Cực trị của hàm số

Cực trị của hàm số là giá trị mà hàm số đổi chiều biến thiên khi qua đó. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và khoảng cách nhỏ nhất từ điểm này sang điểm nọ. Nếu trên hệ tọa độ Descartes giá trị cực đại là điểm thuộc đỉnh cao nhất trên trục tọa độ và giá trị cực tiểu là điểm thuộc đáy "sâu nhất" của hệ tọa độ.

Giá trị cực đại không phải giá trị lớn nhất, giá trị cực tiểu không phải giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cực trị hàm một biến

 Định nghĩa 
Cho hàm số  xác định trên . 

  là điểm cực đại của hàm số  nếu tồn tại  chứa  sao cho . Khi đó  được gọi là giá trị cực đại của hàm số 
  là điểm cực tiểu của hàm số  nếu tồn tại  chứa  sao cho . Khi đó  được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số 
 Cực trị của hàm số bao gồm các điểm cực đại và các điểm cực tiểu của hàm số đó

 Tính chất 1 
Cho hàm số  xác định trên .

  chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm  sao cho  hoặc không tồn tại  nhưng  liên tục tại .
 Nếu  đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua  theo chiều tăng dần thì hàm số đạt cực tiểu tại 
 Nếu  đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua  theo chiều tăng dần thì hàm số đạt cực đại tại 

 Tính chất 2 
Cho hàm số  và các giá trị  sao cho . 

 Nếu  thì hàm số đạt cực tiểu tại 
 Nếu  thì hàm số đạt cực đại tại 
 Nếu  thì không thể kết luận được gì

Cực trị hàm nhiều biến
Điều kiện cần để hàm z= f(x1, x2,..., xn) có cực trị là dz = f1 dx1 + f2 dx2 +... + fn dxn = 0.Fundamental Methods of Mathematical Economics, 3rd Edition, Alpha C Chiang, McGraw-Hill, 1984, page 336

dz = 0 khi và chỉ khi f1 dx1 = f2 dx2 =... = fn dxn = 0

d2z được biểu diễn bằng ma trận Hessian:

Từ ma trận H có các ma trận con , ,..., .

Điều kiện đủ để hàm có cực đại là det(H1) < 0, det(H2) > 0, det(H3) < 0,..., (-1)n det(Hn) > 0

Điều kiện đủ để hàm có cực tiểu là det(H1), det(H2), det(H3),..., det(Hn) > 0

Tham khảo

Thể loại:Giải tích toán học
Thể loại:Tối ưu hóa (toán học)
Thể loại:Vi tích phân
Thể loại:Toán lớp 12