Darajaga koʻtarish

Har bir chiziq  nuqtadan oʻtadi. 

Darajaga koʻtarish – sonni oʻziga bir necha marta koʻpaytirish natijasida aniqlanadigan arifmetik amal. Darajaga koʻtarilgan ifoda  shaklida yoziladi hamda „bning n-darajasi“ deb oʻqiladi. Bunda  asos,  esa daraja koʻrsatkichi hisoblanadi. Agar n daraja musbat son boʻlsa, darajaga koʻtarish uchun son oʻziga n marotaba koʻpaytiriladi. Bu  – b ning n marotaba koʻpaytirilganiga teng:
Bunda, .

Daraja koʻrsatkichi asosning oʻng tomonida koʻrsatiladi. Shuningdek, bu fanda „n darajaga koʻtarilgan b soni“, „bning n-darajasi“ sifatida ataladi.

Darajalarning koʻpaytirilishi quyidagi tartibda amalga oshiriladi:

Bunda darajalar oʻzaro koʻpaytirilganda daraja koʻrsatkichlari qoʻshiladi. Qoʻshiluvchi daraja koʻrsatkichi 0 ga teng boʻlganda, yigʻindi 2-qoʻshiluvchi daraja koʻrsatkichiga teng boʻladi: .

Biroq, daraja koʻrsatkichi manfiy boʻlgan hollarda darajaga koʻtarish quyidagicha amalga oshiriladi:

Shuningdek, qoʻshiluvchi daraja koʻrsatkichlardan biri manfiy hamda biri musbat boʻlgan hollarda yigʻindi manfiy va musbat sonlarni qoʻshish qoidasiga muvofiq amalga oshiriladi:

Daraja koʻrsatkichi kasr boʻlgan sonlar darajaga quyidagi tartibda koʻtariladi:

Misol uchun,  ifodasida b ning qiymati  hisoblanadi.

Muavr formulasi orqali ham kompleks sonni darajaga koʻtarish mumkin.

Darajaga koʻtarish turli sohalarda keng qoʻllanadi, jumladan, iqtisodiyot, biologiya, kimyo, fizika, informatika, kimyoviy reaksiyalarning kinetik tezliklarini hisoblash sohalari.
 Etimologiyasi 
„Darajaga koʻtarish“ atamasi lotin tilida exponent deb ataladi. Bu soʻz exponentem feʼlining hozirgi zamon shakli hisoblanib, oʻzbek tilida „oldinga qoʻymoq“ deya tarjima qilinadi. „Daraja“ atamasi esa, lotin tilida dignitas deya nomlanadi. Bu soʻz yunoncha dúnamis soʻzidan olingan boʻlib, „kuchaytirish“ degan maʼnoni anglatadi. Darajaga koʻtarish atamasi, ilk bor yunon matematigi Yevklid tomonidan chiziqli tenglamani ifodalashda qoʻllanilgan.

 Tarixi 
 Antik davr 
 The Sand Reckoner 
Qadimgi yunon olimi Arximed „The Sand Reckoner“ asarida 10 ning darajalariga oid  qonuniyat isbotlaganArchimedes. (2009). THE SAND-RECKONER. In T. Heath (Ed.), The Works of Archimedes: Edited in Modern Notation with Introductory Chapters (Cambridge Library Collection – Mathematics, pp. 229-232). Cambridge: Cambridge University Press. . Arximed olamdagi barcha qum zarralarining umumiy hisobini topishda 10 sonini darajaga koʻtarish orqali topgan.
 Islom oltin davri 

 Māl va kaʼbah („kvadrat“ va „kub“) 
IX asrda Oʻrta Osiyo qomusiy olimi Al-Xorazmiy sonning 2-darajasi kvadrat uchun مَال (māl, „mol-mulk“) hamda sonning 3-darajasi boʻlgan kub uchun كَعْبَة (kaʿbah, „kub“) atamalarini fanga kiritgan. Musulmonlar uchun oʻsha davrda yer maydonlarini oʻlchashda kvadratning oʻrni muhim boʻlgan. XV asrlarda Abu’l-Hasan ibn Ali al-Qalasadi asarlarida kvadratni mīm (m) tarzida hamda kubni esa, kāf (k) tarzida ifodalashgan.

