Danh sách số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo

thế=Biểu đồ hai xu hướng với trục hành biểu thị năm, trục tung là số lượng chữ số của số nguyên tố đã biết tính theo hàm loga|nhỏ|Đồ thị lôgarit của số chữ số của số nguyên tố lớn nhất đã biết theo năm phát hiện, gần như tất cả đều là số nguyên tố Mersenne

Số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo là hai loại số tự nhiên có quan hệ chặt chẽ với nhau trong lý thuyết số. Số nguyên tố Mersenne đặt theo tên nhà toán học Marin Mersenne là các số nguyên tố có thể biểu thị dưới dạng  với  là số nguyên dương. Ví dụ,  là số nguyên tố Mersenne vì nó là số nguyên tố và có thể biểu diễn được dưới dạng . Bản thân các số  tương ứng với số nguyên tố Mersenne phải là số nguyên tố, nhưng ngược lại không phải mọi số nguyên tố  đều dẫn đến số nguyên tố Mersenne — ví dụ: . Còn số hoàn hảo là số tự nhiên bằng tổng các ước số dương của chính nó, không bao gồm ước số là chính số đó. Theo đó,  là số hoàn hảo vì có các ước số (không bao gồm ) là  và .

Tồn tại song ánh giữa các số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo chẵn được phát biểu trong Định lý Euclid–Euler, do Euclid chứng minh một phần và Leonhard Euler hoàn thiện: các số chẵn là hoàn hảo khi và chỉ khi biểu diễn được dưới dạng , trong đó  là số nguyên tố Mersenne. Nói cách khác, những số nào biểu diễn được dưới dạng đó thì là số hoàn hảo, và tất cả các số hoàn hảo chẵn đều có dạng đó. Ví dụ, khi ,  là số nguyên tố và  là số hoàn hảo.

Một bài toán mở hiện chưa có câu trả lời là số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo chẵn có phải tập vô hạn không. Tần suất phân bố số nguyên tố Mersenne được đề cập qua phỏng đoán Lenstra – Pomerance – Wagstaff phát biểu rằng số lượng số nguyên tố Mersenne nhỏ hơn  cho trước là , trong đó  là số Euler,  là hằng số Euler còn  là logarit tự nhiên. Việc có tồn tại số hoàn hảo lẻ nào không hiện cũng chưa rõ; cũng như các điều kiện khác nhau về việc có thể tồn tại những số này, chẳng hạn như nếu có thì giới hạn dưới của chúng là .

Danh sách dưới đây liệt kê tất cả các số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo hiện đã biết theo số mũ  tương ứng. Tính đến tháng 1/2025, đã khám phá được 52 số nguyên tố Mersenne (tương ứng với 52 số hoàn hảo), 18 số lớn nhất trong đó được phát hiện nhờ dự án máy tính phân tán Great Internet Mersenne Prime Search (Tìm kiếm số nguyên tố Mersenne khổng lồ trên Internet) viết tắt là GIMPS. Các số nguyên tố Mersenne mới được tìm thấy bằng Kiểm tra Lucas-Lehmer (Lucas-Lehmer test - LLT), một kiểm tra tính nguyên tố dành cho số nguyên tố Mersenne theo cách hiệu quả đối với máy tính nhị phân.

Các chỉ số xếp theo thứ tự tăng dần. Theo GIMPS, tất cả các khả năng nhỏ hơn số mũ thích hợp thứ 50 là  đều đã được kiểm tra và xác minh tính đến thời điểm tháng 9 năm 2025. Năm và người phát hiện được tính theo thời điểm cho số nguyên tố Mersenne, vì số hoàn hảo được tính theo hệ quả định lý Euclid-Euler. "GIMPS / tên" được dùng để chỉ những số nguyên tố được phát hiện bởi GIMPS và cá nhân đã phát hiện ra số nguyên tố đó. Các số về sau quá dài không viết hết được trong khuôn khổ nên chỉ hiển thị 6 chữ số đầu và 6 chữ số cuối.

