Khoảng cách số nguyên tố

Khoảng cách số nguyên tố là khoảng cách giữa hai số nguyên tố liên tiếp. Khoảng cách thứ n, ký hiệu bởi gn hay g(pn) là khoảng cách giữa số nguyên tố thứ (n + 1) và số nguyên tố thứ n, hay nói cách khác:

Ta có g1 = 1, g2 = g3 = 2, và g4 = 4. Dãy (gn) của khoảng cách số nguyên tố hiện vẫn đang được nghiên cứu kỹ lưỡng, song nhiều bài toán và giả thuyết vẫn còn chưa được chứng minh.

Danh sách 60 khoảng cách số nguyên tố đầu tiên:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, ... .

Theo định nghĩa của gn, mọi số nguyên tố đều có thể viết thành

Quan sát đầu tiên
Khoảng cách số nguyên tố nhỏ nhất và duy nhất là số lẻ là khoảng cách 1 giữa 2, số nguyên tố chẵn duy nhất, và 3, số nguyên tố lẻ đầu tiên. Mọi khoảng cách số nguyên tố khác đều là số chẵn. Chỉ có duy nhất một cặp hai khoảng cách số nguyên tố liên tục bằng 2: khoảng cách g2 và g3 giữa ba số nguyên tố 3, 5, và 7.

Vói bất kỳ số nguyên n, giá trị giai thừa n! là  tích của tất cả các số nguyên dương từ 1 tới n. Sau đó, xét dãy



Dễ nhận thấy phần tử đầu tiên chia hết cho 2, phần tử thứ hai chia hết cho 3, và tiếp tục như vậy.  Do đó, đây là dãy  hợp số liên tiếp, và nó phải thuộc khoảng cách giữa hai số nguyên tố có độ dài ít nhất n.  Điều này có nghĩa khoảng cách số nguyên tố có thể lớn tùy ý,  hay nói dưới công thức: với bất kỳ số nguyên N, tồn tại số nguyên m sao cho .

Tuy nhiên, khoảng cách số nguyên tố với độ dài n có thể xảy ra ở các số nhỏ hơn n!. Lấy ví dụ chẳng hạn, khoảng cách số nguyên tố đầu tiên có độ dài lớn hơn 14 nằm giữa 523 và 541, trong khi 15! là số cực kỳ lớn, 1307674368000.

Các kết quả số học
Thường thì tỷ lệ của gn ∕ln(pn) được gọi là merit của khoảng cách gn . , khoảng cách số nguyên tố lớn nhất với đuôi là số có thể nguyên tố có độ dài 6966714, bao gồm 208296 chữ số của số có thể nguyên tố và merit M = 14.5395, được phát hiện bởi Michiel Jansen dùng phần mềm sàng phát triển bởi J. K. Andersen. Trong khi đó, khoảng cách số nguyên tố lớn nhất với đuôi là số nguyên tố đã được chứng minh có độ dài bằng 1113106 và merit = 25.90, với 18662 chữ số trong số nguyên tố, phát hiện bởi P. Cami, M. Jansen và J. K. Andersen.A proven prime gap of 1113106

, giá trị merit lớn nhất và đầu tiên lớn hơn 40, phát hiện bởi mạng Gapcoin, là 41.93878373 với số nguyên tố 87 chữ số: 293703234068022590158723766104419463425709075574811762098588798217895728858676728143227. Khoảng cách số nguyên tố của số này với số nguyên tố ngay sau đó là 8350.NEW PRIME GAP OF MAXIMUM KNOWN MERIT

+ Các giá trị merit đã được tính ()Dynamic prime gap statisticsTABLES OF PRIME GAPS  Merit  gn  Số chữ số  pn  Năm  Người phát hiện 41.938784  8350  87  xem trên  2017  Gapcoin 39.620154  15900  175  3483347771 × 409#/30 − 7016  2017  Dana Jacobsen 38.066960  18306  209  650094367 × 491#/2310 − 8936  2017  Dana Jacobsen 38.047893  35308  404  100054841 × 953#/210 − 9670  2020  Seth Troisi 37.824126   8382   97  512950801 × 229#/5610 − 4138  2018  Dana Jacobsen

Tỷ lệ Cramér–Shanks–Granville được tính bằng tỷ lệ gn / (ln(pn))2. Nếu ta bỏ đi tỷ lệ cao thất thường của các số nguyên tố 2, 3, 7, thì giá trị lớn nhất tính theo tỷ lệ này là 0.9206386 cho số nguyên tố 1693182318746371. Các giá trị khác có thể được xem ở .