 XV—XVIII asrlar 
 Darajalarning ifodalanishi 
XV asrlarda oʻrta asrlar fransuz matematigi Nicolas Chuquet oʻz asarlarida darajalarga koʻtarishni koʻrsatkichlar bilan ifodalagan. Masalan, ni  sifatida belgilagan. Daraja koʻrsatkichlarini bu koʻrinishda ifodalash XVI asrlarda Henricus Grammateus va Michael Stifel tomonidan ham amalga oshirilgan. XVI asr oxirlarida shved matematigi Jost Bürgi sonlarni darajaga koʻtarishda ni
4 sonining ustida 3 ta iii harflarini qoʻyish orqali ifodalagan.
 Darajalar 
„Daraja“ atamasi ilk marotaba 1544-yilda Michael Stifel tomonidan qoʻllanilgan. XVI asrda matematik Robert Recorde asarlarida kvadrat, kub atamalaridan tashqari zenzizenzik (4-daraja), sursolid (5-daraja), zenzikub (6-daraja), ikkinchi sursolid (7-daraja) va zenzizenzizenzik (8-daraja) atamalaridan ham foydalangan.
 Hozirgi darajalarning ifodalanishi 
1636-yilda matematik James Hume „L’algèbre de Viète“ asarida ni  sifatida ifodalagani hozirgi daraja koʻrsatkichining shakli uchun muhim rol oʻynagan. Dastlab, daraja koʻrsatkichi Rim raqamlarida ifodalangan, keyinchalik esa, XVII asrning boshlarida fransuz matematigi René Descartes tomonidan „La Geométrie“ kitobida daraja koʻrsatkichlari Rim raqamidan Arab raqamlariga oʻzgartirilgan. Olim bu haqida shunday degan (And , or , in order to multiply  by itself; and , in order to multiply it once more by , and thus to infinity).:

 XX asr 
XX asrda hisoblash jarayoni mexanizatsiyalashtirilgani sababli, darajalarni yozish qulayroq shaklda yozishga eʼtibor qaratildi. 1938-yilda nemis muhandisi Konrad Zuse tomonidan oʻzining Z1 kompyuteri yordamida qo‘zg‘aluvchan nuqta arifmetikasi ishlab chiqildi. Bunga koʻra, jadvalning 1-katakchasida sonning asosi hamda 2-katakchasida esa, 10 sonining darajasi yozilgan. 1946-yilda qo‘zg‘aluvchan nuqta arifmetikasiga asoslangan tizim Bell Labaratories kompyuterlariga oʻrnatilganJanet Shiver & Terri Wiilard "Scientific notation: working with orders of magnitude from Visionlearning.

 Terminologiyasi 
 ifodasi „b kvadrat“ deya nomlanadibning 2-darajasi deb aytsa ham boʻladi, biroq b kvadrat shakli keng ommalashgan.. Bunday nomlanishiga sabab, tomoni bga teng boʻlgan kvadratning yuzi ga teng boʻladi.

 ifodasi „b kub“ deb nomlanadibning 3-darajasi deb aytsa ham boʻladi, biroq b kub shakli keng ommalashgan.. Bunday nomlanishiga sabab, tomoni bga teng boʻlgan kubning hajmi ga teng boʻladi.

Daraja koʻrsatkichi musbat son boʻlsa, koʻrsatkichning qiymati asosning oʻz-oʻziga necha marotaba koʻpaytirilganini bildiradi. Masalan,  ifodasida asosi oʻz-oʻziga 5 marotaba koʻpaytirilgan, chunki darajaning koʻrsatkichi 5 ga teng. Bu ifodada,  soni 3 ning 5-darajasi hisoblanadi.

Ayrim hollarda ifodani oʻqishda darajasi soʻzi tushirilib qoldiriladi. Misol uchun,  ifodasi qisqa qilib 3ning 5-si tarzida oʻqiladi.

 Butun sonli darajalar 
Daraja koʻrsatkichi butun boʻlgan sonlarni darajaga koʻtarish amalini elementar matematik bilimlar orqali amalga oshirish mumkin.
 Musbat darajalar 
Induksiya yordamida musbat darajali sonlarni darajaga koʻtarishni quyidagi tartibda amalga oshirish mumkin:

Rekursiya qilinganda esa: 

Koʻpaytirishning assotsiativligiga koʻra,  va  ixtiyoriy sonlar boʻlishi mumkin:

va


 Nol darajalar 
Har qanday sonning 0 darajasi 1 ga teng.

