Độ cong

Trong hình học, độ cong thể hiện sự lệch hướng tại một điểm trên đường cong, mặt cong hay không gian Riemann nói chung.

 Độ cong của một đường cong 

 Định nghĩa 
Theo Cauchy, tâm đường cong C tại một điểm là giao điểm của hai pháp tuyến vô cùng gần nhau, và bán kính cong  là khoảng cách từ điểm đó đến C. Và độ cong  chính là nghịch đảo của bán kính cong .

Gọi  là độ dài dường cong mà 2 pháp tuyến cách nhau, và  là góc hợp bởi 2 pháp tuyến. Ta có định nghĩa khác về độ cong:

 Tính độ cong của một đường cong phẳng 
 Trong hệ tọa độ Descartes 
Xem thêm: Hệ tọa độ Descartes
Nếu đồ thị được cho dưới dạng hệ phương trình tham số , từ phần trên ta có định nghĩa:

 là góc hợp bởi 2 pháp tuyến, ta cũng có thể coi nó như góc lệch giữa 2 đường tiếp tuyến. Từ đó ta có thể định nghĩa  là góc tiếp tuyến của đường cong.

Lấy đạo hàm 2 vế theo tham số  ta được:

Kết hợp các kết quả thu được ta có:

Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số  thì độ cong được tính như sau:

 Trong hệ tọa độ cực 
Xem thêm: Hệ tọa độ cực
Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số  thì độ cong được tính như sau:

 Ví dụ 
 Đường thẳng 
Đường thẳng  hay  sẽ có độ cong được tính như sau:

Áp dụng công thức ta có:

hay công thức:

Vậy độ cong của một đường thẳng bằng 0.

 Đường tròn 
Đường tròn  hay  sẽ có độ cong được tính như sau:

Áp dụng công thức ta có:

hay công thức:

Vậy độ cong của một đường tròn là nghịch đảo bán kính của nó.
 Các đường khác 
Đường parabol  sẽ có độ cong được tính như sau:

Áp dụng công thức ta có:

 Đường ellipse  sẽ có độ cong được tính như sau:

Áp dụng công thức ta có:

với  là tâm sai của ellipse.

 Độ cong của một đường cong ghềnh 
Độ cong của một đường cong ghềnh (trong không gian 3 chiều) có hệ phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes  được tính theo công thức

 Độ cong của một mặt cong 

 Độ cong Gauss 

 Độ cong trung bình 

 Độ cong của một không gian 

 Tenxơ độ cong Riemann 

 Tenxơ độ cong Ricci 

 Xem thêm 
 Bán kính cong
 Đa tạp Riemann
 Hệ tọa độ Descartes
 Hệ tọa độ cực
 Hình học vi phân

Tham khảo
John M. Lee, Introduction to Riemannian manifolds 
Thể loại:Độ cong
Thể loại:Hình học
Thể loại:Giải tích nhiều biến