Euclid

Euclid (; ;  trước Công nguyên) là một nhà toán học người Hy Lạp cổ đại hoạt động tích cực trong các lĩnh vực hình học và logic học. Được mệnh danh là "cha đẻ của hình học", ông được biết đến nhiều nhất với bộ sách chính luận Cơ sở; tác phẩm này đã đặt nền tảng cho ngành hình học và làm kim chỉ nam cho lĩnh vực này cho đến tận đầu thế kỷ 19. Hệ thống toán học của ông, giờ đây được gọi là hệ thống hình học Euclid, là sự kết hợp giữa những đổi mới cá nhân và việc tổng hợp các lý thuyết từ những nhà toán học Hy Lạp đi trước như Eudoxus xứ Cnidus, Hippocrates xứ Chios, Thales và Theaetetus. Cùng với Archimedes và Apollonius xứ Perga, Euclid được coi là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất thời cổ đại và là một trong những người có ảnh hưởng nhất trong lịch sử toán học.

Hiện có rất ít thông tin về cuộc đời của Euclid; hầu hết các tư liệu đều đến từ các học giả Proclus và Pappus xứ Alexandria nhiều thế kỷ sau đó. Các nhà toán học Hồi giáo thời Trung cổ từng dựng lên một tiểu sử mang tính tưởng tượng, trong khi các học giả sống ở giai đoạn đầu của thời kỳ Phục hưng và ở Byzantine vào thời Trung Cổ từng nhầm lẫn ông với triết gia Euclid xứ Megara. Ngày nay, giới khoa học chấp nhận rộng rãi một điều rằng ông đã xây dựng sự nghiệp của mình tại Alexandria và sống vào khoảng năm 300 trước Công nguyên (sau các môn đệ của Platon và trước Archimedes). Có một số giả thuyết cho rằng Euclid đã học tập tại Học viện Platon và sau đó giảng dạy tại Musaeum.

Trong bộ Cơ sở, Euclid đã suy diễn các định lý từ một tập hợp nhỏ các tiên đề. Ngoài ra, ông còn viết thêm một số tác phẩm khác về các chủ đề phối cảnh, đường conic, hình học cầu, lý thuyết số và sự chặt chẽ trong toán học. Bên cạnh bộ Cơ sở, Euclid còn viết Quang học – một văn bản quan trọng trong thời kỳ đầu của lĩnh vực quang học, cùng các tác phẩm ít được biết đến hơn như Dữ kiện và Các hiện tượng. Việc Euclid có thực sự là tác giả của cuốn Về việc chia cắt các hình và Phản xạ hay không vẫn còn là một dấu hỏi chấm. Người ta cũng cho rằng ông đã để lại nhiều tác phẩm hiện đã bị thất lạc.

Cuộc đời
nhỏ|Chi tiết Euclid dạy học sinh trong bức bích hoạ Trường Athens (1509–1511) của hoạ sĩ Raffaello

 Ghi chép truyền thống 
Cái tên "Euclid" là phiên bản Anh hóa của tên tiếng Hy Lạp cổ đại "Eukleídes" (Εὐκλείδης). Tên này được ghép từ thành tố eu- (εὖ; 'tốt, giỏi') và thành tố klês (-κλῆς; 'danh tiếng'), tựu trung lại có nghĩa là "nổi danh, vẻ vang". Trong tiếng Anh, theo phép hoán dụ, từ Euclid còn có thể dùng để chỉ tác phẩm nổi tiếng nhất của ông - bộ Cơ sở - hoặc một bản sao của nó; đôi khi từ này còn được dùng như một từ đồng nghĩa với từ geometry ('hình học').

Cũng giống như nhiều nhà toán học người Hy Lạp cổ đại khác, các chi tiết về cuộc đời của Euclid hầu như không được biết đến. Ông được công nhận là tác giả của bốn bộ chính luận quan trọng còn tồn tại đến ngày nay bao gồm: Cơ sở, Quang học, Dữ kiện và Các hiện tượng. Ngoài thông tin này ra, không còn thông tin nào khác về ông có thể khẳng định chắc chắn. Những ghi chép truyền thống về ông chủ yếu dựa trên lời kể của Proclus vào thế kỷ thứ 5  trong cuốn Bình luận về Quyển đầu tiên của bộ Cơ sở của Euclid, cùng một vài giai thoại từ Pappus xứ Alexandria vào đầu thế kỷ thứ 4 . 

