Fraktal

Fraktal – bir-biriga oʻxshash, kichik masshtabdagi tuzilmalarni jamlagan, qismlari ketma-ket kattalashtirishlarda koʻrinadigan geometrik shakl. U aniqlashtirilgan sari kattalashib boradi va oʻziga oʻxshash koʻplab naqshli segmentlarni hosil qiladi. Fraktal umuman aytganda oddiy geometrik shakllarning turli oʻlchovdagi yigʻindisidan iborat. Fraktal oʻlchov esa matematikada geometrik tipdagi murakkab shakllarning miqdor va sifat jihatdan statistikasini koʻrsatishda qoʻllaniladi. Fraktal naqsh oʻzidagi shakllarning harakatiga qarab oʻzgarib boradi. Shu orqali shakllar orasidagi boʻsh joy toʻlib, uzluksizligi taʼminlanadi.

200x200px|thumb|Sierpiński gilami (6-darajagacha kattalashgan), topologik oʻlchami 1, hausdorff oʻlchami 1,893 boʻlgan fraktal.thumb|200px|Fraktal boʻlmagan, geometrik jihatdan toʻgʻri chiziq.

Fraktal tuzilish nazariyasi matematikada uzoq yillar mobaynida oʻrganilgan (taxminan 1600-yillardan boshlab), ammo ilk bor atama sifatida fraktal soʻzi 1967-yil Benoit Mandelbrot tomonidan „The fractal geometry of Nature“ (Tabiatning fraktal geometriyasi) kitobida yoritilgan. U jismlar qismlarining oʻxshashligiga asoslanib fraktal tuzilishidagi qaytalanishlarga alohida eʼtibor bergan. Maqolasida Lewis Fry Richardsonning sohil chizigʻining uzunligi uni oʻlchashda ishlatilgan oʻlchov tayoqchasi uzunligiga monand ravishda oʻzgarayotganini haqida fikr bildirgan. Bunga koʻra, qirgʻoq uzunligi chizigʻining fraktal oʻlchami, oʻlchash uchun zarur boʻlgan masshtabdagi tayoqchalar soni, tayoqqa nisbatan qoʻllanilayotgan shkala bilan birga oʻzgarib borayotganini kuzatgan.

Fraktal boshqa cheklangan geometrik shakllardan oʻlchovi jihatdan farq qiladi. Uning fazoviy oʻlchami butun son boʻlishi shart emas va koʻpincha doimiy oʻchamidan kattaroq son chiqadi. Bu miqdor ham shaklning aynan odatiy oʻlchamidan farqlab olish uchun uning fraktal tuzilishiga asoslanib oʻlchanadi.

XVII asrdan boshlab fraktal rekursiya tushunchasi bilan birga qoʻllanilib boshlandi. XIX asrda Bernard Bolzano, Bernhard Riemann hamda Karl Weierstrasslar uzluksiz, differensiallashmagan bu tuzilmalarni matematik jihatdan oʻrganishga kirishdi. XX asrda fraktal atamasi paydo boʻlishi bilan birga ularni kompyuterga asoslangan modellashtirish tizimi ham kuchaytirildi. Matematiklar fraktal shaklga turlicha taʼriflar berib oʻtishgan. Mandelbrot uni jozibador, qattiq va tobora ommalashmoqda deb taʼriflagan. Keyinchalik oʻzgartirishlar kiritib, bu boʻlaklarga boʻlina oladigan, har bir boʻlak butunning maʼlum bir qismi boʻlgan geometrik shakl ekanligini aytgan. Fraktal atamasining qoʻllanilishi shu tarzda Mandelbrot taʼrifi bilan bogʻlab tushintiriladigan boʻldi, yaʼni fraktal soʻzi umumiy fraktal oʻlchami jihatdan qoʻllanilishi mumkin boʻlgan barcha variantlar uchun bir maʼnoda ishlatilishi mumkin.

