域 (数学)

在抽象代数中，體（，）是一种具有加法跟乘法的集合（代数结构），且其加法跟乘法運算就如同普通的有理數還有實數。事實上，體正是数域以及四则运算的推廣，所以被廣泛運用在代數、數論等數學領域中。

體是环的一種。但區別在於域要求它的非零元素可以做除法，且體的乘法有交換律。

最有名的體結構的例子就是有理數體、實數體還有複數體。還有其他形式的體，例如有理函數體、代數函數體、代數數體、p進數體等，都很常在數學的領域中被使用或是研究，特別是數論或是代數幾何。此外還有一些密碼學上的安全協定都是依靠著有限體。

在兩個體中的關係被表示成體擴張的觀念。Galois理論，由Évariste Galois在1830年代提出，致力於理解體擴展的對稱性。其中Galois理論還有其他結果，解決了不能用尺規作圖做出三等份角以及化方為圓的問題。此外，還解決了五次方程不能有公式解的問題。

正式定义
給定集合  ，它具有了以下兩種二元运算：

  （其中  慣例上簡記為  ）
  （其中  慣例上簡記為  或   甚至是  ）

滿足：

  為交换群，且其單位元為  。
  為交换群。
 分配律：對所有 ， 且 。

那稱「  為體」，當二元运算（和）的定義顯而易見而不需特別強調時，亦可將  簡記為  。

 慣用符號與稱呼 
(1)體的代號：

有時會基於德语  ，以字母  代稱體，但也會基於英语  以  代稱。

(2)加法與乘法：

習慣上， 被稱為乘法，  的單位元會記為   ，並稱為  的乘法單位元。

類似地，  被稱為加法，  被稱為體的加法單位元。

類似於实数的加乘法，這兩個二元運算的運算式如果沒有括弧，會依照先乘後加的順序理解。

(3)減法與除法：

對於任意  ，一般會遵循群的習慣，將  的加法逆元素記做  ，並將  簡記為  ，並可將之稱為減法。

類似地，若  ，  的乘法逆元素記做  ，並將  簡記為  ，並可將之稱為除法。

這些運算跟實數四則運算不必然相同，上面的約定慣例只是方便記憶和理解。但另一方面，在不與實數四則運算混淆的前提下，也可簡記為，也可簡記為。

 子體 
類似於子群，也可以定義如下的子體：

 為體。若的非空子集使也為體，則稱為的子體()；如果二元運算（和）不須特別強調，也可以簡稱為「為的子體」。

意思就是保留原來的對應規則，但把定義域縮小到所生成的新函數（也就是函數的限制）。所以直觀上「是的子體」的意思就是：「把和的定義範圍由縮小成時，和仍然保有體的運算性質」。

 基本性質 

證明根據分配律和加法單位元的性質會有




這樣的話，根據加法結合律還有加法單位元的性質有

故得証。

以上的定理也證明了，只要 為交换群且有分配律，就足以決定  相關乘法的值。所以正式定義雖然把  排除在與乘法有關的運算性質之外，但事實上把包含進去也會有交換律和結合律，也就是說

