Không gian độ đo

Không gian độ đo là một đối tượng cơ bản trong lý thuyết độ đo, một phân nhánh của toán học chuyên nghiên cứu các khái niệm tổng quát hóa liên quan đến thể tích. Không gian độ đo gồm một tập nền, các tập hợp con có thể đo được của tập nền (đại số sigma) và phương pháp đo (độ đo). Không gian xác suất là một ví dụ tiêu biểu về không gian độ đo.

Không gian đo được chứa hai thành phần đầu tiên mà không có độ đo xác định.

 Định nghĩa 
Không gian độ đo là bộ ba  trong đó
  là tập hợp
  là một -đại số trên tập 
  là độ đo trên 
  phải thỏa mãn tính cộng đếm được: nếu  rời nhau từng đôi một thì 

Nói cách khác, không gian độ đo chứa một không gian đo được  cùng với một độ đo trên không gian đó.

 Ví dụ 

Cho . -đại số trên tập hữu hạn như trong ví dụ này thường là tập lũy thừa, tập hợp chứa tất cả các tập con (của một tập cho trước) ký hiệu là  Theo quy ước này, đặt

Trong trường hợp đơn giản trên, các phần tử trong tập lũy thừa có thể được viết ra thành

Ta định nghĩa độ đo  như sau:

dẫn đến  (theo tính cộng của độ đo) và  (theo định nghĩa độ đo).

Ta có không gian độ đo  Đây là một không gian xác suất do  Độ đo  chính là phân phối Bernoulli với  vốn được sử dụng để mô hình hóa phép gieo đồng tiền cân đối và đồng chất chẳng hạn.

 Các lớp không gian độ đo quan trọng 
Đa số lớp không gian độ đo quan trọng được định nghĩa theo tính chất của độ đo tương ứng. Dưới đây là một vài ví dụ theo tính tổng quát tăng dần:
 Không gian xác suất, không gian độ đo ứng với độ đo xác suất
 Không gian độ đo hữu hạn, ứng với độ đo hữu hạn
 Không gian độ đo -hữu hạn, ứng với độ đo -hữu hạn

Một lớp không gian độ đo khác là không gian độ đo đầy đủ.

 Tham khảo 

Thể loại:Lý thuyết độ đo