Ta gọi gn là khoảng cách tối đại, nếu gm < gn với mọi m < n.
, khoảng cách tối đại lớn nhất được biết có độ dài 1550, và được tìm thấy bởi Bertil Nyman. Nó là khoảng cách tối đại thứ 80, xuất hiện ngay sau số nguyên tố 18361375334787046697. Các khoảng cách tối đại khác được ghi trong , còn các số nguyên tố tương ứng pn nằm trong , và các giá trị n nằm trong . Dãy các khoảng cách tối đại cho tới số nguyên tố thứ n được giả thuyết có khoảng  phần tử (xem bảng dưới).

+ 80 khoảng cách tối đại đã biết+ Từ 1 đến 27 #  gn  pn  n 1 1  2  1 2 2  3  2 3 4  7  4 4 6  23  9 5 8  89  24 6 14  113  30 7 18  523  99 8 20  887  154 9 22  1,129  18910 34  1,327  21711 36  9,551  1,18312 44  15,683  1,83113 52  19,609  2,22514 72  31,397  3,38515 86  155,921  14,35716 96  360,653  30,80217 112  370,261  31,54518 114  492,113  40,93319 118  1,349,533  103,52020 132  1,357,201  104,07121 148  2,010,733  149,68922 154  4,652,353  325,85223 180  17,051,707  1,094,42124 210  20,831,323  1,319,94525 220  47,326,693  2,850,17426 222  122,164,747  6,957,87627 234  189,695,659  10,539,432+ Từ 28 đến 54 #  gn  pn  n28 248  191,912,783  10,655,46229 250  387,096,133  20,684,33230 282  436,273,009  23,163,29831 288  1,294,268,491  64,955,63432 292  1,453,168,141  72,507,38033 320  2,300,942,549  112,228,68334 336  3,842,610,773  182,837,80435 354  4,302,407,359  203,615,62836 382  10,726,904,659  486,570,08737 384  20,678,048,297  910,774,00438 394  22,367,084,959  981,765,34739 456  25,056,082,087  1,094,330,25940 464  42,652,618,343  1,820,471,36841 468  127,976,334,671  5,217,031,68742 474  182,226,896,239  7,322,882,47243 486  241,160,624,143  9,583,057,66744 490  297,501,075,799  11,723,859,92745 500  303,371,455,241  11,945,986,78646 514  304,599,508,537  11,992,433,55047 516  416,608,695,821  16,202,238,65648 532  461,690,510,011  17,883,926,78149 534  614,487,453,523  23,541,455,08350 540  738,832,927,927  28,106,444,83051 582  1,346,294,310,749  50,070,452,57752 588  1,408,695,493,609  52,302,956,12353 602  1,968,188,556,461  72,178,455,40054 652  2,614,941,710,599  94,906,079,600+ Từ 55 đến 80 #  gn  pn  n55 674  7,177,162,611,713  251,265,078,33556 716  13,829,048,559,701  473,258,870,47157 766  19,581,334,192,423  662,221,289,04358 778  42,842,283,925,351  1,411,461,642,34359 804  90,874,329,411,493  2,921,439,731,02060 806  171,231,342,420,521  5,394,763,455,32561 906  218,209,405,436,543  6,822,667,965,94062 916  1,189,459,969,825,483  35,315,870,460,45563 924  1,686,994,940,955,803  49,573,167,413,483641,132  1,693,182,318,746,371  49,749,629,143,526651,184  43,841,547,845,541,059  1,175,661,926,421,598661,198  55,350,776,431,903,243  1,475,067,052,906,945671,220  80,873,624,627,234,849  2,133,658,100,875,638681,224  203,986,478,517,455,989  5,253,374,014,230,870691,248  218,034,721,194,214,273  5,605,544,222,945,291701,272  305,405,826,521,087,869  7,784,313,111,002,702711,328  352,521,223,451,364,323  8,952,449,214,971,382721,356  401,429,925,999,153,707  10,160,960,128,667,332731,370  418,032,645,936,712,127  10,570,355,884,548,334741,442  804,212,830,686,677,669  20,004,097,201,301,079751,476  1,425,172,824,437,699,411  34,952,141,021,660,495761,488  5,733,241,593,241,196,731  135,962,332,505,694,894771,510  6,787,988,999,657,777,797  160,332,893,561,542,066781,526  15,570,628,755,536,096,243  360,701,908,268,316,580791,530  17,678,654,157,568,189,057  408,333,670,434,942,092801,550  18,361,375,334,787,046,697  423,731,791,997,205,041                              

