0,999...

Trong toán học, số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,999... hay còn được viết  hoặc  là một số thực bằng 1. Nói cách khác: ký hiệu 0,999... và 1 đều thể hiện cùng một số thực. Điều này đã được nhiều giáo sư toán học trên thế giới công nhận và được giảng dạy trong nhiều sách giáo khoa. Nhiều cách chứng minh khác nhau đã được trình bày, dựa vào nhiều phép tính toán trên các số thực, các kiến thức đã được công nhận và tùy theo mục đích của người đọc. Trong thực tế, số thực có thực có thể được đại diện bởi một dãy số thập phân vô hạn và sự thực này mới nhìn giống như một nghịch lý. Điều này có thể tránh được với nhiều hệ thống số hay cách biểu diễn số khác như vi phân: một đại lượng biến thiên nhỏ vô cùng luôn chạy về 0 nhưng không bao giờ bằng 0, số p-adic.

 Chứng minh 
Có nhiều cách để chứng minh điều này: vận dụng các kiến thức số học, đại số, giải tích, chuỗi vô hạn, vận dụng chia khoảng và tính bị chặn, dựa vào cấu trúc của các số thực, dãy Cauchy... Dưới đây là các cách đơn giản nhất.

 Số học 
 Phân số và phép chia 
Ta có:
{| style="wikitable"
|
|width="25px"|
|width="25px" style="border-left:1px solid silver;"|
|
|}

Một phiên bản rút gọn khác là

Cả hai phép chứng minh đều cho thấy giá trị của 0,999... phải bằng 1. Đơn giản hơn, ta có 3/<sub>3 = 1

 Biến đổi số học 
Đặt:

 Vấn đề liên quan 

Con rùa bò trước chàng lực sĩ Asin. Dù Asin chạy rất nhanh nhưng anh sẽ không bao giờ đuổi kịp rùa vì mỗi lần chàng đến nơi rùa đã đến thì nó đã kịp bò một đoạn. Do đó dù khoảng cách giữa chàng và rùa ngày càng rút ngắn nhưng Asin vẫn không theo kịp rùa. Điều này có thể giải quyết đơn giản bằng cách tìm giới hạn của tổng vô hạn các số dãy số có cấp số lớn hơn 0 và bé hơn 1. Ví dụ:

Tổng vô hạn các số hạng trong dãy số:

Trong toán học có quy tắc không thể chia cho số 0, nếu công nhận số có thể chia cho 0 và thì sẽ xảy ra nhiều nghịch lý. Ví dụ:

Số âm không là một con số tồn tại trong máy tính, phát sinh do một số phương pháp biểu diễn số nguyên âm và hầu hết các phương pháp biểu diễn số chấm động (floating point). Toán học không có định nghĩa tương đương về số âm không, do đó, −0 và 0 là hoàn toàn như nhau. Trong các khoa học khác, −0 có thể được sử dụng để biểu thị một số lượng nhỏ hơn không, nhưng không đáng kể, nên không thể làm tròn thành một con số có nghĩa.

 Xem thêm 
 Vô hạn
 Giải tích thực
 Chuỗi (toán học)

 Chú thích 

 Tham khảo 











 Liên kết ngoài 

 0,999999… = 1? từ cut-the-knot
 Tại sao 0.9999… = 1 ?
 Hỏi một nhà khoa học: Số thập phân tuần hoàn 
 Phép chứng minh số học
 Chín vô hạn 
 Chín vô hạn bằng một
 Nghiên cứu của David Tall về sự nhận thức toán học
 Có gì sai khi nghĩ rằng số thực là thập phân vô hạn?
 Định lý 0,999... trên Metamath
 Hackenstrings, và 0.999... ?= 1 FAQ 

Thể loại:1 (số)
Thể loại:Các nghịch lý toán học
Thể loại:Số thực
Thể loại:Giải tích thực

de:Eins#Periodischer Dezimalbruch
nl:Repeterende breuk#Repeterende negens