Đường trắc địa

nhỏ|Một phần của hai đường dòng trắc địa trên phân thớ tiếp xúc của đường tròn. Lưu ý rằng ta thu được đường trắc địa bằng phép chiếu xuống đường tròn.
Trong hình học Riemann, đường trắc địa (hay cung trắc địa) là một đường cong có độ cong trắc địa bằng không tại mọi điểm, và cũng là đường có độ dài cực trị trong các đường nối hai điểm trên một đa tạp Riemann.Đoàn Quỳnh (2000), tr. 342

Đường trắc địa trên mặt cầu là các (đoạn của) vòng tròn lớn, trên mặt trụ tròn xoay là các (đoạn của) đường xoắn ốc, trên mặt phẳng là các đoạn/đường thẳng.

 Đường trắc địa a-phin 
Xét một đa tạp trơn M với một liên kết a-phin ∇. Một đường trắc địa a-phin (đối với liên kết ∇) được định nghĩa là một đường cong γ(t) sao cho .Đoàn Quỳnh (2000), tr. 332

Sử dụng một hệ tọa độ địa phương, ta có thể viết phương trình trắc địa



với  và là các kí hiệu Christoffel của liên kết ∇.

Đường trắc địa giống như là quĩ đạo của một hạt chuyển động tự do trên đa tạp.

Trong trường hợp liên kết Levi-Civita, ta thu được đường trắc địa theo nghĩa Riemann.

 Đường dòng trắc địa 
Xét đa tạp M được trang bị một liên kết a-phin. Đường dòng trắc địa (geodesic flow) của đa tạp M là một R-tác động địa phương trên phân thớ tiếp xúc TM sao cho



với t ∈ R, V ∈ TM và  là đường trắc địa (cục bộ) với điều kiện ban đầu . Nói riêng,  (V) = exp(tV) là ánh xạ mũ của véc-tơ tV.  Hình chiếu của một đường dòng trắc địa lên M là một đường trắc địa trên M.Jost (2002), tr. 47

Trên một đa tạp Riemann, đường dòng trắc địa được đồng nhất với đường dòng Hamilton trên phân thớ đối tiếp xúc. Đường dòng trắc địa bảo toàn metric, tức là



Hệ quả là, nếu V là véc-tơ đơn vị,  có tốc độ không đổi bằng 1, do đó đường dòng trắc địa luôn nằm trong phân thớ tiếp xúc đơn vị.

Đường dòng trắc địa cũng là đường dòng của một trường véc-tơ trên đa tạp TM. Trường véc-tơ ấy được gọi là tia trắc địa (geodesic spray). Ta cũng có một chùm trắc địa trên phân thớ tiếp xúc đơn vị S(TM).

 Tham khảo 

 Thư mục 
 Đoàn Quỳnh, 2000, Hình học vi phân, Nhà xuất bản giáo dục
 Jost, Jürgen, 2002, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-42627-1
 Lee, John, 1997, Introduction to Riemannian Manifolds, ISBN 978-3-319-91755-9

Thể loại:Hình học Riemann
Thể loại:Hình học vi phân
Thể loại:Hình học mêtric