Chuỗi lũy thừa hình thức

Trong toán học, một chuỗi lũy thừa hình thức là một sự khái quát của đa thức, trong đó số các số hạng có thể là vô hạn mà không có yêu cầu nào về sự hội tụ.

 Vành các chuỗi lũy thừa hình thức 
Vành các chuỗi lũy thừa hình thức một biến X với hệ số trong vành giao hoán R được ký hiệu là .

 Cấu trúc vành 
Một phần tử của  có thể được coi như một phần tử của . Ta định nghĩa phép cộng



và phép nhân



Phép nhân này khác với phép nhân từng số hạng. Nó được gọi là tích Cauchy của hai chuỗi hệ số, và là một loại tích chập rời rạc. Với các phép toán này,  trở thành một vành giao hoán với phần tử không  và đơn vị .

 Cấu trúc tô pô 
Theo qui ước



một cấu trúc tô-pô trên vành các chuỗi lũy thừa hình thức được xác định bởi một cấu trúc tô-pô trên . Có nhiều định nghĩa tương đương.

 Chúng ta có thể gán cho  tô pô tích, với mỗi bản sao của  mang tô pô rời rạc.
 Ta cũng có thể gán cho nó tô-pô cảm sinh từ metric sau. Khoảng cách hai chuỗi phân biệt  được định nghĩa là


 với  là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho .

 Ví dụ 
Lưu ý rằng trong  giới hạn



không tồn tại, vì vậy, nó không hội tụ tới



 Các phép toán khác 

 Lũy thừa 
Với một số tự nhiên n ta có



trong đó



 Nghịch đảo 
Chuỗi



là khả nghịch trong  hệ số hằng  là khả nghịch. Chuỗi nghịch đảo  có thể được tính qua công thức đệ quy tường minh



Một trường hợp đặc biệt là công thức chuỗi cấp số nhân được thỏa mãn trong :



 Hợp 
Cho hai chuỗi lũy thừa hình thức




ta có thể định nghĩa phép hợp



với



Tổng này được lấy trên tất cả các cặp (k,j) với  và  sao cho 

 Đạo hàm hình thức 
Cho một chuỗi lũy thừa hình thức



ta có thể xác định đạo hàm hình thức của nó, ký hiệu là Df hoặc f' , bởi



 Tính chất 

 Tính chất đại số của vành các chuỗi lũy thừa hình thức  

 Tính chất tô pô 
Không gian metric  là hoàn chỉnh

Vành  là compact khi và chỉ khi R là hữu hạn.

 Tham khảo 


 Nicolas Bourbaki: Đại số, IV, §4. Springer-Verlag 1988.

 Đọc thêm 

 W. Kuich. Springer, Berlin, 1997,     
 Droste, M., & Kuich, W. (2009). 

Thể loại:Chuỗi toán học
Thể loại:Lý thuyết vành
Thể loại:Đại số trừu tượng