Theo Proclus, Euclid sống ngay sau thời của các môn đệ của Platon (Platon mất năm 348/347 ) và trước nhà toán học Archimedes ( 287 - 212 ).  Cụ thể hơn, Proclus cho rằng ông sống vào thời kỳ trị vì của vua Ptolemaios I (trị vì vào  305/304 - 282 ). Ngày sinh của ông hiện vẫn chưa rõ. Một số học giả ước tính vào khoảng năm 330 hoặc 325 , trong khi những người khác từ chối đưa ra suy đoán vì thiếu bằng chứng rõ ràng. Ông được cho là một người có gốc gác Hy Lạp, nhưng nơi sinh cụ thể vẫn là một ẩn số. Proclus (một người theo chủ nghĩa Tân Platon) cho rằng Euclid đi theo truyền thống triết học của Platon, tuy nhiên điều này chưa có sự xác nhận chắc chắn. Euclid khó có thể là người cùng thời với Platon, nên giới sử học thường cho rằng ông được đào tạo bởi các học trò của Platon tại Học viện Platon ở Athens.  Nhà sử học Thomas Heath ủng hộ giả thuyết này vì phần lớn các nhà hình học lỗi lạc thời đó đều sống ở Athens. Tuy nhiên, sử gia Michalis Sialaros lại coi đây chỉ đơn thuần là một sự phỏng đoán. Dù thế nào đi chăng nữa, nội dung trong các tác phẩm của Euclid cho thấy ông rất am tường về truyền thống hình học của Platon.

Trong bộ Tuyển tập (), Pappus có nhắc đến việc Apollonius từng học tập với các học trò của Euclid tại Alexandria. Điều này ngụ ý rằng Euclid đã làm việc và sáng lập ra một truyền thống toán học tại thành phố này. Alexandria được thành lập bởi Alexandros Đại đế vào năm 331 . Dưới sự trị vì của Ptolemaios I từ năm 306  trở đi, thành phố này có được sự ổn định tương đối hiếm hoi giữa những cuộc chiến tranh hỗn loạn chia cắt đế chế của Alexandros. Ptolemaios đã khởi xướng quá trình Hy Lạp hóa và ra lệnh xây dựng nhiều công trình vĩ đại, trong đó có Musaeum - một viện nghiên cứu và giáo dục hàng đầu thời bấy giờ. Euclid được cho là một trong những học giả đầu tiên của viện. Ngày mất của Euclid hiện vẫn chưa rõ, dù có một số suy đoán cho rằng ông qua đời vào khoảng năm 270 .

 Ghi chép từ các nguồn sử liệu Hồi giáo Trung cổ 
Các nguồn tiểu sử Hồi giáo chứa đựng nhiều ghi chép chi tiết về cuộc đời của Euclid; tuy nhiên, những ghi chép này phần lớn được coi là xuất hiện muộn và không có căn cứ xác thực. Một trong những ghi chép như vậy được viết bởi Ali Ibn Yusuf al-Qifti:"Euclid, một kỹ sư, một người thợ mộc xứ Tyre, con trai của Naucrates, cháu nội của Berenice, người đã hiển lộ hình học và đạt đến sự tinh thông trong [lĩnh vực này], được tôn vinh là bậc thầy của Hình học. Tên cuốn sách về hình học của ông trong tiếng Hy Lạp là Stoicheia, có nghĩa là Cơ sở của Hình học. Ông là một nhà hiền triết cổ đại, gốc Hy Lạp, cư trú tại Syria, là người thành Tyre và làm nghề thợ mộc. Ông có một bàn tay quyền năng trong khoa học hình học. Cuốn sách nổi tiếng của ông, mang tên Sách Cơ sở, là cái tên mà các nhà hiền triết Hy Lạp vẫn thường dùng. Người La Mã sau này gọi nó là Các khảo sát, và người Hồi giáo gọi đó là Các nguyên lý." Qifṭī, ʿAlī Ibn-Yūsuf al-. Iḫbār al-ʿulamāʾ bi-aḫbār al-ḥukamāʾ. Biên tập bởi Ibrāhīm Šams-ad-Din, Aṭ-Ṭabʿa 1, Dār al-Kutub al-ʿIlmīya, Manšūrāt Muḥammad ʿAlī al-Baiḍūn, 2005.