Fraktal bilan birga matematikada fraktal oʻlcham atamasi keng qoʻllaniladi. Fraktal oʻlcham bu fraktal tuzilishga ega, uzluksiz naqshlar va toʻplamlarning taxminiy koʻrsatkichi boʻlib, ularning murakkabligi masshtablaridagi murakkablik bilan ifodalanadi. Fraktal oʻlchamlardan obyektlarning keng spektrik tasvirlari, turbulentlik, daryo tarmoqlari, shaharlar oʻsishi, inson fiziologiyasi, tibbiyot, bozor va tendensiya kabi soha va yoʻnalishlarda foydalanish mumkin. Fraktal oʻlchamlarga ilk marta murakkab geometrik shakllarni oʻlcham jihatdan belgilovchi birlik sifatida qaralgan. Oddiy geometrik shakllar esa nazariy fraktal qiymat shakllar toʻplamining evklid yoki topologik oʻlchami bilan bir xil hisoblab topilgan. Fraktalni toʻplam holida oʻlchash kerak boʻlsa, qiymat uning topologik oʻlchamidan yuqori chiqadi va toʻplam fraktal geometriyaga ega deb hisoblanadi.

 Etimologiyasi 
Fraktal atamasi 1975-yilda Fransuz matematigi Benoît Mandelbrot tomonidan fanga kiritilganBenoît Mandelbrot, Objets fractals, 1975, p. 4. Lotinchada „frāctus“ – buzilgan, singan degan maʼnolarni anglatadi. Nazariy jihatdan fraktal oʻlchovlar tabiatdagi geometrik naqshlarni hisoblashga nisbatan ham ishlatilgan.

 Taʼrifi 

Matematikada va jamoatchilik talqinida fraktal tushunchasi turli xil maʼnolar kasb etadi. Jamoatchilikda koʻproq bu sanʼat bilan bogʻlanadi. Sanʼat jihatdan qaraganda bir-biriga oʻxshash, nozik tuzilmalarni kattalashtirish uchun obyektiv va boshqa qurilmalar yordamida ularning yana takrorlanishini kuzatish mumkin. Bunda fraktallarda oʻzgarish sodir boʻlmaydi ammo bir xil naqsh qayta-qayta takrorlanadi. Matematik usullarsiz tushinilishi mumkin boʻlgan fraktalning yana bir xususiyati oʻlchamining topografik oʻlchamdan kattaroq boʻlishidir. Fraktal va geometrik toʻgʻri shakllarni solishtirsak, toʻgʻri chiziq odatiy ravishda bir oʻlchovli deb qabul qilingan, agar u asl uzunligidan 1/3 qismga boʻlinsa, unda uchta teng boʻlak hosil boʻladi. Kvadrat shakl ikki oʻlchamli deb qaraladi va ikkala oʻlchamda 1/3 marta kichraytirilsa boʻlaklar soni ortadi. Bunda koʻrib chiqsak, obyektlar qaysidir oʻlchovda boʻlganda uni boʻlaklarga boʻlish, miqdorning ortishiga olib kelyapti. Masshtab faktori kichrayapti. Fraktallar nazariyasida egri chiziqda koʻrilganda uni toʻrtta kichik nusxaga boʻlish mumkin va ularning har biri 1/3 miqyosda koeffitsiyentiga koʻra kichiklashadi. Bunda egri chiziq oʻlchamini 3D=4 formula boʻyicha mos keladi va D sonini fraktal oʻlchamini ifodalaydi. Shunday qilib, fraktallarni obyektning haqiqiy oʻlchamidan farq qiladigan topologik oʻlcham deyish mumkin. thumb|3D modellashtirish orqali yaratilgan fraktal.

Matematik tenglamalarda fraktallar hech bir joyda farqlanmaydi va ularni odatiy usullar bilan oʻlchab boʻlmaydi. Toʻlqinsimon, fraktal boʻlmagan egri chiziqning uzunligini topishda toʻlqinlar ustida uchlari mos keladigan darajada kichik oʻlchov asbobi oʻrnatiladi. Oʻchov asbobi va chiziq segmentlari ulanadi. Ammo qor parchasi kabi murakkab egri chiziqli, fraktal boʻlgan shakllarda segment topib boʻlmaydi, sababi asbob oʻrnatishga harakat qilinganda, shikastlangan qism oʻz oʻrnini tezda toʻldiradi, kichik masshtablarda qaytadan tiziladi. Natijada butun egri chiziq yuzasini qoplab oʻlchash uchun cheksiz oʻlchov lentasi kerak boʻladi va bundan kelib chiqib qor parchasi kabi fraktal shakllar cheksiz perimetrga ega deb qaraladi.

