Công thức tích phân Cauchy

Trong toán học, công thức tích phân Cauchy phát biểu tích phân của hàm chỉnh hình trên tập mở có thể được tính bằng giá trị của hàm này tại các điểm trên miền tập mở đã cho, hơn nữa còn cung cấp công cụ để tính đạo hàm của hàm chỉnh hình bằng tích phân. Công thức này được đặt tên dựa trên nhà toán học người Pháp Augustin-Louis Cauchy, là công thức quan trọng của bộ môn giải tích phức.

Cũng từ công thức này, người ta nhận thấy trong giải tích phức thì đạo hàm và tích phân là tương đương nhau, có hành vi nếu hội tụ đều cũng giống nhau - điều không xảy ra trong bộ môn giải tích thực.

 Phát biểu 
Cho  là tập mở trong mặt phẳng phức ,  là đĩa đóng 

sao cho  nằm hoàn toàn trong , hàm  là hàm chỉnh hình và  là biên (được định hướng ngược chiều kim đồng hồ) của . Khi này, với mọi điểm  là điểm trong của , 

Chứng minh công thức này sử dụng đến định lí tích phân Cauchy, hơn nữa cũng giống với định lí này thì hàm  chỉ cần là hàm khả vi phức. Hơn nữa, do hàm  có thể khai triển được thành chuỗi lũy thừa theo biến : 

ta rút ra được hàm chỉnh hình luôn giải tích, tức là mọi hàm chỉnh hình đều có thể khai triển được thành các chuỗi lũy thừa, hay trong tình huống này  là khả vi mọi cấp với công thức 

 Sơ lược chứng minh 
Bằng việc sử dụng định lí tích phân Cauchy, có thể chỉ ra được rằng tích phân trên  bằng với tích phân lấy trên một đường tròn với bán kính nhỏ tùy ý bao quanh . Hơn nữa, do  liên tục, ta luôn có thể chọn được một mặt cầu nhỏ tùy ý sao cho khoảng cách của  với  là nhỏ tùy ý. Hơn nữa, tích phân 

với mọi đường tròn  bao quanh  (ta có thể tính tích phân này bằng việc viết lại phương trình tham số của  dưới dạng )

Cho , ta có 

 Xem thêm  
 Phương trình Cauchy-Riemann
 Tích phân phức
 Định lí Nachbin và định lí Morera
 Định lí Green

Thể loại:Augustin-Louis Cauchy
Thể loại:Định lí trong giải tích phức