Haqiqiy va kompleks sonlar massivini hisoblash

}}

alt=Har biri n-koʻp “a” harfli oʻzgaruvchilarni oʻz ichiga olgan m-koʻp qatorli ikkita uzun kvadrat qavs. Har bir 'a' harfiga uning pastki belgisi sifatida qator va ustun raqami beriladi.|thumb|An  matritsa:  satrlari gorizontal va  ustunlari vertikal. Matritsaning har bir elementi ko'pincha ikkita pastki yozuv bilan o'zgaruvchi bilan belgilanadi. Masalan,  matritsaning ikkinchi qatori va birinchi ustunidagi elementni ifodalaydi.

matematikada matritsa (: matritsalar) to'rtburchaklar massiv yoki sonlar jadvalidir. , belgilar yoki ifodalar, elementlar yoki yozuvlar qatorida tartiblangan qatorlar va ustunlar, ular matematik obyekt yoki bunday obyektning xususiyatini ifodalash uchun ishlatiladi.

Masalan,

ikki qator va uchta ustunli matritsadir. Bu ko'pincha "ikki-uch matritsa", " matritsasi" yoki  o'lchovli matritsa deb ataladi.

Matritsalar odatda chiziqli algebra bilan bog'liq. E'tiborga molik istisnolar grafik nazariyasida insidlanish matritsalari va qo'shnilik matritsalarini o'z ichiga oladi.Biroq, qo'shni matritsalarda matritsani ko'paytirish yoki uning varianti bir vaqtning o'zida istalgan ikkita cho'qqi orasidagi yo'llar sonini va eng qisqa uzunligini hisoblash imkonini beradi. ikki cho'qqi orasidagi yo'l. Ushbu maqola chiziqli algebra bilan bog'liq matritsalarga qaratilgan va agar boshqacha ko'rsatilmagan bo'lsa, barcha matritsalar chiziqli xaritalarni ifodalaydi yoki shunday ko'rinishi mumkin.

Kvadrat matritsalar, qator va ustunlar soni bir xil bo'lgan matritsalar matritsalar nazariyasida katta rol o'ynaydi. Berilgan o'lchamdagi kvadrat matritsalar kommutativ bo'lmagan halqa ni tashkil qiladi, bu esa o'zgarmas halqaning eng keng tarqalgan misollaridan biridir. Kvadrat matritsaning determinanti matritsa bilan bog'langan son bo'lib, u kvadrat matritsani o'rganish uchun asosiy hisoblanadi; masalan, kvadrat matritsa invertible bo‘ladi, agar u nolga teng bo‘lmagan aniqlovchiga ega bo‘lsa va kvadrat matritsaning o‘z qiymatilari ko‘pnomli determinantning ildizlari bo‘lsa.

geometriyada matritsalar geometrik oʻzgartirishlarni (masalan, aylanishlar) va koordinata oʻzgarishilarni belgilash va ifodalash uchun keng qoʻllaniladi. sonli tahlilda koʻpgina hisoblash masalalari ularni matritsali hisoblashga qisqartirish yoʻli bilan hal qilinadi va bu koʻpincha katta oʻlchamdagi matritsalar bilan hisoblashni oʻz ichiga oladi. Matritsalar to'g'ridan-to'g'ri yoki geometriya va raqamli tahlilda foydalanish orqali matematika va ilmiy sohalarning aksariyat sohalarida qo'llaniladi.

 Matritsalar nazariyasi  - matematikaning bo'limi matritsalarni o'rganishga qaratilgan. U dastlab chiziqli algebraning kichik tarmogʻi boʻlgan, lekin tez orada grafik nazariya, algebra, kombinatorika va statistika bilan bogʻliq fanlarni oʻz ichiga olgan.

Ta'rifi
matritsa sonlardan (yoki boshqa matematik obyektlardan) iborat to'rtburchaklar massiv bo'lib, matritsaning  yozuvlari deb ataladi. Matritsalar standart operatsiyalarga bo'ysunadi, masalan, qo'shish va ko'paytirish. Odatda, maydon F - F ning elementlari to'rtburchaklar massivi.  haqiqiy matritsa va kompleks matritsa yozuvlari mos ravishda haqiqiy son yoki kompleks son bo'lgan matritsalardir. Yozuvlarning umumiy turlari quyida muhokama qilinadi. Masalan, bu haqiqiy matritsa:

Matritsadagi raqamlar, belgilar yoki iboralar uning “yozuvlari” yoki “elementlari” deb ataladi. Matritsadagi yozuvlarning gorizontal va vertikal chiziqlari mos ravishda “satrlar” va “ustunlar” deb ataladi.

Hajmi
Matritsaning o'lchami uning tarkibidagi qatorlar va ustunlar soni bilan belgilanadi. Matritsa (odatiy ma'noda) musbat butun sonlar bo'lsa, bo'lishi mumkin bo'lgan satrlar va ustunlar soniga hech qanday cheklov yo'q .  qatorlari va  ustunlari boʻlgan matritsa  matritsasi yoki -by- matritsasi, bu yerda  va  uning deyiladi.  o'lchamlar. Masalan, yuqoridagi  matritsasi  matritsasidir.

Bitta qatorli matritsalar satr vektoris, bitta ustunlilari esa ustun vektorlari deyiladi. Satrlar va ustunlar soni bir xil bo'lgan matritsa kvadrat matritsa deyiladi. Cheksiz qatorlar yoki ustunlar (yoki ikkalasi) bo'lgan matritsa  cheksiz deb ataladi. matritsa . Ba'zi kontekstlarda, masalan, kompyuter algebrasi dasturlari,  empty matritsa deb ataladigan qatorlar yoki ustunlarsiz matritsani ko'rib chiqish foydali bo'ladi.

+Matrisa o‘lchamining umumiy ko‘rinishi Ism Hajmi Misol Tavsif Belgilash Qator vektor 1×n   Bir qatorli matritsa, ba'zan vektorni ifodalash uchun ishlatiladi  Ustun vektor n×1   Bir ustunli matritsa, ba'zan vektorni ifodalash uchun ishlatiladi  Kvadrat matritsa n×n   Bir xil qator va ustunlar soniga ega matritsa, baʼzan vektor fazodan oʻziga chiziqli oʻzgarishlarni ifodalash uchun ishlatiladi, masalan, aks ettirish, aylanish yoki qirqish. 

Izoh
Ramziy matritsa belgilarining o'ziga xos xususiyatlari ba'zi bir ustunlik tendentsiyalari bilan juda xilma-xildir. Matritsalar odatda kvadrat qavslar yoki qavslar ichida yoziladi, shuning uchun  matritsasi  quyidagicha ifodalanadi.