 Tarixi 
|alt=|208x208px

Fraktallar tarixi dastlabki geometrik nazariy maʼlumotlardan kompyuter grafikasidagi zamonaviy usullargacha boʻlgan rivojlanishni oʻz ichiga oladi. Koʻpchilik olimlar tomonidan fraktallarning yangi koʻrinishlari kashf qilinib kelingan. Sanʼat sifatida Afrika anʼanaviy arxitektura madaniyatida fraktallar masshtablaridan foydalanish keng tarqalgan. Bunda kichik obyektlardan kattalarining hosil boʻlishi, masalan, dumaloq uy-joylardan dumaloq shaklda qishloqlarning qurilishini koʻrish mumkin. Matematik nazariyalari XVII asrda matematik va faylasuf Gottfried Leibnizning strukturalarning bir-birga oʻxshashligi fikrlari asosida shakllanib boshlagan. 1872-yil 18-iyunda Karl Weierstrass birinchi marta bugungi kunda fraktal deb hisoblash mumkin boʻlgan geometrik shaklni ommaga namoyish etgan. U Prussiya Qirollik Fanlar Akademiyasida hamma joyda uzluksiz va hech joyda farqlanmaydigan tuzilmani fraktal ekanligini taʼriflagan. 1883-yilda Weierstrass maʼruzalari boʻyicha tahsil olgan Georg Cantor gʻayrioddiy xususiyatlarga ega boʻlgan, hozirda fraktallar sifatida tan olingan Cantor toʻplamlarini nashr ettirgan.
Julia toʻplami, Mandelbrot toʻplamiga tegishli fraktallardan biri.|alt=|200x200px

Felix Klein hamda Henri Poincaré oʻrta asrning soʻngi yillarida oʻziga teskari fraktallar deb nomlanuvchi Poincaré fraktallarini fanga kiritgan. Keyingi muhim burilish, 1904-yilda Helge von Koch tomonidan Poincaré gʻoyalari hamda Weierstrassning mavhumlik va analitiklik taʼrifidan rozoriligi asosida fraktalning qoʻlda chizilgan tasvirini yaratilgan va u Koch qor parchasi deb atalgan.
Oradan oʻn yil oʻtib, 1915-yilda yana bir muhim voqea, Wacław Sierpiński oʻzining mashhur uchburchagi (Sierpiński uchburchagi), bir yildan keyin Sierpiński gilami nomli fraktallarni yaratdi. Sierpiński uchburchagi bu teng tomonli, uchlari bir-biriga koʻp marta qayta ulab hosil qilinadigan uchburchak koʻrinishdagi fraktal. 1918-yilda ikki fransuz matematigi Pierre Fatou va Gaston Julia mustaqil faoliyat yuritib, bir vaqtda murakkab raqamlar va funksiyalarni fraktal usullarda xaritalash ishlarini olib borishgan. 1918-yil mart oyiga kelib Felix Hausdorff fraktallarda oʻlchov tushinchasini kengaytirgan. Bir-biriga oʻxshash egri chiziqlar loyihasini Paul Lévy fanga olib kirgan.

Dizayn sohasida fraktal shakllarning keng yoyilishi dastlabki tadqiqotchilarning qoʻlyozma chizmalari bilan bogʻliq. Zamonaviy kompyuter grafikasi yordamisiz dastlabki naqshlar fraktallar koʻrinishida boʻlgan ammo ularning oʻlcham va qiymatini baholash uchun yetarli vositalar mavjud boʻlmagan. 1975-yilda Mandelbrot tomonidan fraktal tushunchasining fanga olib kirilishi yuzlab yillik fikr va mulohazalarni bir toʻxtamga jamladi. U fraktalning matematik izohini kompyuterda yaratilgan vizualizatsiyalar orqali tasvirladi va tasavvur uygʻotishga erishdi. Bulardan uning Mandelbrot toʻplami mashhurlikka erishgan. Ularning barchasi ham rekursiyaga asoslanib, fraktal atamasini mazmunan ochib berishga qaratilgan. 1980-yilda Loren Carpenter „SIGGRAPH“ (Kompyuter grafikasi va interaktiv texnikalar boʻyicha maxsus qiziqish guruhi)da oʻzining fraktal usulda landshaftlar yaratish boʻyicha dasturiy taʼminotini namoyish etgan.