 Danh tính và tính lịch sử 
nhỏ|Bức hoạ  [Euclid xứ Megara cải trang thành phụ nữ để nghe Socrates giảng dạy tại Athens], được sáng tác bởi Domenico Maroli vào khoảng thập niên 1650. Vào thời điểm đó, triết gia Euclid và nhà toán học Euclid bị ngộ nhận là cùng một người, do đó tác giả đã đưa thêm các vật dụng toán học lên trên chiếc bàn trong bức tranh.
Nhằm phân biệt với triết gia Euclid xứ Megara - một môn đồ của Sokrates từng xuất hiện trong các đối thoại của Platon - nhà toán học Euclid thường được định danh một cách cụ thể là Euclid xứ Alexandria. Trong suốt một khoảng thời gian dài, hai nhân vật này đã bị đồng nhất sai lệch về mặt lịch sử. Vào thế kỷ thứ nhất SCN, nhà biên soạn giai thoại người La Mã Valerius Maximus đã viết nhầm tên Eudoxus (sống ở thế kỷ thứ tư TCN) thành cái tên Euclid khi đề cập đến những nhà toán học mà Platon chỉ dẫn người dân đến gặp để hỏi cách giải quyết bài toán gấp đôi khối lập phương. Việc xuất hiện một "Euclid toán học" sớm hơn thực tế khoảng một thế kỷ này (Euclid sống ở thế kỷ thứ ba TCN) có khả năng là tiền đề cho sự nhầm lẫn giữa Euclid xứ Megara với Euclid trong các nguồn tài liệu Byzantine Trung cổ (hiện đã thất lạc); cuối cùng, điều này đã dẫn tới việc nhà toán học Euclid bị gán cho các chi tiết tiểu sử hỗn hợp giữa ông với vị triết gia và bị mô tả là Megarensis (người xứ Megara). Học giả người Byzantine Theodore Metochites ( 1300) đã ngộ nhận hai nhân vật này là cùng một người một cách rõ rệt. Tương tự, nhà in Erhard Ratdolt cũng đã đánh đồng hai người làm một khi thực hiện bản in đầu tiên (vào năm 1482) của bản dịch tiếng Latinh cho bộ Cơ sở (do Campanus xứ Novara dịch). Đến năm 1505, Bartolomeo Zamberti đưa hầu hết các mảnh vụn tiểu sử còn tồn tại của cả hai Euclid vào lời tựa của bản dịch cho bộ Cơ sở do ông dịch; sự nhầm lẫn này đã trở thành một mặc định trong các lần tái bản sau đó. Một sự ngộ nhận khác phải kể đến việc một số người cho rằng nhà toán học Euclid sinh ra tại Gela, Sicily; điều này xảy ra là do Euclid xứ Megara đôi khi được coi là sinh ra ở đây. Phải đến thời kỳ Phục Hưng, các học giả, tiêu biểu như Peter Ramus, mới tiến hành thẩm định lại hệ thống tư liệu, chỉ ra những mâu thuẫn trong niên đại và sự bất nhất trong các nguồn văn bản sớm nhằm chính thức bác bỏ sự đồng nhất sai lầm giữa hai nhân vật này.

