高合成数

高合成数（highly composite number）指一类整數，任何比它小的自然数的因子数目均比这个数的因子数目少。這個詞是由斯里尼瓦瑟·拉马努金所創建。但是認為柏拉图已有提出此一概念，柏拉图認為城市理想的人口數為5040，因為這個數的因子數量多過任何一個比小於它的數. Kahane 引用柏拉图的《法律篇》 771c.。

以數字6為例，小於6的數字中，因子最多的數是4，有3個因子（1,2,4），而6有4個因子（1,2,3,6），因此6是高合成数。

高合成数的名稱容易讓人誤以為其中都是合成数，其實前二個高合成数1和2都不是合成数。

最小的20个高合成数为：

 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560, 正因子个数  1,   2,   3,   4,    6,   8,    9,  10, 12,  16,  18,  20,   24,  30,   32,  36, 40,  48,  60,  64,   

高度合成数有无限个。為了证明这点，可用反证法。假设是最大的高度合成数。显然比有更多因子，所以才是最大的高度合成数，矛盾，故高度合成数有无限个。

大於6的高度合成數亦是豐數。

這些數常見於量度系統，在工程設計亦很常用，因為它們在分數計算時很方便。

若 Q(x)表示所有小於或等於x的高度合成数的数目，則存在两个均大於1的常数，使得∶

相關條目

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 光滑數
參考資料

外部的連結

 Algorithm for computing Highly Composite Numbers
 First 10000 Highly Composite Numbers
  Achim Flammenkamp, First 779674 HCN with sigma,tau,factors 
 Online Highly Composite Numbers Calculator 

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