 Turlari 
Mandelbrot keltirgan taʼrif boʻyicha fraktal bu oʻz-oʻzini takrorlaydigan qismlardan tashkil topgan, tartibsiz boʻlaklangan shakl. Ularning har biri butunning kichraytirilgan nusxasi. Fraktallarning barchasi umumiy tuzilish qonuniyatiga boʻysungani bilan, maʼlum bir shakllari jihatdan turlarga boʻlinishi mumkin. Falconer takidlashicha, ular quyidagi xususiyatlari bilan xarakterlanadi:

 Toʻliq oʻxshash qismli fraktal: barcha qismlari bir xil naqshli, masalan, qor parchasi.
 Faqat oʻziga oʻxshash fraktal: turli masshtablardagi bir xil naqshlar, masalan, Mandelbrot toʻplami.
 Statistik oʻziga oʻxshash fraktal: naqshlari tasodifiy takrorlanadi, son yoki statistik koʻrsatkichlari shkalalar boʻyicha saqlanib qoladi. Ularda Koch qor parchasi kabi takrorlanadigan qismni topish mushkul. Tasodifiy hosil boʻladigan fraktallarga Britaniya qirgʻoq chizigʻining oʻlchamlarini kiritish mumkin.
 Sifatiy jihatdan oʻziga oʻxshash fraktal: Vaqt qismlari kabi.
 Multifraktal masshtabli fraktal: Bir nechta fraktal oʻlchovli va masshtabli qiyoslashga koʻra aniqlanadi.

 Bundan tashqari fraktallarning shunday turlari borki, ularda segmentlar mahalliy va umumiy miqyosda tartibsiz joylashgan boʻladi va ularni geometrik jihatdan osonlikcha tasvirlab boʻlmaydi. Bunday fraktallarni tasvirlash uchun yuzalarini silliqlash, burilishlarini tekislash usullari qoʻllaniladi. Guruh boʻlib joylashganda fraktallar va fraktal boʻlmagan shakllarni ajratish qiyinchilik tugʻdirishi mumkin. Chunki fraktal qismlari orasida ular oʻzaro oʻxshash shakllarda ham uchraydi.

 Fraktal hosil qilishning umumiy usullari 

Fraktallarni yaratishda fraktal hosil qiluvchi dasturlardan foydalaniladi. Bunda ularga kapalak effekti taʼsir qiladi va bu orqali kichik oʻzgarishlar oldindan aytib boʻlmaydigan natijalarga olib kelishi mumkin. Quyida bir qancha usullar keltirilgan:

 Takrorlanuvchi funksional tizimlar – geometrik shakllarning qatʼiy ravishda almashtirilishidan iborat, stokastik (tartibsiz) yoki deterministik fraktallar uchun. Bu usulda Koch qor parchasi, Cantor toʻplami, Haferman gilami, Sierpiński gilami, Peano egri chizigʻi, Harter-Heighway egri chizigʻi, T-kvadrat kabi fraktallar yaratilgan.
 Atraktorlar (oʻziga xos qism) – fraktal yasashda xarita tuzib olish uchun ishlatiladigan, tartibsizlikni koʻrsatadigan boshlangʻich qiymatli differensial tenglamalar tizimi.
 L-tizim – satrni qayta yozishda foydalaniladi. Sistemali tuzilmalar, jumladan, biologik hujayralarda (qon tomirlari, oʻpkadagi alveolalar, neyronlar) shoxlanishli naqshlar koʻrinishidagi egri chiziq va segmentlarni grafik chizmalar koʻrinishida yaratadi.
Muqobil havola uchun cheklangan boʻlinish qoidasi asosida yaratilgan fraktal.|202x202px
 Tasodifiy fraktallar – ularni yaratishda tasodifiy stokastik qoidalardan foydalaniladi. U asosida Lévy parvozi, perkolyatsiya klasterlari, fraktal landshaftlar, Brown harakatining traektoriyalari va Brown daraxti kabilar modellashtirilgan va ular boʻyicha hosil qilingan J. W. Cannon, W. J. Floyd, W. R. Parry. Finite subdivision rules. Conformal Geometry and Dynamics, vol. 5 (2001), pp. 153–196..
 Cheklangan boʻlinish qoidalari – plitkalarni qoʻchimcha detallardan tozalash uchun ishlatiladigan rekursiv topologik algoritmlar. Ularning mexanizmi hujayraning boʻlinish jarayoniga oʻxshaydi. Cantor toʻplami va Sierpiński gilami fraktallarini yaratishda ushbu barisentrik boʻlinish usulidan foydalanilgan.