Danh sách
+Bảng 52 số nguyên tố Mersenne đã biết hiện tại và số hoàn hảo tương ứngSTTSố nguyên tố MersenneĐộ dài chữ số số nguyên tố MersenneSố hoàn hảoĐộ dài chữ số của số hoàn hảoThời điểm phát hiệnNgười phát hiệnPhương phápTham khảo123161Thời cổ đạiGhi nhận cho các nhà toán học Hy Lạp cổ đạiKhông ghi lại23712823531249634712738128451381914335503368 khoảng 1456Khuyết danhChia thử6171310716858986905610Pietro Cataldi719524287613743869132812831214748364710230584...95212819Leonhard EulerChia thử bằng giới hạn module961230584...69395119265845...84217637Ivan M. PervushinDãy Lucas1089618970...56211127191561...16921654Ralph Ernest Powers11107162259...28812733131640...7281286512127170141...10572739144740...15212877Édouard Lucas13521686479...057151157235627...646976314Raphael M. RobinsonLLT trên SWAC14607531137...728127183141053...328128366151.279104079...729087386541625...291328770162.203147597...771007664108925...7825281.327172.281446087...836351687994970...9157761.373183.217259117...315071969335708...5250561.937Hans RieselLLT trên BESK194.253190797...4849911.281182017...3775362,561Alexander HurwitzLLT trên IBM 7090204.423285542...5806071.332407672...5345282.663219.689478220...7541112.917114347...5772165.834Donald B. GilliesLLT trên ILLIAC II229.941346088...4635512.993598885...4965765.9852311.213281411...3921913.376395961...0863366.7512419.937431542...0414716.002931144...94265612.003Bryant TuckermanLLT trên IBM 360/912521.701448679...8827516.533100656...60537613.066Landon Curt Noll & Laura NickelLLT trên CDC Cyber 1742623.209402874...2645116.987811537...66681613.973Landon Curt Noll2744.497854509...22867113.395365093...82745626.790Harry L. Nelson & David SlowinskiLLT trên Cray-1 2886.243536927...43820725.962144145...40652851.924David Slowinski29110.503521928...51500733,265136204...86252866.530Walter Colquitt & Luke WelshLLT trên NEC SX-230132.049512740...06131139.751131451...55001679.502David Slowinski và cộng sự (Cray)LLT trên Cray X-MP31216.091746093...52844765.050278327...880128130.100LLT trên Cray X-MP/2432756.839174135...677887227.832151616...731328455.663LLT trên Cray-2 của Harwell Lab33859.433129498...142591258.716838488...167936517.430LLT trên Cray C90341.257.787412245...366527378.632849732...704128757.263LLT trên Cray T94351.398.269814717...315711420.921331882...375616841.842GIMPS / Joel ArmengaudLLT / Prime95 trên PC Pentium 90 MHz 362.976.221623340...201151895.932194276...4629761.791.864GIMPS / Gordon SpenceLLT / Prime95 trên PC Pentium 100 MHz373.021.377127411...694271909.526811686...4578561.819.050GIMPS / Roland ClarksonLLT / Prime95 trên PC Pentium 200 MHz386.972.593437075...1937912.098.960955176...5727364.197.919GIMPS / Nayan HajratwalaLLT / Prime95 trên IBM Aptiva với bộ vi xử lý Pentium II 350 MHz3913.466.917924947...2590714.053.946427764...0210568.107.892GIMPS / Michael CameronLLT / Prime95 trên PC với bộ vi xử lý Athlon T-Bird 800 MHz  4020.996.011125976...6820476.320.430793508...89612812.640.858GIMPS / Michael ShaferLLT / Prime95 trên PC Dell Dimension với bộ vi xử lý Pentium 4 2 GHz4124.036.583299410...9694077.235.733448233...95052814.471.465GIMPS / Josh FindleyLLT / Prime95 trên PC với bộ vi xử lý Pentium 4 2.4 GHz4225.964.951122164...0772477.816.230746209...08812815.632.458GIMPS / Martin Nowak4330.402.457315416...9438719.152.052497437...70425618.304.103GIMPS / Curtis Cooper & Steven BooneLLT / Prime95 trên PC tại Đại học Trung Missouri (UCM)4432.582.657124575...9678719.808.358775946...12025619.616.7144537.156.667202254...22092711.185.272204534...48012822.370.543GIMPS / Hans-Michael ElvenichLLT / Prime95 trên PC4642.643.801169873...31475112.837.064144285...25337625.674.127GIMPS / Odd Magnar StrindmoLLT / Prime95 trên PC với bộ vi xử lý Intel Core 2 3 GHz4743.112.609316470...15251112.978.189500767...37881625.956.377GIMPS / Edson SmithLLT / Prime95 trên PC Dell OptiPlex với bộ vi xử lý Intel Core 2 Duo E66004857.885.161581887...28595117.425.170169296...13017634.850.340GIMPS / Curtis CooperLLT / Prime95 trên PC tại Đại học Trung Missouri49 74.207.281300376...43635122.338.618451129...31577644.677.235GIMPS / Curtis CooperLLT / Prime95 trên PC với bộ vi xử lý Intel Core i7-47905077.232.917467333...17907123.249.425109200...30105646.498.850GIMPS / Jonathan PaceLLT / Prime95 trên PC với bộ vi xử lý Intel Core i5-660079.827.403Mức nhỏ nhất chưa được xác minh51? 82.589.933148894...90259124.862.048110847...20793649.724.095GIMPS / Patrick LarocheLLT / Prime95 trên PC với bộ vi xử lý Intel Core i5-4590T52?136.279.841881694...87155141.024.320388692...008576	82.048.640GIMPS / Luke DurantLLT / GpuOwl trên bộ vi xử lý NVIDIA H100 GPU139.158.919	Mức nhỏ nhất chưa được kiểm tra

Ghi chú

Chú thích

Thư mục































 Liên kết ngoài 
 Chuỗi OEIS A000043 (Số mũ tương ứng ) 
 Chuỗi OEIS A000396 (Số hoàn hảo) 
 Chuỗi OEIS A000668 (Số nguyên tố Mersenne) 

Thể loại:Danh sách toán học
Thể loại:Bảng toán học