證明根據乘法交換律跟分配律有

這樣根據定理(1)和加法交換律就有



所以



再考慮到乘法的交換律有



故得証。

證明根據乘法的結合律和交換律，還有乘法單位元的性質會有

故得証。

證明如果  ，那對任意  都有  ，所以以下只考慮  狀況。

假設存在  滿足  和  ，但同時   ，這樣根據定理(1)和(3)有

這顯然是矛盾的，所以根據反證法和德摩根定理，對所有的  ，只能「  其中一者為  」或「   」，也就等價於：

「對所有  ，若  則  其中一者為  。」

故得証。
 若 為體，的有限子群都是循环群。
 若存在正整数n使得0 = 1 + 1 + ... + 1（n个1），那么这样的n中最小的一个称为这个域的特征，特征要么是一个素数p，要么是0（表示这样的n不存在）。此时中最小的子域分别是或有限域，称之为的素域。
 一个交换环是域当且仅当它的理想只有自身和零理想。
 在选择公理成立的假设下，对每个域F都存在着唯一的一个域G（在同构意义上），G包含F，G是F的代数扩张，并且G代数封闭。G称作由F确定的代数闭包。在很多情况下上述的同构并不是唯一的，因此又说G是F的一个代数闭包。
例子
 許多常见的数域都是域。比如说，全体複數的集合與其加法和乘法构成一个域。全体有理数的集合 與其加法和乘法也是一个域，它是的子域，并且不包含更小的子域了。
 代数数域：代数数域是有理数域的有限扩域，也就是说代数数域是上的有限维向量空间。代数数域都同构于的子域，并且这个同构保持不变，即这个同构把每个有理数都映射到它自身。代数数域是代数数论研究的对象。
 代数数构成的域：所有的代数数的集合对于加法和乘法构成一个域，记作。是有理数域的代数闭包（见下）。是特征为零的代数封闭的域的一个例子。
 全体实数的集合对于加法和乘法构成一个域。实数域是复数域的子域，也是一个有序域。后者使得实数域上能够建立起微积分理论。
 所有的实代数数的集合也构成一个域，它是的一个子域
 任意一个有限域的元素个数是一个素数q的乘方，一般记作Fq，就是所谓的伽罗瓦域。任意一个元素个数是素数q的域都同构于Z/pZ = {0, 1, ..., p − 1}。令p = 2,就得到最小的域：F2。F2只含有两个元素0和1，运算法则如下：

 设E和F是两个域，E是F的子域，则F是E的 扩域。设x是F中的一个元素，则存在着一个最小的同时包含E和x的F的子域，记作E (x)，E (x)称作E在F中关于  x的单扩张。比如说，复数域就是实数域在中关于虚数单位i的单扩张
 每一个有乘法么元的环R都对应着一个包含它的域，称为它的分式域，记作K(R)。分式域的具体构造方法是定义类似于最简分数的等价类，再将环“嵌入”其中（详见分式域）。可以证明，K(R)是包含R的“最小”的域。
 设F是一个域，定义F (X)是所有以F中元素为系数的分式的集合，则F (X)是F的一个扩域。F (X)是F上的一个无穷维的向量空间，这是域的超越扩张的一个例子。
 设F是一个域，p(X)是多项式环F[X]上的一个不可约多项式，则商环F[X]/<p(X)>是一个域。其中的<p(X)>表示由p(X)生成的理想。举例来说，R[X]/<X2 + 1>是一个域（同构于复数域）。可以证明，F的所有单扩张都同构于此类形式的域。
 若V是域F上的一个代數簇，则所有V → F 的有理函数构成一个域，称为V的函数域。
 若S是一个黎曼曲面，则全体S → C 的亚纯函数构成一个域。
 由于序数的类不是集合，因此在其上定义的尼姆数不能构成真正的域。但它满足域的所有条件，且其任意封闭子集（如小于的所有自然数构成的子集）都是域。

 有限體 
有限體是一個體有著有限多個元素，其元素個數也跟體的階數相同，按照體的定義，可以知道為最小的有限體，因為根據定義，一個體至少包含兩個元素。

通常來說，最簡單的質數階體，就是，此處為質數，在這個體上的加法與乘法等同於在整數上的運算，然後除以，取它的餘數。這個運算精確的建構了一個體，通常我們將這個體記作。要注意的是，當n為合成數時並不是一個有限體，例如在  中  ，因此  不能形成群。

如果我們將向量空間，則我們將V稱作有限體向量空間，其中，可知這個向量空間中，有個元素。

如果我們將有限體放入矩陣，也就是，則此矩陣的元素有

 歷史 
歷史上，三個代數中的學科導引到了體的概念:第一個是解多項式方程的問題，第二個是代數數論，第三個則是代數幾何的問題。體的概念始於1770年，由拉格朗日所提出。拉格朗日他觀察到關於三次方程的根的置換，在以下的表達

(其中是三次方程的單位根)只產生兩個值。在這方向上，拉格朗日概念上的解釋了由 希皮奧內·德爾·費羅 和 弗朗索瓦·韋達 的經典解法，其解法藉由簡化三次方程關於未知  到一個 的二次方程。四次方程上也和三次方程一樣有相似的觀察，拉格朗日因此連結的關於體的概念還有群的概念。數學家范德蒙也同樣在1770年有著更全面的延伸。

 建構體 
伽羅瓦理論
請參見伽羅瓦理論

體的不變量
應用
 參見 
 特徵 (代数)
環論
 域論
 有序域

 參考文獻 

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U
Category:代数结构