Buni faqat bitta umumiy atamani, ehtimol indekslar bilan birga yozish orqali qisqartirish mumkin.

yoki  bo‘lgan holatda .

Matritsalar odatda katta harflar yordamida (masalan, yuqoridagi misollarda ), mos keladigan kichik-kichik harflar ikkitadan iborat. pastki indeks indekslari (masalan,  yoki ), yozuvlarni ifodalaydi. Matritsalarni ramziy qilish uchun katta harflardan foydalanish bilan bir qatorda, koʻpgina mualliflar matritsalarni boshqa matematik obʼyektlardan ajratib koʻrsatish uchun maxsus tipografik uslub, odatda qalin rim (kursiv boʻlmagan) dan foydalanadilar. Muqobil yozuv,  da boʻlgani kabi, oʻzgaruvchi nomi bilan, qalin harflar bilan yoki boʻlmasdan, qoʻsh chiziqdan foydalanishni oʻz ichiga oladi.

 matritsaning -chi qator va -chi ustunidagi yozuv ba'zan matritsaning  yoki  yozuvi deb ataladi va odatda quyidagicha belgilanadi.  yoki . Ushbu yozuv uchun muqobil belgilar  va  hisoblanadi. Masalan, quyidagi  matritsasining  yozuvi  (shuningdek, , ,  yoki ):

Ba'zan matritsaning yozuvlari  kabi formulalar bilan aniqlanishi mumkin. Masalan, quyidagi  matritsasining har bir yozuvi  formulasi bilan aniqlanadi.

Bunday holda, matritsaning o'zi ba'zan kvadrat qavslar yoki qo'sh qavslar ichida ushbu formula bilan aniqlanadi. Masalan, yuqoridagi matritsa  yoki  sifatida aniqlanadi. Agar matritsa hajmi  boʻlsa, yuqorida qayd etilgan  formulasi har qanday . Bu alohida belgilanishi yoki pastki belgisi sifatida  yordamida koʻrsatilishi mumkin. Masalan, yuqoridagi  matritsasi  ga teng va uni  yoki .

Ba'zi dasturlash tillari -by- matritsasini ifodalash uchun ikki barobar obunali massivlardan (yoki massivlar massivlaridan) foydalanadi. Ba'zi dasturlash tillari massiv indekslarini raqamlashni noldan boshlaydi, bu holda -by- matritsaning yozuvlari  va . Ushbu maqolada sanab o'tish  dan boshlanadigan matematik yozishda keng tarqalgan qoidaga amal qilinadi.

Barcha -by- haqiqiy matritsalarning to'plami ko'pincha  yoki  Hammasi toʻplami -by- matritsalar boshqa maydon yoki halqasi ustidan  , xuddi shunday belgilanadi:  yoki  Agar  bo'lsa, masalan [ [kvadrat matritsalar]] oʻlchami takrorlanmaydi:  yoki  Ko'pincha o'z o'rnida  yoki  ishlatiladi. 

Asosiy operatsiyalar
Matritsalarga bir nechta asosiy amallarni qo'llash mumkin. Ba'zilari, masalan, transpozitsiya va submatritsa yozuvlarning tabiatiga bog'liq emas. Boshqalar, masalan, matritsalarni qo'shish, skalyar ko'paytirish, matritsalarni ko'paytirish va satr operatsiyalari matritsa yozuvlari bo'yicha operatsiyalarni o'z ichiga oladi va shuning uchun matritsa yozuvlari raqamlar bo'lishini yoki [ga tegishli bo'lishini talab qiladi. [maydon (matematika)|maydon]] yoki ring.

Ushbu bo'limda matritsa yozuvlari odatda raqamlar maydoni bo'lgan sobit halqaga tegishli deb taxmin qilinadi.

Qo'shish, skalyar ko'paytirish, ayirish va transpozitsiya

Qo'shimcha
Ikkita  matritsaning yig'indisi   va  kiritma bo'yicha hisoblanadi:

Masalan,
<matematika>
\begin{bmatrix}
1, 3 va 1 \\
1 va 0 va 0
\end{bmatritsa}
+
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 5 \\
7, 5 va 0
\end{bmatritsa}
=
\begin{bmatrix}
1+0 va 3+0 va 1+5 \\
1+7 va 0+5 va 0+0
\end{bmatritsa}
=
\begin{bmatrix}
1, 3 va 6 \\
8, 5 va 0
\end{bmatritsa}
</math>
Skalyar ko'paytirish
 sonining {{matematik|c'A}} ko'paytmasi (shuningdek, bu kontekstda skalar deb ham ataladi) va  matritsasi  ning har bir yozuvini  ga ko'paytirish yo'li bilan hisoblanadi:

Bu amal skalyar ko'paytirish deb ataladi, lekin uning natijasi chalkashmaslik uchun "skalar ko'paytma" deb nomlanmagan, chunki "skalar ko'paytma" ko'pincha "ichki mahsulot" ning sinonimi sifatida ishlatiladi. Masalan:

ayirish
Ikkita  matritsalarni ayirish matritsani skaler ko'paytirish bilan  ga qo'shish orqali aniqlanadi:

Transpozitsiya
 matritsaning ko'chirilishi   matritsa  (shuningdek belgilanadi)  yoki ) satrlarni ustunlar va o'rinbosarlarga aylantirish orqali hosil qilingan aksincha:

Masalan:
<matematika>
\begin{bmatrix}
1, 2 va 3 \\
0 & -6 va 7
\end{bmatrix}^\mathrm{T} =
\begin{bmatrix}
1 va 0 \\
2 va -6 \\
3 va 7
\end{bmatritsa}
</math>

Sonlarning tanish xossalari matritsalar ustidagi bu amallarga taalluqli: masalan, qo‘shish kommutativ, ya’ni matritsa yig‘indisi yig‘indilarning tartibiga bog‘liq emas:  diagonal matritsadir.

