Số nguyên tố Fibonacci

Một số nguyên tố Fibonacci là một số Fibonacci đồng thời là số nguyên tố.
Sau đây là một vài số nguyên tố Fibonacci

2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597,... 

Trừ trường hợp n = 4, nếu Fn là số nguyên tố thì n là số nguyên tố. Tuy nhiên mệnh đề đảo không đúng.

Khảo sát tính nguyên tố của 25 số Fibonacci đầu tiên
 n  F(n)- nF(n)-0  0 - 1  1- [2]  1 - [3]  2 PRIME4  3 PRIME[5]  5 PRIME6 8 = 2^3[7]  13 PRIME8  21= 3 x 79  34 = 2 x 1710  55 = 5 x 11[11]  89 PRIME12  144 = 24 x 32[13]  233 PRIME14  377 = 13 x 2915  610 = 2 x 5 x 6116  987 = 3 x 7 x 47[17]  1597 PRIME18  2584 = 23 x 17 x 19[19]  4181 = 37 x 11320  6765 = 3 x 5 x 11 x 4121  10946 = 2 x 13 x 42122  17711 = 89 x 199[23]  28657 PRIME24  46368 = 25 x 32 x 7 x 2325  75025 = 52 x 3001

Fp là số nguyên tố với 8 số trong 10 số nguyên tố đầu tiên; trừ F2 = 1 và F19 = 4181 = 37 x 113. Tuy nhiên, các số nguyên tố Fibonacci là khá hiếm khi chỉ số tăng - Fp là số nguyên tố chỉ 25 số trong số 1.229 số nguyên tố p dưới 10.000.Sloane's A005478, Sloane's A001605

Hiện tại, số nguyên tố Fibonacci lớn nhất được biết là F81839, với 17103 chữ số;Number Theory Archives announcement by David Broadhurst and Bouk de Water số lớn nhất có khả năng là nguyên tố Fibonacci là F604711, với 126377 chữ số.PRP Records Chưa biết chắc rằng có thể có vô hạn số nguyên tố Fibonacci không.

Tính chia hết của các số Fibonacci với chỉ số nguyên tố

Các số Fibonacci có chỉ số p nguyên tố không có ước chung lớn hơn 1 với các số 
Fibonacci khác, đó là vì

ƯCLN(Fn, Fm) = FƯCLN(n,m).Paulo Ribenboim, My Numbers, My Friends, Springer-Verlag 2000

Với n≥3, Fn chia hết Fm nếu n chia hết m.</sub>Wells 1986, p.65

Nếu ta biết rằng m, là một số nguyên tố p thì từ đẳng thức trên, 
và n là nhỏ hơn p, rõ ràng rằng Fp, không thể có ước chung khác với bất kỳ số Fibonacci nào.

ƯCLN(Fp, Fn) = FƯCLN(p,n) = F1 = 1

Định lý Carmichael khẳng định rằng mọi số Fibonacci với chỉ số lớn hơn 12 có ít nhất một ước nguyên tố không là ước của các số Fibonacci nào đứng trước nó.

Tham khảo

Xem thêm
 Bảng số nguyên tố
 Số nguyên tố Lucas

Liên kết
 http://mathworld.wolfram.com/FibonacciPrime.html 
 R. Knott Fibonacci primes 
 Greatest common divisor of two Fibonacci numbers

Thể loại:Số nguyên tố
Thể loại:Số Fibonacci
Thể loại:Vấn đề mở trong lý thuyết số