Fizik kattaliklarning operatorlari

Operator fizik holatlar fazosidan boshqa fizik holatlar fazosiga oʻtadigan funksiyadir . Operatorlar foydaliligining eng oddiy misoli simmetriyani oʻrganishdir. Shu sababli, ular klassik mexanikada juda foydali vositalardir. Operatorlar kvant mexanikasida yanada muhimroqdir, ular nazariyani shakllantirishning ajralmas qismini tashkil qiladi.

 Klassik mexanikada operatorlar 
Klassik mexanikada zarrachaning (yoki zarralar tizimining) harakati butunlay Lagranjian orqali aniqlanadi.  yoki shunga oʻxshash Gamiltonian , orqali aniqlanadi. bu yerda umumlashtirilgan koordinatalar funksiyasi q, umumlashtirilgan tezliklar  va uning impulsi



Agar L yoki H umumlashgan q koordinatasiga bogʻliq boʻlmasa, yaʼni q oʻzgartirilganda L va H oʻzgarmasa, bu oʻz navbatida q oʻzgarganda ham zarrachaning dinamikasi bir xil boʻlishini anglatadi. Yaʼni koordinatalar saqlanib qoladi (bu Noeter teoremasining bir qismidir va harakatning q koordinatasiga nisbatan oʻzgarmasligi simmetriyadir). Klassik mexanikada operatorlar ushbu simmetriyalar bilan bogʻliq.

Koʻramiz, H maʼlum bir guruh oʻzgarishlar G taʼsiri ostida oʻzgarmas boʻlganda:

  .

G ning elementlari miqdoriy operatorlar boʻlib, ular oʻzaro fizik holatlarni xaritada koʻrsatadilar.

 Klassik mexanikada operatorlar jadvali 
Transformatsiya Operator Lavozim Momentum Tarjima simmetriyasi    Vaqtni tarjima qilish simmetriyasi    Aylanma oʻzgarmasligi    Galiley oʻzgarishlari    Paritet    T-simmetriya   
bu yerda  birlik vektor bilan aniqlangan oʻq atrofida aylanish matritsasi  va burchak θ-theta.

 Generatorlar 
Agar transformatsiya cheksiz kichik boʻlsa, operator harakati quyidagi shaklda boʻlishi kerak:



bu yerda  identifikatsiya operatori,  kichik qiymatga ega parametrdir va  mavjud transformatsiyaga bogʻliq boʻladi va guruhning generatori deb ataladi. Shunga qaramay, oddiy misol sifatida biz 1D funksiyalarida kosmik translatsiyalar generatorini olamiz.

Taʼkidlanganidek,  . Agar  cheksiz kichik boʻlsa, biz quyidagicha yozishimiz mumkin:



Ushbu formulani yana qayta yozish mumkin:



bu yerda  tarjima guruhining generatori boʻlib, bu holda hosila operatori boʻladi. Shunday qilib, tarjimalarning generatori hosila ekanligi aytiladi.

 Eksponensial xarita 
Butun guruh normal sharoitda generatorlardan eksponensial xarita orqali tiklanishi mumkin. Tarjimalarda gʻoya shunday ishlaydi.

 ning cheklangan qiymati uchun natija cheksiz kichik tarjimani takroran qoʻllash orqali olinishi mumkin:



Agar  katta boʻlsa, omillarning har birini cheksiz kichik deb hisoblash mumkin:



Ammo ushbu chegara eksponensial sifatida qayta yozilishi mumkin:



Ushbu ifodaning toʻgʻriligiga ishonch hosil qilish uchun biz eksponensialni darajalar qatorida kengaytirishimiz mumkin:



Oʻng tomoni qayta yozilishi mumkin:



Bu shunchaki Teylor qatori , bu bizning asl qiymatimiz edi  .

Fizik operatorlarning matematik xossalari oʻz-oʻzidan katta ahamiyatga ega mavzudir.

 Kvant mexanikasidagi operatorlar 
Kvant mexanikasining (QM) matematik formulasi operator degan tushunchasiga asoslanadi.

Kvant mexanikasidagi fizik sof holatlar maxsus kompleks Hilbert fazosida birlik-norma vektorlar (ehtimolliklar bittaga normallashtiriladi) sifatida qaraladi. Bu vektor fazoda vaqt evolyutsiyasi evolyutsiya operatori nomi bilan beriladi.

Har qanday kuzatiladigan, yaʼni fizik tajribada oʻlchanishi mumkin boʻlgan miqdor oʻz-oʻzidan qoʻshiladigan chiziqli operator bilan bogʻlanishi kerak. Operatorlar haqiqiy oʻz qiymatlarini berishi zarur, chunki ular tajriba natijasida paydo boʻlishi mumkin boʻlgan qiymatlardir. Matematik jihatdan bu operatorlar Hermitian boʻlishi kerakligini anglatadi. Har bir xos qiymatning ehtimoli shu xos qiymat bilan bogʻliq boʻlgan pastki fazodagi fizik holatning proyeksiyasi bilan bogʻliq.