Các nguồn tư liệu tiếng Ả Rập thời Trung cổ đã cung cấp một lượng lớn thông tin về cuộc đời của Euclid, nhưng chúng hoàn toàn không thể kiểm chứng. Theo những nguồn này, Euclid là một người Hy Lạp sinh ra tại Týros, định cư ở Damascus và là con trai của Naucrates. Tuy nhiên, đa số học giả đều nghi ngại về tính xác thực của các ghi chép này. Riêng Heath nhận định rằng các yếu tố hư cấu này được tạo ra nhằm thắt chặt mối liên hệ giữa Euclid với thế giới Ả Rập. Cũng có nhiều câu chuyện giai thoại liên quan đến Euclid nhưng đều không rõ tính lịch sử; hầu hết, chúng đều "khắc họa ông như một cụ già nhân hậu và hiền từ". Nổi tiếng nhất trong các giai thoại là câu chuyện của Proclus về việc vua Ptolemaios hỏi Euclid liệu có con đường nào nhanh hơn để học hình học ngoài việc đọc bộ Cơ sở hay không; Euclid đã đáp lại rằng "không có con đường hoàng gia nào dẫn đến hình học". Tính xác thực của giai thoại này vẫn còn là một nghi vấn, bởi một cuộc trò chuyện tương tự giữa Menaechmus và Alexandros Đại đế cũng được Stobaeus ghi lại. Cả hai câu chuyện này đều được viết vào thế kỷ 5 SCN; chúng đều không dẫn nguồn cụ thể và đều không xuất hiện trong văn học Hy Lạp cổ đại.

Việc xác định niên đại chính xác cho các hoạt động của Euclid (khoảng năm 300 TCN) vẫn đang bị bỏ ngỏ do thiếu các tài liệu tham chiếu đương thời. Tài liệu gốc sớm nhất nhắc đến Euclid là bức thư mở đầu của Apollonius gửi kèm bộ Đường conic (đầu thế kỷ 2 TCN): "Quyển thứ ba của bộ Đường conic () chứa đựng nhiều định lý đáng kinh ngạc, hữu ích cho cả việc tổng hợp lẫn xác định số nghiệm của các quỹ tích khối. Phần lớn trong số đó, bao gồm cả những định lý hay nhất, đều là mới mẻ. Khi khám phá ra chúng, chúng tôi nhận thấy Euclid đã không thực hiện phép tổng hợp quỹ tích trên ba và bốn đường thẳng mà chỉ hoàn thành một phần ngẫu nhiên, và ngay cả phần đó cũng chưa được thực hiện một cách thỏa đáng." Bộ Cơ sở được cho là đã lưu hành ít nhất một phần vào thế kỷ thứ 3 TCN, vì Archimedes và Apollonius đã mặc nhiên thừa nhận một số mệnh đề trong đó; tuy nhiên, Archimedes lại sử dụng một biến thể cũ hơn của lý thuyết về tỷ lệ so với phiên bản có trong bộ Cơ sở. Những bản sao vật lý lâu đời nhất của các nội dung trong bộ Cơ sở (niên đại khoảng năm 100 SCN) có thể được tìm thấy trên các mảnh giấy cói khai quật từ một bãi rác cổ ở Oxyrhynchus, Ai Cập thuộc La Mã. Những trích dẫn trực tiếp sớm nhất về bộ Cơ sở trong các tác phẩm có niên đại xác định phải đến tận thế kỷ 2 SCN mới xuất hiện (trích dẫn bởi Galenus và Alexandros xứ Aphrodisias); vào thời điểm này, bộ sách đã trở thành giáo trình chuẩn trong trường học. Một số nhà toán học Hy Lạp cổ đại nhắc đích danh Euclid, nhưng ông thường được gọi là "ὁ στοιχειώτης" ("tác giả bộ Cơ sở"). Vào thời Trung cổ, một số học giả còn cho rằng Euclid không phải là một nhân vật lịch sử và tên của ông chỉ là kết quả từ việc diễn đạt sai lệch các thuật ngữ toán học Hy Lạp.