eigendecomposition yoki diagonalizatsiya  ni mahsulot sifatida ifodalaydi  , bu yerda  diagonal matritsa va  mos invertible. matritsa. Agar  bu shaklda yozilishi mumkin, u diagonallashtiriladigan deb ataladi. Umuman olganda va barcha matritsalarga taalluqli, Jordan parchalanishi matritsani Iordaniya normal shakl ga aylantiradi, yaʼni nolga teng boʻlmagan yozuvlari xos qiymatlar  dan  gacha , asosiy diagonalga joylashtirilgan va oʻng tomonda koʻrsatilganidek, toʻgʻridan-toʻgʻri asosiy diagonal ustidagi bittaga teng boʻlgan yozuvlar. Eigendekompozitsiyani hisobga olgan holda,  ning -chi kuchi (ya'ni, -katlama takrorlangan matritsani ko'paytirish) orqali hisoblash mumkin

va diagonal matritsaning quvvatini diagonal yozuvlarning mos keladigan vakolatlarini olish yo'li bilan hisoblash mumkin, bu uning o'rniga  uchun darajani ko'rsatishdan ko'ra ancha osondir. Bu matritsa eksponentsial , [[chiziqli differentsial tenglamani] yechishda tez-tez yuzaga keladigan ehtiyojni hisoblash uchun ishlatilishi mumkin. ]s, matritsa logarifmi va matritsalarning kvadrat ildizlari. Raqamli shartsiz holatlarning oldini olish uchun, masalan, boshqa algoritmlar Schur dekompozitsiyasi dan foydalanish mumkin.

Mavhum algebraik jihatlar va umumlashtirishlar
Matritsalarni turli yo'llar bilan umumlashtirish mumkin. Abstrakt algebra umumiyroq maydonlar yoki hatto halqalardagi yozuvlari bilan matritsalardan foydalanadi, chiziqli algebra esa chiziqli xaritalar tushunchasida matritsalarning xossalarini kodlaydi. Cheksiz ko'p ustun va qatorli matritsalarni ko'rib chiqish mumkin. Yana bir kengaytma tensorlar boʻlib, ular vektorlardan farqli oʻlaroq, koʻpincha sonlar ketma-ketligi sifatida amalga oshirilishi mumkin boʻlgan yuqori oʻlchamli raqamlar massivlari sifatida koʻrish mumkin, matritsalar esa toʻrtburchaklar yoki ikki oʻlchovli raqamlar massivlaridir.< ref></ref> Muayyan talablarga javob beradigan matritsalar matritsa guruhlari deb nomlanuvchi guruhlarni hosil qiladi. Xuddi shunday muayyan sharoitlarda matritsalar matritsali halqalar deb nomlanuvchi halqalar hosil qiladi. Matritsalar koʻpaytmasi umuman kommutativ boʻlmasa-da, baʼzi matritsalar matrisa maydoni deb nomlanuvchi maydonlar ni hosil qiladi.
Umuman olganda, matritsalar va ularning ko‘paytirish kategoriya, matritsalar toifasini ham tashkil qiladi.

Ko'proq umumiy yozuvlari bo'lgan matritsalar
Ushbu maqola yozuvlari haqiqiy yoki murakkab sonlar bo'lgan matritsalarga qaratilgan. Biroq, matritsalar haqiqiy yoki murakkab raqamlarga qaraganda ancha umumiy turdagi yozuvlar bilan ko‘rib chiqilishi mumkin. Umumlashtirishning birinchi bosqichi sifatida har qanday maydon, ya'ni to'plam bu yerda qo'shish, ayirish, ko'paytirish va [[bo'lish] (matematika)|bo'linish]] operatsiyalari aniqlangan va yaxshi bajarilgan,  yoki  o'rniga ishlatilishi mumkin, masalan, ratsional sonlar yoki  chekli maydons. Masalan, kodlash nazariyasi cheklangan maydonlar ustidagi matritsalardan foydalanadi. Qaerda o'z qiymatlar ko'rib chiqilmasin, chunki bular ko'phadning ildizlari bo'lgani uchun ular faqat matritsa yozuvlari maydonidan kattaroq maydonda mavjud bo'lishi mumkin; masalan, haqiqiy yozuvlari bo'lgan matritsada ular murakkab bo'lishi mumkin. Matritsaning yozuvlarini kattaroq maydonning elementlari sifatida qayta talqin qilish imkoniyati (masalan, haqiqiy matritsani kirishlari hammasi haqiqiy bo'lgan murakkab matritsa sifatida ko'rish), keyin har bir kvadrat matritsani to'liq o'z qiymatlari to'plamiga ega bo'lishini ko'rib chiqish imkonini beradi. Shu bilan bir qatorda, faqat boshidan  kabi algebraik yopiq maydondagi yozuvlari bo'lgan matritsalarni ko'rib chiqish mumkin.

Umuman olganda, ring  yozuvlari boʻlgan matritsalar matematikada keng qoʻllaniladi. Halqalar maydonlarga qaraganda umumiyroq tushuncha boʻlib, boʻlinish amali mavjud boʻlishi shart emas. Matritsalarni bir xil qo'shish va ko'paytirish amallari ushbu parametrga ham tegishli. Toʻplam  (shuningdek, ) halqasi matritsali halqa, chap -modul  ning endomorfizm halqasi ga izomorf. Agar  halqasi kommutativ boʻlsa, yaʼni uning koʻpaytirilishi kommutativ boʻlsa, u holda halqa  ham R ustidagi assotsiativ algebra hisoblanadi.  kommutativ halqa ustidagi kvadrat matritsalarning determinanti hali ham Leybnits formulasi yordamida aniqlanishi mumkin; bunday matritsa, agar uning determinanti  da invertible boʻlsa, har bir nolga teng boʻlmagan element teskari boʻlgan  maydon boʻyicha vaziyatni umumlashtirgan holda invertiatsiya qilinadi.  Matritsalar ustidan superringlar supermatritsalar deb ataladi.

Matritsalar har doim ham bitta halqada- yoki umuman biron-bir halqada barcha yozuvlarga ega emas. Bitta maxsus, lekin keng tarqalgan holat blok matritsalari boʻlib, u yozuvlari matritsalar boʻlgan matritsalar sifatida koʻrib chiqilishi mumkin. Yozuvlar kvadrat matritsalar bo'lishi shart emas va shuning uchun hech qanday ring a'zosi bo'lishi shart emas; lekin ularning o'lchamlari muayyan muvofiqlik shartlariga javob berishi kerak.

Chiziqli xaritalar bilan aloqasi
 chiziqli xaritalari yuqorida ta'riflanganidek, -by- matritsalarga ekvivalentdir. . Umuman olganda, har qanday chiziqli xarita  chekli-o'lchovli vektor fazolar oralig'ida bo'lishi mumkin. matritsa bilan tavsiflanadi , asoslar  , va  dan  (shuning uchun   va   oʻlchami), bu shunday

Boshqacha qilib aytganda,  ustunining  ustuni   ning  bazis vektorlari bo'yicha; shuning uchun bu munosabat  matritsaning yozuvlarini yagona tarzda aniqlaydi. Matritsa asoslarni tanlashga bog'liq: turli xil asoslarni tanlash turli xil, ammo ekvivalent matritsalarni keltirib chiqaradi. Yuqoridagi aniq tushunchalarning ko'pini shu nuqtai nazardan qayta talqin qilish mumkin, masalan, transpoze matritsasi  , dual asoslar haqida.

