Phần tử đơn vị

Bài này nói về phần tử đơn vị trong toán học, xem thêm nghĩa khác ở phần tử đơn vị (định hướng).

Trong toán học, phần tử đơn vị (hay còn gọi là phần tử trung hòa) là một phần tử đặc biệt của một tập hợp khi nói đến phép toán hai ngôi trên tập hợp đó. Nó không làm thay đổi phần tử còn lại khi thực hiện phép toán với phần tử đó. Khái niệm này được dùng trong các cấu trúc đại số như nhóm, vành.

Thuật ngữ phần tử đơn vị có thể được gọi ngắn gọn là đơn vị nếu không thể bị nhầm được.

 Định nghĩa 
Cho (S, *) là một tập S cùng với phép toán hai ngôi * trên nó, phần tử  được gọi là
 Đơn vị trái nếu 
 Đơn vị phải nếu 
 Đơn vị hai phía (hoặc đơn giản là đơn vị), nếu e vừa là đơn vị trái vừa là đơn vị phải.

 Ví dụ 
 Tập hợp  Phép toán  Phần tử đơn vị Số thực  + (Phép cộng)  0 Số thực  · (Phép nhân)  1Số phức + (phép cộng) 0Số phức· (phép nhân) 1 Số nguyên dương  Bội chung nhỏ nhất  1 Số nguyên không âm  Ước chung lớn nhất  0  Ma trận  x   Phép cộng ma trận Ma trận không Ma trận vuông  x   Phép nhân ma trận In (Ma trận đơn vị) Ma trận  x   ○ (Tích Hadamard)  (Ma trận một) Tất cả các hàm số từ tập, , tới chính nó  ∘ (phép hợp hàm)  Hàm đồng nhất Tất cả các phân phối  trên nhóm ,   ∗ (tích chập)   (Hàm delta Dirac) Số thực mở rộng  Nhỏ nhất/infimum  +∞ Số thực mở rộng  Lớn nhất/supremum  −∞ Các tập con của tập   ∩ (Phép giao tập hợp)   Các tập hợp  ∪ (Phép hợp tập hợp)  ∅ (Tập rỗng) Xâu, danh sách  Phép nối  Xâu rỗng, danh sách rỗng Đại số Boole  ∧ (Phép hội)  ⊤ (đúng) Đại số Boole  ↔ (Phép tương đươnng)  ⊤ (đúng) Đại số Boole  ∨ (Phép tuyển)  ⊥ (sai) Đại số Boole  ⊕ (Phép xor)  ⊥ (sai) Nút thắt  Tổng nút  Mở nút Mặt phẳng compact  # (Tổng liên thông)  S2 Nhóm  Tích trực tiếp của nhóm  Nhóm tầm thường Hai phần tử,  ∗ định nghĩa bởi  và   Cả hai  và  dều là đơn vị trái, nhưng không có đơn vị phải và đơn vị hai phía Các quan hệ thuần nhất trên tập X  Tích quan hệ  Quan hệ đơn vị

Như trong ví dụ dưới cùng, (S,*) có thể có nhiều hơn một đơn vị trái. Tương tự, có thể có nhiều đơn vị phải. Nhưng nếu có một đơn vị trái và một đơn vị phải thì chúng bằng nhau và chỉ có đúng một đơn vị hai phía.

Thật vậy, nếu l là một đơn vị trái và r là một đơn vị phải thì
l = l * r = r. Vậy, không bao giờ có nhiều hơn một đơn vị hai phía.

 Xem thêm 
 Đơn vị cộng
 Đơn vị nhân
 Lý thuyết nhóm
 Nửa nhóm (Semigroup)
 Phần tử nghịch đảo (Inverse element)
 Tựa nhóm (Quasigroup)
 Vị nhóm (Monoid)

Tham khảo

Thể loại:Đại số trừu tượng
Thể loại:Đại số
Thể loại:Phép toán hai ngôi
Thể loại:1 (số)

fa:عمل دوتایی#عضو خنثی