Định lý luồng cực đại lát cắt cực tiểu

Định lý luồng cực đại lát cắt cực tiểu là một phát biểu trong ngành lý thuyết tối ưu hóa về các luồng cực đại trong các mạng vận tải (flow network). Định lý phát biểu rằng:
Lượng cực đại của một luồng bằng khả năng thông qua của một lát cắt tối thiểu.

 Định nghĩa 
Giả sử  là một đồ thị có hướng hữu hạn và mỗi cung  có một khả năng thông qua  (một giá trị thực không âm). Ngoài ra, giả sử có hai đỉnh, đỉnh phát  và đỉnh thu , đã được xác định.

Một lát cắt là một cách chia các nút mạng thành hai tập  và , sao cho  thuộc tập  và  thuộc . Do đó, trong một đồ thị có  lát cắt có thể.

Khả năng thông qua của một lát cắt  là
,

Đó là tổng của các khả năng thông qua của tất cả các cung đi qua lát cắt, từ vùng  tới vùng .

Ba điều kiện sau là tương đương:

  là một luồng cực đại trong đồ thị 
 Mạng còn dư (residual network)  không chứa đường tăng (augmenting path).
  với lát cắt  nào đó.

Phác thảo chứng minh: Nếu có một đường tăng, ta có thể gửi luồng theo đó và thu được một luồng lớn hơn, do đó nó không thể là luồng cực đại, và ngược lại. Nếu không có đường tăng nào, ta chia đồ thị thành  gồm các nút tới được từ  trong mạng còn dư, và  gồm các nút không tới được. Khi đó  phải bằng 0. Nếu không, tồn tại một cung  với , nhưng khi đó, từ  lại đến được  nên  không thể nằm trong .

 Ví dụ 
Hình bên phải là một mạng với các nút , và luồng cực đại là một luồng tổng từ nút phát  tới nút thu  có giá trị bằng 5. (Đây thực ra là luồng cực đại duy nhất ta có thể tìm thấy trong mạng này.)

Có ba lát cắt cực tiểu trong mạng. Đối với lát cắt , khả năng thông qua lát cắt là . Với  nó là . Và với  là .

Lưu ý rằng  không phải là một lát cắt cực tiểu, tuy trong luồng đã cho cả  và  đều đầy. Đó là do trong mạng còn dư  có một cung (r,q) với khả năng thông qua .

 Lịch sử 
Định lý này được chứng minh bởi P. Elias, A. Feinstein, và C.E. Shannon năm 1956, và cũng năm đó, nó được chứng minh một cách độc lập bởi L.R. Ford, Jr. và D.R. Fulkerson. Tìm các luồng cực đại là một dạng bài toán quy hoạch tuyến tính đặc biệt, và định lý luồng cực đại lát cắt cực tiểu có thể được coi là một trường hợp đặc biệt của định lý đôi (duality theorem) cho quy hoạch tuyến tính.

 Xem thêm 
 Thuật toán Ford-Fulkerson

 Liên kết ngoài 
Tiếng Việt:
 Bài toán luồng cực đại trên mạng 
 Bài toán luồng cực đại trên mạng - Các thuật toán đa thức 

Tiếng Anh:
 A review of current literature on computing maximum flows 
 Max-Flow Min-Cut Animation 
 Max-Flow Problem: Ford-Fulkerson Algorithm 

 Tham khảo 

 P. Elias, A. Feinstein, and C. E. Shannon. Note on maximum flow through a network. IRE Transactions on Information Theory IT-2, 117–119, 1956.
 Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Chapter 26: Maximum Flow, pp. 643–700.

Thể loại:Luồng trên mạng
Thể loại:Vận trù học
Thể loại:Tối ưu hóa tổ hợp