Định lý Casey

Trong hình học phẳng, định lý Casey, được biết đến như một mở rộng định lý Ptoleme, được đặt theo tên nhà toán học người Ai Len John Casey.

 Nội dung của định lý


Cho  là một đường tròn có bán kính . Cho  là bốn đường tròn theo thứ tự không cắt nhau cùng ở trong (hoặc cùng ở ngoài) và tiếp xúc với đường tròn . Định nghĩa  là độ dài tiếp tuyến ngoài của các đường tròn . Khi đó:Casey, J. (1866). "On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane". Proceedings of the Royal Irish Academy 9: 396–423

Trong trường hợp các đường tròn  suy biến thành một điểm định lý Casey suy biến thành định lý Ptoleme.

 Chứng minh 

Chứng minh sau đưa ra bởi Zacharias.Bottema, O. (1944). Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde. (translation by Reinie Erné as Topics in Elementary Geometry, Springer 2008, of the second extended edition published by Epsilon-Uitgaven 1987). Gọi bán kính của đường tròn  là  và các đường tròn này tiếp xúc với  tại . Gọi  là tâm của các đường tròn này.

Theo định lý Pytago

Trong tam giác , áp dụng định lý cos chúng ta có độ dài của 

Vì các đường tròn  tiếp xúc nhau:

Gọi  là một điểm trên đường tròn . Theo định lý sin trong tam giác  ta có:

Do đó:

Từ các đẳng thức trên ta có:

Cuối cùng ta có độ dài các đoạn tiếp tuyến là:

Áp dụng định lý Ptoleme cho tứ giác nội tiếp  vế trái đẳng thức trên ta có:

Định lý được chứng minh.

Ứng dụng

Định lý Casey được sử dụng nhiều trong các bài báo về Hình học phẳng. Ví dụ định lý Casey được sử dụng để chứng minh định lý Feuerbach.

Xem thêm

 Định lý Ptoleme
 Định lý Purser

Chú thích

Tham khảo

 Casey, J. A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples, 5th ed., rev. enl. Dublin: Hodges, Figgis, & Co., p. 103, 1888. 
 Coolidge, J. L. A Treatise on the Geometry of the Circle and Sphere. New York: Chelsea, p. 37, 1971.
 Durell, C. V. Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, p. 117, 1928. 
Liên kết ngoài


 Shailesh Shirali: On a generalized Ptolemy Theorem

C
Thể loại:Tứ giác
C
Thể loại:Định lý trong hình học phẳng
Thể loại:Hình học phẳng Euclid
Thể loại:Hình học sơ cấp