קוואדראטצאל

אין מאטעמאטיק, איז א קוואדראטצאל א גאנצע צאל וואס מ'קען שרייבן אלס דער קוואדראט פון אן (אנדער) גאנצע צאל, ד.ה. דער פראדוקט פון א גאנצע צאל מיט זיך אליין. למשל , 9 איז א קוואדראטצאל , ווייל מען קען זי שרייבן 3 × 3. אלע קוואדראטצאלן זענען נישט-נעגאטיוו. מ'קען אויך זאגן אזוי—א (נישט-נעגאטיוו) צאל איז א קוואדראטצאל ווען איר קוואדראט ווארצל איז אויך א גאנצע צאל. למשל, √9 = 3, טא איז 9 א קוואדראטצאל.

געוויינלעך שרייבט מען פאר דעם קוואדראט פון דעם נומער n נישט דעם פראדוקט n × n, נאר דעם עקוויוואלענט עקספאנענציאציע n2, ארויסגערעדט "n קוואדראטירט".
זענען דא  קוואדראטצאלן ביז n (עד ועד בכלל). 

 ביישפילן 
די ערשטע 49 קוואדראטצאל זענען: 

02 = 0
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81
102 = 100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361

202 = 400
212 = 441 
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841

302 = 900
312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521

402 = 1600
412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401

 אייגנקייטן 
דער נומער m איז א קוואדראטצאל נאר ווען מען קען איינארדענען m פונקטן אין א קוואדראט:
12=1טעקע:Square number 1.png22=4טעקע:Square number 4.png32=9טעקע:Square number 9.png42=16טעקע:Square number 16.png52=25טעקע:Square number 25.png

די nטע קוואדראטצאל n2 איז גלייכווערטיג צו דער סומע פון די ערשטע n נומען (), אזוי ווי מען זעט אין די בילדער אויבן, וואו איין קוואדראט קומט פון דעם פריערדיגן ווען מען לייגט צו א נומיקע צאל פונקטן (באצייכנט מיט '+').
למשל, 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

די nקוואדראטצאל קען מען רעכענען פון די צוויי פריערדיגע דורך נעמען צוויי מאל דעם (n − 1)טן קוואדראט, אראפנעמען דעם (n − 2)טן קוואדראט, און צולייגן 2:  (). למשל, 2×52 − 42 + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 62.

ס'איז כדאי צו באמערקן אז דh קוואדראטצאל פון יעדן נומער קען מען אויסרעכענען אלס א סומע 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n – 1 + n – 1 + n. למשל, די קוואדראטצאל פון 4 אדער 42 איז גלייך מיט 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16. 

א קוואדראטצאל איז אויך די סומע פון צוויי הינטעראנאנדיקע דרייעקיקע צאל.

א קוואדראטצאל קען ענדיגן נאר מיט די ציפערן 00,1,4,6,9, אדער 25 אין באזע 10, ווי פאלגנדיק:

 אז דער לעצטער ציפער פון א  צאל איז 0, זיין קוואדראט לאזט אויס 00 און דער פריערדיקער ציפערן מוזן אויף פארמירן א קוואדראט.
 אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 1 אדער 9, זיין קוואדראט לאזט אויס 1 און די צאל פארמירט פון די פריערדיקע ציפער מוז טיילן זיך אויף פיר.
 אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 2 אדער 8, זיין קוואדראט לאזט אויס 4 און דער פריערדיקער ציפער מוז זיין גראד.
 אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 3 אדער 7, זיין קוואדראט לאזט אויס 9 און די צאל פארמירט פון די פריערדיקע ציפער מוז טיילן זיך אויף פיר.
 אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 4 אדער 6, זיין קוואדראט לאזט אויס 6 און דער פריערדיקער ציפער מוז זיין נומיק. 
 אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 5, זיין קוואדראט לאזט אויס 25 און דער פריערדיקער ציפער מוז זיין 0, 2, 06 אדער 56.

א גרינגן וועג צו  קוואדראטירן א צאל איז צו טרעפן צוויי צאלן וואס האבן זי אלס דורכשניט, 212: 20 און  22, און טאפלען די צוויי צאלן און צולייגן דעם קוואדראט פון דער ווייט פונעם דורכשניט: 22×20 = 440 + 12 = 441. דאס ארבעט צוליב דער אידענטיטעט: (x – y)(x + y) = x2 – y2

באקאנט אלס דער  דיפערענץ פון צוויי קוואדראטן. אזוי (21 – 1)(21 + 1) = 212 – 12 = 440, אז מען רעכנט צוריקוועגס. 

א קוואדראטצאל קען נישט זיין קיין פערפעקטע צאל.

נומיקע און גראדע קוואדראטצאלן 

דער קוואדראט פון א גראדער צאל איז גראד, ווייל (2n)2 = 4n2.

דער קוואדראט פון א נומיקער צאל איז נומיק, ווייל  (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.

אזוי אויך איז דער קוואדראט ווארצל פון א גראדער קוואדראטצאל גראד, און דער קוואדראט ווארצל פון א נומיקער צאל נומיק.

 טשענ'ס טעארעם 
טשען זשינגרון האט געוויזן אין  1975 אז עס איז שטענדיק דא א צאל  P וואס איז אדער  א  פרימצאל אדער א פראדוקט פון צוויי פרימצאלן צווישן n2 און (n+1)2.

 צו ליינען ווייטער 
 Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 30-32, 1996. ISBN 0-387-97993-X

 וועבלינקען 
 Dario Alpern, Sum of squares. A Java applet to decompose a natural number into a sum of up to four squares.
 Fibonacci and Square Numbersat

קאַטעגאָריע:נומערן
קאַטעגאָריע:אריטמעטיק