Bu xossalarni tabiiyroq qayta ko‘rsatish mumkin:  maydonidagi yozuvlar bilan matritsalar toifasi tarkibi sifatida ko‘paytirish bilan ekvivalent chekli o‘lchovlilar toifasiga teng. vektor fazolar va buning ustida chiziqli xaritalar maydon.

Umuman olganda,  matritsalar to'plamidan bepul modullar orasidagi -chiziqli xaritalarni ifodalash uchun foydalanish mumkin }} va  birlik bilan ixtiyoriy halqa  uchun. Qachon  bu xaritalarning tarkibi mumkin va bu  matritsalar.

Matritsa guruhlari

guruh — ikkilik amal bilan birga obʼyektlar toʻplamidan tashkil topgan matematik tuzilma, yaʼni maʼlum talablar qoʻyilgan holda istalgan ikkita obʼyektni uchinchiga birlashtiruvchi amal.< ref>Guruhdagi har qanday standart havolani ko'ring.</ref> Obyektlar matritsalar va guruh operatsiyasi matritsalarni ko'paytirish bo'lgan guruh ""matritsa" deb ataladi. guruh.Qo'shimcha ravishda, guruh umumiy chiziqli guruhda yopiq bo'lishi kerak. Har bir elementning guruhi teskari boʻlishi kerakligi sababli, eng umumiy matritsa guruhlari umumiy chiziqli guruhlar deb ataladigan maʼlum oʻlchamdagi barcha teskari matritsalar guruhlari hisoblanadi.Matritsalarning ko'paytmalari va teskarilari ostida saqlanadigan matritsalarning har qanday xususiyati keyingi matritsa guruhlarini aniqlash uchun ishlatilishi mumkin. Masalan, berilgan oʻlchamli va determinanti 1 ga teng boʻlgan matritsalar oʻzlarining umumiy chiziqli guruhini (yaʼni tarkibidagi kichikroq guruh) kichik guruh hosil qiladi, ular maxsus chiziqli guruh deb ataladi.  Ortogonal matritsalar, shart bilan aniqlanadi

ortogonal guruh hosil qiladi. Har bir ortogonal matritsada determinant 1 yoki −1. Determinant 1 bo'lgan ortogonal matritsalar maxsus ortogonal guruh deb nomlangan kichik guruhni tashkil qiladi.

Har bir cheklangan guruh matritsali guruhga izomorf bo‘ladi, buni simmetrik guruhning muntazam tasviri ko‘rib chiqish orqali ko‘rish mumkin. Umumiy guruhlarni nisbatan yaxshi tushunilgan matritsa guruhlari yordamida vakolatlilik nazariyasi yordamida oʻrganish mumkin.Vakillik nazariyasi yoki guruh vakili boʻyicha har qanday havolaga qarang. .

Cheksiz matritsalar
Cheksiz koʻp satr va/yoki ustunli matritsalarni ham koʻrib chiqish mumkinHatto  “Matrisa” bandiga qarang. Garchi cheksiz obyektlar bo'lsa ham, bunday matritsalarni aniq yozib bo'lmaydi. Muhimi shundaki, to'plam indekslash satrlaridagi har bir element va to'plam indekslash ustunlaridagi har bir element uchun aniq belgilangan yozuv mavjud (bu indeks to'plamlari natural sonlarning kichik to'plamlari ham bo'lishi shart emas). Qo'shish, ayirish, skalyar ko'paytirish va transpozitsiyaning asosiy operatsiyalari hali ham muammosiz aniqlanishi mumkin; biroq, matritsalarni ko'paytirish natijaviy yozuvlarni aniqlash uchun cheksiz yig'indilarni o'z ichiga olishi mumkin va ular umuman aniqlanmagan.

Agar  birlikka ega boʻlgan har qanday halqa boʻlsa, toʻgʻri  moduli sifatida  endomorfizmlari halqasi boʻladi. yozuvlari  ustunli chekli matritsalar  halqasiga izomorf  tomonidan indekslanadi va ularning har bir ustunida faqat chekli ko'p nolga teng bo'lmagan yozuvlar mavjud. Chap  modul sifatida koʻrib chiqiladigan  endomorfizmlari natijasida oʻxshash obʼyekt,  qator chekli matritsalar , ularning har bir qatorida faqat chekli ko'p noldan farqli yozuvlar mavjud.

Agar chiziqli xaritalarni tasvirlash uchun cheksiz matritsalar ishlatilsa, unda quyidagi sabablarga ko'ra faqat chekli sonli nolga teng bo'lmagan yozuvlar ustunlariga ega bo'lgan matritsalardangina foydalanish mumkin. Chiziqli xaritani tavsiflash uchun  matritsa uchun , ikkalasi uchun asoslar joylar tanlangan bo'lishi kerak; Shuni esda tutingki, ta'rifga ko'ra, bu fazodagi har bir vektor yagona vektor asosli vektorlarning (cheklangan) chiziqli birikmasi sifatida yozilishi mumkin, shuning uchun [ ning (ustun) vektori sifatida yoziladi. [koeffitsient]]s, faqat chekli ko'p yozuvlar  nolga teng emas. Endi  ustunlari  ning individual bazis vektorlarining  tasvirlarini  3 o'lchovli  fazodan o'ziga bo'lgan nol xaritaga mos keladigan 3x3 nol matritsadir, shu bilan birga  0 ga 0 matritsadir. Bo'sh matritsalar uchun umumiy belgi mavjud emas, lekin ko'pchilik kompyuter algebrasi tizimi ular bilan yaratish va hisoblash imkonini beradi. 0 ga 0 matritsaning determinanti Leybnits formulasida determinant uchun 1 bo'lgan bo'sh mahsulotga nisbatan quyidagicha 1 ga teng. Bu qiymat ham har qanday chekli o'lchovli o'lchovdan o'ziga xoslik xaritasi ekanligiga mos keladi. fazoning o'zi determinantga ega1, bu fakt ko'pincha determinantlarni tavsiflashning bir qismi sifatida ishlatiladi.

