Bổ đề Bézout

Trong lý thuyết số cơ bản, bổ đề Bézout được phát biểu thành định lý sau:

Nếu  là ước chung lớn nhất của hai số nguyên không âm  và  thì:
 Tồn tại hai số nguyên  và  sao cho ,
  là số nguyên dương nhỏ nhất có thể viết dưới dạng  và
 Mỗi số  có dạng  đều là bội của .

Hai số  và  được gọi là hệ số Bézout của cặp . Cặp  không phải là duy nhất. Có thể dùng giải thuật Euclid mở rộng để xác định giá trị của cặp . Nếu  và  đồng thời khác 0 thì từ giải thuật Euclid mở rộng ta có cặp  sao cho  và 
(đẳng thức có thể xảy ra khi và chỉ khi a hoặc b là bội số của số còn lại).

Nhiều định lý khác trong lý thuyết số cơ bản là kết quả của bổ đề Bézout, chẳng hạn như bổ đề Euclid hoặc định lý số dư Trung Hoa.

 Đại số giao hoán 
Đặt  là một vành. Ta nói  là một miền Bézout nếu với mọi i-đê-an chính  và  trong , ta có  là một i-đê-an chính. Phần tử sinh của nó cũng được gọi là ước số chung lớn nhất của  và .

Mọi miền Bézout đều thỏa mãn bổ đề Bézout (trừ điều kiện "nhỏ nhất", bởi trên vành  không nhất thiết phải có một thứ tự). Đặc biệt, đặc biệt các vành chính là các miền Bézout. Mỗi định lý rút ra từ bổ đề Bézout là đúng trong tất cả các vành đó.

Dạng của đáp án

Với một cặp hệ số Bézout  được cho trước (bằng cách dùng giải thuật Euclid mở rộng), thì tất cả các cặp hệ số còn lại có dạng

với  là một số nguyên ngẫu nhiên và các phân số được đơn giản hóa thành các số nguyên.

Có chính xác 2 cặp trong tất cả các cặp hệ số Bézout thỏa mãn:

và đẳng thức chỉ có thể xảy ra khi và chỉ khi  hoặc  là bội số của số còn lại.

Kết quả này dựa trên tính chất của phép chia có dư: Cho 2 số nguyên c và d, nếu c không chia hết cho d thì có chính xác một cặp  sao cho  và , và một cặp khác sao cho  và .

Có thể xác định hai cặp hệ số Bézout nhỏ trên bằng cách chọn  trong công thức trên để lấy phần dư của phép chia  cho .

Giải thuật Euclid mở rộng luôn cho ta một trong 2 cặp tối thiểu này.

Ví dụ

Cho a = 12, b = 42 và gcd (12, 42) = 6. Thì ta có bổ đề Bézout sau (hệ số Bézout có màu đỏ khi là cặp nhỏ nhất và là màu xanh cho các cặp còn lại.):

Chứng minh
Cho hai số nguyên  và , đặt . Tập  chứa các số nguyên dương và cũng chứa  và . Cho 
 là số nguyên dương nhỏ nhất trong . Để chứng minh rằng  là ước chung lớn nhất của  và , ta chỉ cần chứng minh rằng  là một ước số chung của  và , bởi vì tất cả phần tử trong  bao gồm cả  là ước của ước chung lớn nhất. Thực tế, bất kỳ ước chung của  và  đều được chia hết bởi , do đó không thể lớn hơn .

Phép chia có dư của  cho  có thể ký hiệu
.
Số dư  nằm trong tập  do

Khi  là số nguyên dương nhỏ nhất trong  thì phần dư  cần phải bằng 0, suy ra  là một ước của . Tương tự  cũng là một ước số của , ta có điều cần chứng minh.

Tổng quát

Với nhiều hơn hai số nguyên

Có thể mở rộng bổ đề Bézout với nhiều hơn hai số nguyên: nếu 

thì có các số nguyên  sao cho

trong đó:
 d là số nguyên dương nhỏ nhất có dạng này
 mỗi số nguyên có dạng này là một bội số của d

Với đa thức

Với tập xác định lý tưởng cơ bản

Lịch sử

Nhà toán học người Pháp Étienne Bézout (1730–1783) đã chứng minh bổ đề này cho đa thức. Tuy nhiên người chứng minh định lý này cho các số nguyên là nhà toán học người Pháp khác Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581–1638).  Trong bài báo này, Bachet chứng minh (không có công thức) "Proposition XVIII.  Deux nombres premiers entre eux estant donnez, treuver le moindre multiple de chascun d’iceux, surpassant de l’unité un multiple de l’autre."  (Cho hai số nguyên tố cùng nhau, tìm bội nhỏ nhất của từng số nhân với một số mà hiệu của 2 bội này bằng 1. Bài toán này (a*x - b*y = 1) là trường hợp đặc biệt của phương trình Bézout và được Bachet dùng để chứng minh các bài toán trong trang 199 ff.Xem thêm: 

Xem thêm
 định lý AF+BG, một bổ đề Bézout tương tự dành cho đa thức đồng nhất trong ba số vô định.
 Định lý cơ bản của số học
 Bổ đề Euclid

Chú thích

Liên kết ngoài
 Máy tính online cho bổ đề Bézout.


Thể loại:Bổ đề