Bất đẳng thức Pedoe

Bất đẳng thức Pedoe (hay còn được biết đến với tên đầy đủ là bất đẳng thức Neuberg–Pedoe) là một bất đẳng thức hình học do Dan Pedoe (1910 – 1998), một nhà toán học người Anh và Joseph Neuberg (1840 - 1926), một nhà toán học người Luxembourg chứng minh. Neuberg ban đầu tìm ra bất đẳng thức này, tuy nhiên ông không để lại lời chứng minh. Năm 1941, Pedoe đã một lần nữa tìm ra nó, kèm lời chứng minh được đăng trên một số tạp chí khoa học.

Nội dung
Cho a, b, và c là độ dài ba cạnh của một tam giác có diện tích s, và A, B, và C là độ dài ba cạnh của một tam giác có diện tích S. Khi đó ta có

với đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai tam giác đồng dạng theo các cặp cạnh tương ứng (A, a), (B, b), and (C, c).

Vế trái của bất đẳng thức không chỉ đúng khi thay đổi hoán vị theo cặp { (A, a), (B, b), (C, c) }, mà còn đúng khi thay a bằng A, b bằng B và c bằng C.  Do đó, đây là một bất đẳng thức đối xứng.

Bất đẳng thức Pedoe là tổng quát của bất đẳng thức Weitzenböck, liên quan đến hệ thức giữa cạnh và diện tích của tam giác.

Chứng minh
Áp dụng công thức Heron, ta có:

Tiếp theo, áp dụng Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz ta có:

Do đó,



Kết thúc chứng minh.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , điều này có nghĩa hai tam giác trên đồng dạng.

Tham khảo



Thể loại:Tam giác
Thể loại:Bất đẳng thức
Thể loại:Hình học phẳng