Ilovalar
Matritsalarning matematikada ham, boshqa fanlarda ham ko'plab qo'llanilishi mavjud. Ulardan ba'zilari faqat matritsadagi raqamlar to'plamining ixcham ko'rinishidan foydalanadilar. Masalan, o‘yin nazariyasi va iqtisod fanlarida to‘lov matritsasi ikki o‘yinchi uchun berilgan (cheklangan) strategiyalar to‘plamidan qaysi birini o‘yinchilar tanlaganiga qarab daromadni kodlaydi. Matn qazib olish va avtomatlashtirilgan tezaurus kompilyatsiyasi kuzatish uchun hujjat-term matritsasi kabi tf-idf dan foydalanadi. bir nechta hujjatlardagi ma'lum so'zlarning chastotalari.

Murakkab sonlar ma'lum haqiqiy 2 ga 2 matritsalar orqali ifodalanishi mumkin

bunda kompleks sonlar va matritsalarni qo'shish va ko'paytirish bir-biriga mos keladi. Misol uchun, 2 ga 2 aylanish matritsalari mutlaq qiymat 1 ning qandaydir murakkab soni bilan ko'paytirishni ifodalaydi, chunki yuqorida. Xuddi shunday talqin quaternions va umuman Klifford algebrasilar.

Hill shifrlash kabi dastlabki shifrlash usullari ham matritsalardan foydalangan. Biroq, matritsalarning chiziqli tabiati tufayli, bu kodlarni sindirish nisbatan oson. Kompyuter grafikasi obyektlarni tasvirlash uchun matritsalardan foydalanadi; nazariy kamera kuzatuviga mos keladigan uch o‘lchamli obyektni ikki o‘lchovli ekranga proyeksiya qilish kabi vazifalarni bajarish uchun affin aylanish matritsalari yordamida obyektlarning o‘zgarishlarini hisoblash; va aniqlashtirish, xiralashtirish, qirralarni aniqlash va boshqalar kabi tasvir konvolyutsiyalarini qo'llash uchun. koʻpnomli halqa ustidagi matritsalar boshqaruv nazariyasini oʻrganishda muhim ahamiyatga ega.

Kimyo matritsalardan turli yoʻllar bilan foydalanadi, xususan, molekulyar bogʻlanish va spektroskopiya masalalarini muhokama qilish uchun kvant nazariyasi dan foydalanilganidan beri. Masalan, Hartri-Fok usulining molekulyar orbitallarini olish uchun Ruthan tenglamalari ni yechishda qoʻllaniladigan qoplama matritsasi va Fok matritsasi.

Grafik nazariyasi
150px|thumb|right|Qoʻshni matritsali yoʻnaltirilmagan grafik:
cheklangan grafik ning qo‘shnilik matritsasi grafik nazariyasining asosiy tushunchasidir. Grafikning qaysi uchlari chekka bilan bog'langanligini qayd qiladi. Ikki xil qiymatdan iborat bo'lgan matritsalar (1 va 0 mos ravishda "ha" va "yo'q" degan ma'noni anglatadi) mantiqiy matritsalar deb ataladi. masofa (yoki xarajat) matritsasi qirralarning masofalari haqidagi maʼlumotlarni oʻz ichiga oladi. Bu tushunchalar web-saytlar orqali ulangan giperhavolalar yoki yoʻllar bilan bogʻlangan shaharlar va hokazolarga nisbatan qoʻllanilishi mumkin, bu holda (agar ulanish tarmogʻi juda katta boʻlmasa) zich) matritsalar siyrak bo'ladi, ya'ni bir nechta noldan farqli yozuvlarni o'z ichiga oladi. Shuning uchun tarmoq nazariyasida maxsus moslashtirilgan matritsali algoritmlardan foydalanish mumkin.

Tahlil va geometriya
differentsiallanuvchi funksiya  ning Gessian matritsasi  ning ikkinchi hosilasilardan iborat. bir necha koordinata yo'nalishlari haqida, ya'ni,


Geometrik vaziyatlarda tez-tez ishlatiladigan boshqa matritsa bu  Agar   komponentlarini bildiradi, keyin Yakobi matritsasi shunday aniqlanadi

Agar  bo'lsa va Yakobi matritsasi darajasi o'zining maksimal qiymatiga  erishsa,  da lokal ravishda teskari bo'ladi. bu nuqta, yopiq funksiya teoremasi tomonidan.. Kengaytirilgan va umumiy bayonot uchun qarang: 

Qisman differensial tenglamalarni tenglamaning eng yuqori tartibli differentsial operatorlari koeffitsientlari matritsasi hisobga olingan holda tasniflash mumkin. elliptik qisman differensial tenglamalar uchun bu matritsa musbat aniq boʻlib, koʻrilayotgan tenglamaning mumkin boʻlgan yechimlari toʻplamiga hal qiluvchi taʼsir koʻrsatadi.

cheklangan elementlar usuli qisman differentsial tenglamalarni yechishning muhim raqamli usuli boʻlib, murakkab fizik tizimlarni simulyatsiya qilishda keng qoʻllaniladi. U ba'zi bir tenglamaning yechimini bo'lak-bo'lak chiziqli funksiyalar orqali yaqinlashishga harakat qiladi, bunda bo'laklar etarlicha nozik to'rga tegishli bo'lib tanlanadi, bu esa o'z navbatida matritsali tenglama sifatida qayta ishlanishi mumkin.. Shuningdek qarang qattiqlik usuli.

Ehtimollar nazariyasi va statistikasi
Stokastik matritsalar qatorlari ehtimollik vektori boʻlgan, yaʼni yozuvlari manfiy boʻlmagan va yigʻindisi bittaga teng boʻlgan kvadrat matritsalardir. Stokastik matritsalar chekli ko‘p holatlarga ega Markov zanjirilarni aniqlash uchun ishlatiladi. Bir qator stokastik matritsa hozirda qatorga mos keladigan holatda bo'lgan ba'zi zarrachaning keyingi pozitsiyasi uchun ehtimollik taqsimotini beradi. Markov zanjiriga o'xshash yutuvchi holatlarning xossalari, ya'ni har qanday zarracha oxir-oqibat erishadi, o'tish matritsalarining xos vektorlaridan o'qilishi mumkin.

