Các bài toán của Landau

Tại hội nghị toán học quốc tế năm 1912, Edmund Landau đã liệt kê ra bốn bài toán về số nguyên tố. Các bài toán được nói theo lời của ông "chưa thể tấn công được tại trạng thái hiện tại của toán học" và nay được gọi là các bài toán của Landau. Các bài toán đó như sau:

 Giả thuyết Goldbach: Liệu mọi số chẵn lớn hơn 2 có thể viết thành tổng của hai số nguyên tố?
 Giả thuyết số nguyên tố sinh đôi: Liệu có vô số số nguyên tố p sao cho p + 2 cũng là số nguyên tố?
 Giả thuyết Legendre: Liệu có luôn tồn tại số nguyên tố nằm giữa hai số chính phương liên tiếp?
 Liệu có vô số số nguyên tố p sao cho p − 1 là số chính phương? Nói cách khác: liệu có vô số nguyên tố có dạng n2 + 1?

, cả bốn bài toán vẫn chưa được giải.

 Quá trình giải 

 Giả thuyết Goldbach 
Giả thuyết yếu của Goldbach phát biểu rằng mọi số lẻ lớn hơn 5 có thể viết thành của ba số nguyên tố, giả thuyết này là hệ quả của giả thuyết Goldbach. Ivan Vinogradov chứng minh giả thuyết yếu cho n đủ lớn (xem định lý Vinogradov) trong 1937,I. M. Vinogradov. Representation of an odd number as a sum of three primes, Doklady Akademii Nauk SSSR, 15 (1937), pp. 291-294. lúc sau được Harald Helfgott mở rộng thành bài chứng minh đầy đủ cho giả thuyết yếu trong 2013.

Định lý Chen, một dạng yếu hơn khác của giả thuyết, phát biểu rằng cho mọi n đủ lớn,  trong đó p là số nguyên tố còn q là số nguyên tố hoặc nửa nguyên tố.Số nửa nguyên tố là tích của hai số nguyên tố Bordignon, Johnston, và Starichkova,Matteo Bordignon, Daniel R. Johnston, and Valeriia Starichkova, An explicit version of Chen's theorem sửa lại và củng cố bài của Yamada, đưa ra bản cụ thể hơn của định lý Chen: mọi số chẵn lớn hơn  là tổng của số nguyên tố và tích của tối đa hai số hai nguyên tố. Bordignon & StarichkovaMatteo Bordignon, Valeriia Starichkova, An explicit version of Chen's theorem assuming the Generalized Riemann Hypothesis giảm nó đi còn về  nếu giả sử Giả thuyết Riemann tổng quát cho L-hàm Dirichlet.

Montgomery và Vaughan đã chứng minh tập ngoại lệ của các số chẵn không thể viết thành tổng của hai số nguyên tố có mật độ bằng không, mặc dù tập này vẫn chưa được chứng minh là hữu hạn. Cận tốt nhất hiện tại trên tập ngoại lệ là  (với x đủ lớn) được tìm bởi Pintz,Janos Pintz, A new explicit formula in the additive theory of primes with applications II. The exceptional set in Goldbach's problem, 2018 preprinthttp://real.mtak.hu/124681/1/Cikk2020Rivista.pdf và  dưới giả định RH, do Goldston tìm ra.D.A. Goldston, On Hardy and Littlewood’s contribution to the Goldbach conjecture. Proceedings of the Amalfi Conference on Analytic Number Theory (Maiori, 1989), pp. 115–155, Univ. Salerno, Salerno, 1992.

Linnik đã chứng minh rằng các số chẵn đủ lớn có thể viết thành của tổng của hai số nguyên tố và một hằng số không hiệu quả K là luỹ thừa của 2.Yu V Linnik, Prime numbers and powers of two, Trudy Matematicheskogo Instituta imeni VA Steklova 38 (1951), pp. 152-169. Sau rất nhiều cải tiến (xem bài của PintzJános Pintz, Approximations to the Goldbach and twin prime problem and gaps between consecutive primes, Probability and Number Theory (Kanazawa, 2005), Advanced Studies in Pure Mathematics 49, pp. 323–365. Math. Soc. Japan, Tokyo, 2007.), Pintz và Ruzsa đã rút về K = 8.