 Manfiy darajalar 
Daraja koʻrsatkichi manfiy boʻlgan ifoda quyidagicha aniqlanadi:

Bunda,  – ixtiyoriy son,  – noldan farq qiluvchi ixtiyoriy son.
 Ayniyatlar 
Quyidagi ayniyatlar „darajalar qonuniyatlari“ deb ataladi hamda barcha daraja koʻrsatkichi butun son boʻlgan ifodalar uchun tegishli hisoblanadi:


Qoʻshish va koʻpaytirish amallarida qoʻshiluvchilar yoki koʻpayuvchilarni oʻrnini almashtirsa ham natija oʻzgarmaydi. Biroq, daraja koʻrsatkichlari hamda asosning oʻrni almashtirilsa oʻzaro natijalar bir-biridan farq qiladi. Masalan, , ammo oʻrin almashtirilsa, ifoda  holatiga keladi.
 Darajalar yigʻindisi 
Odatda, darajalar yigʻindisi Nyuton binomidan foydalanilgan holda hisoblanadi:


 Kombinatorik roʻyxat 
Kombinatorik roʻyxatda  toʻplamdan  toʻplamgacha boʻlgan funksiyalarning soni keltirilgan. Bunda,  hamda  – manfiy boʻlmagan sonlar hisoblanadi.  va  ning alohida qiymatlari uchun baʼzi misollar quyidagi jadvalda keltirilgan:

{1, …, n} toʻplamidagi  qiymatlari0 = 0mavjud emas1 = 1(1, 1, 1, 1)2 = 8(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)3 = 9(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)4 = 4(1), (2), (3), (4)5 = 1()

 Maxsus asoslar 
 10 ning darajalari 
Oʻnlik sanoq sistemasidagi 10 ning butun darajalari 1 raqamidan keyin yoki oldidan 0 raqamlarining ifodalanishi 10 ning darajalari hisoblanadi. Misol uchun, , .

Asosi 10 soni boʻlgan 10 ning darajalari fanda keng qoʻllaniladi. Masalan,  qiymati (vakuumdagi yorugʻlik tezligi)  sifatida yozilishi ham mumkin. Taqriban esa,  shaklida 10 ning darajasi hisobiga qisqartirib, qulay holatda qoʻllaniladi.

Xalqaro birliklar tizimi ham 10 ning darajalariga asoslangan. Misol uchun, kilo old qoʻshimchasi  maʼnosini bildiradi.
  ning darajalari 
 ifodasi yarim,  ifodasi esa chorak deb ataladi. Kompyuter sohasida  ning darajalarining roli muhim hisoblanadi. Baytlar 2 ning darajalaridan foydalanib ifodalanadi. Masalan, . Ikkilik sanoq tizimida har qanday sonni 2 ning darajalari yigʻindisi sifatida ifodalash mumkin.
  ning darajalari 
ning har qanday darajasi 1 ga teng:.
 −1 ning darajalari 
Manfiy sonni boshqa bir manfiy songa koʻpaytirilsa, natija musbat son boʻladi:

 Darajali funksiyalar 

 shaklidagi funksiyalar „darajali funksiyalar“ deb ataladi. Bunda  boʻlishi lozim. Darajali funksiyalar 2 turga boʻlinadi, toq darajali funksiyalar hamda juft darajali funksiyalar. Juft darajali funksiyalar () shaklida belgilash ham mumkin.
 Oʻngacha boʻlgan musbat sonlarning daraja qiymatlari 
 n  n2  n3  n4  n5  n6  n7  n8  n9  n101  1  1  1  1  1  1  1  1  12  4  8  16  32  64  128  256  512  10243  9  27  81  243  729        4  16  64  256            5  25  125  625            6  36  216              7  49  343              8  64  512              9  81  729              10  100                

 Ratsional darajalar 
Agar  nomanfiy butun son boʻlsa,  musbat butun son boʻlsa,  yoki  haqiqiy ildiz hisoblanadi. ning qiymati esa musbat boʻladi.

Agar  musbat butun son boʻlsa,  ratsional son hamda  va ga teng boʻlsa,  quyidagicha aniqlanadi:


Oʻng tomondagi  tengligini quyidagicha yozish mumkin:

Agar  musbat ratsional son boʻlsa, unda  boʻladi.

Boshqa tomondan, bu taʼriflarni musbat haqiqiy son boʻlmagan asoslar bilan bogʻliq muammolar mavjud. Masalan, manfiy haqiqiy sonning haqiqiy n-darajali ildizi, n toq boʻlganda manfiy boʻladi, n juft boʻlganda esa haqiqiy ildizi boʻlmaydi. Shuningdek,  uchun har qanday n-ildiz tanlansa ham,  ayniyatni qanoatlantirib boʻlmaydi:


 Haqiqiy darajalar 
Musbat haqiqiy sonlar uchun haqiqiy darajalar koʻrsatkichni ikki usulda, ratsional hamda asos logarifmi hamda uning koʻrsatkichli funksiyasi orqali aniqlash mumkin. Funksiya natijasi doim musbat son boʻladi.

