Số Fermat

Số Fermat là một khái niệm trong toán học, mang tên nhà toán học Pháp Pierre de Fermat, người đầu tiên đưa ra khái niệm này. Nó là một số nguyên dương có dạng
.

với n là số nguyên không âm.
Nếu một số Fermat là một số nguyên tố thì nó được gọi là số nguyên tố Fermat.

Tính chất cơ bản
Số Fermat thỏa mãn các hệ thức truy hồi sau

,với , và

với . Mỗi hệ thức trên có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Trong đó từ hệ thức thứ hai ta có thể suy ra Giả thuyết Goldbach rằng không có 2 số Fermat phân biệt mà ước chung của chúng lớn hơn 1. Để kiểm tra điều này, giả sử 0 ≤ i < j  và Fi với Fj có chung 1 ước số a > 1. Khi đó a là ước của  và , suy ra a cũng phải là ước của 2, mà a lớn hơn 1 nên a bằng 2. Điều này mâu thuẫn bởi mọi số Fermat là số lẻ.

Đồng thời như một kết quả tất yếu, ta tìm được cách chứng minh khác cho sự vô hạn của số nguyên tố. Với mỗi Fn, chọn một ước nguyên tố pn thì dãy {pn} tạo thành một dãy chứa vô hạn các số nguyên tố phân biệt.

Các tính chất khác
 Không có số Fermat có thể biểu diễn thành hiệu của 2 lũy thừa bậc p với p là số nguyên tố lẻ''.
 Ngoại trừ F0 và F1, các số Fermat đều kết thúc bằng số 7.
 Tổng của các nghịch đảo của các số Fermat là số vô tỉ.

Các giá trị đầu tiên
F0 = 21+1 =3F1 = 22+1 =5F2 = 24+1 =17F3 = 28+1 =257F4 = 216+1 =65 537F5 = 232+1 =4 294 967 297      =641 × 6 700 417F6 = 264+1 =18 446 744 073 709 551 617     =274 177 × 67 280 421 310 721F7 = 2128+1 =340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 457     =59 649 589 127 497 217 × 5 704 689 200 685 129 054 721F8 = 2256+1 =115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 913 129 639 937     =1 238 926 361 552 897 × 93 461 639 715 357 977 769 163 558 199 606 896 584 051 237 541 638 188 580 280 321F9 = 2512+1 =13 407 807 929 942 597 099 574 024 998 205 846 127 479 365 820 592 393 377 723 561 443 721 764 030 073 546 976 801 874 298 166 903 427 690 031 858 186 486 050 853 753 882 811 946 569 946 433 649 006 084 097     = 2 424 833 × 7 455 602 825 647 884 208 337 395 736 200 454 918 783 366 342 657 × 741 640 062 627 530 801 524 787 141 901 937 474 059 940 781 097 519 023 905 821 316 144 415 759 504 705 008 092 818 711 693 940 737

Lịch sử
Khi nghiên cứu các số có dạng 22n + 1, Fermat đã tính ra được với n = 0, 1, 2, 3, 4 thì số có dạng trên là số nguyên tố, từ đó ông đưa ra dự đoán các số có dạng như trên đều là số nguyên tố. Từ đó các số có dạng thức như trên được gọi là số Fermat.

Tuy nhiên đến năm 1732, Euler đã phủ định dự đoán trên bằng cách chứng minh F5 là hợp số.

Phân tích ra thừa số nguyên tố
Bằng cách biểu thị:

Euler đã suy ra: , dẫn đến . Mặt khác  nên suy ra . Vậy F5 chia hết cho 641.

Euler cũng đã chứng minh được mọi ước nguyên tố của Fn đều có dạng k2n + 2 + 1.

Đến nay người ta vẫn chưa tìm ra nổi thêm số Fermat nào nguyên tố nữa, trong khi đã có hơn 70 hợp số của số Fermat đã được kiểm chứng.

Một trong những cách phân tích có uy tín nhất hiện nay là phân tích Fn ra tổng hai bình phương (chúng có dạng 4k + 1, hoàn toàn làm được). Phân tích cơ bản nhất là:
.

Nếu như tồn tại một cách biểu diễn khác, giả dụ Fn = x2 + y2 (với x > y) thì tính kết quả của:
.

Ví dụ:
F5 = 62 2642 + 20 4492, dẫn đến:
.
F6 = 4 046 803 2562 + 1 438 793 7592, dẫn đến:
.

Nhờ đó người ta đã phân tích ra thừa số nguyên tố của các số từ F5 đến F11, thậm chí còn tìm ra ước nguyên tố của các số lớn hơn thế nữa.

Ví dụ:
F1945 = 221945 + 1 có khoảng 9,5929 × 10584 chữ số, nhờ phép phân tích trên tìm ra được ước số của nó là 5 × 21947 + 1 ≈ 6,3734 × 10586.
F2 478 782 = 222 478 782 + 1 có khoảng 1,6343 × 10746 187 chữ số, nhờ phép phân tích trên tìm ra được ước số của nó là 3 × 22 478 785 + 1 ≈ 1,3029 × 10746 189, đây là hợp số Fermat lớn nhất đã biết từ trước đến nay.

Tính chất liên quan đến ước số
Ta có thể tính gần đúng số chữ số của chúng bằng hệ thức gần đúng:

Nếu 2m + 1 là nguyên tố thì m là một lũy thừa của 2.
Ước nguyên tố của Fn luôn có dạng k2n + 2 + 1, với k > 2.

Ứng dụng trong dựng đa giác đều

Tham khảo

 Liên kết ngoài 

 Chris Caldwell, The Prime Glossary: Fermat number at The Prime Pages.
 Luigi Morelli, History of Fermat Numbers
 John Cosgrave, Unification of Mersenne and Fermat Numbers 
 Wilfrid Keller, Prime Factors of Fermat Numbers 




 Yves Gallot, Generalized Fermat Prime Search
 Mark S. Manasse, Complete factorization of the ninth Fermat number (original announcement)
 Peyton Hayslette, Largest Known Generalized Fermat Prime Announcement

Thể loại:Hoàn toàn không có nguồn tham khảo
Thể loại:Số nguyên tố
Thể loại:Lý thuyết số
Thể loại:Chuỗi số nguyên
Thể loại:Số nguyên lớn
Thể loại:Vấn đề mở trong lý thuyết số