Harakat grafiklari va hosilalari

Mexanikada obyektning joylashuv va vaqt grafigining hosilasi obyekt tezligiga teng. Xalqaro birliklar tizimida harakatlanuvchi obyektning pozitsiyasi kelib chiqishiga nisbatan metrlarda, vaqt esa soniyalarda oʻlchanadi. Joyni y oʻqiga va vaqtni x oʻqiga qoʻyib, egri chiziqning qiyaligi quyidagicha aniqlanadi:



Bu yerda  obyektning pozitsiyasidir va  vaqt hisoblanadi. Shuning uchun, egri chiziqning qiyaligi vaqt oʻzgarishiga boʻlingan pozitsiyaning oʻzgarishini beradi, bu grafikdagi vaqt oraligʻi uchun oʻrtacha tezlikning taʼrifi. Agar bu oraliq cheksiz kichik boʻlsa, shunday  aylanadi  va  aylanadi , natijada vaqtdagi oniy tezlik , yoki vaqtga nisbatan pozitsiyaning hosilasi .

Xuddi shunday fakt tezlik va vaqt grafigiga ham tegishli. Tezlik va vaqt grafigining qiyaligi bu tezlanishdir, bu safar tezlikni y oʻqiga va vaqtni x oʻqiga qoʻyadi. Yana chiziqning qiyaligi oʻzgaradi  haddan tashqari oʻzgarish  :



bu yerda  tezlik, va  vaqt hisoblanadi. Shunday qilib, bu qiyalik oraliqdagi oʻrtacha tezlanishni aniqlaydi va intervalni cheksiz ravishda kamaytirish ,  vaqtdagi oniy tezlanish, yoki tezlikning vaqtga nisbatan hosilasi (yoki pozitsiyaning vaqtga nisbatan ikkinchi hosilasi). SIda bu qiyalik yoki lotin sekundiga metr birliklarida ifodalanadi (, odatda „sekundiga metr kvadrat“ deb ataladi).

Ob’ektning tezligi pozitsiya grafigining hosilasi boʻlganligi sababli, tezlik va vaqt grafigidagi chiziq ostidagi maydon obyektning siljishidir . (Tezlik y oʻqida va vaqt x oʻqida. Tezlikni vaqtga koʻpaytirsak, vaqt bekor qilinadi va faqat siljish qoladi.)

Xuddi shu koʻpaytirish qoidasi tezlanish va vaqt grafiklari uchun ham amal qiladi.

 Oʻzgaruvchan qiymatlarda 
Yuqorida keltirilgan iboralar faqat oʻzgarish tezligi doimiy boʻlganda yoki faqat oʻrtacha (oʻrtacha) oʻzgarish tezligi kerak boʻlganda qoʻllanadi. Agar tezlik yoki pozitsiyalar vaqt oʻtishi bilan chiziqli boʻlmagan holda oʻzgarsa, masalan, rasmda koʻrsatilgan misolda, farqlash toʻgʻri echimni beradi. Farqlash yuqorida qoʻllangan vaqt oraligʻini juda kichik (cheksiz kichik) qilib qisqartiradi va boshlanish va tugatish nuqtasi oʻrtasida emas, balki grafikning har bir nuqtasida tezlik yoki tezlanishni beradi. Yuqoridagi tenglamalarning hosila shakllari:





Tezlanish pozitsiyani oʻz ichiga olgan ifodani farqlaganligi sababli, uni vaqtga nisbatan ikkinchi hosila sifatida qayta yozish mumkin:



Bu kabi mexanika maqsadlari uchun integratsiya differensiatsiyaga qarama-qarshi boʻlganligi sababli, pozitsiyani tezlik va tezlikni tezlanish funksiyasi sifatida ifodalash ham mumkin. Yuqorida tavsiflanganidek, egri chiziq ostidagi maydonni aniqlash jarayoni aniq integrallar yordamida maʼlum vaqt oraligʻida tezlikning oʻzgarishi va oʻzgarishini berishi mumkin:





 Manbalar 
 Wolfson, Richard; Jay M. Pasachoff (1999). Physics for Scientists and Engineers (3rd ed.).

 Havolalar 
 Addison Uesli
 Massachusets universiteti

Turkum:Mexanika
Turkum:Fizika