相亲数

相亲数（Amicable numbers），又称亲和数、友愛數、友好數，指兩個正整數中，彼此的全部正约数之和（本身除外）与另一方相等。毕达哥拉斯曾說：“朋友是你灵魂的倩影，要像220与284一样亲密。”

每一對親和數都是過剩數配虧數，較小的是過剩數，較大的是虧數。

例如220与284：
 220的全部正因数（除掉本身）相加是：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
 284的全部正因数（除掉本身）相加的和是：1+2+4+71+142=220

親和數中可輕易推出，一方的全部正因數之和與另一方的全部正因數之和相等。(此敘述不可逆，不能用來判斷是否為親和數)
 220的全部正因數之和是：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110+220 = 284+220 = 504
 284的全部正因數之和是：1+2+4+71+142+284 = 220+284 = 504

前十個相親數是：（220,284），（1184,1210），（2620,2924），（5020,5564），（6232,6368），（10744,10856），（12285,14595）， （17296,18416），（63020,76084）和（66928,66992）……。 （另見和）

 历史 
 320年左右，古希腊毕达哥拉斯发现的220与284，是人类认识的第一对相亲数．
 约850年，阿拉伯数学家塔別脫·本·科拉就發現了相亲数公式，後來稱為塔別脫·本·科拉法則。
 1636年，費馬发现了另一对相亲数：17296和18416。
 1638年，笛卡儿也发现了一对相亲数：9363584和9437056。
 欧拉也研究过相亲数这个课题。1750年，他一口气向公众抛出了60对相亲数：2620和2924，5020和5564，6232和6368，……，从而引起了轰动。
 1866年，年方16岁的意大利青年巴格尼尼（並非小提琴演奏家、作曲家的帕格尼尼）发现1184与1210是仅仅比220与284稍为大一些的第二对相亲数。
 目前，人们已找到了12,000,000多对相亲数。但相亲数是否有无穷多对，相亲数的两个数是否都是或同是奇数，或同是偶数，而没有一奇一偶等，这些问题还有待继续探索。

 尋找方法 

 歐拉法則 
對於正整數，，，，。若均為質數，則和是相親數。這個法則能找出符合親和數的數對，但時沒有其他符合的數對。

 塔別脫·本·科拉法則 
這是歐拉法則的特殊情況：第個塔別脫·本·科拉數。若、和均為質數，則和是相親數。

其他
在目前所有已知的情況下，相親數皆同為偶數或同為奇數。目前不知道一奇一偶的相親數是否存在，但若存在，則偶數必須為完全平方數或其兩倍，且奇數也必須是完全平方數。
目前已知存在7對具有不同的最小質因數的相親數。
在目前所有已知的情況下，相親數皆具有質公因數。目前不知道是否存在互質的相親數。若存在，兩者乘積必大於1067.
1955年，艾狄胥·帕爾（PaulErdős）說明相親數相對於正整數的密度為0。

 参看 
 相亲数链（交連數）
高合成數
完全數
婚約數
豐數
亏数
梅森素数
半完全數
佩服數

參考資料

延伸阅读








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