模

在數學的抽象代數中，環上的模（）是對體上的向量空間的推廣，這裡不再要求向量空間裡的純量的代數結構是體，進而放寬純量可以是環。模同時也是交換群的推廣，因為交換群與整數環上的模相同。

因此，模同向量空間一樣是加法交换群；在環元素和模元素之間定義了乘積運算，并且環元素和模元素的乘積是符合結合律的和分配律的。

模與群的表示論密切相關。模也是交換代數和同調代數的中心概念，并廣泛地應用于代數幾何和代數拓撲中。

定義
假設  是環(ring)且 ，  是其乘法運算的單位元素。左R-模包括一個交換群  ，以及一個映射(或運算) 

(該運算叫做純量乘法或數積，對  及  ，此運算的值  會記作  或是 ) ，並且滿足以下條件

對所有  ，  

有數學家的左模定義並不要求環有單位乘法元素  ，所以他們的定義只含以上前三個條件而排除了第四個條件，並把以上的定義稱為"帶單位元(  )的左模"。

左R-模  記作  ，類似的右R-模  記作  。

右R-模  或  與左R-模的定義相似，只是環的元素在右邊，即其純量乘法是  。在左R-模的定義中，環的元素  和  是在  的元素  的左邊。若  是可交換環，則左R-模與右R-模是一樣的，簡稱為R-模。

若  是一個域，則根據上述定義，R-模滿足R-向量空間的定義。因此模是向量空間的推廣，有很多與向量間相同的性質，但一般模不存在基底。

 例子 

所有交換群  是一個在整數環  上的模，對  及 ，如果  ，其純量乘法定義為是  （  個  相加），如果  ，  ，對  ，  。
若  是一個環而  是一個自然數，則  是一個R-模。
若  是一個光滑流形，則所有由  映射至實數的光滑函数  是一個環  。在  上的所有向量場組成一個R-模。
所有  實數矩陣  與矩陣加法和矩陣乘法組成一個環  。 歐幾里得空間  是一個左R-模，當中矩陣  與向量  之間的純量乘法就是矩陣乘法  。
若  是一個環而  是其中一個 左理想 ，則  是一個左R-模。

 子模及同態 
假設  是左  -模，  是  的子集。如果對於所有  及  ，乘積  （對右模，則考慮  ），則  是  的子模（或更準確地，R-子集）。

令  和  為兩個左R-模，  為它們之間的一個映射， 。若對所有  及  ，  ，則 為R-模同態。與其他類型的同態一樣，模同態保存了模的結構。

 其他定義及表達法 

若M是左R-模，則一個R中元素r之作用定義為映射M → M，它將每個x映至rx（或者在右模的情況是xr），這必然是阿貝爾群（M,+）的群自同態。全體M的自同態記作EndZ(M)，它在加法與合成下構成一環，而將R的元素r映至其作用則給出從R至EndZ(M)之同態。

如此的環同態R → EndZ(M)稱作R在阿貝爾群M上的一個表示。左R-模的另一種等價定義是：一個阿貝爾群M配上一個R的表示。

一個表示稱作忠實的，若且唯若R → EndZ(M)是單射。以模論術語來說，這意謂若r是R的元素，且使得對所有M中的x都有rx=0，則r=0。任意阿貝爾群皆可表成整數環Z或其某一商環Z/nZ的忠實表示。
注释

M
Category:代数结构