Statistika matritsalardan turli xil shakllarda ham foydalanadi. Tasviriy statistika koʻpincha maʼlumotlar matritsalari sifatida ifodalanishi mumkin boʻlgan maʼlumotlar toʻplamlarini tavsiflash bilan bogʻliq boʻlib, keyinchalik ular  taʼsir qilishi mumkin. o'lchamlarni kamaytirish texnikasi. kovariance matritsasi bir nechta tasodifiy oʻzgaruvchilarning oʻzaro variancesini kodlaydi. Matritsalardan foydalanadigan yana bir usul chiziqli eng kichik kvadratlar, bu usul cheklangan juftlik toʻplamiga yaqinlashadi , chiziqli funksiya bo'yicha

matritsalarning birlik qiymatli dekompozitsiyasi bilan bog'liq bo'lgan matritsalar bo'yicha formulalanishi mumkin.

Tasodifiy matritsalar — matritsaning normal taqsimoti kabi mos ehtimollik taqsimotilarga bogʻliq boʻlgan yozuvlari tasodifiy sonlar boʻlgan matritsalar. Ehtimollar nazariyasidan tashqari, ular sonlar nazariyasi dan fizika gacha boʻlgan sohalarda qoʻllaniladi. 

Fizikadagi simmetriyalar va transformatsiyalar

Chiziqli o‘zgarishlar va ular bilan bog‘liq simmetriyalar zamonaviy fizikada asosiy o‘rin tutadi. Masalan, kvant maydon nazariyasidagi elementar zarrachalar maxsus nisbiylik nazariyasining Lorents guruhi tasvirlari sifatida va aniqrogʻi, spin guruhi ostidagi xatti-harakatlariga koʻra tasniflanadi. Pauli matritsalari va undan umumiyroq gamma matritsalar ishtirokidagi konkret tasvirlar spinorlar kabi harakat qiluvchi fermionlarning fizik tavsifining ajralmas qismi hisoblanadi. Eng yengil uchta kvark uchun maxsus unitar guruh SU(3) ishtirokidagi guruh-nazariy tasvir mavjud; O'z hisob-kitoblari uchun fiziklar Gell-Mann matritsalari deb nomlanuvchi qulay matritsa tasviridan foydalanadilar, ular kuchli yadroviy o'zaro ta'sirlarning zamonaviy tavsifining asosini tashkil etuvchi SU(3) o'lchov guruhi uchun ham qo'llaniladi. , kvant xromodinamikasi. Kabibbo-Kobayashi-Maskava matritsasi, o'z navbatida, zaif o'zaro ta'sirlar uchun muhim bo'lgan asosiy kvark holatlar bir xil emas, balki ularni aniqlaydigan asosiy kvark holatlar bilan chiziqli bog'liqligini ifodalaydi. o'ziga xos va aniq masslarga ega bo'lgan zarralar.qarang: 

Kvant holatlarining chiziqli birikmalari
kvant mexanikasining birinchi modeli (Heisenberg, 1925 yil) kvant holatlariga taʼsir qiluvchi cheksiz oʻlchovli matritsalar orqali nazariyaning operatorlarini ifodalagan. Bu matritsa mexanikasi deb ham ataladi. Maxsus misollardan biri, kvant tizimining "aralash" holatini elementar, "sof" o'z holatlar ning chiziqli birikmasi sifatida tavsiflovchi zichlik matritsasidir.

Yana bir matritsa eksperimental zarrachalar fizikasining asosini tashkil etuvchi sochilish tajribalarini tavsiflash uchun asosiy vosita bo'lib xizmat qiladi: To'qnashuv reaksiyalari, masalan, zarrachalar tezlatgichilarda sodir bo'ladi, bu yerda o'zaro ta'sir qilmaydigan zarralar bir-biriga qarab yo'naladi va kichik o'zaro ta'sirda to'qnashadi. Natijada o'zaro ta'sir qilmaydigan zarralarning yangi to'plami bo'lgan zonani skalyar mahsulot sifatida tasvirlash mumkin. chiquvchi zarracha holatlari va kiruvchi zarracha holatlarining chiziqli birikmasi. Chiziqli birikma zarralar orasidagi mumkin bo'lgan o'zaro ta'sirlar haqidagi barcha ma'lumotlarni kodlaydigan S-matritsa deb nomlanuvchi matritsa tomonidan berilgan.

Oddiy rejimlar
Matritsalarning fizikada umumiy qo'llanilishi chiziqli bog'langan garmonik tizimlarning tavsifidir. Bunday sistemalarning harakat tenglamalari matritsa ko‘rinishida tasvirlanishi mumkin, bunda massa matritsasi umumlashtirilgan tezlikni ko‘paytirib, kinetik muddatni beradi, kuch matritsa o‘zaro ta’sirlarni xarakterlash uchun siljish vektorini ko‘paytiradi. Yechimlarni olishning eng yaxshi usuli matritsa tenglamasini diagonallash orqali tizimning oʻz vektorlarini, uning normal rejimlarini aniqlashdir. Bu kabi usullar molekulalarning ichki dinamikasi: oʻzaro bogʻlangan komponent atomlaridan tashkil topgan tizimlarning ichki tebranishlari haqida gap ketganda hal qiluvchi ahamiyatga ega. Ular mexanik tebranishlar va tebranishlarni tavsiflash uchun ham kerak. elektr zanjirlari.

Geometrik optika
Geometrik optika qoʻshimcha matritsali ilovalarni taqdim etadi. Bu taxminiy nazariyada yorug'likning to'lqin tabiati e'tiborga olinmaydi. Natijada yorug'lik nurlari haqiqatdan ham geometrik nurlar bo'lgan model paydo bo'ldi. Agar yorug'lik nurlarining optik elementlar tomonidan og'ishi kichik bo'lsa, linza yoki aks ettiruvchi elementning berilgan yorug'lik nuriga ta'sirini ikki komponentli vektorni ikkiga ko'paytirish sifatida ifodalash mumkin. -ikki matritsa nurlarni uzatish matritsasi tahlili deb ataladi: vektorning komponentlari yorug'lik nurining qiyaligi va uning optik o'qdan masofasi, matritsa esa optik elementning xususiyatlarini kodlaydi. Ikki turdagi matritsalar mavjud, ya'ni. linzalar yuzasida sinishni tavsiflovchi  sinish matritsasi  va boshqa sinish matritsasi qo'llaniladigan keyingi sinish yuzasiga mos yozuvlar tekisligining tarjimasini tavsiflovchi  translyatsiya matritsasi .
Linzalar va/yoki aks ettiruvchi elementlarning birikmasidan iborat optik tizim oddiygina komponentlar matritsalari mahsuloti natijasida hosil bo'lgan matritsa bilan tavsiflanadi.

Elektronika
Elektronikada an'anaviy to'r tahlili va tugun tahlili matritsa bilan tasvirlanishi mumkin bo'lgan chiziqli tenglamalar tizimiga olib keladi.