 Giả thuyết số nguyên tố sinh đôi 
Yitang Zhang đã chứng minh rằngYitang Zhang, Bounded gaps between primes, Annals of Mathematics 179 (2014), pp. 1121–1174 from Volume 179 (2014), Issue 3 có vô số cặp số nguyên tố có khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 70 triệu, kết quả này sau được cải tiến chỉ còn 246 nhờ nỗ lực hợp tác của dự án Polymath. Dưới giả thuyết Elliott–Halberstam tổng quát, kết quả chỉ lui về còn 6, mở rộng các công trình đi trước của MaynardJ. Maynard (2015), Small gaps between primes. Annals of Mathematics 181(1): 383-413. và Goldston, Pintz & Yıldırım.

Trần Cảnh Nhuận chứng minh có vô số số nguyên tố p (sau được gọi là số nguyên tố Chen) sao cho p + 2 là số nguyên tố hoặc nửa nguyên tố.

 Giả thuyết Legendre 
Ta chỉ cần kiểm tra mỗi khoảng cách số nguyên tố bắt đầu từ p nhỏ hơn . Bảng của các khoảng cách tối đại cho thấy giả thuyết vẫn đúng cho đến 264 ≈ 1.8.Dr. Thomas R. Nicely, First occurrence prime gaps Nếu có ví dụ phản chứng gần kích thước đó thì nó cần phải có khoảng cách gấp trăm triệu lần khoảng cách trung bình.

Järviniemi,Olli Järviniemi, On large differences between consecutive primes, arXiv preprint (2022). arXiv:2212.10965 [math.NT] cải tiến bài của Heath-Brown và Matomäki,. chứng minh rằng có tối đa  số nguyên tố ngoại lệ có khoảng cách đứng sau lớn hơn ; cụ thể hơn, nghĩa là



Một kết quả được tìm bởi Ingham chứng minh rằng tồn tại số nguyên tố nằm giữa  và  cho n đủ lớn.

 Số nguyên tố gần chính phương 
Bài toán thứ tư của Landau hỏi liệu có vô số số nguyên tố có dạng  với n nguyên. (Danh sách các số nguyên tố dưới dạng này nằm trong .) Bài toán này là hệ quả của một số giả thuyết lý thuyết số khác chẳng hạn như giả thuyết Bunyakovsky và giả thuyết Bateman–Horn. , bài toán này vẫn còn mở.

Một ví dụ của các số nguyên tố gần chính phương là số nguyên tố Fermat. Henryk Iwaniec chứng minh có vô số số có dạng  và có tối đa hai ước nguyên tố.. AnkenyN. C. Ankeny, Representations of primes by quadratic forms, Amer. J. Math. 74:4 (1952), pp. 913–919. và KubiliusJ. Kubilius, On a problem in the n-dimensional analytic theory of numbers, Vilniaus Valst. Univ. Mokslo Darbai. Mat. Fiz. Chem. Mokslu Ser., 4:5–43, 1955. chứng minh rằng nếu giả sử giả thuyết Riemann mở rộng cho các L-hàm số trên ký tự Hecke, thì có vô số số nguyên tố dưới dạng  với . Giả thuyết Landau là dạng mạnh hơn khi . Kết quả tốt nhất không điều kiện là của Harman & LewisG. Harman and P. Lewis, Gaussian primes in narrow sectors. Mathematika, 48(1-2):119–135 (2003), 2001 và nó cho .

Merikoski,Jori Merikoski, Largest prime factor of n^2+1, J. Eur. Math. Soc. (2022), published online first. arXiv:1908.08816 [math.NT] cải tiến từ các công trình trước,Jean-Marc Deshouillers and Henryk Iwaniec, On the greatest prime factor of , Annales de l'Institut Fourier 32:4 (1982), pp. 1–11.J. Ivanov, Uber die Primteiler der Zahlen vonder Form A+x^2, Bull. Acad. Sci. St. Petersburg 3 (1895), 361–367. chứng minh có vô số số nguyên dạng  có ước nguyên tố lớn nhất của nó ít nhất .Merikoski đưa ra hai giả thuyết sẽ tăng số mũ đó lên 1.286 hoặc 1.312, tương ứng. Thay số mũ đó với 2 sẽ ra giả thuyết Landau.

Sàng Brun tìm ra cận trên của mật độ các số nguyên tố có dạng : có  số nguyên tố như thế cho tới . Do đó hầu như mọi số có dạng  là hợp số.

 Xem thêm 

 Danh sách vấn đề mở trong toán học
 Các bài toán của Hilbert

 Chú thích 

 Tham khảo 

 Liên kết ngoài 



Thể loại:Vấn đề mở trong lý thuyết số
Thể loại:Giả thuyết về số nguyên tố