Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz

Trong đại số và giải tích, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (cũng gọi là bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz) phát biểu rằng trị tuyệt đối của tích vô hướng của hai vector luôn nhỏ hơn hoặc bằng tích độ dài của hai vector đó. Bất đẳng thức này được coi là một trong những bất đẳng thức quan trọng và xuất hiện thường xuyên trong toán học.

Tích vô hướng của véc-tơ có thể được biểu diễn thông qua tổng hữu hạn, chuỗi hay tích phân trong không gian Hilbert nên bất đẳng thức này có thể được biểu diễn thông qua nhiều dạng khác nhau. Bất đẳng thức của dạng tổng được công bố với Augustin-Louis Cauchy vào năm 1821, phiên bản tích phân là của Viktor Yakovlevich Bunyakovsky và Hermann Schwarz lần lượt vào năm 1859 và 1888, Schwarz đưa ra chứng minh hiện đại hơn cho phiên bản tích phân này.

 Phát biểu 
Trong phát biểu này, ta định nghĩa  là một tích vô hướng bất kì trong không gian tích trong, với ví dụ điển hình là tích vô hướng chính tắc trong không gian Euclid. 

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz phát biểu rằng với hai véc-tơ  và  trong không gian tích trong, ta luôn có

Lấy căn bậc hai ở hai vế ta thu được dạng quen thuộc hơn của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là

Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  và  là phụ thuộc tuyến tính. 

Một số phát biểu nổi tiếng và đặc biệt của bất đẳng thức này có thể kể đến như dưới đây

 Bổ đề Sedrakyan 
Bất đẳng thức Sedrakyan, hay bất đẳng thức Engel, bổ đề Titu phát biểu rằng với bộ số thực  và bộ số dương , ta có 

Bất đẳng thức này được suy ra trực tiếp bằng việc sử dụng tích vô hướng chính tắc và sử dụng hai dãy phụ là  và .

 Không gian Euclid n-chiều 
Trong không gian Euclid  với tích vô hướng chính tắc , khi này bất đẳng thức C-S trở thành 



Trong mặt phẳng , ta có hai dạng dễ gặp hơn là 


và 


 Không gian phức n-chiều 
Nếu , ta khi này định nghĩa tích vô hướng giữa hai véc-tơ là , bất đẳng thức C-S khi đó được phát biểu là 

hay viết dưới dạng tường minh là 

 Chứng minh 
Bất đẳng thức này rõ ràng đúng với y = 0, vì thế ta có thể giả sử <x, y> khác 0. Giả sử  là một số phức bất kỳ. Khi đó, chúng ta có bất đẳng thức chắc chắn đúng như sau:

Chọn

chúng ta được

mà bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi

hay tương đương:

 (điều phải chứng minh)

 Một vài ứng dụng 
Bất đẳng thức tam giác cho tích trong thường được xem là một hệ quả của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz như sau: cho các vector x và y,

{|
| || 
|-
| || 
|-
| || 
|-
| || 
|-
| || 
|}

Lấy căn bậc hai hai vế ta được bất đẳng thức tam giác.

Tham khảo

Thể loại:Khái niệm toán học mang tên Cauchy
Thể loại:Bất đẳng thức
Thể loại:Giải tích toán học
Thể loại:Đại số tuyến tính
Thể loại:Lý thuyết toán tử
Thể loại:Bất đẳng thức xác suất
Thể loại:Lý thuyết xác suất
Thể loại:Augustin-Louis Cauchy