Các kết quả khác

Cận trên
Theo định đề Bertrand được chứng minh vào năm 1852, luôn có số nguyên tố nằm giữa k và 2k, tức là pn&hairsp;+1 < 2pn, đồng thời nghĩa là gn < pn&hairsp;.

Định lý số nguyên tố được chứng minh trong 1896, phát biểu rằng độ dài trung bình của khoảng cách giữa số nguyên tố p và số nguyên tố tiếp theo sẽ tiến dần theo tiệm cận tới ln(p) (lôgarit tự nhiên của số p) cho số nguyên tố p đủ lớn. Độ dài thực tế của khoảng cách có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn giá trị này. Song, ta vẫn có thể suy ra từ định lý số nguyên tố cận trên của độ dài khoảng cách số nguyên tố.

Cho mọi , tồn tại số tự nhiên  sao cho với mọi  
.

Ta có thể suy ra khoảng cách số nguyên tố sẽ nhỏ dần đi tuỳ ý tương xứng với các số nguyên tố: tức là thương

Hoheisel (1930) là người đầu tiên tìm ra rằng tồn tại hằng số θ < 1 sao cho

do đó chứng minh được rằng

cho n đủ lớn.

Hoheisel thu về được kết quả khả thi 32999/33000 cho θ. Sau được cải tiến thành 249/250 bởi Heilbronn, và thành θ = 3/4 + ε, cho bất kỳ ε > 0, bởi Chudakov.

Một cải tiến lớn được đưa bởi Ingham, người chứng minh rằng cho một số hằng số dương c,

Nếu  thì  cho bất kỳ 

Ở đây, O là ký hiệu O lớn,  ζ ký hiệu hàm zeta Riemann và π là hàm đếm số nguyên tố. Bởi vì có thể chấp nhận bất kỳ c > 1/6, ta sẽ thu được θ là một số nào đó lớn hơn 5/8.

Một hệ quả trực tiếp từ kết quả của Ingham là sẽ luôn có số nguyên tố nằm giữa n3 và (n + 1)3, nếu n đủ lớn. Phỏng đoán Lindelöf sẽ suy ra công thức của Ingham thoả mãn với mọi c dương: song thế này chưa đủ để chứng minh luôn có số nguyên tố nằm giữa n2 và (n + 1)2 cho n đủ lớn (xem giả thuyết Legendre). Để kiểm chứng điều này, ta cần một kết quả mạnh hơn như giả thuyết Cramér chẳng hạn.

Huxley trong 1972 đã chứng minh ta có thể chọn θ = 7/12 = 0.58(3).

Một kết quả khác từ Baker, Harman và Pintz trong 2001, đã chứng minh θ có thể là 0.525.

Trong 2005, Daniel Goldston, János Pintz và Cem Yıldırım đã chứng minh rằng

và sau 2 năm cải thiện nó thành to

Trong 2013, Yitang Zhang đã chứng minh rằng

nghĩa là có vô số khoảng cách có độ dài không quá 70 triệu. Đến ngày 20 tháng 7 năm 2013, dự án Polymath đã nỗ lực hợp tác và tối ưu hoá rút cận trên của Zhang về 4680. Trong tháng 11 năm 2013, James Maynard giới thiệu phương pháp mịn hoá mới cho sàng GPY, cho phép ông rút gọn cận trên về 600 và chứng minh rằng cho bất kỳ m, tồn tại khoảng bị chặn có vô hạn số tịnh tiến mà mỗi cái trong đó có m số nguyên tố. Sử dụng các ý tưởng của Maynard, dự án Polymath đã cải tiến cận trên về 246; và nếu giả định giả thuyết Elliott–Halberstam hoặc dạng tổng quát của nó đúng, thì cận trên sẽ rút gọn về 12 hoặc 6, tương ứng.

Xem thêm
 Bất đẳng thức Bonse

Tham khảo

Thể loại:Số nguyên tố
Thể loại:Hàm số học