Ko'pgina elektron komponentlarning harakatini matritsalar yordamida tasvirlash mumkin. Komponentning kirish kuchlanishi  va kirish oqimi }} va komponentning chiqish kuchlanishi bilan  2 o‘lchovli vektor bo‘lsin.  va uning elementlari sifatida joriy  chiqaring. Keyin elektron komponentning harakatini  bilan tavsiflash mumkin, bu yerda  2 x 2 bir empedans element (), bitta ruxsat elementni o'z ichiga olgan matritsa () va ikkita o'lchovsiz element ({{math|h} } va ). Sxemani hisoblash endi matritsalarni ko'paytirishga kamayadi.

Tarix
Matritsalar chiziqli tenglamalarni yechishda uzoq vaqtdan beri qoʻllanish tarixiga ega, ammo ular 1800-yillargacha massivlar sifatida tanilgan. Miloddan avvalgi 10–2-asrlarda yozilgan Xitoycha matn Matematika sanʼati boʻyicha toʻqqiz bob [[chiziqli matematika tizimi] yechishda massiv usullaridan foydalanishning birinchi namunasidir. tenglamalar|bir vaqtda tenglamalar]], keltirgan  determinantlar tushunchasini oʻz ichiga oladi. 1545 yilda italyan matematigi Gerolamo Kardano Ars Magna asarini nashr qilganda Yevropaga bu usulni joriy qilgan. Diskret matematika 4-nashr. Dossey, Otto, Spense, Vanden Eynden, Addison Wesley tomonidan nashr etilgan, 2001 yil 10 oktyabr , p. 564-565 Yapon matematigi Seki 1683-yilda bir vaqtda tenglamalarni yechish uchun bir xil massiv usullaridan foydalangan. Gollandiyalik matematik  Yan de Vitt o'zining 1659-yilda chop etilgan Elements of Curves kitobida massivlar yordamida transformatsiyalarni ifodalagan. ' (1659).Diskret matematika 4-nashr. Dossey, Otto, Spense, Vanden Eynden, Addison Wesley tomonidan nashr etilgan, 2001 yil 10 oktyabr , p. 564 1700-1710 yillarda Gotfrid Vilgelm Leybnits axborot yoki yechimlarni yozib olish uchun massivlardan foydalanishni eʼlon qildi va 50 dan ortiq turli massivlar tizimi bilan tajriba oʻtkazdi. Kramer uning qoidasi ni taqdim etdi 1750.

“Matrisa” (lotincha “bachadon”, “to‘g‘on” (ko‘paytirish uchun saqlanadigan odam bo‘lmagan urg‘ochi hayvon), “manba”, “kelib chiqishi”, “ro‘yxat” va “registr” atamasi mater—ona) 1850-yilda Jeyms Jozef Silvestr tomonidan yaratilgan,Ko'pgina manbalarda shunday deyilgan JJ Silvestr 1848 yilda "matritsa" matematik atamasini kiritgan. Silvestr 1848 yilda hech narsa nashr etmagan. (Silvester 1848 yilda hech narsa nashr etmaganligini isbotlash uchun JJ Sylvester bilan HF Beyker, tahr., The Collected Mathematical Papers of Jeyms Joseph Sylvester (Kembrij, Angliya: Cambridge University Press, 1904) ga qarang), jild.) Uning "matritsa" atamasi 1850 yilda J.J.Silvesterda (1850) "Maqolalarga qo'shimchalar"da uchraydi. Ushbu jurnalning sentyabr soni, "Teoremalarning yangi sinfi haqida" va Paskal teoremasi haqida, "" London, Edinburg va Dublin falsafiy jurnali va fan jurnali, 37: 363-370. 369-sahifadan: "Buning uchun biz kvadrat bilan emas, balki m dan iborat cho'zinchoq atamalar tartibidan boshlashimiz kerak. satrlar va n ta ustunlar bu o'z-o'zidan determinant emas, balki matritsasi bo'lib, undan biz turli xil tizimlarni hosil qilishimiz mumkin. determinantlar ... "</ref> matritsani bugungi kunda kichik deb ataladigan bir nechta determinantlarni keltirib chiqaradigan obyekt deb tushunganlar, ya'ni dastlabkisidan kelib chiqadigan kichikroq matritsalarning determinantlari. ustunlar va qatorlarni olib tashlash orqali. 1851 yilgi maqolasida Silvestr shunday tushuntiradi:Jeyms Jozef Silvesterning toʻplangan matematik qogʻozlari: 1837–1853, 37-qogʻoz, p. 247

Artur Kayli ilgari qilinganidek tekshirilayotgan koeffitsientlarning aylantirilmagan versiyalari bo'lmagan matritsalar yordamida geometrik o'zgarishlar haqida risolani nashr etdi. Buning o'rniga u qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish kabi amallarni ushbu matritsalarning o'zgarishi sifatida aniqladi va assotsiativ va taqsimlovchi xususiyatlarni ko'rsatdi. Keyli matritsalarni ko‘paytirishning o‘zgarmas xususiyatini hamda matritsalarni qo‘shishning kommutativ xususiyatini tadqiq qildi va ko‘rsatdi. Ilk matritsa nazariyasi massivlardan deyarli faqat determinantlar va Artur Keylining mavhum matritsasi bilan foydalanishini cheklab qo‘ygan edi. operatsiyalar inqilobiy edi. U tenglamalar tizimidan mustaqil matritsa kontseptsiyasini taklif qilishda muhim rol o'ynadi. 1858 yilda Keyli o'zining "Matritsalar nazariyasi bo'yicha xotiralar" asarini nashr etdi. Maqolalar II 475-496 unda u Keyli-Gamilton teoremasini taklif qilgan va ko‘rsatgan.

Ingliz matematigi Kutbert Edmund Kullis 1913 yilda birinchi bo'lib matritsalar uchun zamonaviy qavs belgisini qo'llagan va u bir vaqtning o'zida  matritsani ifodalash uchun  -chi qator va -ustunni bildiradi.

