Định lý Ceva

Định lý CevaĐịnh lý mang tên nhà toán học người Italia là Giovanni Ceva (1647 - 1734), người tìm ra định lý này vào năm 1698 là một định lý phổ biến trong hình học cơ bản. Cho một tam giác ABC, các điểm D, E, và F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, và AB. Định lý phát biểu rằng các đường thẳng AD, BE và CF là những đường thẳng đồng quy khi và chỉ khi:

Ngoài ra, định lý Ceva còn được phát biểu một cách tương đương trong lượng giác rằng: AD,BE,CF đồng quy khi và chỉ khi 
.thumb|300px|phải|Định lý CevaMột đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác gọi là đường thẳng Ceva ứng với đỉnh đó.Một trong hình vẽ tam giác  là một tam giác Ceva của tam giác ABC.

 Chứng minh 

Giả sử ta có: ,  và  đồng quy tại một điểm  nào đó (trong hay ngoài tam giác). Do  và  có chung chiều cao (độ dài của đường cao), ta có:  Tương tự, 

Ta suy ra  

Tương tự,  

Nhân ,, vế theo vế,ta được:. Ta có điều phải chứng minh.

Ngược lại, giả sử rằng ta đã có những điểm ,  và  thỏa mãn đẳng thức. Gọi giao điểm của  và  là , và gọi giao điểm của  và  là . Theo chứng minh trên, 

Kết hợp với đẳng thức trên, ta nhận được: 

Do đó , nên  và  trùng nhau. Vì vậy ,  và  đồng quy tại , và định lý đã được chứng minh (là đúng theo cả hai chiều).

 Tham khảo thêm 
Định lý Menelaus
Định lý Carnot
Định lý Routh
Định lý Thales

Tham khảo


 .





Ceva
Ceva
Thể loại:Hình học tam giác
Thể loại:Hình học afin
Thể loại:Hình học sơ cấp
C
Thể loại:Định lý trong hình học phẳng
Thể loại:Hình học phẳng Euclid