Định lý kéo dài

Định lý trục quay kéo dài hay còn gọi là định lý Routh cho Mômen quán tính, hay Routh's Rule, hay Stretch Rule, là định lý dùng để tìm ra mômen quán tính của các vật thể dựa trên sự kéo dài của các vật thể khác đã có sẵn công thức mômen quán tính.

 Nội dung 
Mômen quán tính của một vật rắn đối sẽ không thay đổi khi nó bị kéo dài dọc theo hướng trục quay chính của nó  
Định lý này được sử dụng cùng với Định lý trục quay song song và Định lý trục quay vuông góc để tính toán mômen quán tính của các vật thể với nhiều hình dạng khác nhau.

 Công thức 
nhỏ|Định lý kéo dài
Định lý này xuất phát từ định nghĩa của mômen quán tính:

Với r khoảng cách trực tiếp từ một khối lượng điểm tới trục quay x. Khi kéo dài vật thể theo hướng song song với trục quay chính, khoảng cách r sẽ không thay đổi và ngay cả khối lượng điểm bị kéo dài theo hướng trục quay cũng không thay đổi, do đó kết quả tich phân của mômen quán tính  Iz cũng sẽ không thay đổi.

 Ứng dụng 
nhỏ|Ứng dụng của Định lý kéo dài
Ví dụ 1: Mômen quán tính của một vật hình chữ nhật (a rectangular) với khối lượng m, chiều rộng a và chiều dài b đối với trục quay x, sẽ bằng mômen quán tính của cây gậy (a rod) với cùng khối lượng m và chiều dài a, đối với trục quay x.

nhỏ|Một ứng dụng khác của Định lý kéo dài
Ví dụ 2: Mômen quán tính của một vật hình chữ nhật (a rectangular) với khối lượng m, chiều rộng a và chiều dài b đối với trục quay z, sẽ được tính bởi công thức sau đây.

Công thức này có thể được chứng minh một cách dễ dàng bằng cách sử dụng Định lý Kéo dài trên vật thể hình gậy (a rod) như sau: 
Nếu kéo dài một cây gậy với khối lượng m và chiều dài a theo hướng trục x với một khoảng cách b, sẽ tạo thành một vật thể hình chữ nhật với 2 cạnh a,b và khối lượng m. 

Tương tự, nếu kéo dài cây gậy với khối lượng m và chiều dài b theo hướng trục y với một khoảng cách a, sẽ tạo thành một vật thể hình chữ nhật, giống hệt hình chữ nhật trước, có 2 cạnh a,b và khối lượng m.

Áp dụng Đinh lý trục quay vuông góc:  (Perpendicular Axis Theorem), chúng ta sẽ có công thức:

nhỏ|Ứng dụng của Định lý kéo dài cho hình dĩa và xi lanh
Ví dụ 3: Mômen quán tính của một vật hình xi lanh (a cylinder) với khối lượng m, chiều dài L, bán kính R  đối với trục quay x, sẽ bằng mômen quán tính của vật dĩa (a disk) với cùng khối lượng m và bán kính R, theo hướng trục quay x.

Xem thêm
Định lý trục quay song song
Mômen quán tính
 Định lý trục quay vuông góc
Tham khảo

Thể loại:Cơ học cổ điển