Công trình

 Cơ sở 

nhỏ|Một mảnh giấy cói chứa nội dung của bộ Cơ sở của Euclid, có niên đại . Được tìm thấy tại Oxyrhynchus (Ai Cập), mảnh giấy có chứa hình hoạ minh họa cho Mệnh đề 5 trong Quyển II.
Euclid được biết đến nhiều nhất với bộ sách chính luận gồm 13 quyển mang tên Cơ sở (; ); đây được coi là kiệt tác để đời của ông. Phần lớn nội dung của bộ sách có nguồn gốc từ những nhà toán học đi trước như Eudoxus, Hippocrates xứ Chios, Thales và Theaetetus; một số các định lý khác trong tác phẩm cũng từng được Platon và Aristoteles nhắc tới. Rất khó để phân định rõ đâu là đóng góp riêng của Euclid và đâu là của những người tiền nhiệm, đặc biệt là bởi bộ Cơ sở về cơ bản đã thay thế hoàn toàn những tài liệu toán học Hy Lạp cổ hơn đã bị thất lạc. Nhà cổ điển học Markus Asper cho rằng: "Rõ ràng thành tựu của Euclid là nằm ở việc tập hợp những tri thức toán học đã được thừa nhận thành một trình tự chặt chẽ và bổ sung thêm các chứng minh mới để lấp đầy vào những khoảng trống". Nhà sử học Serafina Cuomo thì lại mô tả bộ sách giống như một "kho tàng các kết quả". Dù vậy, Sialaros đã nhấn mạnh rằng: "Cấu trúc chặt chẽ đến đáng kinh ngạc của bộ Cơ sở cho thấy quyền kiểm soát của tác giả vượt xa giới hạn của một người biên tập đơn thuần".

Bộ Cơ sở không chỉ thảo luận riêng về hình học như đôi khi người ta vẫn lầm tưởng. Theo truyền thống, bộ sách được chia thành ba phần chính: hình học phẳng (quyển 1-6), lý thuyết số cơ bản (quyển 7-10) và hình học không gian (quyển 11-13). Tuy nhiên, quyển 5 (nói về tỷ lệ) và quyển 10 (về các đường vô tỉ) không hoàn toàn phù hợp với hệ thống phân loại này. Trọng tâm của bộ sách là các định lý nằm rải rác xuyên suốt mười ba quyển. Sử dụng các thuật ngữ của Aristoteles, nội dung bộ sách có thể được chia thành hai nhóm: "nguyên lý bậc nhất" (tiếng Anh: first principles) và "nguyên lý bậc hai" (tiếng Anh: second principles). Nhóm nguyên lý bậc nhất bao gồm các "định nghĩa" ( hoặc ), "định đề" (), và "khái niệm chung" (). Chỉ có quyển đầu tiên là có các định đề (sau này được gọi với cái tên "tiên đề") và các khái niệm chung. Nhóm nguyên lý bậc hai bao gồm các mệnh đề được trình bày cùng với các chứng minh toán học và sơ đồ hình họa. Hiện vẫn chưa rõ liệu Euclid có ý định biên soạn bộ Cơ sở làm một bộ sách giáo khoa hay không, nhưng phương pháp trình bày của nó khiến nó trở nên cực kỳ phù hợp với việc giáo dục. Nhìn chung, giọng văn của tác giả luôn mang tính khái quát và khách quan.

 Nội dung 

+Các định đề và khái niệm chung của EuclidCác định đềCùng quy ước rằng1Có thể vẽ một đoạn thẳng nối hai điểm bất kì.2Có thể kéo dài liên tục một đoạn thẳng thành đường thẳng.3Có thể vẽ một hình tròn với tâm và bán kính bất kì.4Tất cả các góc vuông đều bằng nhau.5Nếu một đường thẳng (gốc) cắt hai đường thẳng khác tạo thành các góc trong cùng một phía có tổng nhỏ hơn hai góc vuông, thì hai đường thẳng đó, khi được kéo dài vô hạn sẽ cắt nhau ở phía của đường thẳng gốc mà tổng hai góc trong nhỏ hơn hai góc vuông.Các khái niệm chung1Những thứ cùng bằng một thứ thì bằng nhau.2Nếu cùng thêm những thứ bằng nhau vào những thứ bằng nhau (khác) thì những tổng thể sẽ bằng nhau.3Nếu cùng bớt những thứ bằng nhau khỏi những thứ bằng nhau (khác) thì phần còn lại sẽ bằng nhau.4Những thứ trùng nhau thì bằng nhau.5Một tổng thể thì lớn hơn bộ phận lẻ của nó.
Quyển 1 của bộ Cơ sở đóng vai trò nền tảng cho toàn bộ tác phẩm. Nó bắt đầu bằng một danh sách gồm 20 định nghĩa về các khái niệm hình học cơ bản như đường thẳng, góc và các loại đa giác đều. Sau đó, Euclid đưa ra 10 giả định (xem bảng, bên phải) được chia thành hai nhóm gồm 5 định đề (tiên đề) và 5 khái niệm chung. Những giả định này được thiết kế nhằm cung cấp cơ sở logic cho mọi định lý về sau, đóng vai trò như một hệ tiên đề . Trong đó, năm khái niệm chung chỉ tập trung vào chủ đề so sánh các đại lượng. Bốn định đề đầu tiên tương đối đơn giản và trực diện, nhưng định đề thứ năm, còn được gọi là định đề về đường thẳng song song, lại nổi tiếng hơn cả. Quyển 1 chứa đựng 48 mệnh đề; ta có thể phân loại các mệnh đề một cách tương đối thành các nhóm như sau: các định lý cơ bản, phép dựng hình phẳng và tương đẳng của hình tam giác (từ mệnh đề 1 đến 26); đường thẳng song song (27-34); diện tích hình tam giác và hình bình hành (35-45); định lý Pythagoras (46-48). Ba mệnh đề cuối bao gồm cả chứng minh cổ xưa nhất còn tồn tại của định lý Pythagoras, một chứng minh được học giả Sialaros đánh giá là "vô cùng tinh tế".