Kvant mexanikada toʻlqin mexanikasi formulasida toʻlqin funksiyasi koordinata va vaqtga yoki impuls va vaqtga qarab oʻzgaradi.

Matritsa mexanikasi formulasida fizik holat normasi oʻzgarmas boʻlishi kerak, shuning uchun evolyutsiya operatori unitar boʻlishi kerak va operatorlar matritsalar sifatida ifodalanishi mumkin. Miqdoriy holatni boshqasiga koʻrsatadigan har qanday boshqa simmetriya bu cheklovni saqlab qolishi lozim.

 Toʻlqin funksiyasi 
Toʻlqin funksiyasi kvadrat integral boʻlishi shart (qarang: L p</nowiki><nowiki> boʻshliqlar), yaʼni:



va normalizatsiya qilinadi, shuning uchun:



Oʻz holatlarining (oʻz qiymatlarining) ikkita holati:

 diskret xos holatlar uchun  diskret asosni tashkil qiladi, shuning uchun har qanday holat yigʻindi hisoblanadi.
 xos holatlarning uzluksizligi uchun  uzluksiz asosni tashkil etuvchi har qanday holat integraldir

 Toʻlqin mexanikasidagi chiziqli operatorlar 
Kvant sistema uchun  toʻlqin funksiyasi boʻlsin va  baʼzi bir kuzatiladigan  uchun har qanday chiziqli operator boʻlsin (masalan, koordinata, impuls, energiya va boshqalar).). Agar  operatorning xos funksiyasi boʻlsa , keyin



bu yerda  operatorning xos qiymati, kuzatilishi mumkin boʻlgan, yaʼni kuzatiladigan ning oʻlchangan qiymatiga mos keladigan  .

Agar  berilgan operatorning xos funksiyasi  boʻlsa, u holda kuzatilishi mumkin boʻlgan  ning oʻlchovi  holatida amalga oshirilsa, aniq miqdor (a xos qiymat) kuzatiladi. Aksincha, agar  ning xos funksiyasi  boʻlmasa, u holda uning uchun xos qiymatga ega emas va  kuzatiladigan narsa u holda yagona aniq qiymatga ega emas. Buning oʻrniga, kuzatilishi mumkin boʻlgan  ning oʻlchovlari maʼlum bir ehtimollik bilan har bir xos qiymatni beradi ( ning ortonormal xossaga nisbatan parchalanishi bilan bogʻliq ).

Bra-ket yozuvida yuqoridagilarni yozish mumkin;



agarda ular teng boʻlsa,  kuzatiladigan  ning xos vektoridir

Chiziqlilik tufayli vektorlar har qanday oʻlchamda ham aniqlanishi mumkin, chunki vektorning har bir komponenti funksiyaga alohida taʼsir qiladi. Matematik misollardan biri del operatori boʻlib, u oʻzi vektordir (quyidagi jadvalda impuls bilan bogʻliq kvant operatorlarida foydalidir).

n oʻlchovli fazoda operator quyidagicha yozilishi mumkin:



Bu yerda ej har bir komponent operatori Aj ga mos keladigan bazis vektorlari. Har bir komponent tegishli xos qiymatni beradi  . Buni  toʻlqin funksiyasiga taʼsir qilsak:



biz quyidagicha foydalanganmiz 

Bra-ket yozuvida:



 Ψ boʻyicha operatorlarni almashtirish 
Agar ikkita kuzatiladigan A va B chiziqli operatorlarga ega boʻlsa ular  va  kommutator bilan belgilanadi,



Kommutatorning oʻzi (kompozit) operatordir. Kommutatorning Ψ ga taʼsir qilishi quyidagilarni beradi:



Agar Ψ mos ravishda A va B kuzatiladiganlar uchun xos qiymatlari a va b boʻlgan xos funksiya boʻlsa va operatorlar oʻzgarib ketsa:



u holda kuzatiladigan A va B bir vaqtning oʻzida cheksiz aniqlik, yaʼni noaniqlik bilan oʻlchanishi mumkin. Bir vaqtning oʻzida,  boʻlsa, Ψ A va B ning bir vaqtda xos funksiyasi deyiladi. Buni koʻrsatish uchun:



Bu shuni koʻrsatadiki, A va B ni oʻlchash holatlarning oʻzgarishiga olib kelmaydi, yaʼni boshlangʻich va yakuniy holatlar bir xil (oʻlchov tufayli buzilish yoʻq). Masalan, a qiymatni olish uchun A oʻlchaymiz. Keyin b qiymatni olish uchun B ni oʻlchaymiz. Biz yana A ni oʻlchaymiz. Biz hali ham a ga teng boʻlgan bir xil qiymatni olamiz. Shubhasiz, tizimning holati (Ψ) buzilmagan va shuning uchun biz A va B ni bir vaqtning oʻzida cheksiz aniqlik bilan oʻlchashimiz mumkin.

