Giả thuyết abc

Giả thuyết ABC là một giả thuyết toán học, được phát biểu ban đầu năm 1985 bởi Joseph Oesterlé và được tổng quát hóa sau đó bởi David Masser. Giả định này có thể liên quan đến việc nghiên cứu về các phương trình Diophantine chẳng hạn như là về số nghiệm hữu hạn của định lý Fermat lớn, một định lý nổi tiếng của Pierre de Fermat.

Phát biểu
Để hiểu giả thuyết này trước tiên chúng ta cùng tìm hiểu về một khái niệm gọi là cội của một số nguyên (dịch từ radical of an integer - phân biệt với căn số học và căn nguyên thủy của modulo)

Trong lý thuyết số, cội của một số nguyên dương n được định nghĩa là tích của các số nguyên tố trong phân tích thừa số nguyên tố của n với điều kiện mỗi số nguyên tố trong phân tích ra thừa số nguyên tố của n chỉ xuất hiện duy nhất một lần trong tích này, ký hiệu là rad(n).

Giải thích khái niệm trên như sau, theo định lý cơ bản của số học mọi số tự nhiên lớn hơn 1 có thể viết một cách duy nhất (không kể sự sai khác về thứ tự các thừa số) thành tích các thừa số nguyên tố.
Mọi số tự nhiên n lớn hơn 1, có thể viết duy nhất dưới dạng:

trong đó  là các số nguyên tố và  là các số tự nhiên dương. Tuy nhiên do tính giao hoán của phép nhân các số tự nhiên, tính duy nhất bỏ qua các sai khác về thứ tự các thừa số. 
Vế phải của đẳng thức này được gọi là dạng phân tích tiêu chuẩn của n.

Như vậy:

Ví dụ:


thì: 



thì: 

Giả thuyết ABC. cho ε là một số thực dương tùy ý, khi đó tồn tại một số hữu hạn ba số (a, b, c) nguyên dương nguyên tố đôi một cùng nhau mà a + b = c, sao cho:

Phát biểu trên tương đương với phát biểu sau đây

Giả thuyết ABC II. Với ε là số thực dương tùy ý, tồn tại hằng số Kε sao cho với tất cả các bộ ba số nguyên dương nguyên tố đôi một cùng nhau (a, b, c), với a + b = c:

Một phát biểu thứ ba tương đương như sau, ta gọi đặc tính q(a, b, c) của ba số (a, b, c), định nghĩa bằng biểu thức



Ví dụ,

q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...
q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...

Giả thuyết ABC III. cho ε là một số thực dương tùy ý, tồn tại một số lượng hữu hạn (a, b, c) nguyên dương nguyên tố đôi một cùng nhau với a + b = c sao cho đặc tính của bộ ba q(a, b, c) > 1 + ε.

 Các hệ quả của giả thuyết ABC
Định lí lớn Fermat đã được chứng minh bởi các nhà khoa học là 1 hệ quả của giả thuyết ABC

 Một số tính toán máy tính
+ Sự phân bố bộ ba a, b, c với q > 1. scope="col"  q > 1 q > 1.05 q > 1.1 q > 1.2 q > 1.3 q > 1.4 c < 102 6  4  4  2  0  0 c < 103 31  17  14  8  3  1 c < 104 120  74  50  22  8  3 c < 105 418  240  152  51  13  6 c < 106 1,268  667  379  102  29  11 c < 107 3,499  1,669  856  210  60  17 c < 108 8,987  3,869  1,801  384  98  25 c < 109 22,316  8,742  3,693  706  144  34 c < 1010 51,677  18,233  7,035  1,159  218  51					 c < 1011 116,978  37,612  13,266  1,947  327  64					 c < 1012 252,856  73,714  23,773  3,028  455  74					 c < 1013 528,275  139,762  41,438  4,519  599  84					 c < 1014 1,075,319  258,168  70,047  6,665  769  98					 c < 1015 2,131,671  463,446  115,041  9,497  998  112					 c < 1016 4,119,410  812,499  184,727  13,118  1,232  126					 c < 1017 7,801,334  1,396,909  290,965  17,890  1,530  143 c < 1018 14,482,065  2,352,105  449,194  24,013  1,843  160

Cho đến năm 2014, ABC@Home đã tìm thấy 23.8 triệu bộ ba.

+  Thứ tự q a b c Phát hiện bởi 1 1.6299  2  310·109  235  Eric Reyssat 2 1.6260  112  32·56·73  221·23  Benne de Weger 3 1.6235  19·1307  7·292·318  28·322·54  Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski 4 1.5808  283  511·132  28·38·173  Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj 5 1.5679  1  2·37  54·7  Benne de Weger

Chú ý:  đặc tính q(a, b, c) của bộ ba (a, b, c) được định nghĩa như trên phần giả thuyết abc III

Tham khảo gốc 
C. L. Stewart and Kunrui Yu, "On the abc Conjecture", Math. Ann., 291 (1991), 225-30.

Xem thêm
Ước số chung lớn nhất
 Định lý lớn Fermat
 Giả thuyết Beal

Tham khảo

Thể loại:Giả định toán học
Thể loại:Phỏng đoán
Thể loại:Lý thuyết số
Thể loại:Vấn đề mở trong lý thuyết số