Hàm Dirichlet

Trong toán học, hàm DirichletDirichlet Function — from MathWorld là hàm chỉ thị  của tập số hữu tỉ , với  khi  là số hữu tỉ và  khi  không phải là số hữu tỉ (hay  là số vô tỉ).

Hàm số này được đặt theo tên của nhà toán học Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Hàm Dirichlet là phản ví dụ điển hình cho nhiều lý thuyết toán học. 

 Tính chất 

 Công thức tường minh 

Hàm Dirchlet có thể được biểu diễn dưới dạng hai phép tính giới hạn của một hàm liên tục như sau: 
với  và  là hai số nguyên. Công thức này chỉ ra rằng hàm Dirchlet là hàm Baire loại 2.

 Tính liên tục 
Hàm Dirichlet không liên tục tại bất cứ điểm nào.

Chứng minh trên cũng giúp ta có một phản ví dụ cho định lý hội tụ đơn điệu không đúng khi xét tích phân Riemann.

 Tính tuần hoàn 
Với mọi số thực  và bất cứ số hữu tỉ dương  nào, ta đều dễ dàng có được . Tính chất này khiến hàm Dirichlet là một ví dụ tốt cho hàm tuần hoàn khác hằng nhưng có tập chu kỳ - đồng thời là tập số hữu tỉ, trù mật trong .

 Tính khả tích 
Mặc dù bị chặn, nhưng do hàm Dirichlet không liên tục tại bất cứ điểm nào trên  nên nó không khả tích Riemann. (Xem thêm độ đo Lebesque)
Tuy nhiên, hàm Dirichlet lại khả tích Lebesque trên  và tích phân của nó trên  bằng 0, do hàm Dirchlet bằng 0 hầu khắp nơi (chỉ trừ tập số hữu tỉ, mà tập số hữu tỉ là tập đếm được nên có độ đo không).

 Xem thêm 
 Hàm Thomae - một phiên bản giống với hàm Dirchlet nhưng chỉ không liên tục tại các điểm hữu tỉ.
 Tích phân Riemann và Tích phân Lebesque

 Chú thích 


Thể loại:Giải tích thực
Thể loại:Hàm số sơ cấp đặc biệt