Manfiy haqiqiy sonning darajaga koʻtarish oson jarayon emas, chunki darajaga koʻtarilganda natija haqiqiy son boʻlmasligi yoki bir necha qiymatlarga ega boʻlishi mumkin. Biroq, quyidagi ayniyat qiymatni aniqlashga yordam beradi:


Shu sababli, musbat haqiqiy son boʻlmagan asosni darajaga koʻtarishni koʻp qiymatli funksiya deb ham ataladi.
 Ratsional darajalarning limitlari 
Har qanday irratsional son ratsional sonlar ketma-ketligining limiti sifatida ifodalanishi mumkin. Quyidagi ayniyatda  ixtiyoriy haqiqiy daraja koʻrsatkichi,  esa, ixtiyoriy haqiqiy son:

Bunda,  ratsional son qiymatlariga teng hisoblanadi.

Masalan, agar  boʻlsa, π qiymati  ratsional darajalarning monotonligi hamda chegaralangan intervallar orqali ifodalash mumkin:


Bunda, intervallarning yuqori va quyi chegaralari bir xil limitga ega boʻlgan ikkita ketma-ketlikni hosil qiladi. Bu limit  bilan belgilanadi.
 Koʻrsatkichli funksiya 

Koʻrsatkichli funksiyani qisqacha qilib  shaklida yozish mumkin. Bu yerda,  „Eyler soni“ hisoblanadi.  koʻrsatkichli funksiyaning  qiymati quyidagicha:
.

Koʻrsatkichli funksiyani aniqlashning koʻplab usullari mavjud boʻlib, ulardan biri shunday:


Boshqa holatda, ,  boʻlganida, bu usul ham oʻrinli hisoblanadi:

 Logarifmik darajalar 
ni koʻrsatkichli funksiya sifatida har qanday musbat haqiqiy  soni uchun ni logarifmik funksiyalar orqali ifodalash mumkin. Natural logarifm  , koʻrsatkichli funksiya ning teskari funksiyasi ekanligidan kelib chiqib, quyidagi tenglik oʻrinli hisoblanadi:

bunda, .


 Musbat asosli murakkab darajalar 
Agar  asos musbat haqiqiy son boʻlsa,  kompleks koʻrsatkichli daraja boʻlsa, daraja koʻrsatkichi koʻrsatkichli funksiya yordamida aniqlanadi.

Bunda,  natural logarifmni bildiradi.

Quyidagi tenglik ayniyatni qanoatlantiradi:


Euler formulalariga koʻra tenglik oʻrinli hisoblanadi:


 Kompleks sonlarning butun boʻlmagan darajalari 
 Kompleks sonlarning n ildizlari 
Har qanday nolga teng boʻlmagan kompleks son quyidagicha yozilishi mumkin:

Bunda,  – ning mutlaq qiymati,  esa argumentdir.

Ikki kompleks sonning koʻpaytmasi mutlaq qiymatlarni koʻpaytirish va argumentlarni qoʻshish orqali topiladi. Shuningdek, kompleks sonning -ta ildizining mutlaq qiymati esa, argumentni  ga boʻlish orqali aniqlanadi:


 Birlikning ildizlari 
Birliklarning -darajali ildizlari deb,  boʻlgan  kompleks sonlarga aytiladi. Birliklarning  ta ildizlari matematikaning turli sohalarida qoʻllaniladi.

Birliklarning  ta ildizlari ning -darajalari hisoblanadi. Bunda, 

Geometrik jihatdan, birlikning -ta ildizlari kompleks tekislikdagi birlik doirasida joylashgan boʻlib, doiraning eng markazidagi koʻrsatkich 1 hisoblanadi Online resource . Defined on p. 351..

 Kompleks darajaga koʻtarish 
Kompleks sonlarni darajaga koʻtarish bir qancha muammolarni keltirib chiqarishi mumkin.  ifodasi uchun har qanday kompleks sonni oʻrniga qoʻyib ishlash mumkinligini inobatga olgan holda, biron-bir son qiymat oʻlaroq tanlanadi. Bunday holatda ifodani koʻp qiymatli funksiya orqali ishlash mumkin boʻladi.

Barcha holatlarda kompleks logarifm orqali kompleks darajaga koʻtarishni amalga oshirish mumkin:

bu yerda,  – kompleks logarifm hisoblanib, funksiyani qanoatlantirish uchun quyidagi tenglikdan foydalanish lozim:
 .
 Asosiy qiymati 
 murakkab ifodasining qiymati quyidagicha aniqlanadi:

bunda,  – logarifmning asosiy qiymati hisoblanadi.