Theo truyền thống, quyển 2 được xem là bàn về "đại số hình học", tuy nhiên, cách hiểu này đã gây ra nhiều tranh cãi gay gắt kể từ những năm 1970. Những người chỉ trích cho rằng cách hiểu này là sai lệch so với thời đại mà Euclid sống, bởi vì nền móng của đại số sơ khai chỉ xuất hiện nhiều thế kỷ sau đó. Quyển 2 có phạm vi tập trung hơn, chủ yếu cung cấp các định lý đại số đi kèm với các hình hình học khác nhau. Nội dung trọng tâm của quyển 2 là về diện tích của hình chữ nhật và hình vuông (xem Phép cầu phương), từ đó dẫn dắt tới một dạng tiền thân mang tính hình học của định lý cos. Quyển 3 tập trung vào đường tròn, trong khi Quyển 4 lại thảo luận về các đa giác đều, đặc biệt là hình ngũ giác. Quyển 5 là một trong những phần quan trọng nhất của toàn bộ tác phẩm, trình bày "lý thuyết tổng quát về tỷ lệ". Đến Quyển 6, Euclid vận dụng "lý thuyết về tỷ số" vào trong bối cảnh của hình học phẳng. Toàn bộ quyển 6 hầu như được xây dựng dựa trên mệnh đề đầu tiên của quyển: "Các hình tam giác và các hình bình hành mà có cùng chiều cao thì có tỷ lệ bằng với tỷ lệ của các cạnh đáy của chúng".
nhỏ|Năm khối đa diện đều Platon, những thành phần nền tảng của hình học không gian, được xuất hiện trong quyển 11-13.
Từ quyển 7 trở đi, nhà toán học người Đức Benno Artmann bình luận rằng: "Euclid bắt đầu lại từ đầu. Không có nội dung nào từ các quyển trước đó được sử dụng lại". Nội dung chính của quyển 7 đến quyển 10 xoay quanh chủ đề lý thuyết số. Quyển 7 bắt đầu bằng một tập hợp 22 định nghĩa về tính chẵn lẻ, số nguyên tố và các khái niệm khác liên quan đến số học. Ngoài ra, quyển này còn bao gồm giải thuật Euclid, một phương pháp được dùng để tìm ước chung lớn nhất của hai số. Quyển 8 thảo luận về cấp số nhân, trong khi quyển 9 bao hàm một mệnh đề mà ngày nay được gọi là định lý Euclid, khẳng định rằng có vô số số nguyên tố. Trong bộ Cơ sở, quyển 10 là tập sách dài và phức tạp nhất, giải quyết vấn đề về số vô tỉ trong bối cảnh về độ lớn, nhỏ.

