Không gian định chuẩn

Cùng với khái niệm không gian mêtric, không gian định chuẩn cũng đóng vai trò rất quan trọng trong giải tích nói chung và topo nói riêng.
Sơ lược về không gian định chuẩn
Định nghĩa
Cho E là không gian vectơ trên trường số  và ánh xạ 

Ta nói  là chuẩn trên E nếu nó thỏa 3 tính chất sau:
,
  nếu x là 1 vector.

Nếu  là chuẩn trên E, ta nói  là không gian vecto định chuẩn (còn đọc tắt là không gian định chuẩn).
Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, trang 9

Ta có thể định nghĩa chuẩn bằng công thức:  và có thể hiểu phép định chuẩn như là vi phân độ dài của vector x.

Một số ví dụ về chuẩn
 Không gian  với các metric:

221/2

lần lượt có các chuẩn tương ứng sau:

221/2

 Không gian các hàm số mũ p khả tích trên khoảng [0,1] với chuẩn  sau;
Khi p=1;

Khi ;

Khi ;

 Không gian các hàm liên tục f từ  vào  và khả tích với chuẩn  sau;

Khi n=1;

Khi ;

Khi ;

Trong đó 

, 

 Cấu trúc tô-pô 
Một không gian định chuẩn được trang bị một cấu trúc tô-pô với một cơ sở là tập hợp các quả cầu mở. Các khái niệm tô-pô (như đóng, mở, trù mật,...) có thể được diễn đạt theo ngôn ngữ của không gian định chuẩn.

Tính chất

 Một không gian định chuẩn là một không gian tô-pô liên thông, Hausdorff, không compact.
 Một không gian định chuẩn hữu hạn chiều là một không gian compact địa phương.

Các định nghĩa, định lý liên quan khác
Không gian định chuẩn sinh với chuẩn sinh bởi metric
Cho  là không gian mêtric, ta nói chuẩn  tạo bởi metric  tức là:

, 

Do đó, không gian định chuẩn cũng có cơ sở trên không gian tôpô dưới dạng họ các quả cầu mở như trên với chuẩn là các metric tương ứng.

Quả cầu mở, quả cầu đóng 
Cho  là không gian định chuẩn;  và .

 Khi đó ta gọi  và  lần lượt là các quả cầu mở và quả cầu đóng tâm  bán kính r trong  Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định nghĩa 1.8, trang 11

Tập mở, tập đóng, tập bị chặn, trù mật
Cho  là không gian định chuẩn;  và .

Ta nói:

 là tập mở trong  nếu có họ các quả cầu mở  trong  sao cho:
.

 là tập đóng trong  nếu  là tập mở trong .

 là tập bị chặn trong  nếu có quả cầu đóng  trong  sao cho:
.Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định nghĩa 1.9, trang 11

 là tập trù mật trong  nếu  Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định nghĩa 1.9, trang 12

Liên tục
Cho  là tập con trong không gian định chuẩn 
 và
.

Ta nói:

 liên tục tại  nếu ,  sao cho ,, 

 liên tục trên  nếu  liên tục tại mọi  Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định nghĩa 1.11, trang 13

Ngoài ra ta còn có định nghĩa liên tục qua khái niệm tập mở như sau:

 liên tục trên  nếu và chỉ nếu với mọi tập mở  trong  có tập mở  trong  sao cho
 Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định lý 1.6, trang 13

 Dãy hội tụ, Cauchy 
Cho (E, ||.||) là không gian định chuẩn; f là ánh xạ từ tập các số nguyên dương vào E.

Đặt ;  và cho .

Khi đó  là dãy trong .

Dãy  là dãy hội tụ về  trong  nếu và chỉ nếu:
, ta tìm được  sao cho 

Lúc đó,  là giới hạn của dãy .

Dãy  là dãy Cauchy trong  nếu và chỉ nếu:
, ta tìm được  sao cho 

Nếu dãy  là dãy hội tụ trong  thì nó sẽ Cauchy trong .

Nếu mọi dãy  Cauchy đều hội tụ trong không gian định chuẩn  thì  là không gian Banach.ương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định lý 1.6, trang 10

Ví dụ:

Dãy  trong  \0 là dãy Cauchy nhưng không hội tụ trong \ 0 với không gian định chuẩn  ().

Chuẩn tương đương
Tương tự như metric tương đương trên không gian metric, ta cũng có khái niệm chuẩn tương đương như sau:
Cho 2 chuẩn  trên cùng không gian vectơ E.

Ta nói 2 chuẩn này là tương đương nếu tồn tại  sao cho:

với mọi  Đặng Đức Trọng, Đinh Ngọc Thanh, Phạm Hoàng Quân, Giáo trình giải tích 2, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Tp.HCM, 2008, trang 55

Ví dụ
Với các chuẩn sau trên  sau:

trong đó . Ta có:

 Phạm trù các không gian định chuẩn 
Các ánh xạ quan trọng nhất giữa hai không gian định chuẩn là các ánh xạ tuyến tính liên tục. Tập hợp các ánh xạ tuyến tính liên tục giữa hai không gian định chuẩn  và  được ký hiệu là . Không gian định chuẩn cùng với các ánh xạ tuyến tính liên tục lập thành một phạm trù.

Ta cũng có phạm trù các không gian Banach (là một phạm trù con đầy của phạm trù các không gian định chuẩn).

 Xem thêm 
 Không gian metric
 Không gian Banach
 Không gian tích vô hướng

 Chú thích 

 Tham khảo 
 Đặng Đức Trọng, Đinh Ngọc Thanh, Phạm Hoàng Quân, Giáo trình giải tích 2, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Tp.HCM, 2008
 Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005
 Huỳnh Quang Vũ (2012). Lecture notes on Topology  . Ho Chi Minh city University of Science

Thể loại:Đại số tuyến tính
Thể loại:Giải tích toán học
Thể loại:Toán học tô pô