卜瓦松分布

泊松分布（；）又稱Poisson分布、-{zh-cn:帕松; zh-tw:泊松; zh-hk:帕松;}-分布、布瓦松分布、布阿松分布、普阿松分布、波以松分布、卜氏分布、帕松小數法則（Poisson law of small numbers），是一種統計與概率學裡常見到的離散機率分布，由法國數學家西莫恩·德尼·泊松在1838年時發表。

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、雷射的光子數分布等等。（單位時間內發生的次數，可以看作事件發生的頻率，類似物理的頻率）。

泊松分布的機率質量函数为：


泊松分布的参数是随机事件发生次数的数学期望值。

 记号 
若服从参数为的泊松分布，记为，或记为.

 假设 
如果以下假设成立，则适用泊松分布：

 k是一个非负整数，是某个事件在某个时间间隔内发生的次数。
 一个事件的发生不会影响第二个事件的概率。
 事件发生的平均速率与任何事件的发生无关。
 两个事件不可能在同一时刻发生。

如果这些条件成立，则k是泊松随机变量；k的分布是泊松分布。

 性质 
 服从泊松分布的随机变量，其数学期望与方差相等，同为参数 : 
 兩個獨立且服从泊松分布的随机变量，其和仍然服从泊松分布。更精確地說，若 且 ，則。反過來若兩個獨立隨機變量的和服從卜瓦松分布，則這兩個隨機變量經平移後皆服從卜瓦松分布（）。
 其動差母函數为：

 推導 
期望值：(倒數第三至第二是使用泰勒展開式)

我們可以得到：

如同性質：、

相互獨立的卜瓦松分佈隨機變數之和仍服從卜瓦松分佈：

 泊松分布的来源（泊松小数定律） 

在二项分布的伯努利试验中，如果试验次数很大，二项分布的概率很小，且乘积比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。事实上，二项分布可以看作泊松分布在离散時間上的对应物。

证明如下。首先，回顾自然對數的定义：

二项分布的定义：
。

如果令， 趋于无穷时的极限：

 最大似然估計（MLE） 

给定个样本值，希望得到从中推测出总体的泊松分布参数的估计。为计算最大似然估计值，列出对数似然函数：

解得λ从而得到一个驻点（stationary point）：

检查函数的二阶导数，发现对所有的与大于零的情况二阶导数都为负。因此求得的驻点是对数似然函数的极大值点：

 例子 
对某公共汽车站的客流做调查，统计了某天上午10:30到11:47来到候车的乘客情况。假定来到候车的乘客各批（每批可以是1人也可以是多人）是互相独立发生的。观察每20秒区间来到候车的乘客批次，共观察77分钟*3=231次，共得到230个观察记录。其中来到0批、1批、2批、3批、4批及4批以上的观察记录分别是100次、81次、34次、9次、6次。使用极大似真估计（MLE），得到的估计为。

生成泊松分布的随机变量
一个用来生成随机泊松分布的数字（伪随机数抽样）的简单算法，已经由高德纳给出（见下文参考）：

 algorithm poisson random number (Knuth):
     init:
          Let L ← e−λ, k ← 0 and p ← 1.
     do:
          k ← k + 1.
          Generate uniform random number u in [0,1] and let p ← p×u.
     while p > L.
     return k − 1.

尽管简单，但复杂度是线性的，在返回的值，平均是。还有许多其他算法来克服这一点。有些人由Ahrens和Dieter给出，请参阅下面的参考资料。同样，对于较大的值，可能导致数值稳定性问题。对于较大值的一种解决方案是拒绝采样，另一种是采用泊松分布的高斯近似。

对于很小的值，逆变换取样简单而且高效，每个样本只需要一个均匀随机数u。直到有超过的样本，才需要检查累积概率。

 algorithm Poisson generator based upon the inversion by sequential search:Luc Devroye, Non-Uniform Random Variate Generation（Springer-Verlag, New York, 1986）, chapter 10, page 505 http://luc.devroye.org/rnbookindex.html 
     init:
          Let x ← 0, p ← e−λ, s ← p.
          Generate uniform random number u in [0,1].
     do:
          x ← x + 1.
          p ← p * λ / x.
          s ← s + p.
     while u > s.
     return x.

 参见 
 泊松过程
 概率论
 泊松回归
概率分布

 参考文献 
 引用 

 来源 







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