Định lý Pascal

Định lý Pascal (còn được biết đến với tên định lý lục giác huyền bí) là một định lý trong hình học phẳng đặt theo tên nhà toán học người Pháp là Blaise Pascal. Nội dung định lý khẳng định rằng cho sáu điểm bất kỳ  trên một conic (ví dụ elip, parabol hoặc hyperbol) khi đó giao điểm của các cặp cạnh đối diện thẳng hàng. Đường thẳng này gọi là đường thẳng Pascal.

Chứng minh

 Có nhiều cách chứng minh cho định lý này, ví dụ chứng minh bằng cách sử dụng định lý Ceva, định lý Menelaus, sử dụng số phức, hoặc bằng các phương pháp tọa độ.

 Kết quả liên quan 
Định lý Kirman: Đường thẳng Pascal của các lục giác  và  đồng quy. Điểm đồng quy này gọi là điểm Kirman, tổng cộng có 60 điểm Kirman, trong đó có 3 điểm Kirman và một điểm Steiner nằm trên một đường thẳng, đường thẳng này gọi là đường thẳng Cayley Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 236-237, 1929.Cremona, L. "Osservazioni sull'hexagrammum mysticum." Transunti della R. Acc. Nazionale dei Lincei 1, 142-143, 1876-77.ohnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 236-237, 1929.
 Định lý Steiner: Đường thẳng Pascal của các lục giác  và  đồng quy. Điểm đồng quy này gọi là điểm Steiner, tổng cộng có 20 điểm Steiner, trong đó có 1 điểm Steiner và ba điểm Kirman nằm trên một đường thẳng, đường thẳng này gọi là  đường thẳng Caley Steiner, J. "Questions proposées. Théorèmes sur l'hexagramum mysticum." Ann. Math. 18, 339-340, 1827-1828.Salmon, G. "Notes: Pascal's Theorem, Art. 267" in A Treatise on Conic Sections, 6th ed. New York: Chelsea, pp. 379-382, 1960.
 Điểm Salmon: Tổng cộng có 20 đường thẳng Caley, bốn đường thẳng Caley sẽ đồng quy tại một điểm gọi là điểm Salmon. Mỗi một điểm Salmon lại đối ngẫu với một đường thẳng gọi là đường thẳng Plücker.http://mathworld.wolfram.com/SalmonPoints.html

Mở rộng và suy biến
Mở rộng
 Định lý Cayley–Bacharach: Cho hai đường bậc ba  và  trong mặt phẳng xạ ảnh gặp nhau tại 9 điểm, tất cả chín điểm này đều nằm trong trường đóng đại số. Khi đó tất cả các đường bậc ba đi qua 8 điểm thì cũng đi qua điểm thứ 9.A. Cayley, On the Intersection of Curves (published by Cambridge University Press, Cambridge, 1889).

Suy biến
450px|thumb|right|Các trường hợp suy biến của định lý Pascal

 Định lý Pappus: Trường hợp đường conic suy biến thành hai đường thằng thì định lý Pascal trở thành định lý Pappus.
 Trường hợp lục giác suy biến thành ngũ giác: Cho ngũ giác  nội tiếp một đường conic,  là giao điểm của tiếp tuyến của đường conic tại  giao và đường thẳng ,  là giao điểm của đường thẳng AB giao với đường thẳng  là giao điểm của đường thẳng  và đường thẳng . Thì  thẳng hàng.
 Trường hợp lục giác suy biến thành tứ giác: Cho tứ giác  nằm trên một đường conic, M là giao điểm của tiếp tuyến của đường conic tại  và tiếp tuyến đường conic tại .  là giao điểm của  và  là giao điểm của  và , thì  thẳng hàng.
 Trường hợp lục giác suy biến thành tam giác: Cho tam giác ABC tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác  tại  cắt các cạnh  lần lượt tại  khi đó  thẳng hàng.

 Tính chất của lục giác và đường thẳng Pascal 

 Cho lục giác , gọi , ,  như hình vẽ đầu tiên. Khi đó sáu đỉnh của lục giác nội tiếp một đường conic nếu và chỉ nếu  thẳng hàng. Hai điều kiện đó tương đương với một hệ thức sau đây:

Xem thêm

 Định lý Desargues
 Định lý Brianchon
 Định lý Cayley–Bacharach
 Định lý Pappus

Chú thích

Tham khảo














Liên kết ngoài
 Interactive demo of Pascal's theorem (Java required) tại Cut-The-Knot
 60 Pascal Lines (Java required) tại Cut-The-Knot
 The Complete Pascal Figure Graphically Presented  by J. Chris Fisher and Norma Fuller (University of Regina)
 Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes (PDF; 891 kB), Uni Darmstadt, S. 29-35.

Thể loại:Hình học sơ cấp
P
Thể loại:Đường cong bậc hai
Thể loại:Hình học phẳng Euclid
Thể loại:Định lý trong hình học phẳng