Ba quyển cuối cùng (11-13) chủ yếu thảo luận về hình học không gian. Bằng cách đưa ra một danh sách gồm 22 định nghĩa, quyển 11 thiết lập bối cảnh cho hai quyển kế tiếp. Mặc dù tính chất tạo nền tảng của nó tương tự như quyển 1, nhưng khác với quyển 1, quyển này không có hệ tiên đề hay các giả định ban đầu. Quyển 11 được chia ra làm 3 phần: hình học không gian (mệnh đề 1-19), góc khối (20-23) và các hình khối lục diện (24-37).

 Các tác phẩm khác 
nhỏ|Cách dựng một khối mười hai mặt đều của Euclid.
Bên cạnh bộ Cơ sở, có ít nhất năm tác phẩm khác của Euclid vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay. Các tác phẩm này đều tuân theo cấu trúc logic tương tự như bộ Cơ sở, bao gồm hệ thống các định nghĩa và những mệnh đề đã được chứng minh.

 Khúc xạ () bàn luận đến các lý thuyết toán học liên quan tới gương, đặc biệt là các hình ảnh được tạo bởi gương phẳng và gương cầu lõm, tuy nhiên, quyền tác giả của ông đôi khi vẫn bị nghi ngờ.

 Dữ kiện (; ) là một văn bản tương đối ngắn, phân tích bản chất và hệ quả của những thông tin "đã cho" trong các bài toán hình học.

 Về việc chia cắt các hình (; ) hiện chỉ còn tồn tại một phần dưới dạng một bản dịch tiếng Ả Rập. Nội dung cuốn sách bàn về việc chia các hình hình học thành hai hoặc nhiều phần bằng nhau, hoặc thành các phần theo tỷ số cho trước. Tác phẩm này bao gồm 36 mệnh đề và có nhiều điểm tương đồng với cuốn Đường conic của Apollonius.

 Quang học (; ) là tác phẩm chính luận cổ xưa nhất của Hy Lạp về đề tài phối cảnh còn tồn tại. Nó bao gồm phần thảo luận mở đầu về quang học hình học và những quy tắc cơ bản của phối cảnh.

 Các hiện tượng (, ) là một tác phẩm chính luận nói về đề tài thiên văn học hình cầu hiện còn lưu giữ được bản tiếng Hy Lạp. Tác phẩm này có sự tương đồng với cuốn Về khối cầu chuyển động của Autolycus xứ Pitane - một người sống vào khoảng năm 310 .

 Các tác phẩm hiện đã bị thất lạc 
Có bốn tác phẩm khác được cho là của Euclid nhưng hiện đã bị thất lạc.

 Đường conic (, ) là một công trình khảo sát gồm bốn quyển về các đường conic, sau này đã bị thay thế bởi bộ sách cùng tên đầy đủ hơn của Apollonius. Sự tồn tại của tác phẩm này chủ yếu được biết đến qua Pappus, người khẳng định rằng nội dung bốn quyển đầu trong bộ Đường conic của Apollonius phần lớn dựa trên công trình trước đó của Euclid. Tuy nhiên, nhà sử học Alexander Jones đã đặt nghi vấn về khẳng định này do bằng chứng thưa thớt và không có tài liệu nào khác xác nhận ghi chép của Pappus.
 Pseudaria (; ), theo Proclus, là một văn bản về lập luận hình học, được viết nhằm hướng dẫn người mới nhập môn tránh các lỗi sai phổ biến. Ngoài phạm vi đề tài và một vài dòng trong tác phẩm còn sót lại, giới học thuật biết rất ít về nội dung cụ thể của tác phẩm này.
 Porisms (; ) dựa trên các ghi chép của Pappus và Proclus, có khả năng là một chuyên luận gồm ba quyển với khoảng 200 mệnh đề. Thuật ngữ "porism" trong ngữ cảnh này không mang nghĩa là hệ quả thông thường, mà chỉ "loại mệnh đề thứ ba—trung gian giữa định lý và bài toán—với mục đích là khám phá một đặc tính của một thực thể hình học hiện có, ví dụ, như tìm tâm của một đường tròn". Nhà toán học Michel Chasles suy đoán rằng những mệnh đề đã thất lạc này bao gồm các nội dung liên quan đến lý thuyết hiện đại về đường thẳng cắt hai đường thẳng khác ( và hình học xạ ảnh.
 Cuốn Quỹ tích bề mặt (, ) không rõ nội dung, ngoại trừ những suy đoán dựa trên tiêu đề. Các giả thuyết dựa trên các ghi chép sau này cho rằng tác phẩm chủ yếu thảo luận về hình nón, hình trụ và một số chủ đề liên quan khác.

