信息论

信息论（）是应用数学、電子學和计算机科学的一个分支，涉及信息的量化、存储和通信等。信息论是由克劳德·香农发展，用来找出信号处理与通信操作的基本限制，如数据压缩、可靠的存储和数据传输等。自创立以来，它已拓展应用到许多其他领域，包括统计推断、自然语言处理、密码学、神经生物学、进化论cf. Huelsenbeck, J. P., F. Ronquist, R. Nielsen and J. P. Bollback (2001) Bayesian inference of phylogeny and its impact on evolutionary biology, Science 294:2310-2314和分子编码的功能Rando Allikmets, Wyeth W. Wasserman, Amy Hutchinson, Philip Smallwood, Jeremy Nathans, Peter K. Rogan, Thomas D. Schneider , Michael Dean (1998) Organization of the ABCR gene: analysis of promoter and splice junction sequences, Gene 215:1, 111-122、生态学的模式选择Burnham, K. P. and Anderson D. R. (2002) Model Selection and Multimodel Inference: A Practical Information-Theoretic Approach, Second Edition (Springer Science, New York) ISBN 978-0-387-95364-9.、热物理Jaynes, E. T. (1957) Information Theory and Statistical Mechanics , Phys. Rev. 106:620、量子计算、语言学、剽窃检测Charles H. Bennett, Ming Li, and Bin Ma (2003) Chain Letters and Evolutionary Histories , Scientific American 288:6, 76-81、模式识别、异常检测和其他形式的数据分析。

熵是信息的一个关键度量，通常用一条消息中需要存储或传输一个的平均比特数来表示。熵衡量了预测随机变量的值时涉及到的不确定度的量。例如，指定擲硬幣的结果（两个等可能的结果）比指定掷骰子的结果（六个等可能的结果）所提供的信息量更少（熵更少）。

信息论将信息的传递作为一种统计现象来考虑，给出了估算通信信道容量的方法。信息传输和信息压缩是信息论研究中的两大领域。这两个方面又由信道编码定理、信源－信道隔离定理相互联系。

信息论的基本内容的应用包括无损数据压缩（如ZIP文件）、有损数据压缩（如MP3和JPEG）、信道编码（如数字用户线路（））。这个领域处在数学、统计学、计算机科学、物理学、神经科学和電機工程學的交叉点上。信息论对航海家深空探测任务的成败、光盘的发明、手机的可行性、互联网的发展、语言学和人类感知的研究、对黑洞的了解，以及许多其他领域都影响深远。信息论的重要子领域有信源编码、信道编码、算法复杂性理论、算法信息论、資訊理論安全性和信息度量等。

 简述 
信息论的主要内容可以类比人类最广泛的交流手段——语言来阐述。

一种简洁的语言（以英语为例）通常有两个重要特点：
首先，最常用的词（比如"a"、"the"、"I"）应该比不太常用的词（比如"benefit"、"generation"、"mediocre"）要短一些；其次，如果句子的某一部分被漏听或者由于噪声干扰（比如一辆车辆疾驰而过）而被误听，听者应该仍然可以抓住句子的大概意思。而如果把电子通信系统比作一种语言的话，这种健壮性（）是不可或缺的。将健壮性引入通信是通过信道编码完成的。信源编码和信道编码是信息论的基本研究课题。

注意这些内容同消息的重要性之间是毫不相干的。例如，像“多谢；常来”这样的客套话與像“救命”这样的紧急请求在说起来、或者写起来所花的时间是差不多的，然而明显后者更重要，也更有实在意义。信息论却不考虑一段消息的重要性或内在意义，因为这些是数据的质量的问题而不是数据量（数据的长度）和可读性方面上的问题，后者只是由概率这一因素单独决定的。

 信息的度量 
信息熵
美國數學家克劳德·香农被称为“信息论之父”。人们通常将香农于1948年10月发表于《》上的论文《通信的数学理论》作为现代信息论研究的开端。这一文章部分基于哈里·奈奎斯特和於1920年代先後發表的研究成果。在该文中，香农给出了信息熵的定义：

其中為有限个事件x的集合，是定义在上的随机变量。信息熵是随机事件不确定性的度量。

信息熵与物理学中的热力学熵有着紧密的联系:

其中S(X)為熱力學熵，H(X)為信息熵，為波茲曼常數。
事實上這個關係也就是廣義的波茲曼熵公式，或是在正則系綜內的熱力學熵表示式。如此可知，玻尔兹曼与吉布斯在统计物理学中对熵的工作，啟發了信息論的熵。

信息熵是信源編碼定理中，壓縮率的下限。若編碼所用的資訊量少於信息熵，則一定有資訊的損失。香农在大數定律和的基础上定義了和典型-{序列}-。典型集是典型-{序列}-的集合。因為一个独立同分布的-{序列}-属于由定义的典型集的機率大約為1，所以只需要将屬於典型集的无记忆信源-{序列}-编为唯一可译碼，其他-{序列}-隨意編碼，就可以達到幾乎無損失的壓縮。

例子
設有一個三個面的骰子，三面分別寫有，為擲得的數，擲得各面的概率為

則

聯合熵與條件熵
聯合熵（）由熵的定義出發，計算聯合分布的熵：

條件熵（），顧名思義，是以條件機率計算：

由貝氏定理，有，代入聯合熵的定義，可以分離出條件熵，於是得到聯合熵與條件熵的關係式:

链式法則
可以再對聯合熵與條件熵的關係做推廣，假設現在有個隨機變量，重複分離出條件熵，有：

其直觀意義如下：假如接收一段數列，且先收到，再來是，依此類推。那麼收到後總資訊量為，收到後總資訊量為，直到收到後，總資訊量應為，於是這個接收過程給出了链式法則。

互信息
互信息（）是另一有用的信息度量，它是指两个事件集合之间的相关性。两个事件和的互信息定义为：

其意義為，包含的多少資訊。在尚未得到之前，對的不確定性是，得到後，不確定性是。所以一旦得到，就消除了的不確定量，這就是對的資訊量。

如果互為獨立，則，於是。

又因為，所以

其中等號成立條件為，是一個-{zh:雙射;zh-hans:双射;zh-hant:對射}-函數。

互信息与以及皮尔森卡方檢定有着密切的联系。

 应用 
信息论被广泛应用在：
編碼理論
密码学
数据传输
数据压缩
检测理论
估计理论
数据加密

 参考文献 

 外部链接 
 香农论文：通信的数学理论 

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