Biến đổi Fourier liên tục

Trong toán học, biến đổi Fourier liên tục là một toán tử tuyến tính chuyển một hàm khả tích (theo tích phân Lebesgue) sang một hàm khả tích khác. Theo ngôn ngữ của chuyên ngành xử lý tín hiệu hay trong vật lý, biến đổi Fourier khai triển một hàm số theo các thành phần trong phổ của nó, và ngược lại biến đổi Fourier nghịch đảo xây dựng lại một hàm số thông qua các thành phân tần số của nó. Đây cũng là ý tưởng chính của các dạng khác của biến đổi Fourier, bao gồm cả biến đổi Fourier rời rạc.

Xét một hàm số phức khả tích Lebesgue x(t). Một biến đổi Fourier của nó sang miền tần số góc ω được cho bởi hàm:

cho tất cả các số thực .  đơn vị số ảo, và  là một hàm nhận giá trị phức.

Biến đổi nghịch đảo của nó cũng có dạng tương tự. Nếu hàm  được định nghĩa như trên, và hàm  liên tục bậc vô hạn, khi đó :

cho tất cả các số thực .

 Hệ số chuẩn hóa 
 Dạng tổng quát 
 Các tính chất 
 Biến đổi của các hàm thông dụng 
Bản sau đây ghi lại một số biến đổi Fourier quan trọng. G và H ký hiệu biến đổi Fourier của hàm số g(t) và h(t), theo thứ tự đó. g và h có thể là hàm khả tích hoặc là phân bố.

Các mối liên quan
 Tín hiệu Biến đổi Fourier  unitary, tần số góc Biến đổi Fourier  unitary, tần số thường Chú thích 101Tuyến tính 102dịch trong thời gian 103dịch trong tần số, đối ngẫu của 2 104Nếu  lớn, thì  tập trung xung quanh 0 và  trải rộng ra và phẳng dần. Để ý đến giới hạn của giá trị này khi  ra vô cực - hàm số delta. 105Tính chất đối ngẫu của biến đổi Fourier. Kết quả từ việc hoán đổi biến  và . 106Đạo hàm tổng quát của biến đổi Fourier  107Đối ngẫu của 106 108 biểu thị chập cuả  và  — quy tắc này là định lý tích chập 109Đây là kép của 108 110 hoàn toàn là thực và hàm chẵn và  hoàn toàn là thực, và hàm thậm chí 111 hoàn toàn là thực và một hàm kỳ quặc và  hoàn toàn là ảo và hàm lẻ

Các hàm bình phương khả tích
 Signal Fourier transform  unitary, angular frequency Fourier transform  unitary, ordinary frequency Remarks 201The rectangular pulse and the normalized sinc function 202Dual of rule 201. The rectangular function is an idealized low-pass filter, and the sinc function is the non-causal impulse response of such a filter. 203 tri is the triangular function 204 Dual of rule 203. 205Shows that the Gaussian function  is its own Fourier transform. For this to be integrable we must have . 206 common in optics 207  208  209 a>0 210 the transform is the function itself 211 J0(t) is the Bessel function of first kind of order 0 212 it's the generalization of the previous transform; Tn (t) is the Chebyshev polynomial of the first kind. 213   Un (t) is the Chebyshev polynomial of the second kind 214Hyperbolic secant is its own Fourier transform

Distributions
 Signal Fourier transform  unitary, angular frequency Fourier transform  unitary, ordinary frequency Remarks  301 denotes the Dirac delta distribution. 302Dual of rule 301. 303This follows from and 103 and 302. 304Follows from rules 101 and 303 using Euler's formula:  305Also from 101 and 303 using  306Here,  is a natural number.  is the -th distribution derivative of the Dirac delta. This rule follows from rules 107 and 302. Combining this rule with 1, we can transform all polynomials. 307Here  is the sign function; note that this is consistent with rules 107 and 302. 308Generalization of rule 307. 309The dual of rule 307. 310Here  is the Heaviside unit step function; this follows from rules 101 and 309. 311 is the Heaviside unit step function and . 312The Dirac comb — helpful for explaining or understanding the transition from continuous to discrete time.

 Xem thêm 
 Tham khảo 

 Liên kết ngoài 

Thể loại:Biến đổi tích phân
Thể loại:Giải tích Fourier
Thể loại:Xử lý tín hiệu
Thể loại:Phổ học

de:Kontinuierliche Fourier-Transformation
th:การแปลงฟูริเยร์ต่อเนื่อง