Hằng số Catalan

Trong toán học và tổ hợp, hằng số Catalan , đặt tên theo nhà toán học Eugène Charles Catalan, được định nghĩa là

trong đó  là hàm beta Dirichlet. Giá trị của nó là khoảng 

Hiện vẫn chưa biết liệu  là số vô tỷ hay không, chưa nói đến tính siêu việt của nó..

Chuỗi tương tự nhưng có vẻ phức tạp hơn

có thể được tính bằng chính xác 

 Đẳng thức tích phân 
Một số đồng nhất thức liên quan đến tích phân xác định bao gồm

trong đó ba công thức cuối liên quan đến tích phân Malmsten.

Nếu  là tích phân elliptic đầy đủ loại I, với  là môđun elliptic, thì

Với hàm gamma 

Tích phân

là một hàm số đặc biệt, gọi là tích phân hàm tan nghịch, và được nghiên cứu đặc biệt bởi Srinivasa Ramanujan.

 Ứng dụng 
Hằng số  xuất hiện trong tổ hợp, cũng như các giá trị của hàm polygamma thứ hai (còn gọi là hàm trigamma):

Simon Plouffe đưa ra một tập hợp vô hạn các đẳng thức giữa hàm trigamma,  và hằng số Catalan; chúng được biểu diễn thành các đường đi trên một đồ thị.

Trong tôpô ít chiều, hằng số Catalan là bội của thể tích của một khối bát diện hyperbolic lý tưởng..

Nó cũng xuất hiện trong phân phối sec hyperbolic.

 Liên hệ với những hàm số khác 
Hằng số Catalan xuất hiện thường xuyên trong những hàm Clausen, tích phân tan nghịch, tích phân sin nghịch, hàm  Barnes, cũng như tích phân và chuỗi hội tụ của những hàm này.

Một ví dụ cụ thể, bằng cách biểu diễn tích phân tan ngược theo hàm Clausen, sau đó biểu diễn các hàm Clausen theo hàm  Barnes, ta được hệ thức sau đây (xem thêm hàm Clausen):

.

Nếu ta định nghĩa siêu việt Lerch  (liên quan đến hàm zeta Lerch)  là

thì

 Chuỗi hội tụ nhanh 
Hai công thức sau gồm những chuỗi hội tụ nhanh, phù hợp để tính giá trị của hằng số này:


và

Nền tảng lý thuyết cho hai chuỗi trên được đặt ra bởi Broadhurst, cho công thức thứ nhất, và Ramanujan, cho công thức thứ hai.  Một thuật toán để tính nhanh hằng số Catalan được xây dựng bởi E. Karatsuba. 

 Chữ số đã biết 
Số chữ số đã tính được của hằng số Catalan  ngày càng tăng trong những thập kỷ gần đây, nhờ vào hiệu năng của máy tính và cải thiện trong thuận toán.

+ Số chữ số thập phân đã biết của hằng số Catalan  Ngày  Số chữ số thập phân  Tính bởi 1832  16  Thomas Clausen 1858  19  Carl Johan Danielsson Hill 1864  14  Eugène Charles Catalan 1877  20  James W. L. Glaisher 1913  32  James W. L. Glaisher 1990    Greg J. Fee 1996    Greg J. Fee Tháng 8, 1996    Greg J. Fee & Simon Plouffe Tháng 9, 1996    Thomas Papanikolaou 1996    Thomas Papanikolaou 1997    Patrick Demichel Tháng 1, 1998    Xavier Gourdon 2001    Xavier Gourdon & Pascal Sebah 2002    Xavier Gourdon & Pascal Sebah Tháng 10 2006    Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo Tháng 8, 2008    Shigeru Kondo & Steve PagliaruloConstants and Records of Computation Tháng 1, 2009    Alexander J. Yee & Raymond ChanLarge Computations Tháng 4, 2009    Alexander J. Yee & Raymond Chan Tháng 6, 2015    Robert J. SettiCatalan's constant records using YMP Tháng 4, 2016    Ron Watkins Tháng 2, 2019     Tizian Hanselmann Tháng 3, 2019     Mike A & Ian Cutress Tháng 7, 2019     Seungmin KimCatalan's constant records using YMP

 Xem thê 
 Các giá trị cụ thể của hàm zeta Riemann
 Hằng số toán học

 Tham khảo 

 Liên kết ngoài 
 Victor Adamchik, 33 representations for Catalan's constant  (undated)

  (Provides over one hundred different identities).
 Simon Plouffe, A few identities with Catalan constant and Pi^2 , (1999) (Provides a graphical interpretation of the relations) 
 Catalan constant: Generalized power series at the Wolfram Functions Site
 Greg Fee, Catalan's Constant (Ramanujan's Formula) (1996) (Provides the first 300,000 digits of Catalan's constant.)''.





Catalan's Constant — from Wolfram MathWorld
Catalan's Constant (Ramanujan's Formula)
catalan's constant — www.cs.cmu.edu

Thể loại:Tổ hợp
Thể loại:Hằng số toán học
Thể loại:Toán học tổ hợp