 Koʻp qiymatli funksiya 

Koʻp qiymatli funksiyalar deganda, biror argumentga bir nechta turli qiymatlarni beradigan funksiyalar tushuniladi. Masalan, logarifm funksiyasi koʻp qiymatli, chunki uning argumenti manfiy yoki kompleks sonlar boʻlishi mumkin va har bir argument uchun logarifmning bir nechta qiymatlari mavjud boʻladi.

Agar  koʻp qiymatli logarifmning bir qiymatini ifodalasa, boshqa qiymatlar  orqali topiladi. Bunda,  – har qanday butun son.

 Hisoblash 
ning kanonik yoyilmasi  hisoblanadi. Bunda  hamda  haqiqiy sonlardir.
 ning logarifmi. Logarifmning asosiy qiymati quyidagicha boʻladi:
  bunda,  natural logarifmni bildiradi.

 Irratsionallik va transsendentallik 
Gelfond–Schneider nazariyasiga koʻra, agar  musbat haqiqiy son hamda  ratsional son boʻlsa, unda  algebraik son boʻladi.

Agar  irratsional boʻlsa hamda  va  algebraik son boʻlsa, ning barcha qiymatlari transsendental boʻladi.

 Algebrada butun sonli darajalar 
Algebraik toʻplam, unga tegishli assotsiativ operatsiya hamda koʻpaytiruvchi birliklarning tuzilmasi monoid deb ataladiDaraja assotsiativliligi deb ham ataladi. Bunday monoidda, ni darajaga koʻtarish quyidagicha amalga oshiriladi:

 , bunda  – manfiy boʻlmagan istalgan son.

Agar  manfiy butun son boʻlsa,  ifodasi  shaklida yoziladi.

Daraja koʻrsatkichi butun son boʻlgan ifodalar quyidagi qonuniyatlarga asoslanib ishlanadi:

Kvadrat matritsa deb,  sonining oʻziga necha marta koʻpaytirilishiga aytiladi. Shuningdek,  esa matritsaning ayniyati hisoblanadiChapter 1, Elementary Linear Algebra, 8E, Howard Anton.. Teskari matritsa esa, quyidagi tenglikka asoslanadi:.

 Takroriy darajalar 
Natural sonlarni qayta-qayta darajaga koʻtarish giperoperatsiyalarning 4-darajasi yoxud tetratsiya deb nomlanadi. Ketma-ket darajaga koʻtarishni Akkerman funksiyasi orqali ifodalash mumkinNeyrinck, Mark. An Investigation of Arithmetic Operations. Retrieved 9 January 2019.. Misol uchun,  soni takroriy darajaga koʻtarilganda,  () natijasini beradi.

 Dasturlash tillarida 
Darajaga koʻtarish amalini turli dasturlash tillari turlicha amalga oshiradi. Daraja koʻrsatkichini ifodalash eng keng tarqalgan belgi „caret“ (^) hisoblanadi. 1967-yilda Amerika standartiga oʻzgartirish kiritilgan. Bunda, (↑) belgisi oʻrnida (^) belgisidan foydalanishga oʻtilgan. Hozirgi kunda daraja belgisini quyidagicha belgilashlar mavjud:

 x ^ y: AWK, BASIC, J, MATLAB, Wolfram (dasturlash tili), R, Microsoft Excel, Analytica, TeX, TI-BASIC, Haskell, Lua hamda kompyuter algebrasi tizimlari.
 x ** y: Ada, Z shell, KornShell, Bash, COBOL, CoffeeScript, Fortran, FoxPro, Gnuplot, Groovy, JavaScript, OCaml, Object REXX, F Sharp, Perl, PHP, PL/I, Python, Rexx, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Mercury, Turing.
 x ↑ y: Algol, Commodore BASIC, TRS-80
 x ^^ y: Haskell, D.
 x⋆y: APL.

 Yana qarang 

 Muavr formulasi
 Koʻrsatkichli funksiya
 Arifmetik ildiz
 Koʻp qiymatli funksiya

 Izohlar 

 Manbalar 

 Adabiyotlar 

Ilmiy adabiyotlar







Maqolalar


 Havolalar 

„Khan Academy“ platformasida mavzuga oid videodarslik

Turkum:Matematika
Turkum:Matematik tushunchalar
Turkum:Giperoperatsiyalar
Turkum:Asosiy giperoperatsiyalar