 Modellashtirilgan fraktallar 
Fraktal turdagi musiqa|right|thumb
Tabiatda fraktal naqshlarning barcha turlari ham mavjud boʻlmay, ularning koʻpchiligi keng koʻlamda modellashtiriladi. Modellashtirish esa nazariy jihatdan tabiatda mavjud boshqa fraktallarni va fraktal xususiyatga ega boshqa hodisalarni ham tahlil qilishga yordam beradi. Jarayon natijalarida yuqori badiiy tasvirlar, grafik dizayn naʼmunalari, tahlillar koʻrsatkichlari olishga erishilgan. Bu esa texnologiya rivojida qoʻl kelgan. Kompyuter sohasida video oʻyinlarni loyihalashtirishda ham fraktallardan foydalanish ommalashgan.

Modellashtirilgan fraktallar tovushlar, ritmlar, raqamlar, elektrokimyoviy naqshlar koʻrinishida boʻlishi mumkin Brothers, Harlan J. (2007). „Structural Scaling in Bach’s Cello Suite No. 3“. Fractals. 15 (1): 89–95. doi:10.1142/S0218348X0700337X.. Fraktal naqshlar oʻlchami 3 oʻlchovli fazoda, virtual tarzda modellashtiriladi. Fraktal modellari yuqorida aytib oʻtilgan usullarda fraktal yaratuvchi maxsus dasturiy taʼminotda yasaladi. Masalan, rekursiv algoritmlar va L-tizimlar texnikalari yordamida daraxtlar shoxlanishi, nerv sistema hujayralari, qon tomirlar, oʻpkadagi shoxlanishlar kompyuterda modellashtiriladi. Rekursiv nashqlar turini tabiatda ham uchratish mumkin. Daraxtlar shoxlari, paparotnik barglariga butun fraktal shaklning kichik boʻlagi, segmentlari deb qarash mumkin. Togʻlar va qirgʻoqlar esa tasodifiy fraktallarga misol boʻladi. Bundan tashqari koinotda galaktika va yulduzlar turkumlarining joylashishlari fraktal hisob-kitoblar asosida aniqlanadi. Ulardan olingan tasavvurlar boʻyicha fraktallar modellashtiriladi.
 Fraktal tabiat hodisalari 

Tabiatda kuzatiladigan fraktal koʻrinishdagi obyektlar va jarayonlar cheklangan masshtab diapozonlarida oʻzaro oʻxshashlikni namoyon qiladi „Hunting the Hidden Dimensional“. Nova. PBS. WPMB-Maryland. October 28, 2008.. Tabiatning jalb qiluvchi xususiyatlari, evolutsiyani shakllantiruvchi hodisalar, oʻzgaruvchan jarayonlarning hammasi fraktallar orqali yuzaga keladi. Fraktal xususiyatlarga ega boʻlgan hodisalarga quyidagilarni keltirish mumkin:

• Aktin sitoskeleti

• Proteinlar

• Yosinlar

• Brown harakati

• Sohil chiziqlari

• Bulutlar harakati

• Okean toʻlqinlari

• Kraterlar

• Kristallar

• DNK

• Chang donalari

• Zilzilalar

• Qon tomirlar

• Oʻpka tomirlari

• Yurak urishi tovushi

• Purkine hujayralari

• Saturn halqalari

• Qor parchasi

• Tuproqdagi teshiklar

• Turbulent oqim

• Daraxtlar

• Neyronlar

• Chaqmoq

 Hujayra biologiyasida fraktallar 

Tirik organizmlarda fraktallarni asosan shoxlanish va naqshlanish jarayonlarida koʻrish mumkin. Ian Wong va uning jamoasi tomonidan koʻchib yuruvchi hujayralar toʻplanib fraktallarni hosil qilishi isbotlangan. Nerv hujayralarida bu jarayon aniqroq koʻzga tashlanadi, nerv hujayralari yuzasida impuls oʻtish katta sirt va hajm talab qiladi va shuning uchun ham nerv toʻri fraktal koʻrinishda boʻladi. Bu esa hujayra fiziologiyasi va patologiyasida muhim ahamiyatga ega. Bundan tashqari hujayraosti tuzilmalar ham fraktal holida toʻplanishi isbotlangan. Diego Krapf inson organizmi hujayralarida aktin filamenti fraktal shakllarda toʻplanishini aniqlagan. Shu jihatdan Matthias Weiss endoplazmatik retikulumning fraktal xususiyatini ochib bergan. Yurak urish ritmi, qorachiq harakatlari asosi ham fraktal tuzilishlardan iborat. Xulosa qilib aytganda, organizmning kichik oqsil tuzilishlaridan boshlab organlar sistemasigacha barchasida fraktallarni uchratish mumkin.

