Đường thẳng Droz-Farny

Trong hình học phẳng, đường thẳng Droz-Farny  nói về một tính chất của hai đường thẳng vuông góc cắt nhau tại trực tâm của một tam giác bất kỳ. Nội dung như sau:

Cho tam giác , và  là trực tâm (trực tâm là điểm đồng quy của ba đường cao trong tam giác). Nếu như hai đường thẳng  và  vuông góc với nhau tại . Ta đặt , , và  lần lượt là các giao điểm của  với các cạnh , , và . Tương tự ta đặt , , and  lần lượt là các giao điểm của  với các cạnh của tam giác , , and . Định lý đường thẳng Droz-Farny khẳng định rằng trung điểm các đoạn thẳng , , và  thẳng hàng.

Định lý được phát biểu bởi Arnold Droz-Farny năm 1899, nhưng không được chứng minh.

Tổng quát của Goormaghtigh

Một tổng quát của đường thẳng Droz-Farny đưa ra và chứng minh bởi René Goormaghtigh năm 1930. Định lý Goormaghtigh phát biểu rằng: Cho tam giác  và điểm  trên đường thằng , các đường thẳng đối xứng của  qua đường thẳng  cắt các cạnh  lần lượt tại  thì  thẳng hàng. Khi điểm  tại trực tâm của tam giác, đường thẳng này trở thành đường thẳng Droz-Farny.

 Tổng quát của Đào 


Kết quả tiếp tục được mở rộng bởi Đào Thanh Oai. Mở rộng này có thể được hiểu như sau:

Mở rộng thứ nhất: Nếu trung điểm của các đoạn thẳng song song AA', BB', CC' nằm trên đường thẳng chứa điểm D. Khi đó ba đường thẳng DA', DB', DC' lần lượt cắt ba cạnh BC, CA, AB tại ba điểm thẳng hàng. Kết quả tiếp tục được mở rộng như sau:


Mở rộng tổng quát: ''Cho đường conic (S) và điểm  trên mặt phẳng, ba đường thẳng qua  cắt đường conic lần lượt tại các điểm ; ; . Cho  là một điểm nằm trên đường thẳng đối cực của  hoặc trên đường conic (S) thì  lần lượt cắt ba cạnh  tại ba điểm  thẳng hàng. Hơn thế bốn điểm  thẳng hàng khi và chỉ khi  nằm trên đường conic (S).

 Xem thêm 
Định lý Đào

 Tham khảo 
Jean-Louis Ayme (2004), A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem . Forum Geometricorum, volume 14, pages 219–224, ISSN 1534-1178
Son Tran Hoang (2014), A synthetic proof of Dao's generalization of Goormaghtigh's theorem . Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, volume 3, pages 125–129, ISSN 2284-5569
Floor van Lamoen and Eric W. Weisstein (), Droz-Farny Theorem at Mathworld
A. Droz-Farny (1899), Question 14111 The Educational Times, volume 71, pages 89-90
René Goormaghtigh (1930), Sur une généralisation du théoreme de Noyer, Droz-Farny et Neuberg. Mathesis, volume 44, page 25
J. J. O'Connor and E. F. Robertson (2006), Arnold Droz-Farny. The MacTutor History of Mathematics archive. Online document, accessed on 2014-10-05.

Geoff Smith (2015). 99.20 A projective Simson line. The Mathematical Gazette, 99, pp 339-341. doi:10.1017/mag.2015.47
O.T.Dao 29-July-2013, Two Pascals merge into one, Cut-the-Knot

Thể loại:Hình học phẳng Euclid
D
Thể loại:Đường cong bậc hai