Bất đẳng thức Hadwiger–Finsler

Bất đẳng thức Hadwiger–Finsler là một bất đẳng thức tam giác do Paul Finsler (1894 - 1970), nhà toán học hai dòng máu Đức-Thụy Sĩ và Hugo Hadwiger (1908 - 1981), nhà toán học người Thụy Sĩ tìm ra và chứng minh năm 1937. Bài đăng về bất đẳng thức này được đăng trên cùng trang báo tạp chí khoa học với định lý cùng tên về hai hình vuông.

Phát biểu
Cho a, b và c là số đo ba cạnh của một tam giác có diện tích S. Khi đó

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác đó là tam giác đều.

Đặc điểm
Đây là bất đẳng thức mở rộng của bất đẳng thức Weitzenböck khi cho a, b và c là số đo ba cạnh của một tam giác có diện tích S thìMartin Lukarevski, The circummidarc triangle and the Finsler-Hadwiger inequality, Math. Gaz. 104 (July 2020) pp. 335-338. doi:10.1017/mag.2020.63:

Mở rộng
Áp dụng cho tứ giác: Cho a, b, c và d là bốn cạnh của một tứ giác lồi có diện tích S. Khi đó: Leonard Mihai Giugiuc, Dao Thanh Oai and Kadir Altintas, An inequality related to the lengths and area of a convex quadrilateral, International Journal of Geometry, Vol. 7 (2018), No. 1, pp. 81 - 86, 

với   Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d hay tứ giác đó là hình vuông.

Chứng minh
Theo Định lý cos, ta có: 

với α là góc của tam giác hợp bởi hai cạnh có số đo b và c. Do đó: 

Chú ý rằng  nên: 

Chú ý rằng 

và 

Áp dụng những điều trên ta có: 

Làm tương tự với các cạnh của tam giác và cộng theo vế, ta có: 

với β và γ là hai góc còn lại của tam giác. Do nửa số đo góc của tam giác luôn nhỏ hơn  nên hàm số tan là một hàm lồi. Suy ra: 


Do đó:

Ta có điều phải chứng minh.

Xem thêm
Bất đẳng thức Pedoe
Định lý Finsler–Hadwiger

Tham khảo

Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, , pp. 84-86

Liên kết ngoài



Thể loại:Tam giác
Thể loại:Bất đẳng thức
Thể loại:Hình học phẳng