Định lý Stokes

Định lí Stokes hay định lí Kelvin-Stokes (được đặt tên dựa theo hai nhà toán học George Gabriel Stokes và Lord Kelvin) là định lí cho trường vector trong không gian Euclid ba chiều. Phiên bản cổ điển của định lí Stokes có thể được rút gọn trong một câu là Tích phân đường của một trường vector bằng tích phân mặt của rotation trường vector đó.Định lí Stokes cổ điển là một trường hợp riêng của định lí Stokes tổng quát, do trường vector có thể coi là 1-dạng vi phân và rotation là 2-dạng (đạo hàm ngoài) của trường vector đó.

 Nội dung định lí 
nhỏ|phải|Minh họa của định lý Kelvin-Stokes, với mặt , đường biên  vec tơ "chuẩn" n.

Với  là mặt trơn, định hướng trong không gian ba chiều  với biên , nếu trường vector  có các đạo hàm riêng liên tục trên miền chứa , khi đó

Cụ thể hơn, với  là kí hiệu tích chập, định lí Stokes có thể được viết lại dưới dạng



với 

Vấn đề lớn nhất khi phát biểu chính xác định lí Stokes là xem xét biên của mặt đã cho. Những mặt như bông tuyết Von Koch có biên không khả tích Riemann, thậm chí kể cả tích phân Lebesque cũng không thể được định nghĩa trên một mặt không Lipschitz. Một kĩ thuật để xử lí là sử dụng lí thuyết độ đo hình học, tuy nhiên trong bài viết này sẽ sử dụng định nghĩa sơ cấp và trực giác hơn, dựa trên việc biên của mặt có thể được coi như là một tập con của . 

Một phát biểu chi tiết hơn sẽ được đề cập ở những phần sau của bài viết. Cho  là một đường cong Jordan trơn từng khúc, đóng; khi này định lý đường cong Jordan chia thành 2 phần, một phần  compact và phần không compact, phần  compact bị chặn bởi . 

Bây giờ, giả sử  là một ánh xạ trơn từng khúc trên một lân cận của  và là biên của , kí hiệu là . Khi này, với  là một trường vector trơn trên  thìRobert Scheichl, lecture notes for University_of_Bath mathematics course

với "." là tích vô hướng trên .

Tham khảo

Stokes
Thể loại:Định lý trong tính toán
Thể loại:Điện từ học
Thể loại:Cơ học
Thể loại:Giải tích vectơ