

结合拓扑与代数结构，往往可以引出相当丰富而实用的理论，例如微分几何探究的主齐性空间。在代数数论及代数几何中，人们也常定义适当的拓扑结构以简化理论，并得到较简明的陈述；如数论中的局部域（一种拓扑域），伽罗瓦理论中考虑的Krull拓扑（一种特别的拓扑群），以及定义形式概形所不可少的I-进拓扑（一种拓扑环）等等。

 拥有序结构的拓扑空间 

拓扑空间也可能拥有自然的序结构，例子包括：
谱空间（spectral space）上的序结构。
 特殊化预序：定义。常见於计算机科学。

 外部链接 
n个元素的集上总拓扑数规律
整數數列線上大全:OEIS-A000798.

 参考书目 
 John L. Kelley, General Topology (GTM 27). Springer-Verlag. ISBN 0387901256.
 James R. Munkres, Topology (second edition). Prentice Hall; ISBN 0131816292.
点集拓扑学初步 / 江泽涵-{著}-. - 上海: 上海科学技术出版社, 1979年1月。
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点集拓扑学原理 / 鲍姆-{著}-;蒲思立译. - 北京: 人民教育出版社, 1981年6月。
一般拓扑学 / 李普舒茨-{著}-;陈昌平等译. - 上海: 华东师大出版社, 1982年1月。
一般拓扑学 / 凯莱-{著}-;吴丛，吴让泉译. - 北京: 科学出版社, 1982年5月。
拓扑学引论 / 本特·门德尔森-{著}-;陈明蔚译. - 南宁: 广西人民出版社, 1983年1月。
基础拓扑学 / 阿姆斯特朗-{著}-;孙以丰译. - 北京: 北京大学出版社, 1983年1月。
点集拓扑学 / 方嘉琳编-{著}-. - 沈阳: 辽宁人民出版社, 1983年4月。
拓扑学的基础和方法 / 野口宏-{著}-;郭卫中，王家彦译. - 北京: 科学出版社, 1986年3月。
拓扑学初步 / 苏步青-{著}-. - 上海: 复旦大学出版社, 1986年4月。
拓扑学基础教程 / 曼克勒斯-{著}-;罗嵩龄等译. - 北京: 科学出版社, 1987年8月。
基础拓扑学 / 何伯和，廖公夫-{著}-. - 北京: 高等教育出版社, 1991年1月。
一般拓扑学专题选讲 / 蒋继光-{著}-. - 成都: 四川教育出版社, 1991年3月。
拓扑学导论 / 鲍里索维奇等-{著}-;盛立人等译. - 北京: 高等教育出版社, 1992年9月。
基础拓扑学讲义 / 尤承业编-{著}-. - 北京: 北京大学出版社, 1997年. ISBN 7-301-03103-3.

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