 Ijodiy ishlar 
1999-yildan boshlab koʻplab ilmiy guruhlar tomonidan fraktallar sohasida koʻplab ijodiy ishlar amalga oshirilib kelingan. Jackson Pollock tomonidan boʻyoq quyish orqali yaratilgan 50 dan ortiq rasmlarda fraktal tahlillar oʻtkazilgan. Nevrologlar tomonidan Pollock fraktallari modellashtirilgan fraktallar va tabiat fraktallari kabi stressni pasaytirishi mumkinligi aytilgan. Max Ernst kabi rassomlar dekalkomaniya usulida fraktalga oʻxshash shakllarni yaratgan. Bunda ikki sirt orasiga boʻyoq bosilgan va keyin ular bir-biridan ajratilgan. Kibernetik Ron Eglash fraktallar nazariyasini matematika va geometriya bilan birga Afrika sanʼati, oʻyinlari, savdo va uy-joylari asosida meʼmorchilikda qoʻllashni taklif qilgan. Shu bilan dumaloq uylar yigʻilib doirasimon koʻchalar, toʻrtburchak mahallalar ichida toʻrtburchak tuzilmali uylar paydo boʻlgan. Fraktal naqshli shakllarni Afrika xalqlari toʻqimachiligida, haykaltaroshlik sohalarida ham uchratish mumkin. Hatto u makkajoʻxori popugida ham topilganFrame, Michael; and Mandelbrot, Benoît B.; A Panorama of Fractals and Their Uses . Hokky Situngkir Indoneziya anʼanaviy sanʼati, uylari va bezaklarida ham fraktal oʻxshashliklarni loyihalashtirishni taklif qilganSitungkir, Hokky; Dahlan, Rolan (2009). Fisika batik: implementasi kreatif melalui sifat fraktal pada batik secara komputasional. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama. .

Etnograf olim Ron Eglash fraktallardan foydalangan holda shaharlar tuzilishi bilan xonadonlar ichki dizaynini loyihalashtirishni ham koʻrib chiqqan. U Afrika meʼmorchiligi haqida shunday izoh beradi: „Yevropaliklar ilk marta Afrikaga kelganida ularning meʼmorchiligi juda murakkab va tartibsiz ekanligiga guvoh boʻlishgan va bu tuzilishni ular ham, afrikaliklarning oʻzlari ham matematik shakl ekanligini tasavvur qilishmagan“. Gollandiyalik rassom M. C. Escher oʻz asarlarida cheksizlik bilan takrorlanadigan shakllarni tasvirlagan, ularga yaqinlashib nazar tashlaganda yanada kichikroq ammo bir xil tuzilmalarni koʻrish mumkin boʻlgan. Circle Limit III fraktali uning shu kabi loyihalaridan biriKoutonin, Mawuna (March 18, 2016). „Story of cities #5: Benin City, the mighty medieval capital now lost without trace“. Retrieved April 2, 2018..