 Di sản 

nhỏ|Phiên bản tô màu của bộ Cơ sở do Oliver Byrne thực hiện (hình trên là trang đầu tiên của sách)
Cùng với Archimedes và Apollonius xứ Perga, Euclid thường được công nhận là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất thời cổ đại. Nhiều nhà bình luận tôn vinh ông là một trong những nhân vật có tầm ảnh hưởng sâu rộng nhất lịch sử toán học. Hệ thống toán học được thiết lập trong bộ Cơ sở đã thống trị lĩnh vực hình học suốt một thời gian dài; ngày nay hệ thống đó thường được gọi là "hình học Euclid" để phân biệt với các hệ thống hình học phi Euclid được khám phá vào đầu thế kỷ thứ 19. Cái tên "Euclid" đã được đặt cho nhiều thực thể hiện đại, tiêu biểu như tàu vũ trụ Euclid của Cơ quan Vũ trụ Châu Âu (ESA), hố va chạm Euclides trên Mặt Trăng và tiểu hành tinh 4354 Euclides.

Bộ Cơ sở thường được xem là tác phẩm sách được dịch, xuất bản và nghiên cứu nhiều thứ hai trong lịch sử thế giới phương Tây, chỉ đứng sau Kinh Thánh. Cùng với tác phẩm Siêu hình học của Aristoteles, bộ Cơ sở có lẽ là văn bản Hy Lạp cổ đại thành công nhất. Ngoài ra, bộ sách cũng từng là giáo trình toán học chủ đạo trong thế giới Ả Rập và Latinh thời Trung cổ.

Phiên bản tiếng Anh đầu tiên của bộ Cơ sở được Henry Billingsley và John Dee xuất bản vào năm 1570. Năm 1847, nhà toán học Oliver Byrne đã cho ra đời một phiên bản nổi tiếng của bộ sách mang tên The First Six Books of the Elements of Euclid in Which Coloured Diagrams and Symbols Are Used Instead of Letters for the Greater Ease of Learners, trong đó sử dụng các biểu đồ có màu để người học dễ tiếp cận hơn. Sau này, David Hilbert đã biên soạn một hệ tiên đề hiện đại hóa cho bộ Cơ sở. Nữ sĩ Edna St. Vincent Millay đã chấp bút: "Chỉ mình Euclid từng chiêm ngưỡng Vẻ đẹp trần trụi."

 Tham khảo 
 Cước chú 

 Chú thích 

 Thư mục 
Sách






















Bài viết










Trực tuyến





 Liên kết ngoài 

 Công trình




 Euclid Collection tại Đại học Cao đẳng Luân Đôn (các phiên bản có niên đại k. 500 của các tác phẩm bởi Euclid), có thể truy cập trực tuyến qua Stavros Niarchos Foundation Digital Library.
 Bản quét của các phiên bản của một số tác phẩm của Euclid của Johan Heiberg tại wilbourhall.org

 Bộ Cơ sở

 Bản sao PDF, với bản gốc tiếng Hy Lạp và bản dịch tiếng Anh (trong một trang sẽ trình bày song song hai ngôn ngữ), Đại học Texas tại Austin.
 Tất cả mười ba quyển, được dịch sang các ngôn ngữ như tiếng Tây Ban Nha, tiếng Catalan, tiếng Anh, tiếng Đức, tiếng Bồ Đào Nha, tiếng Ả Rập, tiếng Ý, tiếng Nga, tiếng Trung.



Thể loại:Nhà đại số học
Thể loại:Nhà toán học Hy Lạp cổ đại
Thể loại:Nhà hình học
Thể loại:Lý thuyết số
Thể loại:Bài cơ bản dài trung bình
Thể loại:Nhà lý thuyết số