Định lý Bolzano–Weierstrass

Trong toán học và đặc biệt là giải tích thực, định lý Bolzano-Weierstrass (tiếng Anh: Bolzano-Weierstrass theorem, đặt theo tên hai nhà toán học là Bernand Bolzano và Karl Weierstrass) là một định lý quan trọng về sự hội tụ trong không gian Euclid hữu hạn chiều . Định lý này phát biểu rằng mọi dãy số thực bị chặn trong  đều tồn tại một dãy con hội tụ.Bartle and Sherbert 2000, p. 81 (cho R). 

Ta cũng có một phát biểu tương đương là một tập con của  là tập compact khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn.Fitzpatrick 2006, p. 52 (cho R), p. 300 (cho Rn).Fitzpatrick 2006, p. xiv.

 Lịch sử và tầm ảnh hưởng 
Định lý Bolzano-Weierstrass được đặt tên dựa theo hai nhà toán học là Bernand Bolzano người Tiệp Khắc và Karl Weierstrass người Đức. Định lý này được chứng minh lần đầu bởi Bolzano vào năm 1817 như là một bổ đề trong chứng minh về định lý giá trị trung gian. Khoảng năm mươi năm sau, định lý này lại được chứng minh một lần nữa bởi Weierstrass, người đã phát hiện ra tầm quan trọng của nó. Từ đó, định lý này trở thành một trong những định lý quan trọng của giải tích.

 Chứng minh 
Ta sẽ chứng minh định lý này trên trường số thực  trước. Nhưng để chứng minh, ta cần sử dụng bổ đề sau đây: 

Bổ đề: Mõi dãy số thực  đều tồn tại một dãy con đơn điệu (tức là một dãy con, hoặc không tăng hoặc không giảm).

Chứng minh bổ đề: Ta xét tập hợp sau 

Nếu  hữu hạn thì dãy  sẽ giảm kể từ một chỉ số nào đó.

Nếu  vô hạn thì ta sẽ trích ra được một dãy con tăng từ .

Do đó trong cả hai trường hợp, ta luôn có một dãy con của  đơn điệu.

Bổ đề được chứng minh.

Bây giờ xét một dãy  bị chặn bất kỳ. Theo bổ đề trên tồn tại một dãy con đơn điệu, đồng thời bị chặn nên nó hội tụ. 

 Chứng minh tham khảo 
Xét dãy  bị chặn, tức là tồn tại m và M sao cho đoạn  chứa tất cả số hạng của dãy .
Ta xây dựng dãy các đoạn thẳng  theo quy tắc sau:

Đặt . Vì  chứa tất cả các số hạng của  nên một trong hai đoạn  phải chứa vô số số hạng của . Nếu đoạn  chứa vô số số hạng của  thì ta đặt . Nếu  chỉ chứa hữu hạn các số hạng của  ( khi đó  chứa vô số số hạng của  ) thì ta đặt .

Bằng phép tương tự, nếu ta đã xây dựng được đoạn  chứa vô số số hạng của  thì sẽ xây dựng được đoạn  là một trong hai nửa của đoạn  và cũng chứa vô số đoạn của .

Như thế, ta xây dựng được dãy các đoạn thẳng  lồng nhau, có  và mỗi đoạn  chứa vô số số hạng của . 

Bây giờ ta chọn dãy con  của  như sau:

1) .

2) . 

Việc chọn này luôn thực hiện được vì  chứa vô số các số hạng của .

Do  nên tồn tại duy nhất một số thực  là giao của tất cả các đoạn thẳng  và dễ thấy theo cách chọn,  chính là giới hạn của dãy con , tức là ta đã trích ra được một dãy con hội tự từ .
Sách Tài liệu giáo khoa chuyên Toán Đại số và giải tích 11, Đoàn Quỳnh, tr. 283,284 

Tham khảo

Thể loại:Định lý trong giải tích thực