Tâm (nhóm)

Trong đại số trừu tượng, tâm của một nhóm  là tập hợp các phần tử giao hoán với mọi phần tử của . Nó được ký hiệu là , từ tiếng Đức Zentrum, có nghĩa là trung tâm. Ta có

 }.

Tâm là một nhóm con chuẩn tắc, .

 Tính chất 
Tâm của G luôn là một nhóm con của . Tức là:

  chứa phần tử đơn vị của , bởi vì phần tử đơn vị giao hoán với mọi phần tử , theo định nghĩa: , trong đó  là đơn vị; 
 Nếu  và  thuộc , thì  cũng vậy, do tính kết hợp:  với mọi ; tức là  đóng dưới phép toán nhóm; 
 Nếu  thuộc  thì  cũng thế .

 Lớp liên hợp và nhóm tâm hóa 

 Tính liên hợp 
Xét ánh xạ sau, , từ  tới nhóm tự đẳng cấu của  định nghĩa bởi , và  là tự đẳng cấu của  định nghĩa bởi:
.

Hàm  là một đồng cấu nhóm, và nhân của nó là tâm của , còn ảnh của nó được gọi là nhóm tự đẳng cấu trong của , ký hiệu là . Theo định lý đẳng cấu đầu tiên ta có,
.

Cokernel (Đối nhân) của ánh xạ này là nhóm  chứa các tự đẳng cấu ngoài, và chúng tạo thành chuỗi chính
.

 Ví dụ

 Tâm của nhóm Abel, , là toàn bộ nhóm .
 Tâm của nhóm Heisenberg , là tập các ma trận dưới dạng: 
 Tâm của nhóm đơn phi abel là nhóm tầm thường (nhóm bao gồm duy nhất một phần tử là phần tử đơn vị).
 Tâm của nhóm nhị diện, , tầm thường với mọi số nguyên lẻ . Đối với các số nguyên chẵn ,  Tâm bao gồm phần tử đơn vị cùng với phép quay 180° của hình.
 Tâm của nhóm Quarternion, , là tập .
 Tâm của nhóm đối xứng (lý thuyết nhóm), , tầm thường với .
 Tâm của nhóm thay phiên, , tầm thường với .

 Tham khảo 


 Lathsamivong Kikeo (2011), Tâm và nhóm con giao hoán tử của một số lớp nhóm, Luận văn thạc sĩ toán học

Thể loại:Lý thuyết nhóm