Determinantlarni zamonaviy tadqiq qilish bir necha manbalardan kelib chiqqan. Raqam-nazariy muammolari [[Gauss]ga olib keldi. ]] kvadrat shakllarning koeffitsientlarini, yaʼni kabi ifodalarni bogʻlash.  va chiziqli xaritalar uch o'lchovli matritsalarga. Eyzenshteyn bu tushunchalarni yanada rivojlantirdi, jumladan, zamonaviy tilda aytganda, matritsa mahsulotilar kommutativ boʻlmagan degan fikrni ham oʻz ichiga oladi. Koshi matritsa determinantining ta'rifi sifatida foydalangan holda birinchi bo'lib determinantlar haqidagi umumiy fikrlarni isbotladi  quyidagi: vakolatlarni  bilan almashtiring  polinom ichida
,
bu yerda  ko'rsatilgan shartlarning mahsulot ni bildiradi. Shuningdek, u 1829 yilda simmetrik matritsalarning oʻz qiymatilari haqiqiy ekanligini koʻrsatdi. Jacobi "funktsional determinantlar" ni o'rgangan - keyinchalik [[Yakobi] deb nomlangan. matritsa va determinant|Yakobi determinanti Silvestr tomonidan — mahalliy (yoki cheksiz kichik) darajadagi geometrik oʻzgarishlarni tasvirlash uchun ishlatilishi mumkin, yuqoridagi ga qarang. Kronecker Vorlesungen über die Theorie der Determinanten va Weierstrass' Zur Determinantentheorie, ikkalasi ham 1903-yilda nashr etilgan boʻlib, birinchi boʻlib determinantlarga aksiomaatik munosabatda boʻldi, bu esa Koshi formulasi kabi oldingi aniqroq yondashuvlardan farqli oʻlaroq. O'sha paytda determinantlar mustahkam o'rnatildi.

Ko'pgina teoremalar dastlab faqat kichik matritsalar uchun o'rnatildi, masalan, Keyli-Gamilton teoremasi 2×2 matritsalar uchun Keyli tomonidan yuqorida qayd etilgan memuarda, Hamilton tomonidan 4× uchun isbotlangan. 4 ta matritsa. Frobenius bilinear shakllar ustida ish olib, teoremani barcha oʻlchamlarga umumlashtirdi (1898). Shuningdek, 19-asr oxirida Gauss-Iordaniyani bartaraf etish (hozirda Gaussni yoʻq qilish deb nomlanuvchi maxsus holatni umumlashtirish) Vilgelm Jordan tomonidan oʻrnatildi. 20-asr boshlarida matritsalar chiziqli algebrada markaziy oʻrinni egalladi. O'tgan asrdagi giperkompleks sonlar tizimlari.

matritsalar mexanikasining Geyzenberg, Born va Iordaniya tomonidan yaratilishi cheksiz koʻp qator va ustunli matritsalarni oʻrganishga olib keldi.  Keyinchalik fon Neyman kvant mexanikasining matematik formulasini funksional analitik kabi tushunchalarni yanada rivojlantirish orqali amalga oshirdi. Gilbert fazosi lardagi chiziqli operatorlar, juda qoʻpol qilib aytganda, Yevklid fazosi ga toʻgʻri keladi, lekin cheksiz mustaqil yo'nalishlar bilan.

Matematikada "matritsa" so'zining boshqa tarixiy qo'llanilishi
Bu so'z tarixiy ahamiyatga ega bo'lgan kamida ikkita muallif tomonidan g'ayrioddiy tarzda ishlatilgan.

Bertrand Russell va Alfred North Whitehead Principia Mathematica asarida (1910–1913) o'zlarining qaytariluvchanlik aksiomasi kontekstida "matritsa" so'zidan foydalanadilar. Ular bu aksiomani har qanday funktsiyani ketma-ket pastroq turga qisqartirish vositasi sifatida taklif qildilar, shunda "pastki" (0 tartib)da funktsiya uning [[kengaytma (predikat mantiqi)|kengaytma] bilan bir xil bo'ladi:Whitehead, Alfred North; va Russell, Bertrand (1913) Principia Mathematica to *56, Kembrij at University Press, Kembrij Buyuk Britaniya (1962 yilda qayta nashr etilgan) cf 162-bet.

Masalan,  va  ikkita oʻzgaruvchidan iborat  funksiyani to'plamga qisqartirish mumkin. bitta o'zgaruvchining funktsiyalari, masalan, , "individuallar" ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari uchun funktsiyani "ko'rib chiqish" orqali  oʻzgaruvchisi oʻrniga  almashtirildi. Va keyin bitta o'zgaruvchining  funktsiyalari to'plami, ya'ni , funktsiyani "ko'rib chiqish" orqali qiymatlarning "matritsasi" ga keltirilishi mumkin  oʻzgaruvchisi oʻrniga almashtirilgan  "individuallar" ning barcha mumkin boʻlgan qiymatlari uchun:

Alfred Tarski oʻzining 1946-yilgi “Mantiqqa kirish” asarida “matritsa” soʻzini matematik mantiqda qoʻllanilgan haqiqat jadvali tushunchasi bilan sinonim sifatida ishlatgan.Tarski, Alfred; (1946) Mantiqqa kirish va deduktiv fanlar metodologiyasi, Dover Publications, Inc, New York NY, .

Shuningdek qarang

 Nomlangan matritsalar roʻyxati



 Irregular matritsa


 Matritsani ko'paytirish algoritmi
 Tensor — Istalgan sonli indekslar bilan matritsalarni umumlashtirish

 Matritsalar toifasi — Matritsalar va ularni koʻpaytirish orqali hosil boʻlgan algebraik tuzilma

Eslatmalar

Ma'lumotnomalar






















 .












 {{Iqtibos |last1=Oualline |first1=Stiv |title=Amaliy C++ dasturlash |nashriyotchi=O'Reilly |isbn=978-0-596-00419-4 |yil=2003} }






 {{Iqtibos |last1=Šolin |first1=Pavel |title=Qisman differensial tenglamalar va sonli elementlar usuli |nashriyotchi=Wiley-Interscience |isbn=978-0-471-76409-0 |yil=2005} }





Fizika ma'lumotnomalari










Tarixiy manbalar
 A. Kayli Matritsalar nazariyasi bo'yicha memuar''. Fil. Trans. 148 1858 17–37; Matematika. Maqolalar II 475–496
 , 1907 yilgi asl nashrning qayta nashri

 {{Iqtibos |tahrirlovchi1-oxirgi=Dieudonne |muharrir1-birinchi=Jan |muharrir1-havola=Jan Dieudonne |sarlavha=Abrége d'histoire des mathematiques 1700-1900 |nashriyotchi=Hermann,Fermann |joy=9=Paris=8 | }







Qo'shimcha o'qish




Tashqi havolalar

 MacTutor: Matritsalar va determinantlar
 Matritsalar va chiziqli algebra eng dastlabki foydalanish sahifalarida
 Matritsalar va vektorlar uchun belgilarning eng qadimgi qo'llanilishi