Logarit tự nhiên của 2

Giá trị thập phân của logarit tự nhiên của 2  xấp xỉ bằng



Logarit cơ số khác của 2 được tính bằng công thức



Logarit cơ số 10 của 2 là ()



Nghịch đảo của con số trên là logarit nhị phân của 10:

  ().

Theo định lý Lindemann–Weierstrass, logarit tự nhiên của bất kỳ số tự nhiên nào khác 0 và 1 (tổng quát hơn, của bất kỳ số đại số dương nào khác 1) là một số siêu việt.

 Biểu diễn dạng chuỗi 

 Chuỗi giai thừa đảo dấu 

  Đây là "chuỗi điều hòa đổi dấu" quen thuộc.






 Chuỗi giai thừa nhị phân 








 Các biểu diễn dạng chuỗi khác 










  sử dụng  


 Liên quan đến hàm zeta Riemann 




( là hằng số Euler–Mascheroni và  là hàm zeta Riemann.)

 Biểu diễn dạng BBP 

Áp dụng ba chuỗi tổng quát cho logarit tự nhiên của 2 ta được:

Áp dụng cho  ta được:

Áp dụng cho  ta được:

Áp dụng cho  ta được:

 Biểu diễn dạng tích phân 
Logarit tự nhiên của 2 thường xuyên xuất hiện trong các kết quả lấy tích phân. Một số công thức cụ thể bao gồm:

 Biểu diễn khác 
Khai triển Pierce là 

Khai triển Engel là 

Khai triển cotang là 

Phân số liên tục đơn giản là 
,
cho ta những xấp xỉ hữu tỉ đầu tiên là  và 

Phân số liên tục tổng quát:
,
cũng có thể viết dưới dạng

 Tính những logarit khác 
Sử dụng giá trị của , ta có thể tính logarit của các số tự nhiên khác bằng cách lập bảng logarit của các số nguyên tố rồi tính logarit của các hợp số  dựa trên phân tích ra thừa số nguyên tố của nó

Bảng logarit của các số nguyên tố
 Số nguyên tốLogarit tự nhiên xấp xỉOEIS 2     3     5     7     11     13     17     19     23     29     31     37     41     43     47     53     59     61     67     71     73     79     83     89     97    

Logarit của các số hữu tỉ  có thể tính bằng công thức , và logarit của căn bằng .

Logarit tự nhiên của 2 có ích bởi các lũy thừa của 2 phân bố dày đặc hơn những lũy thừa khác; tìm những lũy thừa  gần với lũy thừa  của số  nào khác là tương đối dễ dàng, và biểu diễn chuỗi của  có thể tính bằng Chuyển đổi logarit.

 Tính toán chữ số 
Sau đây là bảng những kỷ lục gần đây trong việc tính toán các chữ số của . Tính đến tháng 12 năm 2018, logarit của 2 đã có nhiều chữ số được tính hơn bất kỳ logarit tự nhiên của số tự nhiên nào khác, ngoại trừ 1.

 Ngày  Tên  Số chữ số 7 tháng 1 năm 2009  A.Yee & R.Chan  15.500.000.000 4 tháng 2 năm 2009  A.Yee & R.Chan  31.026.000.000 21 tháng 2 năm 2011  Alexander Yee  50.000.000.050 14 tháng 5 năm 2011  Shigeru Kondo  100.000.000.000 28 tháng 2 năm 2014  Shigeru Kondo  200.000.000.050 12 tháng 7 năm 2015  Ron Watkins  250.000.000.000 30 tháng 1 năm 2016  Ron Watkins  350.000.000.000 18 tháng 4 năm 2016  Ron Watkins  500.000.000.000 10 tháng 12 năm 2018  Michael Kwok  600.000.000.000 26 tháng 4 năm 2019  Jacob Riffee  1.000.000.000.000 19 tháng 8 năm 2020  Seungmin Kim  1.200.000.000.100

 Xem thêm 
Quy tắc 72
Chu kỳ bán rã
Phương trình Erdős–Moser

 Tham khảo 







 Liên kết ngoài 




Thể loại:Lôgarit
Thể loại:Hằng số toán học
Thể loại:Số thực siêu việt