Dãy khớp

Định nghĩa  
Một dãy các đồng cấu -môđun (nhóm)

được gọi là khớp tại  nếu . Dãy khớp trên được gọi là khớp nếu nó khớp tại  với mọi . Nếu chỉ có hữu hạn các  thì ta nói dãy khớp trên là hữu hạn, ngược lại ta nói dãy khớp là vô hạn.

Xét riêng phạm trù các -môđun, ta nói dãy chẻ ra tại  nếu  là một hạng tử trực tiếp của , tức tồn tại môđun con  của  sao cho .

Mặc dù dãy khớp trên nhóm và môđun có thể định nghĩa tương tự nhau nhưng tính chất của chúng rất khác nhau vì phạm trù các nhóm không phải là một phạm trù aben. Điển hình là bổ đề chẻ đưa ra điều kiện tương đương cho tính chẻ của dãy khớp ngắn chỉ đúng trên phạm trù aben.

 Dãy khớp ngắn 
Một dãy khớp có dạng như sau được gọi là dãy khớp ngắn

trong đó ta hiểu bên trái và bên phải dãy khớp trải dài vô tận các môđun (nhóm) tầm thường. Trong trường hợp này ta có thể thấy dãy là khớp khi và chỉ khi

 Dãy khớp tại 
  là đơn cấu.
  là toàn cấu.
Một cách trực quan ta có thể hiểu dãy khớp này mô tả quan hệ  nhúng vào  và  là thương của  trên . Điều này là do Định lý đẳng cấu thứ nhất và tính khớp tại 


 Dãy khớp dài 
Một dãy khớp tổng quát thông thường được gọi là một dãy khớp dài nhằm phân biệt với dãy khớp ngắn. Tuy nhiên ta hoàn toàn có thể coi một dãy khớp dài là sự liên kết của nhiều dãy khớp ngắn lại với nhau. Để thấy được điều này, xét dãy khớp dài sau

Đặt . Để ý rằng
 .
Vậy tại mỗi vị trí  trong dãy, ta có một dãy khớp ngắn
 .
Gắn các dãy khớp ngắn đó vào lại dãy khớp dài ban đầu, ta được sơ đồ giao hoán sau:

không_khung|509x509px

Ngược lại, cho trước các dãy khớp ngắn như trên, khi đó chúng hoàn toàn xác định một dãy khớp dài với đồng cấu  là hợp nối ánh xạ . Tính khớp lúc này dễ dàng được thỏa mãn.

 Tham khảo 

Thể loại:Đại số đồng điều