简谐运动

简谐运动（），也叫简谐振动、谐振，是顶基本顶简单个一种机械振动。当某物体进行简谐运动时，物体所受个力搭位移成正比，并且力总是指向平衡位置。具体来讲，就是物事会得循环往复个运动。假使讲用表示物体受到个回復力，用表示物体对平衡位置个位移，根据胡克定律，帮成正比，箇末好写成下头箇隻公式：

里向，是回復力帮位移成正比个比例系数，一般性是弹簧个刚度；负号表明回復力个方向永远帮物体位移个方向相反。假使讲呒没摩擦力，箇末伊就好永远箇能循环往复个动，表明伊机械能守恒。Galeriu, C., Edwards, S., & Esper, G. (2014). An Arduino investigation of simple harmonic motion. The Physics Teacher, 52(3), 157-159.

 动力学方程 

对一维个简谐振动来讲，伊个动力学方程是二阶微分方程，从牛顿第二定律好推导出

又因为胡克定律，回復力好写成

故咾拿後头隻式子厾进去，有得

拿方程解出来，有得下头箇隻有正弦函数个结果：
，箇当中

，，是初始条件决定个常数。拿平衡位置当原点么，每一项侪有伊自家个物理意义：是振幅，是角频率，箇末速度加速度好算出来分别是

（勒垃平衡位置）

（勒垃位移顶大个地方）

加速度也好用位移写出来，是下头箇隻式子：
。

因为 ，
，

又因为周期，故咾：，说明简谐振动有等时性，也就是做简谐振动个质点，伊个运动周期跟振幅、相位弗搭界。

 能量分析 
拿厾到里向，箇末整隻系统勒垃任何时间点个动能侪好写成功Energy in Simple Harmonic Motion.：
（动能个定义）；
拿速度方程厾进去，好化简出
。

同时，勒垃整隻系统勒垃任何时间点个势能好写成：
（弹弓系统势能个定义）；
拿位移方程厾进去，好化简出
。

假使讲呒没能量流失，箇末整隻系统勒垃任何时间点个机械能（动能同位能个总和）是：
（机械能个定义）。
因为无论是几何，永远成立，故咾机械能只同振幅、刚度有关系，关系好写成：
。

 简谐运动个叠加 
 同一直线丄个叠加 
对同一直线丄个简谐振动来讲，伊个叠加是邪气便当个，好写成下头个形式：

箇当中，振幅是：，相位角有得：

假使讲是几隻频率一式一样个简谐振动叠加个说话，ω1 = ω2，故咾好简化成下头个式子：

 垂直方向个叠加 

箇末两隻简谐振动个位移方程式好分别写成下头箇样子：

箇能会得出现图里向个李萨如图形。

 实用例子 
 弹簧 
拿质量是个物事挂勒刚度k个弹簧个一端，再移动物事，箇末会得进行简谐运动，方程是：

伊个周期是：

。

总能量是常数，好通过方程算出来。

 匀速圆周运动 
匀速圆周运动个一维投影是简谐振动。假使讲物事用个角速率沿咾半徑是个圆动，箇末伊勒垃x軸、y軸或任意一條直徑丄个投影侪是简谐振动，振幅是，角速率。

 单摆 
勒垃偏角弗太大个情况（一般性認為小於5°）下头，单摆个运动好近似看成是简谐运动。假使讲单摆长，重力加速度是，箇末周期是：

迭隻公式只有勒垃偏角咾小个辰光纔好用，因为角加速度个表达式是帮位置个正弦成正比而弗是位置：

箇当中I是转动惯量，有。当邪气小个辰光，，故咾好简化成後头隻式子：

故咾角加速度与成正比，满足简谐运动个定义。单摆个回復力是摆球个重力沿咾运动方向个分力。

 参考 

 外部链接 
 弹簧震动Java模拟 

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