 Estetik fraktal dizayni 
Tabiatda keng tarqalgan fraktal naqshlar ham oʻzaro oʻxshash tarkibiy qismlarga ega va takrorlanuvchan. Tabiat bilan bogʻliq inson omili tomonidan yaratilgan muhitda fraktallardan estetik va psixologik taʼsir koʻrsatishda foydalanish mumkin. Estetik fraktallar aholining ijtimoiy farovonligi va ijobiy psixologik holatini barqarorlashtirishda ahamiyatga ega. Ushbu dizayn asosi alohida fraktallar „daraxti“ koʻrinishida boʻlib, global fraktal „oʻrmonlari“ni yaratishga qaratiladi va yaxlit umumiy tasvir hosil qilinadi. Ushbu tasvirlar bir nechta muhitlarni oʻz ichiga oladi va barchasi tomoshabinlar stressini kamaytirishga qaratiladi. Bu tadqiqot boʻyicha ishlanganda naqshning murakkabligi, afzalligi va jalb qiluvchi xususiyatlariga birinchi navbatda ahamiyat beriladi. Keyinchalik mahalliy toʻldiruvchi fraktal qismlarini umumiy naqshga qoʻshish hamda psixologik taʼsirning yuzaga chiqishiga eʼtibor qaratiladi. Tomoshabin naqshga qaraganida uni dam oldiruvchi va estetik taʼsir sifatida qabul qilishi kerak. Ushbu tajribalardan maqsad esa inson ruhiyatida qoʻzgʻalish (asabiylik, tashvishlanish) va tinchlanish holatlari oʻrtasida muvozanatga erishishdir. Daraxt shoxlanishi koʻrinishidagi oʻrta va murakkab fraktal shakllarning estetik dizayni inson tomonidan yaratilgan biomuhitda tadbiq etilib, turmush tarzining yaxshilanishiga hizmat qiladi.

 Fiziologik taʼsiri 

Inson koʻzi ilgʻay oladigan fraktal oʻlcham kattaligi 1,3 dan 1,5 oraligʻida boʻlishi kerak. Yaratiladigan fraktal naqshlar ham aynan shu xususiyatga asoslanadi va bu fiziologik jihatdan stressni kamaytiradiFor further discussion of this effect, see .

 Manbalar 

 Adabiyotlar 
 Barnsley, Michael F.; and Rising, Hawley; Fractals Everywhere. Boston: Academic Press Professional, 1993. 
 Duarte, German A.; Fractal Narrative. About the Relationship Between Geometries and Technology and Its Impact on Narrative Spaces. Bielefeld: Transcript, 2014. 
 Falconer, Kenneth; Techniques in Fractal Geometry. John Wiley and Sons, 1997. 
 Jürgens, Hartmut; Peitgen, Heinz-Otto; and Saupe, Dietmar; Chaos and Fractals: New Frontiers of Science. New York: Springer-Verlag, 1992. 
 Mandelbrot, Benoit B.; The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman and Co., 1982. 
 Peitgen, Heinz-Otto; and Saupe, Dietmar; eds.; The Science of Fractal Images. New York: Springer-Verlag, 1988. 
 Pickover, Clifford A.; ed.; Chaos and Fractals: A Computer Graphical Journey – A 10 Year Compilation of Advanced Research. Elsevier, 1998. 
 Jones, Jesse; Fractals for the Macintosh, Waite Group Press, Corte Madera, CA, 1993. .
 Lauwerier, Hans; Fractals: Endlessly Repeated Geometrical Figures, Translated by Sophia Gill-Hoffstadt, Princeton University Press, Princeton NJ, 1991. , cloth.  paperback. „This book has been written for a wide audience…“ Includes sample BASIC programs in an appendix.

 Wahl, Bernt; Van Roy, Peter; Larsen, Michael; and Kampman, Eric; Exploring Fractals on the Macintosh, Addison Wesley, 1995. 
 Lesmoir-Gordon, Nigel; The Colours of Infinity: The Beauty, The Power and the Sense of Fractals. 2004.  (The book comes with a related DVD of the Arthur C. Clarke documentary introduction to the fractal concept and the Mandelbrot set.)
 Liu, Huajie; Fractal Art, Changsha: Hunan Science and Technology Press, 1997, .
 Gouyet, Jean-François; Physics and Fractal Structures (Foreword by B. Mandelbrot); Masson, 1996. , and New York: Springer-Verlag, 1996. . Out-of-print. Available in PDF version at.

 M. E. Mamarajabov, S. Q. Tursunov, L. M. Nabiulina, Kompyuter grafikasi va web-dizayn, Toshkent: Choʻlpon nomidagi nashriyot-matbaa ijodiy uyi, 2013 – 15-bet. ISBN 978-9943-05-601-5. Qaraldi: 17-dekabr 2024-yil.
Turkum:Fraktal turlari
Turkum:Matematika
Turkum:Geometriya
Turkum:Topologiya
Turkum:Arxitektura
Turkum:Texnologiya
 Havolalar 


 „Hunting the Hidden Dimension“, PBS NOVA, first aired August 24, 2011
 Benoit Mandelbrot: Fractals and the Art of Roughness (), TED, February 2010
 Equations of self-similar fractal measure based on the fractional-order calculus（2007）