Đường thẳng Simson

Trong hình học, định lý về đường thẳng Simson được phát biểu như sau:

Cho tam giác  và một điểm  nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Khi đó, các hình chiếu của điểm  trên các cạnh của tam giác thẳng hàng. Đường thẳng đi qua các hình chiếu đó được gọi là Đường thẳng Simson''' của điểm  đối với tam giác .
Đường thẳng này được đặt theo tên của nhà toán học Robert Simson. Tuy nhiên, khái niệm này được xuất bản lần đầu bởi William Wallace.

Đường thẳng Simson của một điểm chính là tam giác bàn đạp của nó nhưng trong trường hợp tam giác đó suy biến thành đường thẳng.

Tính chất


Cho tam giác  nội tiếp đường tròn .

Xét tính chất các đường thẳng Simson của các điểm trên .

Đường thẳng Simson của đỉnh  của tam giác là đường cao hạ từ đỉnh đó, và đường thẳng Simson của điểm  đối xứng với đỉnh  qua tâm  là cạnh  của tam giác.
Nếu  và  là các điểm thuộc , thì các góc giữa hai đường thẳng Simson của  và  bằng nửa số đo cung . Trong trường hợp đặc biệt, nếu  và  đối xứng nhau qua tâm , thì các đường thẳng Simson của chúng vuông góc với nhau tại một điểm nằm trên đường tròn chín điểm.
Nếu gọi  là trực tâm của tam giác , thì đường thẳng Simson của  đi qua trung điểm của đoạn  (trung điểm này nằm trên đường tròn chín điểm).
Nếu hai tam giác cùng nột tiếp , thì góc giữa hai đường thẳng Simson lines của một điểm  trên  đối với hai tam giác đó không phụ thuộc vào vị trí của  trên .
Đường thẳng Simson luôn tiếp xúc với tam giác cong Steiner.
Mở rộng
Mở rộng 1


Mở rộng 2 

Chúng ta có thể xem chi tiết hơn về mở rộng này tại định lý Đào (conic)

Mở rộng 3
Mở rộng này của Lazare Carnot một nhà toán học người Pháp.

Gọi D là một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và A0, B0, C0 lần lượt là các điểm trên ba cạnh BC, CA, AB khi đó góc hợp bởi các đường thẳng DA0, DB0, DC0 lần lượt với ba cạnh BC, CA, AB bằng nhau thì A0, B0, C0 thẳng hàng .F. G.-M., Exercise de Géométrie, Éditions Jacques Gabay, 1991

Xem thêm
Tam giác bàn đạp
Robert Simson
Định lý Sondat
Định lý Đào (Conic)
Định lý Carnot
Định lý Đào (mở rộng đường thẳng Simson)

Chú thích

Liên kết ngoài

 Simson Line
 F. M. Jackson and 
 A generalization of Neuberg's theorem and the Simson-Wallace line  at Dynamic Geometry Sketches 

Thể loại:Hình học tam giác
S
Thể loại:Hình học Euclid
Thể loại:Hình học sơ cấp
S