Agar operatorlar kommutativ boʻlmasa:



ularni bir vaqtning oʻzida ixtiyoriy aniqlikka tayyorlash mumkin emas va kuzatilishi mumkin boʻlganlar oʻrtasida noaniqlik aloqasi mavjud boʻladi.



Ψ xos funksiya boʻlsa ham yuqoridagi munosabat oʻrinli boʻladi. Diqqatga sazovor juftliklar — energiya va vaqt noaniqlik munosabatlari va har qanday ikkita ortogonal oʻq (masalan, L x va L y, s y va s z va boshqalar) atrofidagi burchak momentlari (spin, orbital va umumiy),

 Ψ dagi operatorlarning kutilgan qiymatlari 
Kutish qiymati (oʻrtacha ekvivalent yoki oʻrtacha qiymat) R zonasidagi zarracha uchun kuzatilishi mumkin boʻlgan oʻrtacha oʻlchovdir. Kutish qiymati  operatorning  dan hisoblanadi:



Buni operatorning istalgan F funksiyasiga umumlashtirish mumkin:



F ga misol sifatida A ning ψ ga 2 martali koʻpaytmasi, yaʼni operatorni kvadratga solish yoki uni ikki marta bajarish mumkin:



 Hermit operatorlari 
Ermit operatorining taʼrifi:



Shundan kelib chiqib, bra-ket yozuvida:



Hermit operatorlarining muhim xususiyatlariga quyidagilar kiradi:

 haqiqiy xos qiymatlar,
 turli xos qiymatli xos vektorlar ortogonal,
 xos vektorlar toʻliq ortonormal asos sifatida tanlanishi mumkin,

 Matritsalar mexanikasidagi operatorlar 
Bir bazis vektorni boshqabir bazis vektorga solishtirish uchun operator matritsa shaklida yozilishi mumkin. Operatorlar chiziqli boʻlgani uchun matritsa bazalar orasidagi chiziqli transformatsiya (aka oʻtish matritsasi) hisoblanadi. Har bir asosiy element  ni boshqasiga quyidagicha ifoda bilan bogʻlash mumkin:



bu matritsa elementi:



Ermit operatorining yana bir xususiyati quyidagicha: turlicha boʻlgan xos qiymatlarga mos keladigan xos funksiyalar oʻzaro ortogonaldir. Matritsa shaklida operatorlar oʻlchovlarga mos keladigan haqiqiy xos qiymatlarni topishga imkon beradi. Ortogonallik kvant tizimining holatini ifodalash uchun mos keladigan vektorlar toʻplamiga imkon beradi. Operatorning xos qiymatlari ham kvadrat matritsadagi kabi xarakteristik polinomni yechish orqali baholanadi:



Bu yerda I — n × n identifikatsiya matritsasi, operator sifatida u identifikatsiya operatori bilan mos keladi. Diskret asos uchun:



doimiy ravishda:



 Teskari operator 
Yakka boʻlmagan operator  teskarisiga ega . Belgilanishi:



Agar operatorda teskari operator boʻlmasa, u yagona operatordir. Cheklangan oʻlchovli fazoda operator yagona emas, agar uning determinanti nolga teng boʻlmasa:



va shuning uchun birlik operator uchun determinant nolga teng.

 Kvant operatorlarini qoʻllashga misollar 
Toʻlqin funksiyasidan maʼlumot olish tartibi quyidagicha: Misol tariqasida zarrachaning p impulsini koʻrib chiqaylik. Bir oʻlchovdagi pozitsiya asosidagi impuls operatori:



Ushbu harakatni ψ ga qoʻyib, biz quyidagilarni olamiz:



agar ψ ning xos funksiyasi boʻlsa , u holda impulsning xususiy qiymati p zarracha impulsining qiymati boʻlib, quyidagi formula boʻyicha topiladi:



Uch oʻlchov uchun impuls operatori nabla operatoridan foydalanadi:



Dekart koordinatalarida (standart Dekart bazis vektorlari ex, ey, ez yordamida) buni yozish mumkin;





Xususiy qiymatlarni topish jarayoni bir xil. Bu vektor va operator tenglamasi ekan, agar ψ xos funksiya boʻlsa, impuls operatorining har bir komponenti impulsning shu komponentiga mos keladigan xos qiymatga ega boʻladi:


 Manbalar 
 Landau va Lifshis „Nazariy mexanika“
 M.Nishonov maʼruzalari
 G.Ahmedova „Atom fizikasi“