虚数

虛數是指可以写作实数与虚数单位乘积的複數
，並定義其性質為，以此定義，0可被視為同時是實數也是虛數（純虛數）的數值。

17世纪著名數學家笛卡爾所著《幾何學》（）一書中，命名其為（虛構的數），成為了虛數（）一詞的由來。

後來在歐拉和高斯的研究之後，發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。虛數軸和實數軸構成的平面稱複數平面，複數平面上每一點對應着一個複數。


幾何詮釋
在幾何學上，複數平面的垂直軸表示虛數，它們與代表實數的水平軸垂直。查看虛數的方法之一是參考標準數線：往右側正幅度增長，往左側則負幅度減少。在x軸的0點處，往上升方向可繪製y軸的“正”虛數，然後向上增加；而“負”虛數則往下增加。這個垂直軸通常被稱為“虛數軸”，並被表示為，Im，，或。

在該呈現圖示中，乘以對應於以原點為中心180度的旋轉。的乘法對應於“逆時針”方向的90度旋轉，而方程式可被解釋為，如果我們對原點應用兩個90度旋轉，則終了結果是單一個180度旋轉。注意，“順時針”方向的90度旋轉也滿足這種解釋。這反映了也解出了方程。一般來說，乘以複數與以複數辐角圍繞原點的旋轉相同，然後按其大小進行縮放。

負數的平方根

我們應該將根號視為求的解，故將一個數開根號後會有兩個合理的值，此二值互相差一個負號。在將正數開根號時，這兩個值一為正數一為負數，故習慣上直接將根號對應到正值，而負值的解以根號前加負號來表示。但對其它的數而言開根號沒有自然的對應，實際上代表的是兩個數，分別為及。但若直接將對應到，而對應到也未嘗不可。

性質
1. 不同的虛數都是不能比較大小的：成立，但和卻均不成立。

舉例說明：（反證法）

假設

平方得

得即可看出矛盾。

再舉例：假設

平方得（不等式兩側同乘假設為負的，不等式由小於變為大於）

得即可看出矛盾。

因此虛數或者說虛部不爲0的複數不能比較大小。

2. 因爲，，，，，，很容易知道（）是關於指數的週期函數，最小正週期是。於是，我們有

這表示為方程的一個根，另三個根分別為及。

另外可以證明

和

爲下列方程的根

其中，稱爲的共軛虛數（或共軛複數）。

3. 如果再將虛數的這個概念擴展開去，就可以組成四元數（Quaternion）、八元數（Octonion）等特殊數學範疇。

 參見 
 虛數單位
 複數
 四元數
 八元數

 参考资料 

 外部链接 
虛數i的介紹
 的計算方法舉例
 i作為-1的平方根

複