Lý luận Frattini

Trong lý thuyết nhóm, một nhánh toán học, lý luận Frattini là bổ đề quan trọng trong lý thuyết cấu trúc của các nhóm hữu hạn. Lý luận này được đặt tên theo Giovanni Frattini, người sử dụng nó trong bài viết năm 1885 để lý giải cho nhóm con Frattini của nhóm. Lý luận đưa bởi Frattini, được lấy từ bài của Alfredo Capelli năm 1884.M. Brescia, F. de Giovanni, M. Trombetti, "The True Story Behind Frattini’s Argument", Advances in Group Theory and Applications 3, doi:10.4399/97888255036928

Lý luận Frattini
Phát biểu

Nếu  là nhóm hữu hạn có nhóm con chuẩn tắc , và  là p-nhóm con Sylow của , thì

trong đó  ký hiệu nhóm chuẩn hóa của  trong  và  là tích các tập con của nhóm.

Chứng minh
Nhóm  là -nhóm con Sylow của , do đó mọi -nhóm con Sylow của  là liên hợp  của , nghĩa là nó có dạng , với  (xem định lý Sylow).  Gọi  là bất kỳ phần tử thuộc .  Bởi  chuẩn tắc trong , nên nhóm con   nằm trong . Điều này nghĩa là  là -nhóm con Sylow của .  Từ trên, ta sẽ suy ra được rằng  phải liên hợp với : nghĩa là cho 

,

và vì vậy

.

nên,

,

do đó . Nhưng vì  được chọn tùy ý, do đó 

Ứng dụng
 Lý luận Frattini có thể dùng làm một phần cho bài chứng minh rằng bất kỳ nhóm lũy linh hữu hạn nào đều có thể viết thành tích trực tiếp của các nhóm con Sylow của nó.
 Bằng cách áp dụng lý luận Frattini cho , ta có thể chứng minh rằng  khi  là nhóm hữu hạn và  là -nhóm con Sylow của .
 Tổng quát hơn, nếu nhóm con  chứa  cho một số -nhóm con Sylow  của , thì  tự chuẩn hóa, tức là .

Liên kết ngoài
 Frattini's Argument on ProofWiki

Tham khảo

     (See Chapter 10, especially Section 10.4.)

Thể loại:Bổ đề trong lý thuyết nhóm
Thể loại:Bài viết có chứng minh