三角形

三角形，又稱三邊形，是由三条线段顺次首尾相连，或不共線的三點兩兩連接，所组成的一个闭合的平面几何图形，是最基本和最少邊的多边形。

一般用大写英语字母、和为三角形的顶点标号；用小写英语字母、和表示边；用、和給角標號，又或者以這樣的顶点标号来表示。

 分类 

 以角度分類 
 180px|alt=锐角三角形 180px|alt=钝角三角形 180px|alt=直角三角形  锐角三角形  钝角三角形  直角三角形
 锐角三角形 
銳角三角形的所有內角均為銳角。

 钝角三角形 
鈍角三角形是其中一角為鈍角的三角形，其余兩角均小於90°。

 直角三角形 

right

有一个角是直角（90°）的三角形为直角三角形。成直角的两条边称为「直角邊」（cathetus），直角所对的边是「斜邊」（hypotenuse）；或最長的邊稱為「弦」，底部的一邊稱作「勾」（又作「句」），另一邊稱為「股」。斜邊乘上斜邊上的高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面積（ch=ab）

 三角函数 

直角三角形各邊與角度的關係，可以三角比表示。

以邊長分類
 x150px|不等邊三角形 x150px|等邊三角形 x150px|等腰三角形 不等邊三角形  等邊三角形  等腰三角形
 不等邊三角形 

三條邊邊長皆不相等的三角形稱為不等邊三角形。

 等邊三角形 

等邊三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形。其三個內角相等，均為60°。它是銳角三角形的一種。设其边长是  ，则其面積公式為  。

等邊三角形是正四面體、正八面體和正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個边长相同的等邊三角形可以拼成一個正六邊形。
 三角形的对边 
对边是指一个角对面的那条边。比如∠A的对边就是BC，∠B的对边就是AC，∠C的对边就是AB。
对边测量是全站仪的一种专项测量功能，它可以间接测量两个不可通视点之间的水平距离。该方法设站灵活，操作简单，但它的测量精度没有标注，需要通过计算求得。

 等腰三角形 

等腰三角形是三条边中有两条边相等（或是其中兩隻內角相等）的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为「腰」，而另一条边被称为「底边」，两条腰交叉组成的那个点被称为「顶点」，它们组成的角被称为「顶角」。

等边三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。

令其底边是  ，腰是 ，则其面積公式為 
等腰三角形的对应高，角平分线和中线重合。

 退化三角形 

退化三角形是指面積為零的三角形。满足下列条件之一的三角形即可称为退化三角形：三个内角的度数为(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°)；三边其中一条边的长度为0；一条边的长度等于另外两条之和。有人认为退化三角形并不能算是三角形，這是由於它介乎於三角不等式之間，在一些資料中已否定了其中一條邊等於其餘兩條邊之和的情況。

勒洛三角形
勒洛三角形（），也譯作萊洛三角形或弧三角形，又被稱為劃粉形或曲邊三角形，是除了圓形以外，最簡單易懂的勒洛多邊形，一個定寬曲線。將一個曲線圖放在兩條平行線中間，使之與這兩平行線相切，則可以做到：無論這個曲線圖如何運動，只要它還是在這兩條平行線內，就始終與這兩條平行線相切。這個定義由十九世紀的德國工程師命名。

 一般性质 
三角不等式

三角边長不等式
三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边。如果兩者相等，则是退化三角形。
三角內外角不等式
三角形任意一个外角大于不相邻的一个内角。

 角度 

right

三角形外角
三角形兩內角之和，等於第三角的外角。
三角形內角和
在歐幾里德平面內，三角形的內角和等於180°。

勾股定理

勾股定理，又稱畢氏定理或毕达哥拉斯定理。其斷言，若直角三角形的其中一邊  為斜邊，即  的對角  ，則
 。

勾股定理的逆定理亦成立，即若三角形滿足
 ，
則

正弦定理

設  为三角形外接圓半径，則

餘弦定理

對於任意三角形：



勾股定理是本定理的特殊情况，即当角  时，  ，于是  化简为  。

 全等及相似 
全等三角形

三角形具有穩定性，若二個三角形有以下的邊角關係確定後，它的形狀、大小就不會改變，二個三角形即為全等三角形。全等三角形的判斷準則有以下幾種：

 SSS（Side-Side-Side，邊、邊、邊）：各三角形的三條邊的長度都對應地相等。
 SAS（Side-Angle-Side，邊、角、邊）：各三角形的其中兩條邊的長度都對應地相等，且兩條邊夾著的角都對應地相等。
 ASA（Angle-Side-Angle，角、邊、角）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且兩個角夾著的邊都對應地相等。
 RHS（Right Angle-Hypotenuse-Side，直角、斜邊、邊）：在直角三角形中，斜邊及一條直角邊對應地相等。P.F.Man,C.M.Yeung,K.H.Yeung,Y.F.Kwok,H.Y.Cheung,MATHEMATICS in Action SECOND EDITION 1B (Published by Longman Hong Kong Education): pp:9.25
 AAS（Angle-Angle-Side，角、角、邊）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且其中一組對應角的對邊也對應地相等。

