Trường thặng dư

Trong toán học, trường thặng dư là một cấu trúc cơ bản trong đại số giao hoán. Nếu R là một vành giao hoán và m là một i-đê-an tối đại, thì trường thặng dư là vành thương k=R/m, là một trường. Thông thường, R là một vành địa phương và m là i-đê-an tối đaị duy nhất của nó.

Trong hình học đại số, vỡi mỗi điểm x của một lược đồ X, ta có một trường thặng dư k(x).   

 Định nghĩa 
Giả sử R là một vành địa phương giao hoán, với m là i-đê-an tối đại của nó. Thế thì trường thặng dư là vành thương R/m.

Bây giờ giả sử X là một lược đồ và x là một điểm của X. Theo định nghĩa của lược đồ, ta có một lân cận a-phin U=Spec(A), với A là một vành giao hoán. Điểm x tương ứng với một i-đê-an nguyên tố p ⊂ A. Vành địa phương của X tại x được định nghĩa là địa phương hóa R=Ap,Ngô Bảo Châu, Giáo trình hình học đại số, 2003 với i-đê-an tối đại m=p·Ap. Ta có trường thặng dư tại điểm x:

 k(x):=Ap/p·Ap.

Người ta có thể chứng minh rằng định nghĩa này không phụ thuộc vào cách lựa chọn lân cận mở a-phin U. Intuitively, the residue field of a point is a local invariant. Axioms of schemes are set up in such a way as to assure the compatibility between various affine open neighborhoods of a point, which implies the statement.

 Thí dụ 
Xét đường thẳng a-phin A1(k)=Spec(k[t]) trên một trường k. Nếu k đóng đại số, có chính xác hai loại i-đê-an nguyên tố, đó là

 (t -a), a ∈ k 
 (0), i-đê-an không.

Các trường thặng dư là


 , trường hàm một biến trên k.

Nếu k không đóng đại số, thì sẽ xuất hiện nhiều loại i-đê-an hơn, ví dụ nếu k = R, thì i-đê-an nguyên tố (x2+1) có trường thặng dư đẳng cấu với C.

 Tính chất 

 Một cấu xạ Spec(K) → X, K một trường, tương đương với việc cho một điểm x ∈ X và một mở rộng trường K/k(x).

 Chú thích 

 Tham khảo 

 Hartshorne, Robin, , section II.2
 Ngô Bảo Châu, 2003, Giáo trình hình học đại số.

Thể loại:Hình học đại số