E (数学常数)

，亦称自然常数、自然底数，或是歐拉數（），是無理數的數學常數，以瑞士數學家歐拉命名；還有個較少見的名字納皮爾常數，用來紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數。它是一个无限不循环小数，數值約是（小數點後20位，）：
，近似值為。

有許多的函數都和有關：自然對數函數的底數即為，數學中的指数函数也常是指以為底數的指数函数。

 歷史 
約翰·納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表中第一次提到常數，但它沒有記錄這常數，只有由它為底計算出的一張自然對數列表，通常認為這是由威廉·奧特雷德製作的。第一次把看為常數的是雅各布·伯努利，他嘗試計算下式的值：

上式代表把1與無窮小相加，再自乘無窮多次。

已知的第一次用到常數，是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信，以表示。1727年歐拉開始用來表示這常數；而第一次在出版物用到，是1736年歐拉的《力學》（）。雖然往後年日有研究者用字母表示，但較常用，終於成為標準。

用表示的原因確實不明，但可能因為是指數函數（）一字的首字母。另一看法則稱有其他經常用途，而是第一個可用字母。

 定義 
就像圓周率和虛數單位，是數學中最重要的常數之一。它有幾種等價定義，下面列出一部分。
 定義爲下列極限值：

 定義爲階乘倒數之無窮級數的和 142.D：

 其中代表的階乘。
 定義爲唯一的正數使得

 定義爲唯一的實數使得

這些定義可證明是等價的，请参见文章。

 性質 

指數增長或指数衰减過程都可以用指數函數表示。指數函數的重要性在於，唯独该函數（或其常數倍，即，其中為任意常數）與自身導數相等。即：
。
的泰勒級數為

為複數時依然成立，因此根據及的泰勒級數，得出在數學中一條稱為歐拉公式的重要等式：

當的特例是歐拉恆等式：

此式被理查德·費曼稱為「歐拉的寶石」。

即棣莫弗公式。

 是無理數和超越數（見林德曼－魏尔斯特拉斯定理）。這是第一個獲證為超越數的数，而非故意構造的（比較劉維爾數）；由夏爾·埃爾米特（）於1873年證明。有猜想它為正規數。
 当时函數有最大值。
 的無窮連分數展開式有個有趣的模式，可以表示如下（）

就像以下的展開式：

 無理數證明 
 反證法 
證明是無理數可以用反證法。假設是有理數，則可以表示成 ，其中為正整數。以的無窮級數展開式可以得出矛盾。

考慮數字
，

以下將推導出是小於1的正整數；由於不存在這樣的正整數，得出矛盾，所以得證是無理數。
 是整數，因為

。
 是小於1的正數，因為

。

但是0與1之間（不含0與1）不存在有整數，故原先假設矛盾，得出為無理數。

 二項式定理 
視為存在的數值，所以用二項式定理可證出：

 已知位数 
+ 的已知位数Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant e and its computation Gourdon, X.; Reported large computations with PiFast  日期  位数  计算者 1748年  18  李昂哈德·歐拉 1853年  137  William Shanks 1871年  205  William Shanks 1884年  346  J. M. Boorman 1946年  808  ？ 1949年  2,010  約翰·馮·諾伊曼 1961年  100,265  Daniel Shanks & 約翰·威廉·倫奇 1978年  116,000  史蒂芬·蓋瑞·沃茲尼克 1994年  10,000,000  Robert Nemiroff & Jerry Bonnell 1997年5月  18,199,978  Patrick Demichel 1997年8月  20,000,000  Birger Seifert 1997年9月  50,000,817  Patrick Demichel 1999年2月  200,000,579  Sebastian Wedeniwski 1999年10月  869,894,101  Sebastian Wedeniwski 1999年11月21日  1,250,000,000  Xavier Gourdon 2000年7月10日  2,147,483,648  近藤茂、Xavier Gourdon 2000年7月16日  3,221,225,472  Colin Martin、Xavier Gourdon 2000年8月2日  6,442,450,944  近藤茂、Xavier Gourdon 2000年8月16日  12,884,901,000  近藤茂、Xavier Gourdon 2003年8月21日  25,100,000,000  近藤茂、Xavier Gourdon 2003年9月18日  50,100,000,000  近藤茂、Xavier Gourdon 2007年4月27日  100,000,000,000  近藤茂、Steve Pagliarulo 2009年5月6日  200,000,000,000  近藤茂、Steve Pagliarulo 2010年2月21日  500,000,000,000  余智恒（Alexander J. Yee） 2010年7月5日  1,000,000,000,000  近藤茂、余智恒（Alexander J. Yee） 2014年11月15日  1,048,576,000,000  David Galilei Natale

 諧取 
 在Google2004年的首次公開募股，集資額不是通常的整頭數，而是$2,718,281,828，這當然是取最接近整數的十億美元。Google2005年的一次公開募股中，集資額是$14,159,265，与圆周率有关。
 Google也是首先在矽谷心臟地帶，接著在麻薩諸塞州劍橋出現的神祕廣告版 的幕後黑手，它寫著{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com（在的連續數字中第一個發現的十位質數.com）。解決了這問題（第一個中的十位質數是7427466391，出奇地到很後才出現，由第100個數字開始），進入網站後還有個更難的題目要解決，最後會到達Google的招聘頁。但這個挑戰已結束，上述網站都已關閉。
 著名電腦科學家高德納的软件Metafont的軟體版本號趨向（就是說版本號碼是2，2.7，2.71，2.718等），与之相对的有TeX的軟體版本號号是趋向于圆周率的。

 参见 
 e的π次方
 无理数
 超越数
 欧拉数
 圆周率
 指数函数
 自然對數

 参考文献 


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