SSA（Side-Side-Angle、邊、邊、角）不能保证两个三角形全等，除非該角大於等於90°，此時可以保證全等。

相似三角形
 AA（Angle-Angle，角、角）：各三角形的其中兩個角的都對應地相等。（或稱AAA（Angle-Angle-Angle，角、角、角））
 三邊成比例（3 sides proportional）：各三角形的三條邊的長度都成同一比例。
 兩邊成比例且夾角相等（ratio of 2 sides, inc.∠）：各三角形的兩條邊之長度都成同一比例，且兩條邊之夾角都對應地相等。（或稱 2 sides proportional, inc. ∠ equal）

 特殊線段 
三角形中有著一些特殊線段，是三角形研究的重要對象。
 中線（median）：三角形一边中点与这边所对頂点的连线段。
 高线（altitude）：从三角形一个顶点向它的对边所作的垂线段。
 角平分线（angle bisector）：平分三角形一角、一个端点在这一角的对边上的线段。
 垂直平分線（perpendicular bisector）：通過三角形一边中点与該边所垂直的线段，又稱中垂线。
以上特殊線段，每個三角形均有三條，且三線共點。

 中线长度 

设在中，若三边、、的中線分别为、、，则：

 高线长度 

设在中，連接三个顶点、、上的高分別记作、、，則：



其中  。

 角平分线长度 

设在中，若三个角、、的角平分线分别为、、，则：

 三角形的心 

三角形的內心(Incenter) 、外心(Circumcenter)、垂心(Orthocenter) 及形心(Centroid)稱為三角形的四心，定義如下：

 名称  定义  图示  备注 內心  三个內角的角平分线的交點  250px  該點為三角形內切圓的圓心。 外心  三條邊的中垂線的交點  250px  該點為三角形外接圓的圓心。 垂心  三条高线的交點  250px   形心（重心）  三条中线的交點  250px  被交点划分的线段比例为1:2（靠近角的一段较长）。

关于三角形的四心，有这样的一首诗：

300px|right

垂心（蓝）、形心（黄）和外心（绿）能連成一線，且成比例1:2，稱為歐拉線，與九點圓的圓心（紅）四點共線，為垂心和形心線段的中點。

連同以下的旁心，合稱為三角形的五心：
 名称  定义  图示  备注 旁心  外角的角平分线的交點  250px  有三个，为三角形某一边上的旁切圆的圆心。

 外接圆和内切圆半径 
設外接圆半径為 ， 内切圆半径為 ，則：

其中為三角形面積；為三角形半周長，

 面積 

 基本公式 

三角形的面積  是底邊  與高  乘積的一半，即：
，
其中的高是指底邊與對角的垂直距離。

從右圖可知，將兩個全等三角形相拼，可得一平行四邊形。而將該平行四邊形分割填補，正好能得到一個面積等於  的長方形。因此原來的三角形面積為
。
證畢。

 已知兩邊及其夾角 
設   為已知的兩邊，  為該兩邊的夾角，則三角形面積是：
。


觀察右圖，根據正弦的定義：
。

因此：
。

將此式代入基本公式，可得：
。

證畢。

已知兩角及其夾邊
 、  為已知的兩角，  為該兩角的夾邊，則三角形面積是：
。


從正弦定理可知：

代入  ，得：

。

注意到，因此：

證畢。

 已知三邊長 
海倫公式，其表示形式為：
，
其中  等於三角形的半周長，即：

秦九韶亦求過類似的公式，稱為三斜求積法：

也有用幂和来表示的公式：

將海倫公式略為變形，知

多次使用平方-{}-差公式，得

等號兩邊開根號，再同除以4，得

亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式：

基於海伦公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定，有一個變化的計法。設  ，三角形面積為：
。

設  、 、為三角形三條邊，  、  、  為相應邊的對角。從餘弦定理可知：

以畢氏三角恆等式可得：
。

將此式代入，得：
。

因式分解及簡化後可得：

代入，即可證畢。

 已知坐标系中三顶点坐标 
由  、  及  三个顶点构成的三角形，其面积可用行列式的絕對值表示：

无论三角形的顶点位置如何，该三角形总可以用一个直角梯形（或矩形）和两个直角三角形面积的和差来表示，而在直角坐标系中，已知直角梯形（或矩形）和直角三角形的顶点的坐标，该三角形的面积容易求出，即用上述的行列式表示。

若三個頂點設在三維坐標系上，即由  、  及  三个顶点构成三角形，其面積等於各自在主平面上投影面積的畢氏和，即：

 已知周界及內切圓或外接圓半徑
設三角形三邊邊長分別為  、  及  ，三角形半周長（  ）為  ，內切圓半徑為 ，則：

若設外接圓半徑為  ，則：

內切圓半徑公式


根據右圖，設  ，  ，  ，則三角形面積可表示為：

外接圓半徑公式

根據正弦定理：

因此：

 已知兩邊向量
設從一角出發，引出兩邊的向量為  及  ，三角形的面積為：

根據向量積定義，，
其中  是兩支向量的夾角。

因此：

證畢。

 半角定理 
在三角形中，三个角的半角的正切和三边有如下关系：

以正弦及餘弦之比表示正切：

因为

所以

而

所以

同理可得

 其他有关三角形的定理 
 外角定理
 拿破仑三角形
 费马点
 欧拉线
 梅涅劳斯定理
 樞紐定理
 維維亞尼定理
 莫雷角三分線定理

註釋

 參考資料 

 參看 

 三角學
 三-椭圆形

3
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