Bổ đề chẻ

Bổ đề chẻ là một bổ đề trong đại số đồng điều cho ta các điều kiện tương đương để một dãy khớp chẻ ra. Cụ thể, nếu ta có một dãy khớp ngắn các -môđun
thì khi đó các phát biểu sau là tương đương:

 Dãy khớp chẻ ra tại : Tồn tại môđun con  của  sao cho 
  khả nghịch trái: Tồn tại đồng cấu  sao cho
  khả nghịch phải: Tồn tại đồng cấu  sao cho
Trong trường hợp dãy khớp chẻ như trên, tổng trực tiếp ở phát biểu (1) có thể viết lại dưới dạng
 .
Ở đây ta đồng nhất  với  và  với , thật vậy từ các Định lý đẳng cấu ta có


 Chứng minh bổ đề 

 (1) suy ra (2) 
Giả sử dãy khớp chẻ tại , tức . Để chứng minh (2), ta chọn cụ thể  là hợp nối của các đồng cấu

trong đó   là phép chiếu tự nhiên,  là đẳng cấu xác định bởi đơn cấu  giới hạn trên tập ảnh của nó. Khi đó ta có ngay . 

 (1) suy ra (3) 
Giả sử dãy khớp chẻ tại , tức . Xét  là đồng cấu  giới hạn trên . Do  nên  là đơn cấu. Hơn nữa  cũng là toàn cấu do với mọi , vì  là toàn cấu nên tồn tại  để . Ta viết  duy nhất dưới dạng , trong đó  và . Khi đó  theo định nghĩa. Tóm lại  là đẳng cấu.

Bây giờ để chứng minh (3), chọn . Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

 (2) suy ra (1) và (3) suy ra (1) 
Để chứng tỏ điều này, ta chứng minh một kết quả mạnh hơn: Nếu các đồng cấu  và  thỏa  là đẳng cấu thì khi đó . Thật vậy, với mọi , ta có sự phân tích


trong đó  và . Hơn nữa giả sử . Xét  với , khi đó ta có . Từ giả thiết  là đẳng cấu nên suy ra .

Quay lại bổ đề cần chứng minh, nếu  thì theo kết quả trên ta có . Vậy (2) suy ra (1).

Một cách tương tự, nếu  thì ta có . Vậy (3) suy ra (1).

 Tham khảo 

Thể loại:Đại số đồng điều
Thể loại:Bổ đề trong lý thuyết phạm trù